2025版高考数学一轮复习课后限时集训52变量间的相关关系统计案例含解析理

PAGE1-课后限时集训(五十二)(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是()(1) (2) (3) (4)A．(1)(2) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(2)(3)D[(1)为函数关系；(2)明显成正相关；(3)明显成负相关；(4)没有明显相关性．]2．(2024·成都模拟)已知x，y的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7由表格分析y与x的线性关系，且eq\o(y,\s\up6(^))＝0.95x＋eq\o(a,\s\up6(^))，则eq\o(a,\s\up6(^))＝()A．2.2 B．2.6C．3.36 D．1.95B[由表格数据计算得eq\o(\s\up14(–),x)＝2，eq\o(\s\up14(–),y)＝4.5，又由公式eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(\s\up14(–),y)－eq\o(\o(b,\s\up6(^)))eq\o(\o(\s\up14(–),x))，得eq\o(a,\s\up6(^))＝2.6，故选B.]3．(2024·吉林长春联考)下列命题：①在线性回来模型中，相关指数R2表示说明变量x对于预报变量y改变的贡献率，R2越接近于1，表示回来效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的肯定值就越接近于1；③在回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝－0.5x＋2中，当说明变量x每增加一个单位时，预报变量eq\o(y,\s\up6(^))平均削减0.5个单位；④对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大．其中正确命题的个数是 ()A．1个 B．2个C．3个 D．4个C[对于④，对分类变量X与Y，它们的随机变量K2的观测值k来说，k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，故④错误．①②③说法均正确，故选C.]4．(2024·南阳联考)对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下：x24568y2040607080依据上表，利用最小二乘法得它们的回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))，据此模型预料当x＝10时，y的估计值为()A．105.5 B．106C．106.5 D．107C[因为eq\o(\s\up14(–),x)＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，eq\o(\s\up14(–),y)＝eq\f(20＋40＋60＋70＋80,5)＝54.故将eq\o(\s\up14(–),x)＝5，eq\o(\s\up14(–),y)＝54代入eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋eq\o(a,\s\up6(^))可得eq\o(a,\s\up6(^))＝54－52.5＝1.5，则eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5x＋1.5，当x＝10时，eq\o(y,\s\up6(^))＝10.5×10＋1.5＝106.5.]5．通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女合计爱好402060不爱好203050合计6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2的观测值为k＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k0)0.0500.0100.001k03.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是 ()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”A[依据独立性检验的定义，由K2的观测值为k≈7.8＞6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．]二、填空题6．某车间为了规定工时定额，须要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．依据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189现发觉表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．68[由eq\o(\s\up14(–),x)＝30，得eq\o(\s\up14(–),y)＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a，则62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68.]7．某高校“统计初步”课程的老师随机调查了选该课程的一些学生的状况，详细数据如下表：专业性别 非统计专业统计专业男1310女720为了推断主修统计专业是否与性别有关系，依据表中的数据，得到K2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈4.844，因为K2≥3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种推断出错的可能性为________．5%[∵K2≈4.844＞3.841，∴有95%的把握认为主修统计专业与性别有关系，即作出“主修统计专业与性别有关系”的推断出错的可能性不超过5%.]8．(2024·长沙模拟)某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了比照表：气温(℃)181310－1用电量(度)24343864由表中数据得回来直线方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))＝－2，预料当气温为－4℃时，用电量约为________度．68[依据题意知eq\o(\s\up14(–),x)＝eq\f(18＋13＋10＋－1,4)＝10，eq\o(\s\up14(–),y)＝eq\f(24＋34＋38＋64,4)＝40，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝40－(－2)×10＝60，eq\o(y,\s\up6(^))＝－2x＋60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度．]三、解答题9．(2024·重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满足，在运用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：满足不满足男用户3010女用户2020(1)依据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满足的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；(2)有多大把握认为用户对该产品是否满足与用户性别有关？请说明理由．P(K2≥k0)0.1000.0500.0250.010k02.7063.8415.0246.635注：K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，n＝a＋b＋c＋d.[解](1)用分层抽样的方法在满足产品的用户中抽取5人，则抽取比例为eq\f(5,50)＝eq\f(1,10).所以在满足产品的用户中应抽取女用户20×eq\f(1,10)＝2(人)，男用户30×eq\f(1,10)＝3(人)．抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s则从这5人中任选2人，共有10种状况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.其中恰好是男、女用户各1人的有6种状况：ar，as，br，bs，cr，cs.故所求的概率为P＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)由题意，得K2的观测值为k＝eq\f(80×30×20－20×102,30＋20×10＋20×30＋10×20＋20)＝eq\f(16,3)≈5.333＞5.024.又P(K2≥5.024)＝0.025.故有97.5%的把握认为“产品用户是否满足与性别有关”．10．某测试团队为了探讨“饮酒”对“驾车平安”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试．测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外状况到车子完全停下所须要的距离)．无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于表1和表2.表1：无酒状态停车距离d(米)(10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]频数26mn82表2：酒后状态平均每毫升血液酒精含量x(毫克)1030507090平均停车距离y(米)3050607090已知表1数据的中位数估计值为26，回答以下问题．(1)求m，n的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数；(2)依据最小二乘法，由表2的数据计算y关于x的回来方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(3)该测试团队认为：驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”．请依据(2)中的回来方程，预料当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？(附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回来直线eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))的斜率和截距的最小二乘估计分别为[解](1)依题意，得eq\f(6,10)m＝50－26，解得m＝40，又m＋n＋36＝100，解得n＝24.故停车距离的平均数为15×eq\f(26,100)＋25×eq\f(40,100)＋35×eq\f(24,100)＋45×eq\f(8,100)＋55×eq\f(2,100)＝27.(2)依题意，可知eq\o(\s\up14(–),x)＝50，eq\o(\s\up14(–),y)＝60，＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17800，＝102＋302＋502＋702＋902＝16500，所以eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(17800－5×50×60,16500－5×502)＝0.7，eq\o(a,\s\up6(^))＝60－0.7×50＝25，所以回来直线方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝0.7x＋25.(3)由(1)知当y>81时认定驾驶员是“醉驾”．令eq\o(y,\s\up6(^))>81，得0.7x＋25＞81，解得x>80，当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”．B组实力提升1．(2024·安阳质检)2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发觉年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10,14]，[15,19]，[20,24]，[25,29]，[30,34]的爱看比例分别为10%,18%,20%,30%，t%，现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10,14]，17代表[15,19]，依据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回来方程为eq\o(y,\s\up6(^))＝(kx－4.68)%，由此可推想t的值为 ()A．33B．35 C．37 D．39B[前4个数据对应的eq\o(\s\up14(–),x)＝19.5，eq\o(\s\up14(–),y)＝0.195(把百分数转化为小数)，而eq\o(y,\s\up6(^))＝(kx－4.68)%＝eq\o(b,\s\up6(^))x－0.0468，∴0.195＝eq\o(b,\s\up6(^))×19.5－0.0468，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝0.0124，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝(1.24x－4.68)%，当x＝eq\f(30＋34,2)＝32时，t＝1.24×32－4.68＝35.]2．(2024·贵阳模拟)随着资本市场的强势进入，互联网共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小巷．为了解共享单车在A市的运用状况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参加调查的网友中抽取了200人进行抽样分析，得到下表(单位：人)：常常运用间或或不用合计30岁及以下703010030岁以上6040100合计13070200依据以