阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题（3大题型）解析版-2025高考数学重难题型解题技巧

i重难题型•解题技巧攻略

J_________________________________________________________

专题14阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题

*>-----------题型归纳•定方向----------*>

目录

题型①阿基米德三角形........................................................................1

题型02椭圆中焦点三角形的内切圆.............................................................15

题型03双曲线中焦点三角形的内切圆...........................................................23

-----------题型探析,明规律-----------♦>

题型01阿基米德三角形

【解题规律•提分快招】

一、阿基米德三角形

1、定义：如图所示，为抛物线V=2py（p>0）的弦，A（X，x）,8（无2,%），分别过A,8作的抛物线的切

线交于点尸，称345为阿基米德三角形，弦为阿基米德三角形的底边.

2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）

性质1：MFXAB；性质2：MAXMB；性质3：MN〃x轴；性质4：SAABM最小值为p?

对于点A,B:

①抛物线焦点弦与抛物线的交点

②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点

对于点M

③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点

④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点

满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形

3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）

1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴.

2、若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C（x。，%）,则另一顶点P的轨迹为一条直线.

3、若直线/与抛物线没有公共点，以/上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.

4、底边长为“的阿基米德三角形的面积的最大值为C.

8P

5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点。的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2.

6、点P的坐标为］上黄,?亍;

7、底边AB所在的直线方程为（石+元2）%-2刃-斗工2=。；

8、的面积为S皿」为7.

8P

9、若点尸的坐标为（x0,%）,则底边的直线方程为无°x-p（y+%）=0.

10、如图1,若E为抛物线弧AB上的动点，点E处的切线与上4,PB分别交于点C,D,则

\AC\_\CE\_\PD\

\CP\~\ED\~\DB\'

11、若石为抛物线弧AB上的动点，抛物线在点石处的切线与阿基米德三角形△PR的边B4,PB分别交

q

于点C,D,贝IJ上还=2.

q

Q.PCD

12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的2.

3

【典例训练】

一、单选题

1.（2024高三・全国•专题练习）A8为抛物线丁=24（0>0）的弦，久久口乃），B（久2,%）分别过人台作的抛

物线的切线交于点称一为阿基米德三角形，弦48为阿基米德三角形的底边.若弦A3过焦点

尸，则下列结论错误的是（）

A.xt+x2=2x0

B.底边A3的直线方程为x（）x—p（y+%）=0；

C.是直角三角形；

D.AMfi面积的最小值为2P2.

【答案】D

【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线的方程为y=立尤-?和

P2P

片工-在，得到人国7加=在-芸，进而可判定A正确；

p2Pp2P2p

点加（七,%）在直线闻/创/上，进而得到底边AB的直线方程，可判定B正确；

设直线48：丫=履+5,联立方程组，根据3A%M8=T，可判定C正确；

3

取AB的中点化简得到_4冲的面积为s=p[l+左2）5,可判定D不正确.

【详解】如图:

