2025学年八年级数学下学期期末必刷题5（压轴大题60题12个考点专练）原卷版

人教版八下期末真题必刷05（压轴大题60题12个考点专

练）

一.一次函数综合题（共14小题）

1.（2023春•栾城区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线//y=-x+5与x轴、y轴分别交于点A、

B,直线y=wzr-〃i+4（"?w-l）与x轴、y轴分别交于点C、。，点P（2,〃）在直线"上.

（2）若点3、O关于点D对称，求此时直线的解析式；

（3）若直线乙将AAOB的面积分为1:4两部分，请求出加的值；

（4）当根=1时，将点P（2,“）向右平移2.5个单位得到点N,当线段7W沿直线y=〃吠-加+4向下平移时,

请直接写出线段7W扫过AAQB内部（不包括边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）的坐标.

2.（2023春•巴南区期末）如图，一次函数〉=履+。的图象交x轴于点A,04=4,与正比例函数＞=-3无

的图象交于点3,点5的横坐标为-1.

（1）求一次函数丫=去+6的解析式；

（2）若点C在y轴上，且满足5她℃=；5小翁，求点C的坐标；

（3）一次函数y=+有一点D,点。的纵坐标为1,点M为坐标轴上一动点，在函数了=-3无上确定一

点N,使得以点3,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出

求解点N的坐标的其中一个情况的过程.

3.（2023春•偃师市校级期末）如图，已知直线丫=Ax+7经过4（6,0）、3（0,3）两点.

（1）求直线y=履+6的解析式；

（2）若C是线段Q4上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90。得到CD,此时点。恰好落在直线45上.

①求点C和点D的坐标；

②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、。、P、。为顶点的四边形是平行四边形？若存在,

直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由.

4.（2023春•武侯区期末）如图1,在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=履-6后+6的图象与一次函数

y=-x+6的图象在第一象限相交于点A,与y轴正半轴相交于点B.

（1）若点A的坐标为（2,n）,分别求"，左的值；

（2）在（1）的条件下，是否存在点C,使得以O,A,B,。为顶点的四边形是平行四边形？若存在，

求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在（1）的条件下，如图2,连接。4,过点O作8LQ4交直线至于点。，试探究△O3D的形状.

5.（2023春•抚顺县期末）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线y=3x+3与y轴交于点A,与

X轴交于点3,一次函数y=kx+双左wO)的图象经过点A,与X轴交于点C(2,0),点P是直线AB上一点,

点。是直线AC上一点.

(1)求一次函数丫=丘+6的表达式；

(2)当点尸在第二象限，PQ//无轴且尸。=2时，求点尸的坐标；

(3)当以点O,P,。为顶点的三角形是以/尸。。为直角的等腰直角三角形时，直接写出点P的坐标.

6.(2023春•来凤县期末)在平面直角坐标系中，直线y=-3尤-g交x轴于点A,交y轴于点3,直线

y=-1X+3交x轴于点C,交y轴于点。.

(1)如图1,连接3C,求ABCE>的面积；

(2)如图2,在直线>=-工尤+3上存在点E,使得N4BE=45。，求点E的坐标；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接OE,过点E作8的垂线交y轴于点尸，点P在直线跖上，在平面

中存在一点。，使得以OE为一边,O,E,P,。为顶点的四边形为菱形，请直接写出点。的坐标.

7.(2023春•阳江期末)如图，在平面直角坐标系中，直线(：y=-x+5与y轴交于点A,直线4与x轴、y

轴分别交于点3(-4,0)和点C,且与直线lt交于点D(2,m).

(1)求直线4的解析式；

(2)若点E为线段3c上一个动点，过点E作跖，x轴，垂足为尸，且与直线4交于点G,当EG=6时，

求点G的坐标；

(3)若在平面上存在点使得以点A,C,D,〃为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点〃的

坐标.

4

8.(2023春•洪洞县校级期末)如图一次函数>="+6的图象经过点4(0,6),并与直线y=相交于点5,

与x轴相交于点C,其中点3的横坐标为3.

(1)求一次函数丫=履+。的表达式；

Q

(2)点。为直线>6上一动点，当点。运动到何位置时，A03。的面积等于三？请求出点0的坐标；

(3)在y轴上是否存在点尸，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说

明理由.

