2025学年八年级数学下册期末复习（压轴题50题22个考点）原卷版

期末复习(压轴题50题22个考点)

因式分解的应用(共3小题)

1.阅读材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求n的值.

解：itr-2nm+2i,-8w+16=0,(/u2-Imn+v?)+(»2-8,1+16)=0

(m-n)2+(”-4)2=0,/.(m-ri')2=0,("-4)2=0,.,.n=4,m=4.

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)已知7+2盯+2/+2/1=0,求2x+y的值；

(2)已知a-6=4,ab+c1-6c+13=0,求a+6+c的值.

2.上数学课时，王老师在讲完乘法公式(a±6)2=/±2"+廿的多种运用后，要求同学们运用所学知识解

答：求代数式W+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：

解：/+4x+5=/+4x+4+l=(x+2)2+1

:(x+2)22。，

...当x=-2时，(尤+2)2的值最小，最小值是0,

(尤+2)2+1^1

...当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小,最小值是1,

，/+4x+5的最小值是1.

请你根据上述方法，解答下列各题

(1)知识再现：当苫=时，代数式f-6x+12的最小值是；

(2)知识运用：若y=-/+2x-3,当》=时，y有最_______值(填“大”或“小”这个值

是;

(3)知识拓展：-X2+3X+J+5=0,求y+x的最小值.

3.阅读理解并解答：

【方法呈现】

(1)我们把多项式/+2必+序及/-2而+信叫做完全平方式.在运用完全平方公式进行因式分解时，关

键是判断这个多项式是不是一个完全平方式，同样地，把一个多项式进行局部因式分解可以来解决代数

式值的最小(或最大)问题.

例如：f+2x+3=(f+2x+l)+2=(x+1)~+2,

,?(尤+1)220,

(x+1)2+2N2.

则这个代数式W+2x+3的最小值是,这时相应的x的值是.

【尝试应用】

(2)求代数式-?+14x+10的最小(或最大)值，并写出相应的尤的值.

【拓展提高】

(3)已知a,b,c是△ABC的三边长，aW=10a+8Z?-41,且c是△ABC中最长的边，求c的取

值范围.

二.分式的加减法(共1小题)

4.定义：若两个分式的差的绝对值为2,则称这两个分式属于“友好分式组”.

(1)下列3组分式：

①乌_与」_；②刍-与史2；③，_与基2.其中属于“友好分式组”的有(只填序号);

a+1a+1a_la_l2a+l2a+l

22

(2)若正实数a,6互为倒数，求证，分式工一与祖终属于“友好分式组”；

29

a+ba+b

222

(3)若a,6均为非零实数，且分式字、与——属于“友好分式组”，求分式八-2b”的值.

@2_妊2a+2bab

三.分式方程的应用(共1小题)

5.某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降.今年5月份A款汽车的

售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额

只有90万元.

（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？

（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元,

B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15

辆，有几种进货方案？

（3）按照（2）中两种汽车进价不变，如果8款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司

决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金。万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？

四.一元一次不等式组的整数解（共1小题）

仔片1〉0

9Q

6.若不等式组（恰有两个整数解.则实数a的取值范围是_______________________.

5a+4、

Oo

五.一元一次不等式组的应用（共2小题）

7.“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”.为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资

金购进甲、乙两种农机具.已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农

机具和3件乙种农机具共需3万元.

（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？

（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，

设购进甲种农机具加件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？

（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种

农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只

购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？

8.为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、8两类学校进行改

扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1

所B类学校共需资金5400万元.

（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？

（2）该县计划改扩建A、2两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担.若国家财

政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、2两类学

校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元.请问共有哪几种改扩建方案？

六.角平分线的性质（共2小题）

9.如图，ZABC=ZACB,AMC的内角NABC的角平分线与/AC3的外角平分线交于点DAABC

的外角的角平分线与CD的反向延长线交于点E,以下结论:

©AD//BC-,②DBLBE；③/BDC+/ABC=90°；④3。平分/AOC；@ZBAC+2ZB£C=180°.