r21

依题意设4（元1/1）,3（尤2，%），由方程为2=2〃y，可得y=丁,则丁'二一元,

2Pp

由导数的几何意义知，直线A"的斜率为上期=,玉，同理直线的斜率为4

PP

1丫21

可得A处的切线方程为：y-%=一再（%-西），即尸?二一%"_玉），

P2Pp

22

化简可得y=2x-2,所以直线A"的方程为y=Mx-著，

P2PP2P

222

同理可得：直线BM的方程为》=三尤-在，所以五尤-2=±x-等，

p2pp2Pp2P

1丫2丫2

则—（占一%）无_一尸，

p2P2P

因为斗工马，解得》=七垣，即玉+々=2%,所以A正确；

因点M（无。，%）在直线AM,上，

可得飞•％-0（％+乂）=0,xo-x2-p（yo+y2）=O,

即A（xi，yi）在飞彳-0（、+%）=0上，B（x2,y2）^xox-/?（y+yo）=O±,

所以底边48的直线方程为ax-p（y+%）=。，所以B正确；

_,p_

设直线A8：y=h+f,联立方程组'=整理得尤2-2pfcr-p2=0,

~[x2=2py

贝!]A=（_2p）2+4p2=8p2>0且X]+%=2pk,%/=-P2，

因为%屋%«==W=T，所以肠l-M2=0，

PPP

所以AMfi是直角三角形，所以C正确；

取A3的中点H,连接MX,根据抛物线的定义，可得平行，轴，

、

------1------

2P2P।p

22

因为玉+%2=2p攵，再々=一夕2，所以d+君=（玉+电）2-2玉%2=422上2+222,

|石一工2〔二J（玉+%）2-例，％2=2夕川+/,

代入可得5=1广丁2P2+2pg?=吗口2Pg=p2（1+再，

2

当左=0时，5min=p,所以D不正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：

（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；

（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法求

最值（注意：有时需先换元后再求最值）.

2.（2024•陕西西安•二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天

文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号.抛物线上任意两点A,8处的切线交于点

P,称三角形以B为“阿基米德三角形”.已知抛物线C：炉=分的焦点为F,过A,8两点的直线的方程为

屈-3y+6=0,关于“阿基米德三角形”△下列结论不正确的是（）

32

A.\AB\=—B.PA±PB

C.PF^ABD.点尸的坐标为（君,-2）

【答案】D

【分析】联立方程可解得卡竽（卜（4后6）,则网夸，根据导数可得幻=一等,凝=5可判断

PA±PB,利用点斜式可求得两条切线方程氐+3y+2=0和氐-y-6=0,联立求?,-2,再求

kPF=-V3,可判断尸尸_LAB.

【详解】联立方程二3»：6=0,消去尤得：3y②一20y+12=0,解得％=2或%=6

x=6y3

即,8（4也,6）,则A正确；

对于/-芈，:],可4后6）,切线斜率分别为的=一3段=百

【3刀3

/.kAkB=-\,即B4_LPB,B正确；

在点A的切线方程为>-；=-咚x+士^,即6x+3y+2=0

同理可得在点B的切线方程为y/3x-y-6=0

[宿+3y+2=0\x=—（46）

联立方程厂,，解得3，即P三一,-2,D不正确;

[^x-y-6=Q[y=_2I3J

-2-2r-

则3H=-巴g邛

3

kPFkAB=-1,即PF_LAB,C正确；

故选：D.

二、多选题

3.（2024・山东.模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.已知

抛物线C：V=8y,阿基米德三角形弦A3过C的焦点r，其中点A在第一象限，则下列说法正确的

是（）

A.点尸的纵坐标为-2B.C的准线方程为x=-2

C.割AF|=8,则48的斜率为&D.钻面积的最小值为16

【答案】AD

【分析】设A（xi，yi）,B（x2,y2），直线AB：y=^+2,联立方程组，求得%+%=8左，x,x2=-16,求得A,

B两点处的切线方程，可求得点尸（必,-2）判断A；求得准线方程判断B；由=%+2=8,可求得尸（4点6卜

进而可求得心B=3F，判断C；|钻|=842+8,d=^==,进而可得=16（1+/]，可求AS尸的最

小值，判断D.

【详解】对于A项，设A（xi，yi）,B（x2,y2）,直线AB：y=^+2,

联立C:、2=8y,消去得犬_8辰—16=0,A=64炉+64>0,

所以玉+9=8左，XjX2=-16,

由C&=8y,得=则点A处的切线：y片①，

448

同理点8处的切线：尤一:名②，联立①②，得》=一强，产一2,

4o2

所以，点尸（轨-2）,故A正确；

对于B项，准线方程为产-2,故B错误；

对于C项，|A尸|=%+2=8,得以=6,所以尸（4石,6）,加=心产与=4,故C错误；

4。33

对于D项，|AB|=%+%+4=M%+X,）+8=8左2+8,点尸到直线的距离为：1=华驾，

A/1+Z

所以阴3=1（8/+8）.^^=16（1+公，，

当左=0时，AB尸的面积有最小值16.故D正确.

