2025中考数学复习冲刺之列解方程（组）解决实际（含函数及不等式）问题（含解析）

专题07列解方程（组）解决实际（含函数及不等式）问题

1.某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情况下，若租

用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料;若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400

箱材料.

（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？

（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱.计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆,

且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？

2.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：

所用火车车皮数量（节）所用汽车数量（辆）运输物资总量（吨）

第一批25130

第二批43218

试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？

3.“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接

着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的1.5倍，但每套进价多了10元.

（1）求第一批玩具每套的进价是多少元？

（2）如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%,那么每套售价至少是多少元？

4.某校足球队需购买4、3两种品牌的足球.已知A品牌足球的单价比3品牌足球的单价高20元，且用

900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等.

（1）求4、3两种品牌足球的单价；

（2）若足球队计划购买人、3两种品牌的足球共90个，且4品牌足球的数量不小于3品牌足球数量的2

倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.设购买A品牌足球加个，总费用为W元，则该队共有几

种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？

5.为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”.一顾客在“黄冈地标馆”发现，

如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元.如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕

粉共需300元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？

6.“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机.某

自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若

该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%,求：

（1）A型自行车去年每辆售价多少元；

（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两

倍.已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何

组织进货才能使这批自行车销售获利最多.

7.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品

和3件乙商品，需65元.

（1）甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

（2）设甲商品的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当11WXW19时，甲商品的日销售

量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：

销售单价X（元/件）1119

日销售量y（件）182

请写出当11WXW19时，y与x之间的函数关系式.

（3）在（2）的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日

销售利润最大？最大利润是多少？

8.为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不

变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销

售情况：

销售数量（个）

时间销售收入（元）（销售收入一售价义销售数量）

甲种型号乙种型号

第一月2281100

第二月38242460

（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；

（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且

甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出

w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润.

9.昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元;

若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元.

(1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；

(2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少

个大地球仪.

10.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为

提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中

著)两种书共50本.已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本

《牵风记》的价格相同.

(1)求这两种书的单价；

(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元.请

问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

11.某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电.有A,B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为

100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A,B焚烧炉每天共发电55000度.

(1)求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？

(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%

和2a%,则A,B焚烧炉每天共发电至少增加(5+a)%,求a的最小值.

12.为更好地发展低碳经济，建设美丽中国.某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而

且大幅降低了碳排放量.已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假

设公司每个季度产值的平均增长率相同.

科学计算器按键顺序计算结果(已取近似值)解答过程中可直接

使用表格中的数据

哟！

nann^M

(1)求该公司每个季度产值的平均增长率；

(2)问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由.

13.为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进

价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多

少元？

14.小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少

用了5min.己知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多

少本.

15.黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要1100元；购

进5件A商品和3件B商品，需要1750元.

(1)求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

(2)若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售.已知每件A

商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元;每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元.若

运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件.

①设运往甲地的A商品为x(件)，投资总运费为y(元)，请写出y与x的函数关系式；

②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投资总费用=购进商品的费用+运

费)

16.某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人

比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨.

(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人

共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多

少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

17.君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔.若购买3支A种型号的毛笔和1支B

种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元.

(1)求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；

（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多

少支A种型号的毛笔？

18.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一

笔资金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种

农机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元,

设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农

机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买

一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

19.为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种

植补贴120元.张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物.考虑各种因素，预计明年每亩土地

种植该作物的成本y（元）与种植面积x（亩）之间满足一次函数关系，且当x=160时，y=840；当x=

190时,y=960.

（1）求y与x之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；

（2）受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩.若老张明年销售该作物每亩的销售额能

达到2160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？

（每亩种植利润=每亩销售额-每亩种植成本+每亩种植补贴）

20.为了改善湘西北地区的交通，我省正在修建长（沙）-益（阳）-常（德）高铁，其中长益段将于2021

年底建成.开通后的长益高铁比现在运行的长益城际铁路全长缩短了40千米，运行时间为16分钟；现乘

坐某次长益城际列车全程需要60分钟，平均速度是开通后的高铁的基.

