高中数学第一章1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时学案含解析新人教A版必修1

PAGEPAGE1§1.1集合1.1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.驾驭数学中一些常见的集合及其记法．学问点一集合的概念元素与集合的概念(1)把探讨对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．(2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．学问点二元素与集合的关系思索1是整数吗？eq\f(1,2)是整数吗？有没有这样一个数，它既是整数，又不是整数？答案1是整数；eq\f(1,2)不是整数．没有．梳理元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉.学问点三元素的三个特性思索某班全部的“帅哥”能否构成一个界限清晰的群体？某班身高高于175厘米的男生呢？答案某班全部的“帅哥”不能构成界限清晰的群体，因“帅哥”无明确的标准，难以判定该班某男生是否属于“帅哥”这一群体．高于175厘米的男生能构成一个界限清晰的群体，因为标精确定．梳理元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．学问点四常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR1．y＝x＋1上全部点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)2．0∈N但0∉N*.(√)3．由形如2k－1，其中k∈Z的数组成集合A，则4k－1∉A.(×)类型一推断给定的对象能否构成集合例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的全部高个子同学；(4)eq\r(3)的近似值的全体．考点集合的概念题点集合的概念解(1)对随意一个实数能推断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合；(2)能构成集合；(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地推断，因此不能构成一个集合；(4)“eq\r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难推断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思与感悟推断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标精确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A．数学必修1课本中全部的难题B．小于8的全部素数C．平面直角坐标系内第一象限的一些点D．全部小的正数考点集合的概念题点集合的概念答案B解析A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中没有明确的标准，所以不能构成集合．类型二元素与集合的关系命题角度1判定元素与集合的关系例2给出下列关系：①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉Q；③|－3|∉N；④|－eq\r(3)|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案B解析eq\f(1,2)是实数，①对；eq\r(2)不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－eq\r(3)|＝eq\r(3)是无理数，④错；0是自然数，⑤错．故选B.反思与感悟要推断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．跟踪训练2用符号“∈”或“∉”填空．－eq\r(2)________R；－3________Q；－1________N；π________Z.考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案∈∈∉∉命题角度2依据已知的元素与集合的关系推理例3集合A中的元素x满意eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．考点元素与集合的关系题点伴随元素问题答案0,1,2解析∵x∈N，eq\f(6,3－x)∈N，∴0≤x≤2且x∈N.当x＝0时，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3)＝2∈N；当x＝1时，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3－1)＝3∈N；当x＝2时，eq\f(6,3－x)＝eq\f(6,3－2)＝6∈N.∴A中元素为0,1,2.反思与感悟推断元素和集合关系的两种方法(1)干脆法①运用前提：集合中的元素是干脆给出的．②推断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再推断该元素在已知集合中是否出现．(2)推理法①运用前提：对于某些不便干脆表示的集合．②推断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后推断该元素是否满意集合中元素所具有的特征．跟踪训练3已知集合A中元素满意2x＋a>0，a∈R，若1∉A，2∈A，则()A．a>－4 B．a≤－2C．－4<a<－2 D．－4<a≤－2考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值答案D解析∵1∉A，∴2×1＋a≤0，a≤－2.又∵2∈A，∴2×2＋a>0，a>－4，∴－4<a≤－2.