2025中考数学一轮复习：图形的对称（含解析+考点卡片）

2025年中考数学一轮复习

第27讲图形的对称

一.选择题（共10小题）

1.下列交通标志图形中是轴对称图形的是（）

AA

2.如图，在平面直角坐标系中，矩形/8CO的D边C。，CU分别在x轴、y轴上，点£在边8C上，将该矩

形沿/£折叠，点3恰好落在边。C上的点尸处.若。4=8,CF=4,则点E的坐标是（）

A.(-8,3)B.(-8,4)C.(-9,3)D.(-10,3)

3.如图，在3X3的网格图中，在空白格中随机选择一个打上阴影,则图中阴影部分构成的图形是轴对称

图形的概率是（）

36

C.D.

77

⑤

①②

5.如图，将面积为2的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（

A.面积不变，周长变小B.面积不变，周长变大

C.面积变小，周长不变D.面积不变，周长不变

6.①〜⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择（）

①

④

A.①⑥

7.如图所示，长方形纸片/BCD中，AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点/重合,

则N尸长为（）

C.5cmD.2^5cm

5

8.在平面直角坐标系中，将点P（-3,2)向上平移3个单位长度得到点P',则点P关于x轴的对称

点的坐标为（）

A.(-3,5)B.(3,-5)C.(-3,-5)D.(3,5)

9.如图，把一长方形纸片4BCD的一角沿/E折叠，点。的对应点。落在/A4c内部.若,

且NCZD'=20°,则/D/E的度数为（）

D-EC

A-B

A.30°B.40°C.50°D.60°

10.如图，RtZ\48C中，ZC=90°,AC=6,SC=8.将△/BC折叠，使NC边落在边上，展开后得

到折痕I,则I的长为（）

二.填空题（共5小题）

II.如图，在△N8C中，NC=2/B,AC=3,4B=5,点、P是BC边上一点、,连接4P,若将/C沿直线

/P翻折，使得NC的顶点恰好落在48边上的点。处，则PC=.

12.如图，矩形45。的边/8=4,8C=6,点E是Z8的中点，点厂是3。上一动点（不与5、。重合）,

把即沿所对折，使点2与点N重合，则线段DV的最小值为.

13.如图，将一张三角形纸片48。的一角折叠，使点/落在△/BC外的H处，折痕为若//=a,

ABDA'=p,ZCEA'=丫，则a,p,丫三者的等量关系式是.

3

14.如图，将平行四边形N3CO沿对角线/C折叠，使点3落在点⑶处，若N1=N2=36°,ZB

为.

15.如图，在直角坐标系中，N(-2,0),B(0,2),。是。8的中点，点。在第二象限，且四边形/OCD

为矩形，尸是CO上一个动点，过点尸作刊7,04于〃，0是点2关于点/的对称点，则AP+PH+770

16.如图是4X4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图.

(1)在图1中作四边形/BCD,使点C,。在格点上，并且四边形48CD为轴对称图形.(画出一种即

可)

(2)在图2中的线段48上作点Q,使尸。最短.(用实线保留作图痕迹)

17.如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△/8C及直线/.

(1)画出△/2C关于直线/的对称图形△NtBiCi；

(2)仅用无刻度直尺在边ZC上找到点E,使得△N2E的面积等于△/2C面积的1(保留作图痕迹).

18.如图，在口/3。中，AELBC,垂足为垂足为足

(1)求证：四边形/EC尸是矩形.

(2)△/CG沿直线9G折叠，点C落在矩形/ECb的对角线NC上点〃处，若4B=1,EC=2,求线

段CG的长度.

-----------------^—iD

BE

19.如图，在平面直角坐标系中，已知△43C的三个顶点的坐标分别为/(-3,5),B(-4,1),C(-

2,3).

(1)画出△48C关于x轴的对称图形△481C1.

(2)将(1)中的△/13C1向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的232c2,画

出△/2瓦。2.

(3)若线段NC上一点6)经过上述两次变换后对应线段加。2上的点〃2,则点好的坐标

是

y

A

一讨A1：2：3：4：5

一c

20.在中，连接/C,ZBAC^90°,将△/CD沿着对角线/C翻折，使点。落在。'处，连接

AD',AD'与BC交于E,连接3D'.

(1)试判断四边形/2OC的形状，并说明理由；

(2)若口/BCD的周长为32,sinZJD=0.8,求四边形/BD'C的面积.

