2025学年八年级数学下册 三角形的证明（考点清单）（原卷版）

专题01三角形的证明（考点清单）

考点归纳

【考点1等腰三角形的性质】

【考点2等腰三角形的判定】

【考点3等腰三角形的性质和判定综合】

【考点4等边三角形的性质】

【考点5等边三角形的性质与判定】

【考点6含30°的直角三角形】

【考点7直角三角形的性质】

【考点8直角三角形的判定】

【考点9勾股定理的性质和应用】

【考点10勾股定理的证明】

【考点11勾股定理的逆定理】

【考点12四种命题及其关系】

【考点13垂直平分线的性质】

【考点14角平分线的性质】

土真题精练

【考点1等腰三角形的性质】

1.（2023秋•章贡区期末）已知等腰三角形的两边长分别为5c%、2cm,则该等腰三角形的

周长是（）

A.7cmB.9cm

C.12cm或者9。九D.12cm

2.（2023秋•广安期末）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中4B=AC,工人师傅在焊

接立柱时，只用找到的中点。这就可以说明竖梁AO垂直于横梁了，工人师傅

这种操作方法的依据是（）

B.等角对等边

C.垂线段最短

D.等腰三角形“三线合一”

3.（2021秋•射阳县校级期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶

角的度数为（）

A.50°B.80°C.65°或50°D.50°或80°

4.（2023秋•龙岗区期末）随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销

产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知OC=。。，ZB（9Z）=108o,则凳腿与地

图1图2

A.36°B.50°C.54°D.72°

5.（2022秋•新乡期末）在等腰三角形ABC中，AB^AC,ZBAC=100°,一含30°角的

三角板如图放置（一直角边与边重合，斜边经过△ABC的顶点A）,则Na的度数为

（）

A.15°B.20°C.30°D.40°

6.（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，OE是AC的垂直平分线，且分别交BC,AC

于点。和E,连接AO.若/B=40°,BA=BD,则/D4C为（）

A

E

B/DC

A.25°B.30°C.35°D.40°

7.（2023秋•利辛县校级期末）如图，在AABC中，A5=AC,点D和点E分别在BC和

AC上，AD=AE,则下列结论一定正确的是（）

A.Zl+2Z2=90°B.Z1=2Z2

C.2Z1+Z2=9O°D.Zl+Z2=45°

8.（2023秋•怀仁市期末）如果等腰三角形的底边长4cm,那么这个等腰三角形腰长x的

取值范围是（）

A.x>2cmB.2cm<x〈4cmC.4cm<x<8cmD.x>4cm

【考点2等腰三角形的判定】

9.（2023秋•隆阳区期末）如图，已知点A（1,0）和点Af（0,1）,在无轴上确定点

P,使得为等腰三角形，则满足条件的点尸共有（）

A.5个B.4个C.3个D.2个

10.（2023秋•和平区期末）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A、

2是两格点，若点C也在格点上，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C的格

点数为（）

I-----T-T-------1

A''

L_L_1_

A.8个B.9个C.10个D.11个

11.（2023秋•潮安区期末）在平面直角坐标系中，已知点A（-1,1）,B（-3,2）,

点C在坐标轴上，若△ABC是等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

12.（2023秋•新兴县期末）如图，C为两个直角三角板的公共顶点，ZA=ZB=30°,则

图中等腰三角形共有（）

13.（2023秋•黄石港区期末）如图，在△ABC中，NA=36°,AB=AC,8。是△ABC的

角平分线.若在边A8上截取8E=8C,连接。E,则图中等腰三角形共有（）

14.（2023秋•临高县期末）如图，△ABC中，AB=8,AC=9,BD、CD分别平分/ABC、

ZACB,过点D作直线平行于BC,交AB、AC于E、F,则的周长为（）

A.16B.17C.18D.19

15.（2023秋•隆回县期末）如图，等腰△ABC中，AB^AC,NA=36°.线段AB的垂直

平分线交AB于。，交AC于E,连接2E,则图中等腰三角形共有（

A

C.3个D.4个

16.（2023秋•冠县期末）如图，在△ABC中，AB=20cm,AC=12c机,点尸从点B出发以

每秒3c机速度向点A运动，点。从点A同时出发以每秒2c〃z速度向点C运动，其中一个动

点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以为底的等腰三角形时，运动的时间

是一秒.

17.（2023秋•环江县期末）（1）如图1,NCAE1是△ABC的外角，Z1=Z2,AD//BC.

求证：AB=AC.

证明:

(2)如图2,/CAE是△A8C的外角，Z1=Z2,AB=AC.

求证：AD//BC.

证明：

图1图2

18.（2023秋•历下区期末）在△ABC中，。是BC的中点，DE±AB,DF±AC,垂足分别

为£、F,MDE=DF.