30

（1）求长益段高铁与长益城际铁路全长各为多少千米？

（2）甲、乙两个工程队同时对长益段高铁全线某个配套项目进行施工，每天对其施工的长度比为7：9,

计划40天完成；施工5天后，工程指挥部要求甲工程队提高工效，以确保整个工程提早3天以上（含3

天）完成，那么甲工程队后期每天至少施工多少千米？

21.“杂交水稻之父”--袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量700公斤的

目标，第三阶段实现水稻亩产量1008公斤的目标.

(1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率；

(2)按照(1)中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产量达到1200公斤，请通过计算说明他

们的目标能否实现.

22.列方程(组)解应用题

端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：

小王：该水果的进价是每千克22元；

小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120

千克.

根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，

求这种水果的销售价为每千克多少元？

专题07列解方程（组）解决实际（含函数及不等式）问题（解析版）

1.某公司需将一批材料运往工厂，计划租用甲、乙两种型号的货车，在每辆货车都满载的情

况下，若租用30辆甲型货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货

车可装载1400箱材料.

（1）甲、乙两种型号的货车每辆分别可装载多少箱材料？

（2）经初步估算，公司要运往工厂的这批材料不超过1245箱.计划租用甲、乙两种型号的货车共70辆,

且乙型货车的数量不超过甲型货车数量的3倍，该公司一次性将这批材料运往工厂共有哪几种租车方案？

【答案】见解析。

【解析】（D设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，根据“若租用30辆甲型

货车和50辆乙型货车可装载1500箱材料；若租用20辆甲型货车和60辆乙型货车可装载1400箱材料”，

即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设租用m辆甲型货车，则租用（70-m）辆乙型货车，根据“租用的乙型货车的数量不超过甲型货车

数量的3倍，且要运往工厂的这批材料不超过1245箱”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即

可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各租车方案.

解：（1）设甲型货车每辆可装载x箱材料，乙型货车每辆可装载y箱材料，

依题意得：（30x+50y=1500,

|20x+60y=1400

解得：卜=25.

ly=15

答：甲型货车每辆可装载25箱材料，乙型货车每辆可装载15箱材料.

（2）设租用m辆甲型货车，则租用（70-m）辆乙型货车，

依题意得：［25m+15（70-m）4124E,

I70-m43m

解得：

22

又为整数，

...m可以取18,19,

该公司共有2种租车方案，

方案1：租用18辆甲型货车，52辆乙型货车；

方案2：租用19辆甲型货车，51辆乙型货车.

2.某公司用火车和汽车运输两批物资，具体运输情况如下表所示：

所用火车车皮数量（节）所用汽车数量（辆）运输物资总量（吨）

第一批25130

第二批43218

试问每节火车车皮和每辆汽车平均各装物资多少吨？

【答案】每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；

【解析】设每节火车车皮装物资x吨，每辆汽车装物资y吨，

根据题意，得俨+5月30,

|4x+3y=218

..Jx=50,

1尸6

每节火车车皮装物资50吨，每辆汽车装物资6吨；

【点评】考查二元一次方程组的应用；能够根据题意列出准确的方程组，并用加减消元法解方程组是关键.

3.“六•一”儿童节前，某玩具商店根据市场调查，用2500元购进一批儿童玩具，上市后很快脱销，接

着又用4500元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批数量的L5倍，但每套进价多了10元.

(1)求第一批玩具每套的进价是多少元？

(2)如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%,那么每套售价至少是多少元？

【答案】见解析

【解析】(1)设第一批玩具每套的进价是x元，则第一批进的件数是：2500；第二批进的

X

件数是：4500；再根据等量关系：第二批进的件数=第一批进的件数XI.5可得方程；

x+10

(2)设每套售价是y元，利润=售价-进价，根据这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低

于25%,可列不等式求解.

解：(1)设第一批玩具每套的进价是x元，

2500乂15=4500

xx+10'

x=50,

经检验x=50是分式方程的解，符合题意.

答：第一批玩具每套的进价是50元；

(2)设每套售价是y元，

250°xi.5=75(套).

50

50y+75y-2500-4500>(2500+4500)X25%,

y》70,

答：如果这两批玩具每套售价相同，且全部售完后总利润不低于25%,那么每套售价至少是70元.