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第27讲图形的对称

一.选择题(共10小题)

1.下列交通标志图形中是轴对称图形的是()

AA

【考点】轴对称图形.D

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】D

【分析】利用轴对称图形的概念可得答案.

【解答】解：/、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B,不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互

相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.

2.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边C。，04分别在x轴、＞轴上，点E在边上，将该矩

形沿NE折叠，点8恰好落在边OC上的点尸处.若。/=8,CF=4,则点£的坐标是()

A.(-8,3)B.(-8,4)C.(-9,3)D.(-10,3)

【考点】翻折变换(折叠问题)；矩形的性质；坐标与图形变化-对称.

【专题】平面直角坐标系；矩形菱形正方形；展开与折叠；运算能力.

【答案】D

【分析】根据题意可以得到CE、。F的长度，根据点E在第二象限，从而可以得到点E的坐标.

【解答】解：由题意，BC=OA=8,

设CE=a,则BE=8-a,

由折叠可得，EF=BE=3-a,

•：ZECF=90°,CF=4,

a2+42=(8-a)

解得，a=3,

设AB=b,

：.AF=OC=b,

：.OF=b-4,

VZAOF=90°,

b2=(Z)-4)2+82,

解得6=10,

...点E的坐标为(-10,3),

故选：D.

【点评】本题考查勾股定理的应用，矩形的性质、翻折变化、坐标与图形变化-对称，解题的关键是明确

题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

3.如图，在3X3的网格图中，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是轴对称

【考点】利用轴对称设计图案；概率公式.

【专题】概率及其应用；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】A

【分析】根据题意，在网格中构造出轴对称图形，再由简单概率公式代值求解即可得到答案.

【解答】解：图中共有7个空白格，在空白格中随机选择一个打上阴影，则图中阴影部分构成的图形是轴

对称图形有5个，如图所示:

:.p（图中阴影部分构成的图形是轴对称图形）=5，

故选：A.

【点评】本题考查简单概率公式求一步问题概率，涉及网格中作轴对称图形，熟记轴对称图形的定义及设

计是解决问题的关键.

4.下列图形中，不是轴对称图形的是（）

①②③④⑤

A.①⑤B.②⑤C.④⑤D.①②

【考点】轴对称图形.

【专题】平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】A

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：①⑤的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合,

所以不是轴对称图形；

②③④的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称

图形；

故选：A.

【点评】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

5.如图，将面积为2的正方形沿虚线剪开，拼成一个长方形，下列说法正确的是（）

A.面积不变，周长变小B.面积不变，周长变大

C.面积变小，周长不变D.面积不变，周长不变

【考点】图形的剪拼.

【专题】矩形菱形正方形；运算能力.

【答案】B

【分析】求出正方形的边长，周长，面积，长方形的周长，面积即可判断.

【解答】解：•••正方形面积为2,

正方形的边长为企，正方形的周长为4XV2=4V2,

将其分为4个全等的等腰直角三角形后，直角边为1,

拼剪的长方形面积不变，而周长为2义(1+2)=6,

V6>4V2,

长方形周长变大.

故选：B.

【点评】本题考查图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

6.①〜⑥是三个三角形的碎片，若组合其中的两个，恰能拼成一个轴对称图形，则应选择()

【考点】利用轴对称设计图案.

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】B

【分析】根据三角形内角和是180。且利用图形已知的两个角的度数分别求出另一个角的度数，然后利用

等腰三角形定义及等腰三角形是轴对称图形判断即可

【解答】解：：②180°-(30°+75°)=75°,④图形一个角是75°,

...②和④可以组成一个三角形，且这个三角形是等腰三角形，是轴对称图形，

V(5)180o-(30°+35°)=115°,③图形一个角是115°,

..•③和⑤可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形，

V180°-(90°+63°)=27°,①图形一个角是27°,

...①和⑥可以组成一个三角形，这个三角形三个角都不相等，故不是轴对称图形.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形内角和和轴对称图形，熟练掌握三角形内角和定理和轴对称图形的定义是解题

的关键;

7.如图所示,长方形纸片48。中，AB=4cm,BC=8cm,现将其沿£尸对折，使得点C与点/重合,

则4F长为（

C.5cmD.2y[Scm

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】c

【分析】AF=xcm,则Z>F=(8-x)cm,利用矩形纸片/BCD中，现将其沿M对折，使得点C与点

/重合，由勾股定理求/下即可.