求证：△ABC是等腰三角形.

19.（2023秋•怀集县期末）如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=\6cm,BC=Ucm,AC

=20c〃z,P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A-B方向运动，且

速度为每秒1c机，点。从点B开始沿B-C-A方向运动，且速度为每秒2c7小它们同时

出发，设出发的时间为f秒.

（1）BP=（用f的代数式表示）.

（2）当点。在边8C上运动时，出发秒后，△PQB是等腰三角形.

【考点3等腰三角形的性质和判定综合】

20.（2023秋•和田地区期末）已知：如图△ABC中AC=6cMt,AB=8cm,平分/ABC,

CO平分/AC8,过。作直线平行于3C,交AB,AC于E,F.

（1）求证：△。尸C是等腰三角形；

（2）求△AEP的周长.

21.（2023秋•乌鲁木齐期末）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度

向正北方向航行,上午10时到达海岛B处,分别从A,B处望灯塔C,测得/N4c=30°,

/NBC=6Q°.

（1）求海岛8到灯塔C的距离;

（2）若这条船到达海岛8处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯

塔C的距离最短？

22.（2023秋•秦安县校级期末）如图1,ZsABC中，ZABC,的平分线交于。点,

过。点作3C平行线交A3、AC于。、E.

（1）请写出图1中线段CE,OE之间的数量关系？并说明理由.

（2）如图2,△ABC若NABC的平分线与△ABC的外角平分线交于。，过点。作BC平

行线交48于。，交AC于E.那么8。，CE,之间存在什么数量关系？并证明这种

关系.

图1图2

23.（2022秋•封开县期末）如图，在△ABC中，48=AC,点。、E、尸分别在A3、BC、

AC边上，且BE=C尸,BD=CE.

（1）求证：ADE尸是等腰三角形；

（2）当NA=40°时，求跖的度数.

D

【考点4等边三角形的性质】

24.（2023秋•老河口市期末）如图所示，AABC是边长为20的等边三角形，点D是BC

边上任意一点，于点E,_LAC于点尸，贝!]8E+CP=（）

25.（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边AABC的边AB上一点尸，作PEL

AC于E,Q为BC延长线上一点，当必=CQ时，连PQ交AC边于D,则DE的长为（）

26.（2023秋•沐川县期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点8、C、D、E在同一直线

27.（2023秋•莱西市期末）如图，直线a〃b,等边△ABC的顶点C在直线b上，若N1

=38°,则/2的度数为（）

A.142°B.128°C.98°D.92°

28.（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：NMON=30°,点、4、42、&3、…在射线ON

上，点81、及、23、…在射线0M上，AAIBIA2>ZkA222A3、323A4、…均为等边三

29.（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB=4,BD是AC边上的高，点E在2C

的延长线上，/ACB=2/E,则BE的长为（）

A.4.5B.5C.6D.9

【考点5等边三角形的性质与判定】

30.（2023秋•蟀恫区期末）如图，在等边三角形A8C中，点8、P、。三点在同一条直线

上，且NA8P=NAC。，ZBAP=ZCAQ.判断△AP0是什么形状，并说明理由.

31.（2023秋•新抚区期末）在等边AABC中，点E是上的动点，点E与点A、8不重

合，点。在CB的延长线上，且EC=ED

(1)如图1,若点E是AB的中点，求证：BD=AE；

(2)如图2,若点E不是AB的中点时，(1)中的结论“BD=AE”能否成立？若不成

立，请直接写出8。与AE数量关系，若成立，请给予证明.

32.(2023秋•太和县期末)如图，点。是等边AABC内一点，。是△ABC外的一点，Z

408=110°,ZBOC=a,ABOC卷AADC,ZOCD=6Q°,连接OD

(1)求证：△OCO是等边三角形；

(2)当a=150°时，试判断△A。。的形状，并说明理由；

(3)探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形.

33.(2023秋•宣化区期末)已知：如图所示，△ABC是边长6c机的等边三角形，动点P、

Q同时从4、2两点出发，分别在A3、BC边上匀速移动，它们的速度分别为Vp=2cm/s,

VQ^l.5cm/s,当点尸到达点2时，P、。两点停止运动，设点尸的运动时间为ts.

(1)当r为何值时，△依。为等边三角形？

(2)当r为何值时，△依。为直角三角形？

34.(2023春•毕节市期末)已知：如图，点C为线段A2上一点，△ACM,△CBN都是等

边三角形，AN交MC于点、E,BM交CN于点、F.

(1)求证：AN=BM；

（2）求证：尸为等边三角形.