9.(2023春•通河县期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-尤+3与x轴、y轴分别交于点A、B,直

线3c与x轴负半轴交于点C,且CO=2AO.

y

（1）求线段AC的长；

（2）动点尸从点。出发沿射线C4以每秒1个单位的速度运动，连接5P,设点尸的运动时间为f（秒），

ABR7的面积为S,求S与f的函数关系式，并直接写出自变量f的取值范围；

（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在点O,连接DP,使得ABD尸是以5尸为直角边的等腰直角三

角形，若存在，请求出f的值，若不存在，请说明理由.

10.（2023春•青秀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，直线乙：y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、

B两点，直线4经过点A,与y轴交于点C（0,-4）.

（1）求直线4的解析式；

（2）如图1,点P为直线乙上的一个动点，若A/KC的面积等于9时，请求出点P的坐标；

（3）如图2,将AABC沿着x轴平移，平移过程中的AABC记为△A4C.请问在平面内是否存在点。，使

得以4、G、C、。为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点。的坐标.

叫""

—/"

弋

图1图2备用图

-；x+3与x轴、y轴相交于A、B两

11.（2023春•黄州区期末）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-

点，点C在线段04上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90。得到CD,此时点O恰好落在直线AB上，过点

。作DE_Lx轴于点E.

（1）求证：ABOC^ACED；

（2）如图2,将ABCD沿x轴正方向平移得△8CD,当？C'经过点。时，求ABCD平移的距离及点。的

坐标；

（3）若点P在y轴上，点。在直线上，是否存在以C、。、P、0为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，直接写出所有满足条件的尸点的坐标；若不存在，请说明理由.

12.（2023春•武汉期末）如图，直线、=履-必（左/0）与坐标轴分别交于点A,B,过点A、B作直线AB,

以OA为边在y轴的右侧作四边形AOBC.

（1）求点A,3的坐标；

（2）如图，点。是x轴上一动点，点E在AD的右侧，ZADE=90°,AD=DE；

①如图1,问点E是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由；

②如图2,点。是线段。3的中点，另一动点H在直线形上，S.ZHAC^ZBAD,请直接写出点”的坐标.

图1图2

13.（2023春•宜兴市期末）在平面直角坐标系中，已知矩形O3CD,点C（4,2应），现将矩形。BCD绕点

0逆时针旋转（0°</即8<180。）得到矩形0£7P，点3、。、。的对应点分别为点E、F、G.

（1）如图1,当点E落在边CD上时，求直线丑G的函数表达式；

（2）如图2,当C、E、下三点在一直线上时，CD所在直线与OE、GF分别交于点〃、M,求线段MG

的长度.

(3)如图3,设点P为边尸G的中点，连接PE,在矩形03co旋转过程中，点3到直线尸E的距离是否存

在最大值？若存在，请直接写出这个最大值；若不存在，请说明理由.

图3备用图

14.(2023春•辛集市期末)如图，在平面直角坐标系中，点A、点3分别在x轴与y轴上，直线的解析

式为y=_[X+3,以线段AB、3c为边作平行四边形ABCD.

(1)如图1,若点。的坐标为(3,7),判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

(2)如图2,在(1)的条件下，P为CD边上的动点，点C关于直线3P的对称点是。，连接尸Q,BQ.

①当NCBP=—。时，点。位于线段AD的垂直平分线上；

②连接A。，DQ,设CP=x,设尸。的延长线交相>边于点E,当/AQ£）=90。时，求证：QE=DE,并求

出此时x的值.

二.三角形中位线定理（共3小题）

15.（2023春•宝丰县期末）（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的

一半；［要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）

（2）如图2,在口ABCD中，对角线交点为O,A、耳、Cr2分别是。4、OB、OC、。。的中点，儿、

当、J、2分别是。耳、C>G、OR的中点，…,以此类推.

若口ABCD的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和/；

（3）借助图形3反映的规律，猜猜/可能是多少？

图1图2图3

16.（2023春•沐阳县期末）如图，在AABC中，已知点。、E、/分别是AB、BC、C4的中点，A/f是

（1）若BC=10,AH=8,则四边形ADEF的面积为.

（2）求证：ZDHF=ZDEF.

17.（2023春•达川区校级期末）如图1,在四边形ABCD中，AB=CD,E,尸分别是8C,AD的中点，

连接防并延长，分别与84,CD的延长线交于点M,N,则NBME=NC7VE（不需证明）.

小明的思路是：在图1中，连接班）,取班＞的中点"，连接HE,HF,根据三角形中位线定理和平行线

性质，可证得ZBME=NCNE.