故选：AD.

4.（23-24高三上•江苏南京•阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米

德三角形.已知三角形SAB为抛物线V=2x的“阿基米德三角形”，线段A8为抛物线的弦，设线段A3中点

为〃，下列命题正确的是（）

A.轴

B.若A3过点（2,0）,则点S在直线了=-2上

C.若AB=4,则ASAB面积的最大值为4

D.若A3过点（g,。］,则54LS8

【答案】BD

【分析】对于A,设A（xi，yjB（X2，y2），得出过点A的切线方程为=同理过点8的切线方程为

y2y=x+x29从而表示出S,M的坐标，由此即可判断；对于B,设河:无=冲+2,联立抛物线，结合韦达定

理以及%=*即可判断；对于C,写出面积表达式，瓦二2式，故只需先求的最大值；对

2椀8

于D,设AB:x=sy+g,结合韦达定理、向量数量积的坐标表示即可验算.

【详解】对于A,设A（Xi，yjB（X2，y2），过点A的切线方程为x=*y-yj+石（切线斜率不为0）,联立抛

物线方程y?=2x,

化简并整理得，/-2<y+2ry1-2x1=0,注意到y；=2再，

22

所以方程y-2ty+1tyx-2项=。可变形为y-Ity+^ty^-yf=0,

而A=4产一8*+4寸=4«-乂）2=0,所以"

所以过点A的切线方程为x=y"y-yj+%,结合寸=2占，可得

过点A的切线方程为X，=X+再，同理可得过点B的切线方程为y2y=x+x2,

联立4y=》+国，结合才=2为代=2%,解得S（竽,上手］,

［y2y=x+x2I22）

而AB的中点M的坐标为］与三,"左］，这表明S,M的纵坐标相等，所以SM〃x轴或与x轴重合,

故A错误；

化简并整理得y2-2〃y-4=0,显然A=41+i6>0,

由A选项分析可知点S的横坐标%=竽=^=一2,故B正确；

对于C,设AB：x=py+g,则愕目=="人+1回一%|=4,

4

所以1一为|=

Ji/+1

2

联立“：唱“，化简并整理得/一2勿-24=0,A2=4p+8q>0,

Iy=2%

占+%%+%

由A选项分析可知，SM//x轴，Af的坐标为

2'2

22

%,%

-------1-------回一

△SAB面积S=Jy「川SM|=；回一%|22M%

SAB228

而回一％卜不富44,当且仅当夕=0等号成立，

，P+1

所以S9=BLZMW8,当且仅当〃=0应>。时等号成立，故C错误；

OADg

f_j_

对于D,设AB:x=sy+；,联立x='"+，，化简并整理得-2sy—l=0,

2"=2x

2

A3=4i+4>0,%+%=2s,%%=-l,

由A选项分析可知4匹％,8会,必

、'%(%一%)

从而SA=，（"%）,SB=%一乂

2)2

所以■=「小——二

（%—%）（1+%％）=0，这表明故D正确.

故选：BD.

【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得出s.=区二M，以及国一%|=7^7<4,由此即可顺

SAB84P+1

利得解.

5.（2024・湖北黄冈.模拟预测）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,

阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线

上.设抛物线尸=4尤，弦过焦点为的中点，。为坐标原点，A5。为其阿基米德三角形，则

()

A.存在点Q,使得QbQ8>0B.任意点Q,都有ABLQP

C.任意点Q,都有QH〃。尸D.ABQ面积的最小值为4

【答案】BCD

【分析】设A6,%）,Bk，乃），设直线A3为x=冲+1,代入抛物线方程，由韦达定理得必+乃=4m,yty2=-4,

2

设过A的切线方程为（y-x）=Mx-不），与抛物线方程>2=4无联立，利用判别式得上=丁，同理得过8的

切线斜率为工，由此求出。4。2=。，可判断A；分别求得过点A、B的切线为％y=2（x+%）和

>2

y2y=2（x+x2）,可得。1-1,”产｝进而可证得A3，。尸、QH〃。尸并可ABQ的面积的最小值从而判

断BCD.

