2025中考数学复习压轴题练习：几何变换 （学生版+解析版）

2025中考数学二轮复习之几何变换解答压轴考点专项训练

再考情分析.

一、在中考数学里，几何变换压轴题综合性强，对考生的几何直观、逻辑推理与数学运算等

核心素养要求较高，以下为你概述相关考点：

1.平移变换

(1)图形平移性质应用：

①考点常涉及平移后图形的对应线段平行且相等、对应角相等。比如已知一个三角形平移后

的位置，要求证明平移前后某些线段平行关系，或利用对应线段相等求线段长度。

②可能结合平面直角坐标系，给定一个图形各顶点坐标，按特定规则平移后，求新图形顶点

坐标，借此考查点在坐标平面中的平移规律(横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移

减)。

(2)平移与面积问题：

利用平移不改变图形形状和大小，即面积不变的性质。例如，将不规则图形通过平移转化为

规则图形来计算面积，像把分散的几块图形平移拼成一个完整的矩形、平行四边形等，再运

用相应面积公式求解。

2.轴对称变换(翻折)

(1)轴对称性质运用：

①重点考查对应点所连线段被对称轴垂直平分、对应线段相等、对应角相等。如在矩形中进

行翻折操作，根据这些性质求线段长度，常结合勾股定理，在折叠后形成的直角三角形中，

设未知数建立方程求解。

②探究对称轴两侧图形的全等关系，进而证明角相等、线段相等或位置关系，如证明两条线

段垂直或平行。

③最短路径问题：这是轴对称变换的经典应用考点。基于“两点之间，线段最短”以及轴对

称性质，通过作对称点将折线转化为直线段来求最短路径。比如在直线同侧有两个定点，在

直线上找一点使该点到两定点距离之和最短，就是作其中一个点关于直线的对称点，连接对

称点与另一定点，与直线的交点即为所求点。

3.旋转变换

(1)旋转性质的考查：

①涉及对应点到旋转中心的距离相等、对应线段相等、对应角相等以及旋转角相等。例如在

等边三角形或正方形中进行旋转操作，根据这些性质证明三角形全等或相似，进而求解线段

长度、角度大小。

②结合旋转角来确定图形位置变化，以及旋转过程中图形的特殊位置(如共线、垂直等),

要求学生能根据旋转的角度和已知条件进行几何关系的推导。

③旋转与坐标变化：在平面直角坐标系中，给定图形绕某点旋转特定角度后，求图形各顶点

坐标。这需要学生掌握旋转的坐标变换规律，例如绕原点旋转90。、180。等特殊角度时,

点坐标的变化规律（绕原点顺时针旋转90°,（5丫）变为（丫,次）；绕原点旋转180°,（x,y）变为

（-x,-y））。

④中心对称：作为特殊的旋转（旋转角为180°）,考查中心对称图形的性质，如对称点连

线经过对称中心且被对称中心平分，以及判断一个图形是否为中心对称图形。

二、解题策略与技巧

1.画图分析：清晰标注已知条件，辅助理解题意。

2.添加辅助线：如中位线、高线、角平分线等，帮助发现几何关系。

3.数形结合：结合坐标系或代数方法解决几何问题。

4.分类讨论：针对动态问题或存在性问题，全面考虑不同情况。

5.逆向思维

fii真题演练

第一部分（轴对称）共10题

1.（2023・湖北十堰•中考真题）过正方形的顶点。作直线£＞尸，点C关于直线DP的对

称点为点E,连接AE,直线AE交直线OP于点F.

（1）如图1,若/CDP=25。，则。；

⑵如图1,请探究线段CD,EF,AF之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）在。尸绕点。转动的过程中，设=£F=b请直接用含的式子表示D尸的长.

2.（2022•浙江绍兴・中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,动点E从点A出

发，沿边AD,OC向点C运动，A,。关于直线BE的对称点分别为N,连结MN.

备用图备用图

(1)如图，当E在边AD上且DE=2时，求NA£M■的度数.

(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线与直线8。的位置关系，说明理由.

(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长.