【解答】解：设4b=Xc机，则=（8-x）cm,

:矩形纸片/BCD中，AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得点C与点/重合,

：.DF=D'F,

在RtAU。'尸中，'：AF-=AD'2+D'F2,

.'.X2=42+(8-x)2,

解得：x=5（cm

故选：C.

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质,勾股定理，掌握折叠的性质是解题的关键.

8.在平面直角坐标系中，将点尸（-3,2）向上平移3个单位长度得到点P，，则点P关于X轴的对称

点的坐标为（）

A.(-3,5)B.(3,-5)C.(-3,-5)D.(3,5)

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移.

【专题】平面直角坐标系；符号意识.

【答案】C

【分析】先根据向上平移3个单位，纵坐标加3,横坐标不变，求出点P的坐标，再根据关于x轴对称，

横坐标不变，纵坐标相反解答.

【解答】解：；将点尸(-3,2)向上平移3个单位得到点尸，

点尸的坐标是(-3,5),

，点尸关于x轴的对称点的坐标是(-3,-5).

故选：C.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，以及关于x轴、y轴对称点的坐标的关系，熟练掌握并灵活

运用是解题的关键.

9.如图，把一长方形纸片/BCD的一角沿/£折叠，点。的对应点。落在ZBA。内部.若/C4E=2ABAD',

且=20°,则/£>/£的度数为()

A.30°B.40°C.50°D.60°

【考点】翻折变换(折叠问题)；角的计算.

【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】B

【分析】设/BAD'=x°,则NC4E=2x°,得到NE4D'^ZCAE+ZCAD'=2x°+20°,由折叠的性

质得到：ZDAE^ZEAD'=2x°+20°,由矩形的性质，得到/2/。=90°,得至lj2x+20+2x+20+x=90,

求出x=10,即可求出乙£M£=2x°+20°=40°.

【解答】解：设NBA。=x°,则NC4E=2x°,

/.ZEAD'=ZCAE+ZCAD'=2x°+20°,

由折叠的性质得到：ZDAE^ZEAD'=2x°+20°,

..•四边形/BCD是矩形，

AZBAD=90°,

AZDAE+ZEAD+ZBAD'=90

2x+20+2x+20+x=90,

.,.x=10,

AZDAE=2x°+20°=40°.

故选：B.

【点评】本题考角的计算，折叠的性质，关键是由折叠的性质得到关于x的方程.

10.如图，RtAAgC中，ZC=90°,4c=6,8C=8.将△ABC折叠，使NC边落在48边上，展开后得

到折痕I,则I的长为（）

【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】A

【分析】由勾股定理求出/3=10,设。C=x,运用等积法可求出DC=3,再用勾股定理求出即可.

【解答】解：及△A8C中，ZC=90°,AC=6,BC=8.

：.AB=H4c2+BC2=V62+82=10,

设。C=x,

111

,**ABC=々4BxDC+xDC=々ACxBC,

111

x10%+-x6x=-x6x8,

222

解得x=3.

RtZ\/CZ>中，AC2+DC2=AD2

：.AD=y/AC2+DC2=V62+32=3遍.

；./的长为3星.

故选：A.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

二.填空题（共5小题）

11.如图，在△/BC中，ZC=2Z5,AC=3,/8=5,点尸是5c边上一点，连接4P,若将/C沿直线

/P翻折，使得/C的顶点恰好落在48边上的点。处，则PC=2.

BpC

【考点】翻折变换（折叠问题）.

【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】2.

【分析】先求出AD,再证明出/3=/。尸2,得到由PC=P。可得到PC的长.

【解答】解：•••将/C沿直线/尸翻折，使得/C的顶点恰好落在N3边上的点。处，

：.PD=PC,AD=4C=3,/ADP=NC,

VAC=3,AB=5,

:・BD=AB-AD=AB-AC=5-3=2,

VZC=2Z5,

・・・ZADP=2ZB=ZB+ZDPB,

：./B=/DPB,

：.BD=PD,

：.PC=BD=2,

故答案为：2.

【点评】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定，三角形内角和定理的推论，推出是解题

的关键.

12.如图，矩形45。的边/5=4,5。=6,点E是的中点，点厂是5c上一动点（不与5、。重合），

把42即沿M对折，使点2与点N重合，则线段DN的最小值为，怖-2_.

AD

【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力.

【答案】2VTU—2.