问题：如图2,在AABC中，AOAB,D点在AC上，AB=CD,E,尸分别是3C,AD的中点，连接

它并延长，与84的延长线交于点G,若N£FC=60。，连接GD,判断AAGD的形状并证明.

三.平行四边形的性质（共3小题）

18.（2023春•渭南期末）问题提出

（1）如图，AABC为等边三角形，边长为6c机，动点”从点3出发，沿着三角形的三条边顺时针方向以

2on/s的速度运动，动点N从点C出发，沿着三角形的三条边逆时针方向以Is/s的速度运动.动点M、

N同时出发，当点M在AB上运动且时，求点M运动的时间.

问题解决

（2）某小区有一个边长为4米的等边三角形花坛，六一将至，物业借助花坛AABC举办了一个有奖活动,

一家四口举着一根长绳在花坛三边任选位置站立（不能站在各边中点上），四人拉紧、拉直长绳后（长绳可

有剩余）可得到一个四边形，如工作人员量得这个四边形是平行四边形，则可领取奖品一份.笑笑和爸爸、

妈妈、奶奶一起参加活动，四人的方案是奶奶在A点站立不动，妈妈在AABC边上某点。处站立不动，爸爸

从点3出发，沿着花坛顺时针方向以2米/秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点M）,同时笑笑从点C

出发，沿着花坛逆时针方向以1米/秒的速度走动（可看作花坛边上运动的点N）.若笑笑出发不到6秒，

一家人就得奖了，那么妈妈所选的位置。距点C多少米？

44A

BCBC

备用图备用图

19.（2023春•滑县校级期末）如图，在QABCD中，BD为对角线，EF垂直平分分别交AD、3c的于

点E、F,交班）于点O.

（1）试说明：BF=DE；

（2）试说明：MBE=ACDF；

（3）如果在QABCD中，AB=5,AD=1O,有两动点P、Q分别从3、。两点同时出发，沿AH4E和ADFC

各边运动一周，即点P自3fE-8停止，点。自CfD停止，点P运动的路程是机，

点。运动的路程是“，当四边形是平行四边形时，求机与“满足的数量关系.（画出示意图）

20.（2023春•万源市校级期末）在平行四边形45co中，E是"）上一点，AE=AB,过点E作直线EF,

在EF上取一点G,使得=连接AG.

（1）如图①，当EF与相交时，若ZE4B=60。，求证：EG=AG+BG；

（2）如图②，当£F与CD相交时，且NEAB=90。，请你写出线段EG、AG,3G之间的数量关系，并证

明你的结论.

四.平行四边形的判定（共2小题）

21.（2023春•渠县校级期末）如图，在AABC中，NS4c=90。，ZB=45°,BC=10,过点A作AD/ABC,

且点。在点A的右侧.点尸从点A出发沿射线AD方向以每秒1个单位的速度运动，同时点。从点C出发

沿射线CB方向以每秒2个单位的速度运动，在线段QC上取点E,使得QE=2,连接PE,设点P的运动

时间为f秒.

（1）若PE_L3C,求BQ的长；

（2）请问是否存在f的值，使以A,B,E,P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出f的值；若不

存在，请说明理由.

22.（2023春•阿荣旗期末）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,ZB=90°,AB=8cm,AD=24cm,

BC=26cm,点P从点A出发,以lc%/s的速度向点。运动；点。从点。同时出发，以3a〃/s的速度向点

B运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始.使尸。//。和尸Q=C£>,

分别需经过多少时间？为什么？

五.平行四边形的判定与性质（共2小题）

23.（2023春•乾安县期末）如图，在AABC中，AB^AC,过"上一点。作DE//AC交5c于点E,以

E为顶点，ED为一边,作NDEF=N4,另一边EF交AC于点、F.

（1）求证：四边形45EF为平行四边形；

（2）延长图①中的DE到点G,使EG=DE,连接AE,AG,FG,得到图②，若A£>=AG,判断四边形

AEGF的形状，并说明理由.

24.（2023春•通川区校级期末）我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中

C

（1）如图1,四边形ABCD中，点E,F,G,“分别为边AB,BC,CD,的中点.求证：中点四

边形是平行四边形;

(2)如图2,点P是四边形ABCD内一点，且满足以=^8,PC=PD,NAPB=NCPD,点、E,F,G,

”分别为边AB,BC,CD,D4的中点，猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想;

（3）若改变（2）中的条件，使NAPB=NCPD=90。，其他条件不变，直接写出中点四边形EPGH的形状.（不

必证明）

六.菱形的性质（共3小题）

25.（2023春•泉港区期末）如图，在平行四边形ABCD中，AB<BC,点P是3c上动点，连结AP.