3.(2024.山东青岛.中考真题)如图①，RtZWSC中，

ZACB=90°,AC=8cm,BC=6cm,RtAE£)F中，Z.EDF=90°,DE=DF=6cm,边BC与FD

重合，且顶点E与AC边上的定点N重合，如图②，4瓦乃从图①所示位置出发，沿射线NC

方向匀速运动，速度为Icm/s；同时，动点。从点A出发，沿方向匀速运动，速度为2c〃z/s,

(1)当/为何值时，点A在线段OE的垂直平分线上？

⑵设四边形PCEO的面积为S,求S与/的函数关系式；

(3)如图③，过点。作OQLAB,交AC于点。，△AOH与△AOQ关于直线对称，连接

HB.是否存在某一时刻f,使尸O〃B〃？若存在，求出/的值；若不存在，请说明理由.

4.(2024.江苏宿迁・中考真题)在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探

究活动

【操作判断】

操作一：如图①，对折正方形纸片ABCD,得到折痕AC,把纸片展平；

操作二：如图②，在边上选一点E,沿BE折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕8E；

操作三：如图③，在边C。上选一点E沿所折叠，使边BC与边班重合，得到折痕叱把

正方形纸片展平，得图④，折痕座、8F与AC的交点分别为G、H.

根据以上操作，得NEBF=

【探究证明】

(1)如图⑤，连接GP,试判断3尸G的形状并证明；

(2)如图⑥，连接班，过点G作C。的垂线，分别交AB、CD、EF于点P、Q、M.求证:

EM=MF.

【深入研究】

4f=7＞请求出器的值(用含左的代数式表示).

ACkHC

5.(2024.天津•中考真题)将一个平行四边形纸片。15C放置在平面直角坐标系中，点。(0,0),

点A(3,0),点B,C在第一象限，S.OC=2,ZAOC=60.

(1)填空：如图①，点C的坐标为，点8的坐标为；

⑵若尸为x轴的正半轴上一动点，过点尸作直线轴，沿直线/折叠该纸片，折叠后点。

的对应点O'落在无轴的正半轴上，点C的对应点为C'.设OP=r.

①如图②，若直线/与边C5相交于点Q,当折叠后四边形「O'C'Q与口。RC重叠部分为五

边形时，O'C'与A3相交于点E.试用含有f的式子表示线段BE的长，并直接写出r的取值

范围；

211

②设折叠后重叠部分的面积为S,当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）.

6.（2023・河南・中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、

联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”主题下设

备用图

⑴观察发现：如图b在平面直角坐标系中，过点加（4,0）的直线/y轴，作VA3C关于，轴

对称的图形,再分别作△AMG关于X轴和直线/对称的图形AAB2G和3G，则

△4员G可以看作是VA3c绕点。顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；3G可

以看作是VABC向右平移得到的，平移距离为个单位长度.

⑵探究迁移：如图2,A3CD中，ZBAD=a（O°<a<90°）,P为直线48下方一点，作点尸

关于直线2B的对称点片，再分别作点A关于直线2D和直线CD的对称点鸟和巴，连接AP,

AP2,请仅就图2的情形解决以下问题：

①若/尸4鸟="，请判断夕与a的数量关系，并说明理由；

②若AD=〃z,求尸，鸟两点间的距离.

⑶拓展应用：在（2）的条件下，若c=60。，AD=2代，ZPAB=15°,连接£8.当心鸟与

ABCD的边平行时，请直接写出AP的长.

7.（2023・辽宁大连•中考真题）综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质.

已知AB=AC,NA>90。，点E为AC上一动点，将一樨以防为对称轴翻折.同学们经过

思考后进行如下探究：

独立思考：小明：“当点。落在BC上时，ZEDC=2ZACB.”

小红：“若点E为AC中点，给出AC与。C的长，就可求出BE的长.

实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答：

问题1：在等腰VA3C中，AB=AC,ZA>90°,ABDE由.ABE翻折得到.

(1)如图1,当点。落在2C上时，求证：ZEDC=2ZACB；

(2)如图2,若点石为4(7中点，AC-4,CD=3,求8E的长.

问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成NA<90。的等腰三角形，可

以将问题进一步拓展.

问题2：如图3,在等腰VA3C中，ZA<90°,AB=AC=BD=4,2Z£>=ZABD.若CD=1,

则求8C的长.

8.(2023•甘肃武威•中考真题)【模型建立】

(1)如图1,丫48€7和~50£都是等边三角形，点C关于AD的对称点尸在3D边上.

①求证：AE=CD；

②用等式写出线段A。，BD,近的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

(2)如图2,VABC是直角三角形，AB^AC,CD±BD,垂足为D,点C关于AD的对称

点尸在3。边上.用等式写出线段AD,BD,。尸的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

(3)在(2)的条件下，若4)=40，BD=3CD,求cos/AFB的值.

