阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题（2大题型）原卷版-2025年高考数学二轮复习

重难题型•解题技巧攻略

阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题（2大题型）

*>-----------题型归纳•定方向----------*>

目录

题型01阿波罗尼斯圆..........................................................................1

题型02蒙日圆................................................................................5

•-----------题型探析・明规律-----------<>

题型01阿波罗尼斯圆

【解题规律•提分快招】

一、阿波罗尼斯圆

1.阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点8,设P点在同一平面上且满足言=4，当4>0且时，尸点的轨迹是个圆，称之

为阿波罗尼斯圆.（4=1时P点的轨迹是线段的中垂线）

2.阿波罗尼斯圆的证明

pA

设P（x,y），4（-a,0）,5（a,0）.若诟=彳（彳>0且a1）,则点P的轨迹方程是

2\222

A+l2A+l2aA

x---—a+y=,其轨迹是以“，0|为圆心，半径为尸=的圆.

22-l22-122-1

7

证明：由P/=4尸3及两点间距离公式，可得（工+.）2+/=万［@-0）2+必］,

化简可得（1一下卜2+（1-矛）｝;2+2（1+/12）依+（1-42）。2=0①，

（1）当4=1时，得尤=0,此时动点的轨迹是线段42的垂直平分线;

（2）当义,时，方程①两边都除以1一分得/+/+辿=fc+a2=0,化为标准形式即为:

\2

川+1

a•••点尸的轨迹方程是以京二道，。为圆心，半径为厂=20的圆•

22-1

7

【定理】4,3为两己知点，分别为线段N2的定比为apwl）的内外分点，则以上W为直径的圆C上

任意点尸到48两点的距离之比为几.

证明：以4>1为例.如图②，设48=2°,——=2,则4M=："，BM=2a—；丝=12*,

JMBNB1+A1+A1+A

AN二/，BN;入。二3.过B作的垂线圆C交于0,尺两点，由相交弦定理及勾股定理得

涧=MB・BN,Q#=AB?+解,于是=Q="

?22-1v上A2-lVl2-1V22-lQB

同时在到4,2两点距离之比等于，的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，

圆C上任意一点P到43两点的距离之比恒为2.同理可证0</<1的情形.

3.阿波罗尼斯圆的相关结论

【结论1】当4>1时，点B在圆C内，点A在圆C外；当0<4<1时，点A在圆C内，点B在圆C外.

【结论2】因NguMTZN,故是圆C的一条切线.若已知圆C及圆C外一点A,可以作出与之对应

的点B,反之亦然.

22

ST4aX4naA

【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为儿W=/T，面积为（万_1）2•

【结论4】过点A作圆C的切线（。为切点），则。M,QN分别为/4。8的内、外角平分线.

【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，〃是的

内分点，N是的外分点，此时必有尸〃平分N4P8,PN平分NZP8的外角.

证明：如图①，由己知可得卷=黑=事=彳（力>0且％H1），：联"=黑="又

PBMBNBNBMMb

S'=^PA-PMsinZAPM,S^PA-PMsin/APM

BM=-PB-PMsmZBPM

2PB-PMsinZBPM-

sinZAPM=sinZBPM,ZAPM=ZBPM,PM平分NAPB.由等角的余角相等可得ZBPN=ZDPN,

平分入1尸8的外角.

【结论6］过点3作圆C不与Q?重合的弦EF,则AB平分NEAF.

,FAEA,EBEASEB

证明：如图③，连结由已知——=——=2，，——=——MBE=——(A>OMA#1),又

EBFBFASMBFFB

AB,AEsin/BAEEBAE

St.X./iDRIFt=2-ABAEsinNBAE7,SIXA.D4r„F=2-AB-AFsinZBAF

AB-AFsinABAFFBAF

sinNBAE=sinZBAF,NBAE=ZBAF,N8平分ZEAF.

sin/BAE=sinZBAF,ZBAE=ZBAF,AB平分AEAF.

【典例训练】

一、单选题

1.（24-25高三上•浙江金华•阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现:

平面内到两个定点43的距离之比为定值彳（Xwl）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字

命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.己知点尸,。分别是抛物线C：J=8y和£:X?+/一12〉+32=0上的动

点，若抛物线C的焦点为尸，则2|尸。|+|。川的最小值为（）

A.6B.4痴C.4A/3D.5

2.（24-25高三上•福建福州•期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之

比为定值2（彳片1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系工S中，/（-2,0）、

P41

8（4,0）,点尸满足,=设点尸的轨迹为C,则下列说法错误的是（）

rJj2

A.轨迹C的方程为（x+4『+y2=i6

B.面积最大值为12

C.若尸（x,y）,则长的最大值为理

D.在C上存在点使得|MO|=2|M4|

3.（24-25高三上•湖南株洲•期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A,B及动点

PB\

P,若相=彳（彳＞0且义工1）,则点尸的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆

（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中,已知。（0,0）,N（0-l）,直线4：kx-y+k+2=Q,直线公