【详解】设A（x】yi）,B（X2，y2），设直线AB:x=my+1,

联立］+L得y2_4妆-4=0,贝!J%+为=4九%%=-4-

［y=4x

设过点A的切线为y-乂=%（天一毛），贝！］、；=4再

联立「「尸，整理可得T+%3。，

y=4xkk

由A=1_£|等一y；）=0,可得左=£,

同理可得过点B的切线斜率为—.

%

224

对于A,因为%屋为5=-----二==一1，所以。4。8=0,故A错误；

%%-4

2

对于B,可得A处的切线方程分别为：y-M=1（x-X）,•••代=4%，

即%丁=2（彳+石）；

同理8处的切线方程分别为：y2y=2（x+x2）

Jyy=2（尤+%）］才=4%

由卜y=2（x+%）"=也’

Xf24141

可得。（一1,2⑴，因为F（l,0）,所以％尸=-%手=一旭,

又因为直线A3的斜率为工，所以ABLQP,故B正确;

m

对于C,因为％=几=豆产，所以QH〃。/，故C正确；

对于D,\AB\=J1+/+=40+〃/),||=27m2+1,

2222

SABe=||AB|-|eF|=1x4（l+/n）x2Vl+m=4（l+m^l+m

当机=0时，.A3。面积取得最小值为4,故D正确.

故选：BCD.

【点睛】关键点点睛：设A（X],yi）,B（X2，y2）且%，AB:x=my+l,联立抛物线应用韦达定理有

%+%=4〃》必=-4,求过A8的切线，进而确定。在准线上且钻工。尸，利用面积公式求出最小值.

6.（24-25高三上•陕西榆林・期末）若过点C可以作抛物线的两条切线，切点分别是则称VABC为“阿

基米德三角形”.已知抛物线E：V=8x的焦点为歹，过下的直线/交E于A5两点，以4?为顶点的“阿基

米德三角形”为VABC,则（）

JT

A.点C的横坐标为-2B.ZACB=-

C.\BCf＞\AB\-\BF\D.VABC面积的最小值为16

【答案】ABD

【分析】设出直线/的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正

误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，

结合三角形的面积公式，可得D的正误.

【详解】对于A,尸（2,0）,设〃沙+2,代入V=8尤，

整理可得丁-8阳-16=0,设A（Xi，%）,B（X2，y2）（不妨设%＞。），

则%+%=8%%%=T6・

由抛物线E：/=8%,整理可得函数产±2血」，则了;土五八，

设过点A的切线斜率为瓜），易知西=卜；，则切线方程为=0尤"_占），即，=『+年，同理

4y

可得：过点8的切线方程为y=—x+券?,

%2

410

y=---XH-----x=-yy2=-2

y}2o1

联立可得＜■;,解得,即故C(-2,4㈤;

■%1、〃

y=—x----y=](%+%)=4扰

%2

所以点C的横坐标为-2,故A正确;

对于B,由A可知：直线4C:y=Hx+?,直线BC:y="x+看,

X2%2

由土巴=至=-1,则AC_L3C,即ZAC2=f,故B正确;

M%%%2

—0

对于C,由选项A可知C（-2,乐），则直线CF的斜率尢=1甘=-租,

-2—2

由-1,则钻_LCF.由选项B可知AC_L3C,

m

BC\BF、

所以BFCBCA,得大=占7，即忸C1「2=BAM,故C错误；

DA£>C

对于D,由C可得：5ABe=；|4即|仃|,

IAB\=Vl+m21x-%I=y]l+m2•M+%J-4yly?=J1+病•4641+64=8（1+疗），

\CF\=^（4m-0）2+（-2-2）2=J16〃「+16，

3

则SABC=16（1+疗>，当机=0时，SABC取得最小值为16,故D正确；

故选：ABD.