9.(2022.吉林长春•中考真题)【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4

纸，如图①，矩形A3。为它的示意图.他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图

①中=他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在AD上，点8的对应点为

点E,折痕为AF;再沿过点尸的直线折叠，使点C落在E尸上，点C的对应点为点X,折

痕为FG；然后连结AG,沿AG所在的直线再次折叠，发现点。与点尸重合，进而猜想

△ADG沿AAFG.

【问题解决】

(1)小亮对上面△ADG四△AFG的猜想进行了证明，下面是部分证明过程:

证明：四边形ABCD是矩形，

ZBAD=ZB=ZC=ZD=90°.

由折叠可知，ZBAF=-ZBAD=45°,NBFA=NEFA.

2

：.N£K4=N3E4=45°.

AF=42AB=AD.

请你补全余下的证明过程.

【结论应用】

FG

(2)ZDAG的度数为________度，—的值为；

⑶在图①的条件下，点尸在线段AF上，且AP=；AB,点。在线段AG上，连结尸。、PQ,

如图②，设钙=",则尸。+尸。的最小值为.（用含。的代数式表示）

10.（2022•贵州贵阳•中考真题）小红根据学习轴对称的经验，对线段之间、角之间的关系进

行了拓展探究.

4n

如图，在中，AN为BC边上的高，—=m,点M在AD边上，且54=3”,点E

AN

是线段A"上任意一点，连接5E,将,ABE沿5E翻折得..FBE.

（1）问题解决:

如图①，当/54。=60。，将：WE沿8E翻折后,使点厂与点M重合，则=7=

（2）问题探究:

如图②，当440=45。，将一ABE沿BE翻折后,使E尸〃,求NABE的度数，并求出

此时机的最小值；

（3）拓展延伸：

当乙BAD=30。，将一ABE沿班翻折后，若EF,AD,且AE=ME»,根据题意在备用图中

画出图形，并求出加的值.

第二部分（旋转）共10题

11.（2024•山东德州•中考真题）在VA3C中，AC=BC,ZACB=120°,点。是AB上一个

动点（点。不与A,8重合），以点。为中心，将线段DC顺时针旋转120。得到线OE.

图1图2图3

（1）如图1,当NACD=15。时，求的度数;

⑵如图2,连接8E,当0。<4。£><90。时，的大小是否发生变化？如果不变求,

NABE的度数；如果变化，请说明理由；

（3汝口图3,点/在C。上，且O0:MD=3:2,以点C为中心，将线CM逆时针转120。得到

线段CN,连接EN,若AC=4,求线段EN的取值范围.

12.（2024•山东淄博•中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习.

【操作发现】

小明作出了）。的内接等腰三角形A3C,AB=AC.并在BC边上任取一点。（不与点2,

C重合），连接4D,然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到ZSACE.如图①

小明发现：CE与（O的位置关系是,请说明理由：

【实践探究】

连接。E,与4C相交于点尸.如图②，小明又发现：当VA3C确定时，线段CF的长存在

最大值.

请求出当A2=3ji6.3C=6时，CT长的最大值；

【问题解决】

在图②中，小明进一步发现：点O分线段8C所成的比CD:£>8与点下分线段DE所成的比

。尸:EE始终相等.请予以证明.

13.（2024・四川巴中•中考真题）综合与实践

⑴操作与发现：平行四边形和梯形都可以剪开拼成一个矩形，拼接示意图如图1、图2.在

图2中，四边形ABCD为梯形，AB//CD,E、尸是AD、BC边上的点.经过剪拼，四边形

GHJK为矩形.则△E7）K0.

（2）探究与证明：探究将任意一个四边形剪开拼成一个平行四边形，拼接示意图如图3、图4、

图5.在图5中，E、F、G、H是四边形ABCD边上的点.OJKL是拼接之后形成的四边形.

①通过操作得出：AE与EB的比值为

②证明：四边形Q/KL为平行四边形.

（3）实践与应用：任意一个四边形能不能剪开拼成一个矩形？若能，请将四边形ABC。剪成4

块，按图5的方式补全图6,并简单说明剪开和拼接过程.若不能，请说明理由.