其中正确的结论有.（填序号）

10.如图，在△ABC中，ZC=90°,AO平分/BAC,DELLAB于点E,点尸在AC上，且

（1）求证：CF=EB；

（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由.

七.等腰三角形的性质（共2小题）

11.如图，在第1个△ALBC中，ZB=40°,ArB=CB；在边43上任取一点D,延长C4i到A2,使4人2

=AiD,得到第2个△A1A2D;在边上任取一点E，延长A也到A3，使A2A3=人29得到第3个4

A2A3E…按此做法继续下去，则第附+1个三角形中以4+1为顶点的底角度数是（）

A-(y)n-70°B-(y)11-1-700

c-(y)n-1-80°D-(y)n-80°

12.如图，NBOC=9°,点A在02上，且。4=1,按下列要求画图:

以A为圆心，1为半径向右画弧交OC于点4，得第1条线段A41；

再以A1为圆心，1为半径向右画弧交。B于点42，得第2条线段A1A2；

再以&2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3，得第3条线段A2A3；…

这样画下去，直到得第〃条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则〃=

八.等腰三角形的判定（共1小题）

13.如图，△ABC是等边三角形，是中线，P是直线8c上一点.

（1）若CP=CD,求证：△OBP是等腰三角形；

（2）在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，3c所在直线为x轴，3c边上的高所在直线为y轴

的平面直角坐标系，如图②，已知等边AABC的边长为2,AO=M，在x轴上是否存在除点尸以外的

点。，使△3D。是等腰三角形？如果存在，请求出。点的坐标；如果不存在，请说明理由.

图②

九.等边三角形的性质（共5小题）

14.图①是一块边长为1,周长记为P的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为工的正三角形纸板

2

后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角

形纸板边长的工）后，得图③，④，…，记第w（〃23）块纸板的周长为P”，则的值为（)

2

15.如图，第（1）个多边形由正三角形”扩展而来边数记为的=12,第（2）个多边形由正方形“扩展”

而来，边数记为44=20,第（3）个多边形由五边形“扩展”而来，边数记为45=30…依此类推，由正W

边形“扩展而来的多边形的边数记为即（WN3）,则!」结果是（）

10303339

16.如图，△A2C是边长为6的等边三角形，尸是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q

是CB延长线上一点，与点尸同时以相同的速度由2向C2延长线方向运动（。不与3重合），过尸作

PELABE,连接PQ交AB于D

(1)当N8Q£>=30°时，求A尸的长;

（2）当运动过程中线段距的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由.

17.等边△A2C,点。是直线上一点，以为边在AD的右侧作等边△ADE,连接CE.

(1)如图1,若点。在线段BC上，求证：CE+CD=AB；

(2)如图2,若点。在CB的延长线上，线段CE,CD,AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明.

18.如图1,点尸、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边A3、BC上的动点，点P从顶点A,点Q从顶点2

同时出发，且它们的速度都为lcm/s,

(1)连接AQ、CP交于点则在P、。运动的过程中，/CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不

变，则求出它的度数；

(2)何时△尸2。是直角三角形？

(3)如图2,若点P、。在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点、为M,则/CMQ

变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

一十.等边三角形的判定(共1小题)

19.在RtZiABC中，ZACB=90°,8。是△ABC的角平分线.

（1）如图1,若求/A的度数；

（2）如图2,在（1）的条件下，作DE_LAB于E,连接EC.求证：△EBC是等边三角形.

一十一.等边三角形的判定与性质（共3小题）

20.如图，。是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA,连接。E交AC于凡过。

点作OGLAC于G点.证明下列结论：

（1）AG=AAD；

2

（2）DF=EF；

（3）S&DGF=SAADG+SAECF.

21.如图，点。是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，ZAOB=llO°,ZBOC=a,4BOC/AADC,

NOCD=60°,连接OD

（1）求证：△0C£）是等边三角形；

（2）当a=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由；

（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形.

22.如图，△ABC是等边三角形.