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消

元得到关于尤或）的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系

式，该关系中含有玉尤2,西+无2或3%，%+%，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），

从而可求定点、定值、最值问题.

三、填空题

7.（24-25高三上・上海•单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、8处的两条切线所围成的PAB

（尸为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段经过抛

物线的焦点尸时，R45具有以下性质：

①2点必在抛物线的准线上；②丛_LPB；③尸F_LAB.

已知直线/：y=Mx-l）与抛物线V=4x交于48两点，若|AB|=8,则抛物线的“阿基米德三角形"PAB

的顶点P的坐标为.

【答案】（T2）或T-2）

【分析】设A（4％）,8（%,%）,将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长|相|=8,

可求出％的值，再由可求出直线%的方程，再由P点必在抛物线的准线上可求出点P的坐标.

【详解】抛物线V=4尤的焦点尸（1,0）,准线方程为x=-1,

设4（工,乃）,8（%,%）,

y2=4x

由,得左2兀2—(4+2左2)冗+左2=0,

y=k(x-V)

由A=(4+2左2,一4〃•左2=16左2+16>o,

ccI、I4+2k2

所以再+工2=-------2—，％入2=1，

K

所以|A同=石+%+/=，+，+2=8,解得左=1或左=—1,

K

当左=1时，因为P尸_LAB,所以上网=-1,

所以直线尸尸的方程为y=-(x-i),

因为P点必在抛物线的准线x=-1上，所以4=-1,

所以力=一(马一1)=一(一1一1)=2,所以P(-l,2),

当左=一1时，因为尸所以原尸=1,

所以直线P尸的方程为y=x-i,

因为P点必在抛物线的准线x=-1上，所以马=-1,

所以为=4T=TT=-2,所以尸(一1,一2),

综上，皿的顶点P的坐标为(T2)或(--2).

故答案为:(-1,2)或(T,-2)

四、解答题

8.(23-24高三下.重庆.阶段练习)过抛物线外一点尸作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,我们称PAB

为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“冏边形”，且已知“冏边形”的面

积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二.如图，点P是圆。：/+(y+5)2=4上的动点，是抛物线

「：无2=20(°>0)的阿基米德三角形，尸是抛物线「的焦点，且1Ppim^=6.

w晋

⑴求抛物线「的方程；

(2)利用题给的结论，求图中“冏边形”面积的取值范围；

⑶设。是“圆边形”的抛物线弧AB上的任意一动点(异于48两点)，过。作抛物线的切线/交阿基米德三

角形的两切线边外，PB于M,N,证明：

【答案】⑴V=12y

⑵2町回

(3)证明见解析

【分析】(D根据圆的几何性质可知1尸尸监=1。尸1-厂，据此求出P可得解；

(2)求出弦长|烈|及点尸到直线的距离，可得出_皿面积，由尸点在圆上，可得面积取值范围，再由“冏

边形"面积与」R4B面积关系得解；

(3)求出过D点切线方程'联立尸A依可得知,N横坐标'据此利用横坐标可得看=两'即可得证.

【详解】(1)由题意得，Q(0,-5),r=2,F(0,gJ,

由IPF京=IQF-r=：+3=6np=6,

所以r：r=12y

(2)设A3:y=fcr+m,A卜七，々七］，

联立F=12)，^>x2-12/a-12m=0,A=48(3k2+m)>0,

Ij=kx+m、7

设方程的两根为不々，则玉+兀2=12匕演%2=T2冽,

由无2=12,n**所以My*.(xf)=PAy.x磊，

联立直线PA可得土乙-五=三尤“-三n无“=土土迤=6左，

60126012°2

代入R4方程中，得力=五.五士迤-a=/=-加，即尸（6人,-机），

p621212

故.E4B的面积k.=JA0/=g4^-403k、m.丹；：芦=4也（3k2+〃布•

因为尸（6匕—㈤在圆Q上，所以3642+（5—根产=4n左2="1一/且加后⑶刀,

36

于是以2+小=4寸~5）2-—加*2*21

1212

-32+22x3-21-72+22x7-21

显然此式在me[3,7]上单调递增，故次2+机e

12'12

3

也即3F+me[3,7],因此$△的=4>/3（3^2+7?7）2G[36,28A/21].