14.（2024•内蒙古通辽.中考真题）数学活动课上，某小组将一个含45。的三角尺4跖利一个

正方形纸板A3CD如图1摆放，若AE=1,AB=2.将三角尺AEF绕点A逆时针方向旋转

如图2,连接BE,DF并延长，延长线相交于点G,BG交于点

问题1助和。尸的数量关系是，位置关系是.

【深入探究】

应用问题1的结论解决下面的问题.

问题2如图3,连接8。，点。是8。的中点，连接。4,OG.求证Q4=OD=OG.

【尝试应用】

问题3如图4,请直接写出当旋转角a从0。变化到60。时，点G经过路线的长度.

15.（2024•黑龙江绥化•中考真题）综合与实践

问题情境

在一次综合与实践课上，老师让同学们以两个全等的等腰直角三角形纸片为操作对象.

纸片VABC和.DEF满足ZACB=Z.EDF=90°,AC=BC=DF=DE=2cm.

下面是创新小组的探究过程.

操作发现

（I）如图1,取力B的中点。，将两张纸片放置在同一平面内，使点0与点厂重合.当旋转

DEF纸片交AC边于点“、交8C边于点G时，设AH=x（l<x<2）,BG=y,请你探究

出丫与x的函数关系式，并写出解答过程.

问题解决

（2）如图2,在（1）的条件下连接G",发现CG"的周长是一个定值.请你写出这个定

值，并说明理由.

拓展延伸

（3）如图3,当点尸在4B边上运动（不包括端点A、B）,且始终保持NAFE=60。.请你

直接写出_QEF纸片的斜边所与VABC纸片的直角边所夹锐角的正切值______（结果保留

根号）.

16.（2024・广西•中考真题）如图1,VA3C中，?B90?,AB=6.AC的垂直平分线分别

交AC,A3于点O,C。平分/ACB.

图2

(1)求证：AABCsMBO；

（2）如图2,将△AOC绕点O逆时针旋转得到AAOC,旋转角为夕（0。<a<360°）.连接AM,

C'M

①求△AMC面积的最大值及此时旋转角a的度数，并说明理由;

②当△AMC'是直角三角形时，请直接写出旋转角a的度数.

17.（2024・北京・中考真题）已知/他^=矶0。＜夕＜45。），点2,C分别在射线⑷V,AM1.,

将线段8C绕点B顺时针旋转180°-2«得到线段BD,过点。作AN的垂线交射线AM于点

E.

（2）如图2,当点。在NM4N内部时，作DF〃河，交射线4W于点F，用等式表示线段取

与AC的数量关系，并证明。

18.（2024・四川眉山・中考真题）综合与实践

问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放

在正方形的中心。处，并绕点。旋转，探究直角三角板与正方形A3CO重叠部分的面积变化

情况.

操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点。处，在旋转过程中：

（1）若正方形边长为4,当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为；当一

条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为.

（2）若正方形的面积为S,重叠部分的面积为斗，在旋转过程中4与S的关系为.

类比探究：如图1,若等腰直角三角板的直角顶点与点0重合，在旋转过程中，两条直角边

分别角交正方形两边于E,尸两点，小宇经过多次实验得到结论BE+OF=A/^OC，请你帮

他进行证明.

拓展延伸：如图2,若正方形边长为4,将另一个直角三角板中60。角的顶点与点。重合，

在旋转过程中，当三角板的直角边交AB于点Af,斜边交2C于点N,且3M=BN时，请

求出重叠部分的面积.

（参考数据：sinl5°="一次，cosl5°=逅土正，tanl50=2-V3）

44

19.（2024.山东•中考真题）一副三角板分别记作VABC和其中NABC=NDEF=90。,

NB4c=45。，NEDF=30°,AC=DE.作3M_LAC于点EN_L£＞尸于点N,如图1.

（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C,

点A与点。重合，将图2中的刀C尸绕C按顺时针方向旋转a后，延长9交直线。尸于点

P.

①当a=30。时，如图3,求证：四边形CNPM为正方形；

②当30。＜&＜60。时，写出线段MP,DP,CD的数量关系，并证明；当60。＜0＜120。时,

直接写出线段MP,DP,CO的数量关系.

20.(2023•山东淄博•中考真题)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开

展探究活动.

(1)操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片A3CD和CEFG拼成乜”形图案，如图①.

试判断：△ACF的形状为________.

图①

(2)深入探究

小红在保持矩形ABCD不动的条件下，将矩形CEFG绕点C旋转，若AB=2,AD=4.