类型三元素的三个特性的应用例4已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使A＝B.考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或－1.(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.(3)明显a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，则a＝3，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝{0,5,10}≠B.若2a－1＝0，则a＝eq\f(1,2)，A＝{a－3,2a－1，a2＋1}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)，\f(5,4)))≠B.故不存在这样的实数a，x，使A＝B.反思与感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不肯定按依次对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．跟踪训练4已知集合M中含有三个元素：2，a，b，集合N中含有三个元素：2a,2，b2，且M＝N，求a，b的值．考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解方法一依据集合中元素的互异性，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2a，,b＝b2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝b2，,b＝2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))再依据集合中元素的互异性，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))方法二∵两个集合相等，则其中的对应元素相同．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2a＋b2，,a·b＝2a·b2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋bb－1＝0，①,ab·2b－1＝0，

②))∵集合中的元素互异，∴a，b不能同时为零．当b≠0时，由②得a＝0或b＝eq\f(1,2).当a＝0时，由①得b＝1或b＝0(舍去)．当b＝eq\f(1,2)时，由①得a＝eq\f(1,4).当b＝0时，a＝0(舍去)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,4)，,b＝\f(1,2).))1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．美丽的小女孩D．清华高校2024年入学的全体学生考点集合的概念题点集合的概念答案D2．下面说法正确的是()A．全部在N中的元素都在N*中B．全部不在N*中的数都在Z中C．全部不在Q中的实数都在R中D．方程4x＝－8的解既在N中又在Z中考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案C3．由“book”中的字母构成的集合中元素个数为________．考点集合中元素的特征题点集合中元素的个数答案34．下列结论不正确的是________．(填序号)①0∈N;②eq\f(1,3)∈Q;③0∉Q;④－1∈Z.考点元素与集合的关系题点推断元素与集合的关系答案③5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，求实数m的值．考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解由元素互异性知m≠0，m2－3m＋2≠0.由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相冲突；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相冲突，当m＝3时，此时集合A中的元素为0,3,2，符合题意．故实数m＝2.1．考察对象能否构成一个集合，就是要看是否有一个确定的特征(或标准)，依此特征(或标准)能确定任何一个个体是否属于这个总体，假如有，能构成集合，假如没有，就不能构成集合．2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A.3．集合中元素的三个特性(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必需是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属不属于这个集合是确定的．要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来推断涉及的总体是否构成集合．(2)互异性：集合中的元素必需是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．(3)无序性：集合与其中元素的排列依次无关，如由元素a，b，c与由元素b，a，c组成的集合是相等的集合．这特性质通常用来推断两个集合的关系．一、选择题1．已知集合A由x<1的数构成，则有()A．3∈AB．1∈AC．0∈AD．－1∉A考点元素与集合的关系题点推断元素与集合的关系答案C解析很明显3,1不满意不等式，而0，－1满意不等式．2．集合A中只有一个元素a(a≠0)，则()A．0∈A B．a＝AC．a∈A D．a∉A考点元素与集合的关系题点推断元素与集合的关系答案C解析∵A中只有一个元素a且a≠0，∴0∉A，选项A错．∵a为元素，A为集合，故B错误．由已知选C.3．