2

由题干知"冏边形'’面积=1S△皿,所以“冏边形”面积的取值范围为

（3）由（2）知，巧=与上，

1Y丫2

设过8的切线＞-%=2退（》-£），即丫=三％-五,

o612

过8点切线交PAy=±x-E得如=五卢，同理/=互卢,

61222

1七+七

因为|A-=kf=-2=X「xJ

\MP\\xp-XM%+%27+%3X2-X3\

\AM\NP

所以扁=^\AM\-\BN\=\PM\-\PN\.

BN

【点睛】关键点点睛：联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式得出|4?|,再由切线相交得出尸点坐

标，求出三角形面积，再由尸点在圆上得出面积的范围是求解“冏边形”面积范围的关键，第三问中利用直

线上线段长度之比可化为横坐标（或纵坐标）之比是解题的关键.

题型02椭圆中焦点三角形的内切圆

【解题规律•提分快招】

焦点三角形双内切圆模型1

22

点M（Xo，y°）为椭圆=+==1上任意一点,点P为△尸耳鸟的内心，点G为△产片片的重心o

ab

性质1、假设焦点AP片居的内切圆半径为广，则S=（a+c）r.

性质2、MA=MB=a-c

性质3、MFi-MF2=2xp

性质4、xp=e%o,y,=—XQ=ero,,

a+ca+c

PQ_

性质5、西=e

性质6、二彳

厂/玉)为、

性质7、6(不，可)

——*—*2

性质8MP♦MG=4—6zc)

22

性质9、P的轨迹为=+当=l(yH0)

Cbc

(a+c)2

焦点三角形内切圆模型2

22

点P（Xo，为）为椭圆二+斗=1上任意一点，点I为旁切圆圆心，A,B,C为切点。

ab

结论：巧=±〃，j（a_yo_）

1L

3,（a+c）x0）

【典例训练】

一、单选题

22

1.（23-24高三上・吉林・期末）已知椭圆方程为C：L+匕=1,尸为椭圆上一点，若/阜第=90。，/为，耳神

82

的内切圆，贝"=（）

A.76-72B.20-瓜C.20+痛D.#+0

【答案】B

【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径.

【详解】

IP^I+IPgl-Wri

由椭圆定义及圆切线性质知:—ci-c-2*^2—\[6.

2

故选：B

22

2.（23-24高三上.吉林延边•期中）点P是椭圆版+'=1上一点，耳,F’是椭圆的两个焦点，且「可巴的

内切圆半径为1,当点P在第一象限时，尸点的纵坐标为（）

759

A.2B.—C.—D.—

334

【答案】B

【分析】根据椭圆方程求出”,6,c,由椭圆的定义可求出|尸团+|耳闾+「g|=2a+2c,然后利用等面积法可

求出P点的纵坐标.

22

【详解】由三+匕=1,得片=16,/=7,

167

所以a=4力=J7,c=J16-7=3,

所以|尸耳|+|耳阊+|P阊=2a+2c=8+6=14,

设.「耳耳的内切圆半径为r,

因为与归国+内工I+P用）r=:闺国〃

117

所以5x14x1=5x6%,得力=§.

故选：B

22

3.（24-25高三上•北京•期末）若片，F?是椭圆C：=+与=1（a>6>0）的左、右焦点，P为椭圆C上一

ab

点（不是顶点），点/为./月居的内心，若、尸耳心的面积是与月面积的3倍，则椭圆C的离心率为（）

A.-B.1C.交D.B

3223

【答案】B

【分析】设尸片区内切圆半径为r,根据三角形面积公式，以及三角形内切圆的性质，结合椭圆定义，得

到$两&=5呼+5小6+5加/，再由题中条件，列出等式，即可求出结果.