探究一：当点尸恰好落在AD的延长线上时，设CG与。尸相交于点如图②.求一CMF

的面积.

探究二：连接AE,取AE的中点H,连接£归，如图③.

求线段长度的最大值和最小值.

图②图③

参考答案

1.(1)20°

(2)CD2=1(AF2+EF2)

(3)DF=b),或a),或b)

【分析】(1)如图，连接CE,DE,由对称知？CD尸1EDP25?,CD=ED

由四边形ABC。是正方形得AD=CD,所以AD=£D,从而

?DAE?DEA!(180??ADE)20?；

(2)如图，连接CP,DE,AC,CE,交DP于点X,由轴对称知，CF=EF,CD=DE=AD,

ZDEF=ZDCF,可证得NAFC=90。，由勾股定理得，RtA4CF中，

AC2=AF2+CF2=AF2+EF2,RtAACO中，AD2+CD2=AC2,从而CD2=1(AF2+EF2)；

(3)由勾股定理CH=HE=FH=—b,DH=yJcD2-CH2^—a,分情况讨论：当点F

22

在2H之间时，DF=DH-FH='a-b);当点。在凡H之间时，

2

6/?

DF=FH-DH=J(b-a);当点X在之间时，DF=DH+FH=J(a+b).

22

【详解】(1)解：如图，连接CE,DE,

,/点C关于直线DP的对称点为点E,

:.CD,区＞关于DP对称，

?CDP1EDP25?,CD=ED,

:四边形A3。是正方形，

AD=CD,

AAD=ED,

D

：.?DAE?DEA!(180??ADE)!(180?90?50?)20?.

故答案为：20.

(2)解：CD2=^AF2+EF2).理由如下：

如图，由轴对称知，CF=EF,CD=DE=AD,NDEF=/DCF

而NDEF=NZMF

ZDAF=NDCF

：.?FAC1FCA?FAC?DAF7DCA90?

?AFC180?(?FAC?FC4)90?

，RtAACF中，AC2=AF2+CF2=AF2+EF2

RL^ACD中，AD2+CD2=AC2

：.2CD~=AF2+EF2BPCD2=1(AF2+EF2)；

(3)VZAFC=90°,CF=EF=b,

：.CH=HE=FH=—b,

2

*/CD2-1(AF2+EF2)=|(«2+Z>2),

DH=yJCD2-CH2=吟b¥=^a，

如图，当点尸在之间时，DF=DH-FH=与祉b),

【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾股定理等，将运动状

态的所有可能考虑完备，分类讨论是解题的关键.

2.(l)ZA£M=90°；

(2)Z)E=y；MN//BD,证明见解析；

(3)DE的长为2币或88一".

3

【分析】(1)由。£=2知，AE=AB=6,可知NMEB=45。，从而得出答案；

(2)根据对称性得，ZENC=ZBDC,贝I]cos/ENC=--=9,得EN=2,利用SSS证

EN103

明ABA/N也△DCB,得/DBC=/BNM,则MN〃BO；

(3)当点E在边A。上时，若直线MN过点C,利用AAS证明△BCMg/XCE。，得DE=

MC-,当点E在边CO上时，证明ABMCs/XCNE,可得瞿=鬻，从而解决问题.

CNEN

【详解】(1)解：・・・DE=2,

•\AE=AB=6f

:四边形ABC。是矩形，

ZA=90°,

ZAEB=ZABE=45°,

由对称性知N2EM=45。，

ZAEM=ZAEB+ZBEM^90°；

(2)如图1,

'：AB=6,AD=S,

由勾股定理得B£»=10,

:当N落在BC延长线上时，BN=BD=10,

:.CN=2.

由对称性得，/ENC=NBDC,

：.cosZENC^—=—,

EN10

：.EN^—,

3

10

：.DE=EN=—

3

直线与直线BD的位置关系是MN//BD.

由对称性知MN=AD=BC,

又,：BN=BD,

.,.△BMNQ4DCB(SSS),

：.ZDBC=ZBNM,

所以MN〃BD；

（3）①情况1：如图2,当E在边上时，直线过点C,

ZBMC=90°,

：.MC=^BC1-BM2=2A/7•

'：BM=AB=CD,ZDEC=ZBCE,ZBMC=ZEDC=90°,

.♦.△BCM名ACED(AAS),

；.DE=MC=2近；

②情况2：如图3,点E在边CD上时，

'：BM=6,BC=8,

:.MC=2汨,CN=8-2币,

:/BMC=NCNE=ZBCD=90°,

ZBCM+NECN=90。,

,：ZBCM+/M8C=90。，

：.ZECN=ZMBC,

:.ABMCSACNE,

.BM_MC

•♦百.而，

.皿MCCN8b—14

••HN----------------------,

BM3

:.DE=EN=86-14.