4.某校足球队需购买4、3两种品牌的足球.已知4品牌足球的单价比3品牌足球的单价高20元，且用

900元购买A品牌足球的数量用720元购买B品牌足球的数量相等.

（1）求A、3两种品牌足球的单价；

（2）若足球队计划购买4、3两种品牌的足球共90个，且A品牌足球的数量不小于3品牌足球数量的2

倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.设购买A品牌足球机个，总费用为W元，则该队共有几

种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？

【答案】（1）购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元；

（2）该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元.

【解析】（1）设购买A品牌足球的单价为x元，则购买B品牌足球的单价为（x-20）元，根据题意，得

900_720

xx-20

解得：跖100

经检验x=100是原方程的解

x-20=80

答：购买A品牌足球的单价为100元，则购买B品牌足球的单价为80元.

（2）设购买m个A品牌足球，则购买（90m）个B品牌足球，则

W=100m+80（90-m）=20m+7200

品牌足球数量不小于3品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元.

"20m+7200<8500

,•m>2（90-m）

解不等式组得：60WmW65

所以,m的值为：60,61,62,63,64,65

即该队共有6种购买方案，

当m=60时,W最小

m=60时，W=20X60+7200=8400（元）

答：该队共有6种购买方案，购买60个A品牌30个B品牌的总费用最低，最低费用是8400元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，

正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组.

5.为推广黄冈各县市名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”.一顾客在“黄冈地标馆”发现，

如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元.如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕

粉共需300元.请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？

【答案】每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元

【解析】根据题意列出二元一次方程组解出即可.

设每盒羊角春牌绿茶x元，每盒九孔牌藕粉y元，依题意可列方程组：

6x+4y=960

x+3y=300

答：每盒羊角春牌绿茶120元，每盒九孔牌藕粉60元.

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意找出等量关系.

6.“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机.某

自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元.今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元.若

该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%,求：

(1)A型自行车去年每辆售价多少元；

(2)该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两

倍.已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B型车销售价格为2400元，应如何

组织进货才能使这批自行车销售获利最多.

【答案】(1)2000元；(2)A型车20辆，B型车40辆.

【解析】(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x-200)元，由卖出的数量相同列出方

程求解即可；

(2)设今年新进A型车a辆，贝UB型车(60-a)辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由

a的取值范围就可以求出y的最大值.

【详解】解：(1)设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为(x-200)元，由题意，得

80000_80000(1-10%)

xx-200

解得：x=2000.

经检验，x=2000是原方程的根.

答：去年A型车每辆售价为2000元；

(2)设今年新进A型车a辆，则B型车(60-a)辆，获利y元，由题意，得

y=a+(60-a),

y=-300a+36000.

•；B型车进货数量不超过A型车数量的两倍，

.*.60-aW2a,

；.aN20.

Vy=-300a+36000.

；.k=-300<0,

•••y随a的增大而减小.

/.a=20时，y最大=30000元.

；.B型车的数量为：60-20=40辆.

当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大.

【点拨】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用.

7.黔东南州某超市购进甲、乙两种商品，已知购进3件甲商品和2件乙商品，需60元；购进2件甲商品

和3件乙商品，需65元.

(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是多少？

(2)设甲商品的销售单价为x(单位：元/件)，在销售过程中发现：当11WXW19时，甲商品的日销售

量y(单位：件)与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如表：

销售单价X(元/件)1119

日销售量y(件)182

请写出当11WXW19时，y与x之间的函数关系式.

(3)在(2)的条件下，设甲商品的日销售利润为w元，当甲商品的销售单价x(元/件)定为多少时，日

销售利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件；(2)y=-2x+40(HWxW19).(3)

当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.

【解析】(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；

(2)设y与x之间的函数关系式为y=kix+b”用待定系数法求解即可；

(3)先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可.

【详解】解:(1)设甲、乙两种商品的进货单价分别是a、b元/件，由题意得：

3a+2i>=60

2。+3b=65'

tz=10

解得：\

b=15

...甲、乙两种商品的进货单价分别是10、15元/件.