35.（2023秋•阜平县期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,

倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）

36.（2023秋•虞城县期末）如图，在△ABC中，ZBCA=90°,CDLAB,ZBCD^30°,

BD=2,则A8的长为（）

A.2B.4C.8D.16

37.(2023秋•斗门区期末)如图，在RtZ\A8C中，ZACB=90°,CZ)_LA8于。，ZB=2

ZA,BD=1,则AO=()

A.2B.3C.2.5D.1.5

【考点7直角三角形的性质】

38.（2023秋•东阳市期末）在下列条件中不能判定△ABC为直角三角形的是（）

A.ZA=90°-ZCB.ZA=ZB-ZC

C.NA=2NB=3/CD.ZA=ZB=AZC

2

39.（2023秋•衡山县期末）如图，直线a〃b,RtZXABC的直角顶点A落在直线a上，点8

落在直线b上，若Nl=15°,N2=25°,则/ABC的大小为（）

40.（2023秋•淅川县期末）如图，△ABC的面积为8cAP垂直的平分线于点P,

则△PBC的面积为cm2.

41.（2023秋•武城县期末）如图，在RtZ\A8C中，/ACB=90°,点。在A8边上，将4

C8D沿C。折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处.若/A=25°,则NCOE=

42.（2023秋•浦北县期末）如图所示，在△ABC中，CB_LAB,ZBAC=45°,尸是AB

延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.求证：RtAABE^RtACBF.

43.（2023春•平江县期末）如图，已知NA=NQ=90°,E、F在线段BC上，DE与AF

交于点O,且A2=C£),BE=CF.求证：RtAABF^RtADCE.

o

44.（2023秋•乾安县期末）如图，ZA=ZB=9Q°，E是A3上的一点，且Z1

【考点9勾股定理的性质和应用】

45.（2023秋•二道区期末）一直角三角形的两直角边长为6和8,则斜边长为（）

A.10B.13C.7D.14

46.（2023秋•和平县期末）三个正方形的面积如图，中间三角形为直角三角形，则正方形

A.9B.144C.81D.12

47.（2023秋•化州市期末）已知，如图长方形A3CD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方

形折叠，使点8与点。重合，折痕为ER则△A8E的面积为（）

A.3cm2B.4cm2C.6cm2D.12cm2

48.（2023秋•榆阳区校级期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图

所示的“垂美"四边形A8CQ,对角线AC,BD交于点O.若A0=2,BC=7,贝U4炉+⑺2

等于（）

A.45B.49C.50D.53

49.（2023秋•成都期末）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=6fBC=8,CD是

斜边的高，则CD的长为（）

AZ

B

AB.12D.10

-f5

【考点10勾股定理的证明】

50.（2023秋•乌当区期末）如图所示的“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，

是我国古代数学的骄傲.该图由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方

形，设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若"=10,大正方形面积为

25,则小正方形边长为（）

A.MC.历

51.（2023秋•商水县期末）勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是

论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）

ba

ab

a

bb

52.（2023秋•如皋市期末）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个

全等的直角三角形围成的.若AC=2,BC=1,将四个直角三角形中边长为2的直角边

分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）

c.4+4V17D.8+4V15

【考点11勾股定理的逆定理】

53.（2023秋•泗阳县期末）下列各组线段，能组成直角三角形的是（）

A.Z?=2,c=2B.。=2,b=3,c=5

C.a=2,Z7=4,c=5D.〃=3,Z?=4,c=5

54.（2023秋•衡南县期末）如图，在四边形ABC。中，ZABC=90°,A5=3,BC=4,

8=12,A£）=13,求四边形ABC。的面积.

55.（2023秋•新安县期末）如图，每个小正方形的边长为1.

（1）求四边形ABC£）的面积和各边边长.

（2）N8C0是直角吗？说明理由.

【考点12四种命题及其关系】

56.（2023秋•泳□区期末）命题：“两直线平行，则同旁内角互补”的逆命题

为.

57.（2023秋•杭州期末）命题“如果/=庐，那么。=6”的逆命题是命题（填“真”

或"假”）.

【考点13垂直平分线的性质】

58.（2013秋•钦州期末）如图，已知AC-3C=3,，A3的垂直平分线分别交A3、AC于

4点。、E,△BCE的周长是15,则AC的长为（）

A.6B.7C.8D.9

59.（2023秋•定陶区期末）如图，兔子的三个洞口4、B、。构成△A5C,猎狗想捕捉兔子，

必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（）

A.三个角的角平分线的交点A

A

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三角形三条高的交点

D.三角形三条中线的交点

60.（2023秋•丹江口市期末）如图，ZBAC=140°,若。M和EN分别垂直平分AB和

AC,则ND4E等于（）

C.80°D.70°

【考点14角平分线的性质】

61.（2023秋•广