3

综上所述，。£的长为2"或86TL

3

【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定

与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论

思想是解题的关键.

3.(1)当f=2时，点A在线段0E的垂直平分线上

(2)S=gr-小+24

70

⑶存在/=行使尸

【分析】(1)先表示出AQ=2rcm,AE=(r+2)cm,再根据线段垂直平分线上的点到相等

两端的距离相等得到北=AO,据此建立方程求解即可；

(2)如图所示，过点。分别作AG3c的垂线，垂足分别为H、G,先由勾股定理得到

34

AB=10cm,再解直角三角形得至l]sinA=M，sin8=M，再证明4>£F=45。，然后解直角三

角形求出OG,OH,3尸的长，最后根据5=5徵g-5谶庭-5/^。?进行求解即可；

43

(3)过点尸作PGLAB于G,解Rt^BPG,得到PG=1fcm,BG=-tcm,贝U

OG=|10-^f|cm,进而得到tan/POG="；再解Rt_AOQ得到。。=，m,由对

I5)50-13/2

33t

称性可得ABLOQ，OH=OQ=—fem,解得至Ijtan/OBH=--------,由平行线的性

220-47

4f3t

质得到/OBH=NPOG,则tanNO3a=tan/POG,即可得到———=-----,解方程

50-13r20-书

即可得到答案.

【详解】(1)解：如图①所示，；/=£>£=6cm,AC=8cm,

/.AN=8-6=2cm,

如图②所示，由题意得，NE=tcm,AQ=2fcm,

AE=AN+NE=[t+2)cm,

：点A在线段OE的垂直平分线上,

・•・AE=AO,

；・2+2=2%，

解得r=2,

.•.当/=2时，点A在线段OS的垂直平分线上;

(2)解：如图所示，过点。分别作AC,BC的垂线，垂足分别为〃、G,

在中，由勾股定理得AB=[AC，+BC，=10cm，

.•.sinA=»,sinB金，,

AB5AB5

VDE=DF,ZD=90°,

：.ZDEF=45°；

由(1)可知AQ=2/cm,AE=«+2)cm,

BO=AB-AO=(10-2t^cm,CE=AC-AE=8—(t+2^=(6—t^cm,

在RtAAOW中，OH=AO-sinA=,

40—81

在RtZkBOG中，OG=A。♦sinB=---cm,

在RtACPE中，CP-CE-tan/CEP=(6-0cm,

:.BP=BC-CP=fem,

OP

140—8%

=—X6x8----r(r+2)--r

225'725

126一

=-2t-----r+24；

55

(3)解：如图所示，过点尸作尸G,AB于G,

由(2)可知3P=把m,

在RtZkBPG中，cosZPBG=—=cosZABC=-=PG=BP-sinZPBG=-rem,

BPAB55

33

BG=-BP=—tcm,

55

.・.OG=BO-BG=10-2r-|r=I10-ydem,

4

-t

PG

tmZPOG5

~OG

10-—50-13/

在RtAOQ中，tanZOAQ=^-=tmZBAC=—=-f

OAAC4

33

OQ=-OA=-tcm,

42

,/△A。”与△A。。关于直线A3对称，

3

・•・AB±OQ,OH=OQ=—tem,

2

在RtZkOBH中,3t

tanZOBH=—

OB10-2t20—4%

PO//BH,

:.ZOBH=ZPOG,

tanXOBH=tanAPOG,

.*_31

••50-13「20-4%'

70

t=-^t=0（舍去），

70

经检验:仁是原方程的解，

23

・・70/6

235

70

符合题意；

70

综上所述，存在t=不使PO//BH.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质

等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.