(2)设y与x之间的函数关系式为y=kix+g,将(11,18),(19,2)代入得：

fllk.+b.=18%=一2

19k]+b[=2出=40

・・・y与X之间的函数关系式为y=-2x+40(UWxW19).

（3）由题意得：

w=（-2x+40）（x-10）

=-2X2+60X-400

=-2（x-15）2+50（HWxW19）.

.•.当x=15时，w取得最大值50.

当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值

等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键.

9.为倡导健康环保，自带水杯已成为一种好习惯，某超市销售甲，乙两种型号水杯，进价和售价均保持不

变，其中甲种型号水杯进价为25元/个，乙种型号水杯进价为45元/个，下表是前两月两种型号水杯的销

售情况：

销售数量（个）

时间销售收入（元）（销售收入一售价义销售数量）

甲种型号乙种型号

第一月2281100

第二月38242460

（1）求甲、乙两种型号水杯的售价；

（2）第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个，这批水杯进货的预算成本不超过2600元，且

甲种型号水杯最多购进55个，在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个，利润为w元，写出

w与a的函数关系式，并求出第三月的最大利润.

【答案】（1）甲、乙两种型号水杯的销售单价分别为30元、55元；（2）w=-5a+800,第三月的最大利

润为550元.

【解析】（1）设甲种型号的水杯的售价为每个工元，乙种型号的水杯每个y元，根据题意列出方程组求

解即可，

（2）根据题意写出利润W关于。的一次函数关系式，列不等式组求解。的范围，从而利用一次函数的性

质求利润的最大值.

【详解】（1）设甲种型号的水杯的售价为每个X元，乙种型号的水杯每个y元，则

22x+8y=U00①

,38%+24v=2460②

①x3—②得：28x=84O,

/.x-30,

把％=30代入①得：y—55,

x=30

•<

"b=55，

答：甲、乙两种型号水杯销售单价分别为30元、55元；

（2）由题意得：甲种水杯进了。个，则乙种水杯进了（80-a）个,

所以：W=（30—25）a+（55—45）（80—a）=—5a+8OO,

f25a+45（80-tz）<2600@

又［aK55②

由①得：a>50,

所以不等式组的解集为：50<«<55,

其中a为正整数,所以a=50,51,52,53,54,55.

.•.W随。的增大而减小，

当a=50时，第三月利润达到最大，最大利润为：W=—5x50+800=550元.

【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，掌握以上知识是解题

的关键.

9.昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需要136元;

若购买2个大地球仪和1个小地球仪需要132元.

（1）求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元；

（2）昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960元，那么昌云中学最多可以购买多少

个大地球仪.

【答案】（1）每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；（2）昌云中学最多可以购买5个大地球仪.

【解析】（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，根据题意列出方程组求解即可；

（2）设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪（30-m）个，根据题意列出不等式求解即可.

【详解】解：（1）设每个大地球仪x元，每个小地球仪y元，

x+3y=136

由题意可得<

2x+y=132

答：每个大地球仪52元，每个小地球仪28元；

(2)设昌云中学可以购买m个大地球仪，则购买小地球仪(30-m)个，

根据题意得52m+28(30-m)W960

解得mW5

...昌云中学最多可以购买5个大地球仪.

【点睛】考查二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用，根据题意列出式子是解题关键.

10.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.某校为

提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届矛盾文学奖的《北上》(徐则臣著)和《牵风记》(徐怀中

著)两种书共50本.已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本

《牵风记》的价格相同.

(1)求这两种书的单价；

(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半，且购买两种书的总价不超过1600元.请

问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？

【答案】(1)两种书的单价分别为35元和30元；(2)共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵

风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》

和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中

购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本费用最低，最低费用为1585元.

【解析】(1)设购买《北上》和《牵风记》的单价分别为x、y

2x+y=100x=35

由题意得:解得

6x=lyy=3O

答：两种书的单价分别为35元和30元；

(2)设购买《北上》的数量n本，则购买《牵风记》的数量为50-n

根据题意得解得:16—<n<20

35«+30（50-n）<16003

则n可以取17、18、19、20,

当n=17时，50-n=33,共花费17X35+33X30=1585元;

当n=18时,50-n=32,共花费17X35+33X30=1590元;

当n=19时，50-n=31,共花费17X35+33X30=1595元；

当n=20时，50-n=30,共花费17X35+33X30=1600元；

所以，共有4种购买方案分别为：购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本和33本，购买《北上》

和《牵风记》的数量分别为18本和32本，购买《北上》和《牵风记》的数量分别为19本和31本，购买

《北上》和《牵风记》的数量分别为20本和30本；其中购买《北上》和《牵风记》的数量分别为17本

和33本费用最低，最低费用为1585元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式组的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题

的关键.