（1）若平行四边形ABCD是菱形，ACAD=50°,试求出ND的度数；

（2）若BP=2CP=4,AP=yfn,CD=5,求AC的长；

（3）过点P作尸歹_LAP交线段CD于点尸.过8点作BH_LAP于H,交AABC的高AE于点N.若AP=5N,

AN=CP,求证：BP=42CF+CP.

26.（2023春•西乡塘区校级期末）【问题原型】如图1,在四边形ABCD中，ZADC=9Q°,AB=AC.点

E、厂分别为AC、3C的中点，连接EF,AE.试说明：DE=EF.

【探究】如图2,在问题原型的条件下，当AC平分NR4D,NDEF=90。时，求NR4D的大小.

【应用】如图3,在问题原型的条件下，当AB=2,且四边形CDEF是菱形时，直接写出四边形ABCD的面

积.

图1

图3

27.（2023春•大安市期末）【感知】如图①，四边形ABC。、CEFG均为正方形.可知3E=DG.

【拓展】如图②，四边形ABCD、CEFG均为菱形，且NA=N厂.求证：BE=DG.

【应用】如图③，四边形/1BCD、CEFG均为菱形，点E在边"）上，点G在AD延长线上.若M=2ED,

ZA=ZF,AEBC的面积为8,则菱形CEFG的面积为

F

图②图③

七.菱形的判定（共2小题）

28.（2023春•桂林期末）如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZADC=90°,AD=12cm,AB=18cm,

CD=23cm,动点P从点A出发，以la%/s的速度向终点3运动，同时动点。从点5出发，以2c〃z/s的速

度沿折线3-C-O向终点。运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为

f秒.

（1）用含f的式子表示PB.

（2）当f为何值时，直线把四边形ABCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？

（3）只改变点。的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形P2CQ为菱形，则点。的运动速度应为多少？

29.（2023春•石景山区校级期末）如图，已知AABC,按如下步骤作图：

①分别以A,C为圆心，大于工AC的长为半径画弧，两弧交于P,。两点;

2一

②作直线尸Q,分别交A5,AC于点E,D,连接CE；

③过C作CF/〃正交PQ于点尸，连接AF.

(1)求证：AAED=ACFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形.

B

八.菱形的判定与性质(共3小题)

30.(2023春•益阳期末)如图1,P是线段上的一点，在的同侧作AAPC和AB尸。，使PC=P4,

PD=PB,ZAPC=ZBPD,连接CD,点、E、F、G、H分别是AC、AB.BD、CD的中点，顺次

连接E、F、G、H.

(1)猜想四边形£FGH的形状，直接回答，不必说明理由；

(2)当点尸在线段的上方时，如图2,在AAPB的外部作AAPC和她尸£),其他条件不变，(1)中的结

论还成立吗？说明理由；

(3)如果(2)中，ZAPC=ZBPD=90°,其他条件不变，先补全图3,再判断四边形EFGH的形状，并说

明理由.

31.(2023春•潮南区期末)如图，已知AASC,直线尸。垂直平分AC,与边AB交于点E,连接CE,过

点、C作CF//BA交PQ于点、F,连接AF.

(1)求证：AAED=ACFD；

(2)求证：四边形AECF是菱形.

(3)若ED=6,AE=1O,则菱形的面积是多少？

B

32.(2023春•铁东区期末)如图，在RtAABC中，ZB=90°,BC=5也.NC=30。，点。从点C出发沿C4

方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿4?方向以每秒1个单位长的速度

向点3匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点。、E运动的时间是f秒

(Z>0).过点。作£>F_L8C于点尸，连接DE、EF.

(1)四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的“直；

(2)当f为何值时，ADE尸为直角三角形？请直接写出相应的“直为：—.

九.矩形的性质(共3小题)

33.(2023春•邻水县期末)已知，矩形ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分线EF分别交AD、

BC于点、E、F,垂足为O.