4.［操作判断］45；

［探究证明］(1)等腰直角三角形，理由见详解；(2)见详解；

［深入研究］公；2%+2

-2k

【分析】［操作判断］根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；

［探究证明］(1)先证明△GHfisamc,再证明△GHFs△废心，贝1」/7=/8=45°,继而

得到N7=N5=45。，因此G8=GP,ZBGF=90°,即，BFG是等腰直角三角形；(2)由翻

折得，ZAEB^ZBEF,由尸。〃AD,得到NAE3=/EGA/,故NBEF=NEGM,因此

ME=MG,而由/£6^+,6尸=5跖+/£'尸6=90。，得到NMGF=NEFG,则

MG=MF,因此EM=MF；

［深入研究］连接9,先证明△BEDS△即/c,则c竺=gg=Y2,由等=。，设

EDBD2ACk

AG=l,AC=k,则AB=3C=AC-cosN4=正左=AO,而△AEGs/^CBG,贝U

2

…,k2-2kk2-2k+2,.GHk--2k+2

GH=k-l-------=---------,故——=—：---------

2k-22k-2CHk2-2k

【详解】［操作判断］解：如图，

由题意得，Z1=Z2,Z3=Z4,

:四边形ABCD是正方形,

ZABC=90°,

：.Zl+Z2+Z3+Z4=90°,

2（Z2+Z3）=90°,

Z2+Z3=45°,

BPZ£BF=45°,

故答案为：45；

［探究证明］解：(1)如图,

・・•四边形A5CD是正方形，

.'.ZBCD=90°,N6=N8=45。，

Z5=45°,

Z5=Z6,

■:/GHB=/FHC,

AGHBS^FHC,

.GH_BH

.GH_FH

••而一方’

■:/GHF=/BHC,

:・AGHFS&BHC,

：.N7=N8=45。，

・・・N7=N5=45。，

：・GB=GF,/BGF=90。,

・・・一瓦G是等腰直角三角形;

(2)如图，

D

Q

F

C

由翻折得，ZAEB=ZBEF,

・・•四边形ABC。是正方形，

：.?D90?,即AZ)_LDC,

,.・PQLCD,

.・.PQ//AD,

・•・ZAEB=ZEGM,

：.ZBEF=/EGM,

；・ME=MG,

•：/BGF=90。,

：.ZEGF=90°,

・•・ZEGM+ZMGF=ZBEF+ZEFG=90°,

:.ZMGF=ZEFG,

:・MG=MF,

:・EM=MF；

［深入研究］解：如图，连接5。，

・・•四边形ABC。是正方形，

；・AB=AD=BC,ZABC=ZDAB=ZADC=ZBCD=90°,AD//BC,

・・・AC班）是对角线，

・・・N4=N5=NCBD=45。，

VZ£BF=45°,

・•・Z2+Z3=Z1+Z2,

JZ1=Z3,

:.ABED^ABHC,

.CHBC

•・访―访’

在RtZkBCD中，NCBD=45。，

.…BC_41

••cosNCBD--,

BD2

,CHV2

,•----=----，

ED2

・・四」

*AC

设AG=1,AC=k,

AB=BC=ACcosZ4=—k=AD,

2

,:AD〃BC,

:・AAEGSMBG,

.AEAG

'~BC~~GC

AE1

V2k—1,

——k

也

2

—

2k-12k-2

.GHk2-2k+2

CH-k1-2k-

【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，

折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题

的关键.

5.（1）（1,V3）,（4,73）

（2）®|<Z<|;②空MSM正

2294

【分析】（1）根据平行四边形的性质，得出OC=A3=2,CB=Q4=3,=NAOC=60。,结

合勾股定理CH=d0C。-CH?=丛，即可作答.

（2）①由折叠得NOO'C'=NAOC=60。，O'P=OP,再证明.EO'A是等边三角形，运用线

段的和差关系列式化简，BE=AB-AE=5-2t,考虑当O'与点A重合时，和当C'与点B重

合时，分别作图，得出f的取值范围，即可作答.

23

②根据①的结论，根据解直角三角形的性质得出="，再分别以时，14区鼻时，

|<?<|,二分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答.