图①图②

(1)如图①，DE//BC,分别交A3、AC于点。、E.求证：△ADE是等边三角形;

(2)如图②，△&£>£仍是等边三角形，点2在即的延长线上，连接CE,判断N3EC的度数及线段

AE.BE、CE之间的数量关系，并说明理由.

一十二.直角三角形的性质(共1小题)

23.如图，已知点A(-1,0)和点8(1,2),在坐标轴上确定点P,使得△ABP为直角三角形，则满足

C.6个D.7个

一十三.勾股定理(共6小题)

24.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积s,卫兀，S2=2TT,则S3

18

25.如图，Rt^ABC中，ZBAC=90°,分别以AABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：dABD、

△ACE>ABCF,若图中阴影部分的面积Si=6.5,§2=3.5,£=5.5,则S4=

26.如图，在正方形ABC。的对角线AC上取一点E,使得/CDE=15°,连接BE并延长BE到尸，使CF

=CB,8尸与CO相交于点H,若48=任，有下列四个结论：①/CBE=15。；②AE=历+1；③SADEC

=1二1；@CE+DE=EF.则其中正确的结论有.(填序号)

27.如图，在△ABC中，ZACB=90°,以AC,BC和AB为边向上作正方形ACED和正方形BCA〃和正方

形ABGF,点G落在Ml上，若AC+BC=7,空白部分面积为16,则图中阴影部分的面积

是.

28.如图，在RtZ\A8C中，ZC=90°,AB=lOcm,AC=6cm,动点尸从点8出发沿射线8c以2cro/s的

速度移动，设运动的时间为f秒.

(1)求2C边的长;

(2)当△AB尸为直角三角形时，求/的值；

(3)当尸为等腰三角形时，求t的值.

29.如图，已知在中，ZACB=90°,AC=8,BC=16,。是AC上的一点，CD=3,点P从B

点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为九连接AP.

（1）当片3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；

（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；

（3）过点。作。EJ_A尸于点E.在点尸的运动过程中，当f为何值时，能使QE=CO?

一十四.勾股定理的证明（共3小题）

30.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的

记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是

由图1放入矩形内得到的，ZBAC=90°,AB=3,AC=4,点、D,E,F,G,/都在矩形KLM的边

上，则矩形KLMJ的面积为（）

（图1）

A.90B.100C.110D.121

31.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG,8。相

交于点O、8。与”C相交于点尸.若GO=GP,则;AABD的值是（）

S/kEFG

o

A.l+x/2B.2+V2c.5-V2D.

32.大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段

的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法.学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC,其一腰

上的高为人，M是底边上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为历、h2.

（1）请你结合图形来证明：hi+h2=h；

（2）当点/在3c延长线上时，〃卜比、/?之间又有什么样的结论.请你画出图形，并直接写出结论不

必证明；

（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线/i：y=lx+3,gy=-3x+3,若72上的

4

一点M到/1的距离是3.求点/的坐标.

一十五.三角形中位线定理（共4小题）

33.如图，已知四边形4BC。中，AC±BD,AC=6,BD=6&，点E，尸分别是边A。，BC的中点，连接

EF,则斯的长是（）

C.373D.3+3点

2

34.如图，四边形ABCD中，NA=90°,AB=3«,AD=3,点M,N分别为线段BC,AB上的动点（含

端点，但点M不与点B重合)，点E,F分别为DM,MN的中点，则EF长度的最大值为

35.如图，在△AiBiCi中,已知421=7,21cl=4,4cl=5,依次连接△ALBCI三边中点，得232c2,

再依次连接AA232c2的三边中点得383c3，…，则585c5的周长为.

36.(1)证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写

出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据(“已知”除外)]

(2)如图2,在回A3CD中，对角线交点为O,ABBI、CI、DI分别是。4、OB、0C、0D的中点，42、

历、C2、功分别是04、031、0C1、。。的中点，…，以此类推.

若回A3C。的周长为1,直接用算式表示各四边形的周长之和/；

(3)借助图形3反映的规律，猜猜/可能是多少？

一十六.三角形综合题(共1小题)

37.(1)如图1,已知：在△ABC中，ZBAC=90°，AB=AC,直线机经过点A,直线机，(7后,直

线相，垂足分别为点。、E.证明：DE=BD+CE.