(1)如图1,连接AF、CE.求证四边形AFCE1为菱形，并求AF的长；

(2)如图2,动点P、。分别从A、C两点同时出发，沿AA/有和ACDE各边匀速运动一周.即点P自

A.产-.A停止，点。自C-»OfEfC停止.在运动过程中，

①已知点P的速度为每秒5c机，点。的速度为每秒4c%,运动时间为f秒，当A、C、P、。四点为顶点的

四边形是平行四边形时，求f的值.

②若点P、。的运动路程分别为。、b（单位：cm,必力0）,已知A、C、P、。四点为顶点的四边形是

平行四边形，求。与6满足的数量关系式.

34.（2023春•凤阳县期末）如图，矩形ABCD的对角线AC与相交于点O,ZEAC^ZBAC,CE1AE,

交AD于点尸，连接DE、OF.

（1）求证：OF1.AC；

（2）连接AE,CF,已知—（从以下两个条件中选择一个作为已知，填写序号），请判断四边形AODE

的形状，并证明你的结论.

条件①：ZBAC=2ZACB；

条件②：三角形ABO是等边三角形.

（注：如果选择条件①条件②分别进行解答，按第一个解答计分）

35.（2023春•乾安县期末）感知：如图①，口ABCD的对角线AC,相交于点O,DE//AC,CE//BD,

则四边形OCED是平行四边形（不需要证明）.

拓展：如图②，矩形ABCD的对角线AC,相交于点O,DE//AC,CE//BD,则四边形OCED是什么

样的特殊四边形，请说明理由.

应用：如图③，菱形ABCD的对角线AC,即相交于点O,NABC=60。，BC=4,DE7/AC交的延

长线于点/，CE//BD.求四边形的周长.

一十.正方形的性质（共17小题）

36.（2023春•太康县校级期末）数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABCD是正方形，点E是边

经过思考，小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,贝!JAW=EC,易证AAME=AECF，

所以M=

在此基础上，同学们作了进一步的研究：

（1）小颖提出：如图2,如果把“点E是边3c的中点”改为“点E是边3c上（除3,C外）的任意一点”,

其它条件不变，那么结论"AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程;

如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3,点E是3C的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“钻=EF"

仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.

37.（2023春•阳新县期末）问题情境：四边形A5CD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AC上的一

个动点（点E与点C、。、A都不重合）过点A,。分别作直线3E的垂线，垂足分别为歹、G,连接

OG.

（1）初步探究：已知四边形是正方形，且点E在线段OC上，求证AF=BG；

（2）探究图中OF与OG的数量关系，并说明理由.

38.(2022秋•龙凤区校级期末)如图①，四边形ABCD是正方形，AABE是等边三角形，M为对角线8D

(不含B点、)上任意一点，将绕点3逆时针旋转60°得到BN,连接EN、AM.CM.

(1)连接MN,ABMV是等边三角形吗？为什么？

(2)求证：MMB^AENB-

(3)①当“点在何处时，AM+G0的值最小；

②如图②，当M点在何处时，4〃+物/+。/的值最小，请你画出图形，并说明理由.

BCBC

图①图②

39.(2023春•西乡塘区校级期末)如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且=M.

N分别为AE、的中点，连DE交于O,MN交,ED于H点、.

(1)求证：AO=BO；

(2)求证：NHEB=ZHNB；

PF-PA

(3)过A作即于尸点，连BP,则-------的值.

PB

nA

\2)----------

二"1A

S,

C~JfBCB

图1图2

40.(2023春•遂平县期末)在边长为5的正方形ABCD中，点石在边CD所在直线上，连接鹿，以BE为

边,在助的下方作正方形BEFG,并连接AG.

(1)如图1,当点E与点。重合时，AG=____；

(2)如图2,当点E在线段CD上时，DE=2,求AG的长

⑶若AG二手，请直接写出此时历的长.

「AI\E)二AD:AD

□

备用图

41.(2023春•新会区校级期末)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、3分别在y轴正半

轴、x轴正半轴上，过点。作x轴交x轴于点尸，交对角线AC于点E.

(1)求证：BE=DE；

(2)判断NEBC、NFBC的数量关系，并说明理由;

(3)若点A,3坐标分别为(0,12)、(5,0),则ABE户的周长为

42.(2023春•滨州期末)已知ABCD是一个正方形花园.

(1)如图1,E、尸是它的两个门，S.DE=CF,要修建两条路BE和AT,问这两条路等长吗？为什么？

(2)如图2,在正方形四边各开一个门E、F、G、H,并修建两条路EG和使得EGLM,问这

两条路等长吗？为什么？

43.(2023春•喀什地区期末)如图，正方形ABCD中，点E是CD边上的一点(不与点C、。重合)，连接

BE,BF平分ZABE,交AD边于点F.过点3作3G_L3E,与D4的延长线交于点G.