2224

【详解】（1）解：如图：过点C作CHLQ4

・・•四边形Q4BC是平行四边形，OC=2,^AOC=60,A（3,0）

AOC=AB=2,CB=Q4=3,ZB=ZAOC=60°,

•:CH±OA

：.ZOCH=30°

：.OH=-OC=1

2

JCH=y/0C2-CH2

：.C（1，V3）

9：CB=OA=3

.*.1+3=4

・・・B（4,A/3）

故答案为：（1，石），（4,6）

（2）解：①•・•过点尸作直线轴，沿直线/折叠该纸片，折叠后点。的对应点O'落在不轴

的正半轴上，

・•・ZOOC=ZAOC=60°,0fp=OP,

：.OOr=2OP=2t

VA（3,0）

JOA=3

：.AOr=O（y-OA=2t-3

•・・四边形Q4BC为平行四边形，

：.AB=OC=2,AB//OC,ZC/AB=ZAOC=60°

・・・一£O'A是等边三角形

：.AE=AOf=2t-3

;BE=AB—AE

/.BE=AB-AE=2-（2t-3）=5-2t

•*BE=—2%+5；

当O'与点A重合时,

13

此时A5与。'O'的父点为E与A重合，OP=-OA=-

22

如图：当C'与点B重合时，

此时A8与C'。的交点为E与B重合，==M

22

的取值范围,,为,3:</<5?;

22

②如图：过点C作

,八°MP后MP

・・tan60=,=---

OPt

•*.MP=R

当时，s=-O'P=-OPxMP=-txy/3t=—t2

32222

：.—>0,开口向上，对称轴直线f=。

2

.♦.在时，S=走/随着/的增大而增大

32

.2有八

••---<S<-----;

92

S=^O'P+MC')xMP=^(OP+CM)xMP=^t+f-l）x出=咚（21）=每一乎

A/3>0,S随着f的增大而增大

・•・在，［时s==孚-¥=5在』时5=氐1一%*

.•.当时,^<S<A/3

113

,

AN=-AO=-(2t-3)=t--f

**•tanZ.EAO'—^/3，V3=

AN

f

S=y/3t----xAOxEN

22

4A/3C

开口向下，在仁二/m=2时,S有最大值

.•.在33</<寺5时，2--3

S=-Qx0+473X|-^I=V3

则在!■</<|■时，>/3<s<；

224

当时，如图，

24

S=@一£-；x1A（y+BC）xMP=底一专一—3+2t-5）乂6=S+^~

-V3<0,S随着f的增大而减小

.•.在时，则把r=I/=4分另1］代入5=一a+拽

得出5=一岛*+"石，>岳口+"也

22424

，在*时，—<S<y/3

244

综上：空&SM也

94

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形的性质，折叠性质，二次函数的图象

性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

6.(1)180°,8.

（2）①£=2a,理由见解析；②2msina

⑶2而或30-遥

【分析】（1）观察图形可得2G与VA3C关于。点中心对称，根据轴对称的性质可得即

可求得平移距离；

（2）①连接4片，由对称性可得，ZPAB=ZI]AB,ZPlAD=ZP2AD,进而可得

ZPAP2=2ZBAD,即可得出结论；

②连接尸片遇鸟分别交AB,。。于瓦尸两点，过点D作。GJ_AB,交AB于点G,由对称性

可知：PE=PlE,《尸=鸟尸且尸[LAB,P^A-CD,得出PA=2E/,证明四边形EEDG是

矩形，则DG=EF,在RtAZMG中，根据sin/D4G=仪，即可求解；

DA

（3）分A8〃A£>,P2P3//CD,两种情况讨论，设AP=x,则A《=A^=x,先求得

PP屈一%,勾股定理求得£6,进而表示出理，根据由（2）②可得PA=2AOsina,

2

可得PA=6,进而建立方程，即可求解.

【详解】（1）（1）：VABC关于y轴对称的图形与C],△A4G与△ABC关于无轴对称，

AAB2C2与YABC关于0点中心对称，

则可以看作是VA3C绕点0顺时针旋转得到的，旋转角的度数为180。

V

=2,

•••/（4,0）,A,4关于直线X=4对称，

44+AAj=2x4=8,

即M=8,

△AB3G可以看作是VA3C向右平移得到的，平移距离为8个单位长度.

故答案为：180°,8.

图2

由对称性可得，^PAB=AP{AB,NqAO=N£A。，

NPAg=ZPAB+APXAB+APXAD+AP2AD

=2APXAB+2APXAD

=2（N<AB+N片A£>）

=2ZBAD

p=2a,

②连接理/月分别交A5,CO于瓦方两点，过点。作。GLAB,交AB于点G,

图2

由对称性可知：PE=PlE,片方=吕歹且P.P.LCD,

・・・四边形A5CD为平行四边形，

：.AB//CD

・・・尸，斗鸟三点共线，

/.PP3=PE+PXE+PXF+P3F