11.某市垃圾处理厂利用焚烧垃圾产生的热能发电.有A,B两个焚烧炉，每个焚烧炉每天焚烧垃圾均为

100吨，每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉比B焚烧炉多发电50度，A,B焚烧炉每天共发电55000度.

(1)求焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉各发电多少度？

(2)若经过改进工艺，与改进工艺之前相比每焚烧一吨垃圾，A焚烧炉和B焚烧炉的发电量分别增加a%

和2a%,则A,B焚烧炉每天共发电至少增加(5+a)%,求a的最小值.

【答案】见解析。

【解析】(1)设焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电m度，B焚烧炉发电n度，根据“每焚烧一吨垃圾，A焚烧

炉比B焚烧炉多发电50度，A,B焚烧炉每天共发电55000度”列方程组解答即可；

(2)根据题意可得改进工艺后每焚烧一吨垃圾A焚烧炉发电300(1+a%)度，则B焚烧炉发电250(l+2a%)

度，根据A,B焚烧炉每天共发电至少增加(5+a)%一元一次不等式即可求解.

解：(1)设焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电m度，B焚烧炉发电n度，

根据题意得：,

I100(m+n)=55000

解得h=300,

ln=250

答：焚烧1吨垃圾，A焚烧炉发电300度，B发焚烧炉发电250度；

(2)改进工艺后每焚烧一吨垃圾A焚烧炉发电300(1+a%)度，则B焚烧炉发电250(l+2a%)度，依题

意有

100X300(1+a%)+100X250(l+2a%)>55000[1+(5+a)%],

整理得5a255,

解得a2ll,

Aa的最小值为11.

12.为更好地发展低碳经济，建设美丽中国.某公司对其生产设备进行了升级改造，不仅提高了产能，而

且大幅降低了碳排放量.已知该公司去年第三季度产值是2300万元，今年第一季度产值是3200万元，假

设公司每个季度产值的平均增长率相同.

科学计算器按键顺序计算结果（已取近似值）解答过程中可直接

[zon@oan1.18使用表格中的数据

哟!

1.39

nanoEDM1.64

（1）求该公司每个季度产值的平均增长率；

（2）问该公司今年总产值能否超过1.6亿元？并说明理由.

【答案】见解析。

【解析】（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为x,利用今年第一季度产值=去年第三季度产值X（1+

增长率）2,即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）将今年四个季

度的产值相加，即可求出该公司今年总产值，再将其与1.6亿元比较后即可得出结论.

解：（1）设该公司每个季度产值的平均增长率为X,

依题意得：2300（1+x）2=3200,

解得：xi=0.18=18%,x2=-2.18（不合题意，舍去）.

则该公司每个季度产值的平均增长率为18%；

（2）该公司今年总产值能超过1.6亿元，理由如下：

3200+3200X（1+18%）+3200X（1+18%）2+3200X（1+18%）3

=3200+3200X1.18+3200X1.39+3200X1.64

=3200+3776+4448+5248

=16672（万元），

1.6亿元=16000万元,

V16672>16000,

二该公司今年总产值能超过1.6亿元.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用、近似数和有效数字以及计算器-基础知识，解题的关键是：（1）

找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）将今年四个季度的产值相加，求出该公司今年总产值.

13.为了进一步丰富校园文体活动，学校准备购进一批篮球和足球，已知每个篮球的进价比每个足球的进

价多25元，用2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，求：每个篮球和足球的进价各多

少元？

【答案】每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元

【解析】设每个足球的进价是X元，则每个篮球的进价是(x+25)元，利用数量=总价+单价，结合用

2000元购进篮球的数量是用750元购进足球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可

得出足球的单价，再将其代入(x+25)中即可求出篮球的单价.