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则－a∉N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq\r(3,a)∈R考点元素与集合的关系题点推断元素与集合的关系答案A解析A不对．反例：0∈N，－0∈N.4．已知x，y为非零实数，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值所组成的集合是M，则下列推断正确的是()A．0∉M B．1∈MC．－2∉M D．2∈M考点元素与集合的关系题点推断元素与集合的关系答案D解析①当x，y为正数时，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值为2；②当x，y为一正一负时，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值为0；③当x，y均为负数时，代数式eq\f(x,|x|)＋eq\f(y,|y|)的值为－2，所以集合M中的元素共有3个：－2,0,2，故选D.5．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC肯定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形考点集合中元素的特征题点集合中参数的取值范围答案D解析由元素的互异性知a，b，c均不相等．6．已知A中元素满意x＝3k－1，k∈Z，则下列表示正确的是()A．－1∉A B．－11∈AC．3k2－1∈A D．－34∉A考点元素与集合的关系题点推断元素与集合的关系答案C解析令3k－1＝－1，解得k＝0∈Z，∴－1∈A；令3k－1＝－11，解得k＝－eq\f(10,3)∉Z，∴－11∉A；∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A；令3k－1＝－34，解得k＝－11∈Z，∴－34∈A.7．由实数x，－x，|x|，eq\r(x2)，－eq\r(3,x3)所组成的集合，最多含()A．2个元素 B．3个元素C．4个元素 D．5个元素考点集合中元素的特征题点集合中元素的个数答案A解析由于|x|＝±x，eq\r(x2)＝|x|，－eq\r(3,x3)＝－x，并且x，－x，|x|之中总有两个相等，所以最多含2个元素．8．由不超过5的实数组成集合A，a＝eq\r(2)＋eq\r(3)，则()A．a∈A B．a2∈AC.eq\f(1,a)∉A D．a＋1∉A考点元素与集合的关系题点推断元素与集合的关系答案A解析a＝eq\r(2)＋eq\r(3)<eq\r(4)＋eq\r(4)＝4<5，∴a∈A.a＋1<eq\r(4)＋eq\r(4)＋1＝5，∴a＋1∈A.a2＝(eq\r(2))2＋2eq\r(2)·eq\r(3)＋(eq\r(3))2＝5＋2eq\r(6)>5.∴a2∉A.eq\f(1,a)＝eq\f(1,\r(2)＋\r(3))＝eq\f(\r(3)－\r(2),\r(2)＋\r(3)\r(3)－\r(2))＝eq\r(3)－eq\r(2)<5.∴eq\f(1,a)∈A.故选A.二、填空题9．下列所给关系正确的个数是________．①π∈R；②eq\r(3)D∈/Q；③0∈N*；④|－4|D∈/N*.考点常用的数集及表示题点常用的数集及表示答案2解析∵π是实数，eq\r(3)是无理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，∴①②正确，③④不正确，正确的个数为2.10．假如有一集合含有三个元素：1，x，x2－x，则实数x的取值范围是________．考点集合中元素的特征题点集合中参数的取值范围答案x≠0,1,2，eq\f(1±\r(5),2)解析由集合元素的互异性可得x≠1，x2－x≠1，x2－x≠x，解得x≠0,1,2，eq\f(1±\r(5),2).11．已知a，b∈R，集合A中含有a，eq\f(b,a)，1三个元素，集合B中含有a2，a＋b,0三个元素，若A＝B，则a＋b＝____.考点集合中元素的特征题点集合中参数的取值范围答案－1解析∵A＝B,0∈B，∴0∈A.又a≠0，∴eq\f(b,a)＝0，则b＝0.∴B＝{a，a2,0}．∵1∈B，a≠1，∴a2＝1，a＝－1或1(舍)．由元素的互异性知，a＝－1，∴a＋b＝－1.三、解答题12．已知集合A是由a－2,2a2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A，求实数a的值．考点元素与集合的关系题点由元素与集合的关系求参数的值解由－3∈A，可得－3＝a－2或－3＝2a2＋5a，∴a＝－1或a＝－eq\f(3,2).当a＝－1时，a－2＝－3,2a2＋5a＝－3，不满意集合中元素的互异性，故a＝－1舍去．当a＝－eq\f(3,2)时，a－2＝－eq\f(7,2)，2a2＋5a＝－3，满意题意．∴实数a的值为－eq\f(3,2).13．数集A满意条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1)．(1)若2∈A，试求出A中其他全部元素；(2)自己设计一个数属于A，然后求出A中其他全部元素；(3)从上面的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发觉的“道理”．考点元素与集合的关系题点伴随元素问题解(1)2∈A，则eq\f(1,1－2)∈A，即－1∈A，则eq\f(1,1＋1)∈A，即eq\f(1,2)∈A，则eq\f(1,1－\f(1,2))∈A，即2∈A，所以A中其他全部元素为－1，eq\f(1,2).(2)如：若3∈A，则A中其他全部元素为－eq\f(1,2)，eq\f(2,3).(3)分析以上结果可以得出：A中只能有3个元素，它们分别是a，eq\f(1,1－a)，eq\f(a－1,a)，且三个数的乘积为－1.证明如下：若a∈A，a≠1，则有eq\f(1,1－a)∈A且eq\f(1,1－a)≠1，所以又有eq\f(1,1－\f(1,1－a))＝eq\f