【分析】由勾股定理可求DE的长，由折叠的性质可得EN=BE=2,则点N在以点E为圆心，BE为半径

的圆上，即可求解.

【解答】解：如图，连接。E,

点、E是4B的中点，

；.4E=2=BE,

：.DE=y/AD2+AE2=V4+36=2国，

:把斯沿斯对折，

：.EN=BE=2,

...点N在以点E为圆心，BE为半径的圆上，

...点N在线段DE上时，DN有最小值，

最小值为2VIU-2,

故答案为：2同—2.

【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理等知识，确定点N的运动轨迹是解题的关键.

13.如图，将一张三角形纸片N8C的一角折叠，使点N落在△/8C外的处，折痕为DE,若//=a,

ZBDA'=0,/CEA'=丫，则a,p,丫三者的等量关系式是B=2a+y.

【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理.

【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力.

【答案】0=2a+y.

【分析】根据三角形的外角得：ZBDA'^ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZCEA',代入已知可得结论.

【解答】解：由折叠得：N4=NA,

•：ZBDA'=ZA+ZAFD,ZAFD=ZA'+ZCEA',

ZA—a,ACEA'=y,ZBDA'—^,

ZBDA'=p=a+a+y=2a+y,

故答案为：B=2a+y.

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻

的两个内角的和是关键.

14.如图，将平行四边形N5CD沿对角线NC折叠，使点8落在点⑶处，若/1=N2=36°,NB为

126°

【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质.

【专题】平移、旋转与对称；推理能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据翻折可得/夕AC=ZBAC,根据平行四边形可得。C〃/8,所以4B/C=NDC4,从而可

得N1=2/R4C,进而求解.

【解答】解：根据翻折可知：/夕AC=/BAC,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.DC//AB,

：./BAC=NDCA,

：.ZBAC=ZDCA=ZB'AC,

；N1=NB'AC+ZDCA,

：.Z1=2ZBAC=36°,

AZBAC=18°,

：.ZJB=1800-ABAC-Z2=180°-18°-36°=126°,

故答案为：126°.

【点评】本题考查了翻折变换、平行四边形的性质，解决本题的关键是利用翻折的性质.

15.如图，在直角坐标系中，4(-2,0),B(0,2),C是OB的中点，点。在第二象限，且四边形/OCZ)

为矩形，P是CD上一个动点，过点P作尸于〃，。是点3关于点/的对称点，则BP+PH+X。的

【专题】平移、旋转与对称；运算能力.

【答案】见试题解答内容

【分析】连接CH,根据/、3的坐标先确定04和03的长，证明四边形P80C是矩形，得PH=0C=BC

=1,再证明四边形PBCH是平行四边形，则BP=CH,在BP+PH+HQ中，PH=1是定值，所以只要CH+HQ

的值最小就可以，当C、H、。在同一直线上时，C/升时的值最小，利用平行四边形的性质求出即可.

：・0B=2,OA=2,

是05的中点,

：.BC=OC=\,

■:/PHO=NCOH=/DCO=90°,

，四边形PHOC是矩形,

：.PH=OC=BC=1,

,JPH//BC,

，四边形PBC"是平行四边形，

：.BP=CH,

：.BP+PH+HQ=CH+HQ+1,

要使CH+80的值最小，只需C、H、0三点共线即可，

:点0是点2关于点/的对称点，

：.Q(-4,-2),

又：点C(0,1),

根据勾股定理可得CQ=J(0+4尸+(1+2尸=5,

此时，BP+PH+HQ=CH+HQ+PH^CQ+1=5+1=6,

即3尸+尸〃+〃0的最小值，6；

故答案为：6.

【点评】本题考查了一次函数点的坐标的求法、三角形面积的求法和三点共线及最值，综合性强，是中考

常见题型，正确记忆相关知识点是解题关键.

三.解答题(共5小题)

16.如图是4义4的正方形网格，请仅用无刻度尺的直尺按要求完成以下作图.

(1)在图1中作四边形N5CD,使点C,。在格点上，并且四边形N3CD为轴对称图形.(画出一种即可)

(2)在图2中的线段上作点0,使尸。最短.(用实线保留作图痕迹)

图2

【考点】作图-轴对称变换.

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识.

【答案】(1)见解答.

(2)见解答.

【分析】（1）根据轴对称图形的定义画图即可.