(1)根据题意，请把原图画完整；

(2)证明：CE=AG；

(3)试判断线段越、CE和BE之间的数量关系，并说明理由.

44.（2023春•青县期末）已知边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（与点A,C不

重合），过点P作PELPB,PE交DC于点、E,过点E作砂，AC,垂足为点尸.

（1）求证：PB=PE；

（2）在点P的运动过程中，PF的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，试说明理由.

45.（2023春•贵州期末）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点

B,直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.

（1）如图1,当点。在DC边上时，探究心与尸。所满足的数量关系;

小明同学探究此问题的方法是：

过P点作PELOC于E点，尸尸，BC于尸点，

根据正方形的性质和角平分线的性质，得出PE=PF,

再证明APEQMAPFB,可得出结论，他的结论应是；

(2)如图2,当点。落在ZJC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.

46.(2023春•金寨县期末)如图，在正方形ABCD中，ABf,后为正方形ABCD内一点，DE=AB,

ZEDC=«(0°<«<90°),连结CE,AE,过点。作垂足为点/，交CE的延长线于点G,连

结AG.

(1)当c=20。时，求4ME1的度数；

(2)判断AAEG的形状，并说明理由；

(3)当G尸=1时，求CE的长.

47.(2023春•无棣县期末)如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过

点3,直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.

（1）如图①，当点。在Z）C边上时，猜想并写出尸B与PQ所满足的数量关系，并加以证明；

（2）如图②，当点。落在DC的延长线上时，猜想并写出PS与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想.

48.（2023春•香河县期末）如图，在正方形ABCD中，E是边3C上的一点（不与3,C重合），点。关于

直线4£的对点是点尸，连接AF,BF,直线AE,BF交于点P,连接DE.

（1）在图1中补全图形，ZAFDZBAP（填=”或”）；

（2）猜想NAP3和NDEP的数量关系，并证明.

备用图

49.（2023春•通许县期末）如图1,正方形ABCD中，点。是对角线AC的中点，点尸是线段AO上（不与

A、O重合）的一个动点，过点P作且交边CD于点E.

(1)求证：PB=PE；

(2)过点E作班，AC于点/，如图2,若正方形ABCD的边长为2,则在点P运动的过程中，PF的长

度是否发生变化？若不变，请直接写出这个不变的值；若变化，请说明理由.

图1图2

50.(2023春•南岗区期末)定义：在平面直角坐标系中，如果点尸，。为某个菱形相邻的两个顶点.且该

菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，另外两个顶点中有一个点的纵坐标小于P,。两点的纵坐标，那

么称该菱形为点P,。的“相关菱形”.如图1所示，为点P,。的“相关菱形”的示意图.已知点A的坐

标为(1,4),点3的坐标为(6,0).

(1)如果6=3,在图2中画出点A,5的“相关菱形”，并求出该菱形的面积；

(2)如果点A,3的“相关菱形”为正方形，在图3中画出相应图形，请直接写出。的值.

51.(2023春•大观区校级期末)如图①，已知正方形ABCD中，E,尸分别是边CD上的点(点E,

产不与端点重合)，且隹=。尸，BE,AF交于点P,过点、C作CH_LBE交BE于点H.

(1)写出AF与BE的数量关系为，位置关系为

（2）若AB=2石，AE=2,试求线段3〃的长.

（3）如图②，连接C尸并延长交AD于点。，若点〃是3P的中点，试求CP:尸。的值.

52.（2023春•鼓楼区校级期末）问题引入：如图①，AB//CD,AB>CD,ZABD=90°,E是线段AC的

中点.连结DE并延长交AB于点P，连结6E.则BE与DE之间的数量关系是.

问题延伸：如图②，在正方形ABCD和正方形班FG中，点A、B、E在同一条直线上，点G在3c上，P

是线段DR的中点，连结尸C、PG.

（1）判断尸。与市之间的数量关系，并说明理由.

（2）连结CF,若AB=3,PC=屈,则CF的长为

图①图②

一十一.正方形的判定与性质（共7小题）

53.（2023春•秦淮区期末）如图，己知四边形ABCD为正方形，43=30,点E为对角线AC上一动点,

连接DE,过点石作即，。石，交3c于点歹