【详解】设刊生内切圆半径为r,5PFIF2=SIPF<+SIPF2+SIF2FI=1（|Pf；|+|P^|+|^|）r=（a+c）r,

又因为5喀=；优耳|r=cr,又&期尸2=35人贴,所以a+c=3c,即a=2c,

故选：B

22

4.（24-25高三上•福建泉州•期中）己知椭圆C:，+[=l（a＞b＞0）的左、右焦点分别为小心，点尸（为乂）

ab

是c上的一点，尸月工的内切圆圆心为。（9,%），当下=6时，％=1，则椭圆C的离心率为（）

A.3B.73-1C.3D.2-73

23

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及圆的切线长定理可得1尸£1=。+1，1尸乙1=。-1,再借助两点间距

离公式列式求解即得.

【详解】依题意，|「用+|「乙1=2%设椭圆C的半焦距为c,点

令.「耳耳的内切圆切耳月，尸心,尸£的切点分别为D,E,F,

\PFl\-\PF2\=\PG\+\GFl\-(\PE\+\EF2\)=\DFl\-\DF2\=(l+c)-(c-l)=2,

(A/3+C)+y：=(a+l)2

联立解得1尸片1=。+1,口61=。-1,贝!）消去%得：4a=4A瓦?,

(道-c『+y；=(a-l)2

所以椭圆C的离心率e*字

?V2

5.（2024高三下.全国.专题练习）已知片，尸2分别是椭圆C：工+^=1的左、右焦点，尸为第一象限内椭

54

圆。上一点，尸耳外的内心为点/,则直线/与心的斜率之积为（）

A.--B.--C."-3D.4-3

5842

【答案】D

【分析】设P、I的坐标，根据两点求距离公式求出|「耳由椭圆的定义求出|桃|,根据内切圆的性质求

出点I的坐标，结合两点表示斜率公式化简计算即可求解.

【详解】设尸（飞,为乂飞＞。,%＞。），/（%，岁）1（%＞。，%＞。），

则今+学=1,易知好（—1,0）,

2

故|尸月|=J(x()+1)+，=+2%+1+4-芋■=J-^-+2x0+5=Jf-4^+V51=—^+y/5,

则由椭圆的定义可得1尸闾=有一定.

设A,3,Af分别为「耳尸2的内切圆与边尸月，P瑞，与耳的切点，

则”a,0）,根据内切圆的性质知|E4|=|「同，|砍|=9周，忸闻=|M局,

因此俨耳|-|「我TMH盟口班卜1此1，

+45=（玉+1）-（1-再），解得x=表.

在-尸耳尸2中，［%闺闻=）（|尸用+户用+闺用）%，解得％=看丁

因此/（条，7匕］,

IV5A/5+1J

%°为°

k=«+]*君+1=5*=20-4%=,-3

苧+1"1心+1『(焉-5)a+1)«-5)2

7575

故选：D.

22

6.（浙江省台州市2024-2025学年高三上学期期末质量评估数学试题）已知椭圆E:?+a=1（0<〃〈君）的

左右焦点分别为耳耳，点M伉,为）是椭圆E上第一象限的一点，AMF［F］的内心为N（%,%）,若%=国,

则椭圆E的方程为（）

【答案】D

【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得|G4|=ex0+c,进一步得|GQ|=ex0,从而占=江。,

由毛=&七得离心率，利用a2=b2+c2求解即可.

22

【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程：1+1=1,

ab

由椭圆上任意点尸（羽丫）及左、右焦点上（-。,0）、8（GO）,

得I尸用=J(x+c)2+y2=+c)2+〃,一2]=『[x2+2cx+e+12)

_P"""2""2_C

=41-z~X+2CX+Q=ClH---X；

Vaa

同理，|Pg|二J(x—c)2+y2=

根据椭圆方程知，—e（0,1）,|x\<a=>a>—\x\^a±—x>0,

aaa9

22

故