（2）结合垂线段最短，过点尸作的垂线，交于点。,则点。即为所求.

【解答】解：（1）如图1,四边形/BCD即为所求.

（2）如图2,过点尸作N3的垂线，交N5于点0,

则点Q即为所求.

【点评】本题考查作图-轴对称变换、垂线段最短，熟练掌握轴对称图形的定义、垂线段最短是解答本题

的关键.

17.如图，在边长为1的正方形的网格中，已知△43C及直线/.

（1）画出△N2C关于直线/的对称图形△45C1；

（2）仅用无刻度直尺在边/C上找到点E,使得△/8E的面积等于△NBC面积的保留作图痕迹）.

【专题】作图题；平移、旋转与对称；图形的相似；几何直观.

【答案】（1）见解答.

（2）见解答.

【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可.

（2）取格点N,使NM：CN=1：2,且NM〃CN,连接儿W,交/C于点£,即点£即为所求.

【解答】解：（1）如图，△//Ci即为所求.

(2)如图，取格点M,N,使/M：CN=\：2,且4W〃CN,连接儿W,交NC于点E,

则△4EMsacEN,

：.AE：CE=AM：CN=1：2,

：.AE：AC=1：3,

-1

△4BE的面积等于△48C面积的

即点£即为所求.

【点评】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质、

相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.

18.如图，在口/38中，AELBC,垂足为ECF_LAD垂足为尸.

(1)求证：四边形NEW是矩形.

(2)Z^FCG沿直线尸G折叠，点C落在矩形NECF的对角线/C上点8处，若NE=1,EC=2,求线段

【考点】翻折变换(折叠问题)；相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质；矩形的判定与性质.

【专题】多边形与平行四边形；矩形菱形正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力.

【答案】(1)见解析；

1

(2)CG的长度为了

【分析】(1)根据平行四边形的性质得到N尸〃CE,得到根据矩形的判定定理即可得到结论.

4ECE

(2)根据折叠的性质得到FGLS,推出△NCEs/GFC,根据相似三角形的性质得到二==，于是得

到结论.

【解答】（1）证明：・・•四边形45CZ）是平行四边形，

：.AD//BC,

C.AF//CE,

U：AE.LBC,

：.AE.LAD,

*：CFLAD,

：.AE//CF,

・・・四边形NECb是平行四边形，

U：AE.LBC,

：.ZAEC=90°,

・•・四边形/庚才是矩形.

（2）解：•••△/CG沿直线/G折叠，点。落在矩形/EC尸的对角线4c上点〃处,

：.FGLCH,

：.ZHCG+ZCGF=ZCGF+ZCFG=90°,

,NACE=/CFG,

VZAEC=ZFCG=90°,

・•・LACEsNGFC,

AECE

•t•—，

CGCF

9：AE=1,EC=2,

••CF=AE=1,

eJ__2

••—，

CG1

/.CG=i,

【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

19.如图，在平面直角坐标系中，已知△4BC的三个顶点的坐标分别为/(-3,5),B(-4,1),C(-

2,3).

(1)画出△/8C关于x轴的对称图形△N121C1.

(2)将(1)中的△NiBiCi向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的282c2,画出△

A232c2.

(3)若线段AC上一点6)经过上述两次变换后对应线段A2C2上的点M2,则点Mi的坐标是(。+6,

-6+2)

—fA2-：10rX

-!-2

一c

【考点】作图-轴对称变换；作图-平移变换.

【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析；

(3)(a+6,-6+2).

【分析】(1)根据题意画出即可；关于》轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数；

(2)根据平移的性质即可得到结论；

(3)根据轴对称的性质和平移的性质即可得到结论.

【解答】解：⑴△ZLBICI如图所示;

(2)*2c2如图所示；

(3)点〃经过第一次变换后坐标为(-a,b),经过第二次变换后的坐标为(a+6,-6+2),

故答案为(。+6,-6+2).

【点评】本题是作图-平移变换，轴对称变换，熟练掌握平移和轴对称的性质是解题的关键.

20.在口/BCD中，连接/C,ZBAC=90°,将△/CD沿着对角线/C翻折，使点。落在处，连接

AD',AD'与BC交于E,连接30.

(1)试判断四边形/2OC的形状，并说明理由；

(2)若口/2CO的周长为32,sin/Z)=0.8,求四边形/AD'C的面积.

【考点】翻折变换(折叠问题)；解直角三角形；平行四边形的性质.