【详解】解：设每个足球的进价是x元,

则每个篮球的进价是(x+25)元,

2000750

依题意得:=2X——

x+25x

解得：x=75,

经检验，x=75是原方程的解，且符合题意,

；.x+25=75+25=100.

答：每个足球的进价是75元，每个篮球的进价是100元.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

14.小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少

用了5min.已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多

少本.

【答案】小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本

【解析】设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书L25x本，利用时间=清点图书的

总数+平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min,即

可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入1.25x中可求

出小江平均每分钟清点图书数量.

解：设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书L25x本，

口540600

依题显得：----------=5,

x1.25%

解得：x=12,

经检验，x=12是原方程的解，且符合题意，

.,.I,25x=l.25X12=15.

答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本.

【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

15.黔东南州某销售公司准备购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品，需要H00元；购

进5件A商品和3件B商品，需要1750元.

(1)求A、B两种商品的进货单价分别是多少元？

(2)若该公司购进A商品200件，B商品300件，准备把这些商品全部运往甲、乙两地销售.已知每件A

商品运往甲、乙两地的运费分别为20元和25元;每件B商品运往甲、乙两地的运费分别为15元和24元.若

运往甲地的商品共240件，运往乙地的商品共260件.

①设运往甲地的A商品为x(件)，投资总运费为y(元)，请写出y与x的函数关系式；

②怎样调运A、B两种商品可使投资总费用最少？最少费用是多少元？(投资总费用=购进商品的费用+运

费)

【答案】(1)A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；(2)①y与x的函数关系式为y

=4x+125040；②调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费

用为125040元.

【分析】(1)设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，根据购进3件A商品和2件B商品，

需要1100元；购进5件A商品和3件B商品，需要1750元列出方程组求解即可；

(2)①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为(200-x)件，运往甲地的B商品为(240

-x)件，运往乙地的B商品为(60+x)件，根据投资总费用=购进商品的费用+运费列出函数关系式即可;

②由自变量的取值范围是：0/xW200,根据函数的性质判断最佳运输方案并求出最低费用.

【解答】(1)设A商品的进货单价为x元，B商品的进货单价为y元，

根据题意，得伊+2y="oo,

5x+3y=1750

解得：卜=200,

]y=250

答：A商品的进货单价为200元，B商品的进货单价为250元；

(2)①设运往甲地的A商品为x件，则设运往乙地的A商品为(200-x)件，

运往甲地的B商品为(240-x)件，运往乙地的B商品为(60+x)件，

My=200X200+250X300+20x4-25(200-x)+15(240-x)+24(60+x)=4x+125040,

，y与x的函数关系式为y=4x+125040；

②在y=4x+125040中，

自变量的取值范围是：0WxW200,

Vk=4>0,

；.y随x增大而增大.

当x=0时，y取得最小值，y最小=125040(元),

,最佳调运方案为：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地，最小费用为125040

元.

答：调运240件B商品到甲地，调运200件A商品、60件B商品到乙地总费用最小，最小费用为125040

元.

16.某快递公司为了提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人

比每台B型机器人每天多搬运20吨，并且3台A型机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨.

(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？

(2)每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人

共20台，必须满足每天搬运的货物不低于1800吨，请根据以上要求，求出A、B两种机器人分别采购多

少台时，所需费用最低？最低费用是多少？

【答案】见解析

【解析】(1)题目中的等量关系是：①每台A型机器人比每台B型机器人每天多搬运20吨，②3台A型

机器人和2台B型机器人每天共搬运货物460吨.

(2)题目中的不等关系是：每天搬运的不低于1800吨，等量关系是：总费用=A型机器费用+B型机器

费用，极值问题来利用函数的递增情况解决.

【解答】(1)解：设每台A型机器人每天分别搬运货物x吨，每台B型机器人每天分别搬运货物y吨.

(x-y=20

(3x+2y=460

解得卜=100

ly=80

(2)设：A种机器人采购m台，B种机器人采购(20-m)台，总费用为w.

100m+80(20-m)>1800.

解得:m210.

w=3m+2(20-m)