(2)如图2,将(1)中的条件改为：在AABC中，AB=AC,D、A、E三点都在直线机上，并且有/

BDA=ZAEC=ZBAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+C£是否成立？如成立，请你

给出证明；若不成立，请说明理由.

(3)拓展与应用：如图3,D、E是D、A、E三点所在直线机上的两动点(D、A、E三点互不重合),

点F为NBAC平分线上的一点，且AAB尸和厂均为等边三角形，连接8。、CE,

=ZBAC,试判断△£>£下的形状并说明理由.

一十七.平行四边形的性质(共1小题)

38.如图，在平行四边形4BCD中，ZA=90°,AD=10,AB=8,点P在边上，且BP=BC,点〃在

线段B尸上，点N在线段BC的延长线上，且PM=CN,连接MN交CP于点尸，过点M作MELCP于E,

则EF=________________.

一十八.平行四边形的判定(共1小题)

39.如图，在四边形ABC。中，AD//BC,AD=Ucm,8c=15c%,点P自点A向。以ICTH/S的速度运动，

到D点即停止.点。自点C向8以2cm/s的速度运动，到2点即停止，点尸，。同时出发，设运动时间

为t(s').

(1)用含r的代数式表示：

AP=；DP=；BQ=；CQ=

(2)当f为何值时，四边形APQB是平行四边形？

(3)当/为何值时，四边形PDCQ是平行四边形？

一十九.平行四边形的判定与性质(共1小题)

40.我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形.

(1)如图1,四边形ABCD中，点E,F,G,X分别为边AB,BC,CD,ZM的中点.求证：中点四边

形EFGH是平行四边形；

(2)如图2,点尸是四边形ABCD内一点，且满足PC=PD,/APB=NCPD,点、E,F,G,

〃分别为边AB,BC,CD,D4的中点，猜想中点四边形EFG”的形状，并证明你的猜想；

(3)若改变(2)中的条件，使/APB=/CPD=90°,其他条件不变，直接写出中点四边形EFG”的

形状.(不必证明)

二十.平移的性质(共1小题)

41.如图(1)所示：已知MN〃尸。，点B在MN上，点C在尸。上，点A在点B的左侧，点。在点C的

右侧，ZADC.NABC的平分线交于点E(不与3、。点重合)，NCBN=110；

(1)若乙400=140°,则/BE。的度数为(直接写出结果即可)；

(2)若NADQ=7"°,将线段AD沿DC方向平移，使点。移动到点C的左侧，其它条件不变，如图(2)

所示，求NBED的度数(用含根的式子表示).

二十一.坐标与图形变化-平移(共3小题)

42.如图，在平面直角坐标系中，AB//DC,ACA.BC,CD=AD=5,AC=6,将四边形ABC。向左平移

个单位后，点8恰好和原点。重合，则，"的值是()

A.11.4B.11.6C.12.4D.12.6

43.如图1,已知，点A(1,a),AHLx轴，垂足为H,将线段AO平移至线段BC,点8(6,0),其中点

A与点2对应，点。与点C对应，a、b满足｛4-a+(b-3)2=0

(1)填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A()、B()、C()；

②直接写出三角形AOH的面积.

(2)如图1,若点。Cm,n)在线段。4上，证明：4m=n.

(3)如图2,连OC,动点尸从点8开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点。从点。开

始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动.若经过，秒，三角形AO尸与三角形COQ的面积相等，试

求f的值及点P的坐标.

44.在平面直角坐标系xOy中，把线段4B先向右平移h个单位，再向下平移1个单位得到线段C。(点A

对应点C）,其中A（a,b）,B（m，n）分别是第三象限与第二象限内的点.

（1）若|a+3|+{b+l=。，h=2,求C点的坐标；

（2）若连接40,过点B作AO的垂线/.

①判断直线/与x轴的位置关系，并说明理由；

②已知E是直