【专题】矩形菱形正方形；展开与折叠；运算能力；推理能力.

【答案】(1)四边形/8OC是矩形，理由见解析过程；

(2)48.

【分析】(1)先判定四边形N8DC是平行四边形，再根据NA4c=90°,即可得出四边形/8OC是矩形;

(2)先解直角三角形得到/C和CD的长，进而得到四边形/2O。的面积.

【解答】解：(1)四边形4BDC是矩形，理由：

:平行四边形48。中，AB//CD,

；./ACD=NB4c=90°,

由折叠可得，ZACD'=ZACD=90°,

，/A4C+N/S=180°,

:.AB〃CD',

由折叠可得，CD=CD,

又：平行四边形ABCD中，CD=AB,

：.AB=CD',

...四边形ABD'C是平行四边形，

XVZBAC=90°,

四边形/AD'C是矩形；

(2)/BCD的周长为32,

：.AD+CD^16,

又•.•n△NC〃中，sinZ£>=0.8,

,可设NC=4x,AD=5x,则CD=3x,

；.5x+3x=16,

解得x=2,

，/C=8,CD=6=CD',

矩形N30C的面积为6X8=48.

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及折叠变换，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形

的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

考点卡片

1.角的计算

①N/03是//0C和/BOC的和，记作：ZAOB=ZAOC+ZBOC.N/OC是N/O3和/30C的差，记

作：ZAOC=ZAOB-ZBOC.②若射线。。是的三等分线，则//。8=348。。或/8。。=号/

AOB.

（2）度、分、秒的加减运算.在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，

逢60要进位，相减时，要借1化60.

（3）度、分、秒的乘除运算.①乘法：度、分、秒分别相乘，结果逢60要进位.②除法：度、分、秒

分别去除，把每一次的余数化作下一级单位进一步去除.

2.三角形内角和定理

（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大

于0°且小于180°.

（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

（3）三角形内角和定理的证明

证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角.在转化中借助平

行线.

（4）三角形内角和定理的应用

主要用在求三角形中角的度数.①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方

法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角.

3.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.

如果直角三角形的两条直角边长分别是。，b,斜边长为C,那么『+庐=02.

（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.

22

（3）勾股定理公式02+62=C2的变形有：a-yJc—b,b=7c?-a?及c=式。2+炉.

（4）由于a2+b2=c2>02,所以c>°,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角

边.

4.平行四边形的性质

（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.

（2）平行四边形的性质：

①边：平行四边形的对边相等.

②角：平行四边形的对角相等.

③对角线：平行四边形的对角线互相平分.

（3）平行线间的距离处处相等.

（4）平行四边形的面积：

①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积.

②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等.

5.矩形的性质

（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形.

（2）矩形的性质

①平行四边形的性质矩形都具有；

②角：矩形的四个角都是直角；

③边：邻边垂直；

④对角线：矩形的对角线相等；

⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形.它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称

中心是两条对角线的交点.

（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

6.矩形的判定与性质

（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步

研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有.

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.

（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△0/2、△02。都是等腰三角形；②N0AB=/0BA,Z0CB

=ZOBC；③点。到三个顶点的距离都相等.

A

0

BC

7.轴对称图形

(1)轴对称图形的概念：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做

对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称.

(2)轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对

称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条.

(3)常见的轴对称图形：

等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等.

8.关于x轴、y轴对称的点的坐标

(1)关于x轴的对称点的坐标特点：

横坐标不变，纵坐标互为相反数.

即点P(x,y)关于x轴的对称点P的坐标是(x,-y).

(2)关于y轴的对称点的坐标特点：

横坐标互为相反数，纵坐标不变.

即点P(x,y)关于y轴的对称点尸'的坐标是(-x,了).

9.坐标与图形变化-对称

(1)关于x轴对称

横坐标相等，纵坐标互为相反数.

(2)关于〉轴对称

纵坐标相等，横坐标互为相反数.

(3)关于直线对称

①关于直线对称，P(a,6)=>P(2m-a,b)

②关于直线y="对称，P(a,6)=>P(a,2n-b)

10.作图-轴对称变换

几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始

的，一般的方法是：

①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；

②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一

端点，即为对称点；

③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形.

④作出的垂线为最短路径.

11.利用轴对称设计图案

利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到

不同的图案.

12.轴对称-最短路线问题

1、最短路线问题

在直线工上的同侧有两个点/