71

x+@+2k+l=0,若"为4，4的交点,则半的最小值为（）

A,巫R2+五C3-—1

D.V10

33,3

二、多选题

4.（24-25高三上•山东烟台・期末）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个

定点的距离之比为常数且2"）,那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点尸到点。（0,0）

与点/（2,0）的距离之比为五，则（）

A.点尸的轨迹方程为（x-4）2+/=8

24

B.点P到直线3x-4y+12=0距离的最小值为y

C.点P到圆，+「=1上的点的最大距离为5+2行

D.若到直线依7-2左=0的距离为尼的点尸至少有3个，则TW上W1

5.（24-25高三上•江苏连云港•期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几

里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值2（彳#1）的点所

形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系xp中，

/（2,4）,3（2,1）.点/>满足忘=2,设点尸的轨迹为曲线E,下列结论正确的是（）

A.曲线E的方程为（X-2）2+J?=4

B.过点C（-2,0）的直线/与曲线E有公共点，则直线/的斜率范围是-

C.曲线E上的点到直线x+y+l=0的最小距离为逑一1

2

D.过点。（-1,-4）作曲线E的一条切线，切点为尸，则川等于亚

三、填空题

6.（24-25高三上•福建厦门•期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面

内到两个定点4B的距离之比为定值X（X#1）的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名，

称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，/（-2,0）,8（4,0），点尸满足既=5,则点

P的轨迹方程为.

7.（23-24高三上•海南海口•期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了

经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到

两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两

点和8（2,1）,且该平面内的点尸满足|尸/|=夜|尸却，若点尸的轨迹关于直线

mx+ny-2=Q（m>0,n>Q）对称,则掰与"之间的关系式为.

8.（24-25高三上•江苏泰州•阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点48的距离之比为

常数的点的轨迹是一个圆心在直线48上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体

/8。。一43£2中，=24。=2/4=12,点£在棱/台上，BE=2AE,动点、P满足BP=CPE,若点P

在平面/BCD内运动，则点P对应的轨迹的面积是；尸为G2的中点，则三棱锥尸尸体

积的最小值为___________.

DiFCi

四、解答题

9.（24-25高三上•河南洛阳•阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距

离之比为常数左体＞0且左/1）的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，

N（l,0）,M（4,0）,动点。满足耨=2,设动点。的轨迹为曲线C.

⑴求曲线C的轨迹方程；

⑵若直线无7+1=0与曲线C交于48两点，求WM；

⑶若曲线C与x轴的交点为E,尸，直线/：尤=〃沙-1与曲线C交于G,〃两点，直线EG与直线口交于点

证明：点。在定直线上.

题型02蒙日圆

【解题规律•提分快招】

二「豪百面

1.蒙日圆的定义

在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半

轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1.

图1(1)图1(2)

22

证明：设椭圆的方程为三=1(。>6>0),则椭圆两条互相垂直的切线网，P8交点尸的轨迹是蒙日圆：

ab

2222

x+y=a+b.①当题设中的两条互相垂直的切线〃，尸8斜率均存在且不为0时，可设

y-y0=k(x-x0),

且％K±b),过P的椭圆的切线方程为歹一为="(芯一%)(左力0),由1/y2得

I靛+炉i

~后一+6一)无？_2ka-(kx°—%)无+q-(kx。—%)-a°b-=0,

由其判另U式值为0,得(另一力)-一7.Xoyok+诉一/=0(x；—/N0),

22

v-b

.；kpA,kpB是这个关于k的一元二次方程的两个根，："内-kPB=口~2,

x0-a

22

v-h2222

由已知PAVPB,：.kPA-kpB=-1,3~7=一1,，x：+/=/+Z>2,.•.点p的坐标满足方程x+y=a+b.

x0-a

②当题设中的两条互相垂直的切线PA,PB有斜率不存在或斜率为o时，可得点P的坐标为(±a,6)或

(a,±b),此时点P也在圆/+也=a„上.

22

综上所述：椭圆q+4=1(。>6>0)两条互相垂直的切线以，尸8交点P的轨迹是蒙日圆：x2+y2=a2+b2.

ab

2.蒙日圆的几何性质

22

【结论1】过圆/+，=/+/上的动点P作椭圆'+方=l(a>b>0)的两条切线口，尸8,则川口以

「22

二+匕=1

证明：设P点坐标(X。，%),由02b2，得

y-y0=k(x-x0)

122221

^k+Z>）x-2to（Ax0-y0）x+（Ax0-y0）-a^b=0,由其判别式的值为0,

（x；-a?）F_2%0%左+y；-/=0（x：-Q2W0）,

2-b2

:%，左依是这个关于左的一元二次方程的两个根，「"”人心"v当~T，x1+yl=a2+b2,

xQ-a

y2-b2

%二真/=—1'P4LPB.

22

【结论2】设尸为蒙日圆O：上任一点，过点p作椭圆3+二=1的两条切线，交椭圆于点

ab

2

/,3,。为原点，贝UQP,的斜率乘积为定值够.心=-勺h.

a

22

【结论3】设尸为蒙日圆O：/+必=1+〃上任一点，过点尸作椭圆二+q=1的两条切线，切点分别为

ab

/,3，。为原点，则04,刃的斜率乘积为定值k-k=~,且。兄网的斜率乘积为定值k-k=~

OAPAa0BPBa

（垂径定理的推广）.

22

【结论4】过圆/+/♦+/上的动点P作椭圆1r+}=1（。>6>0）的两条切线，0为原点，则尸。平分椭

圆的切点弦.

证明:「点坐标（…），直线。尸斜率心*,由切点弦公式得到检方程竽+等=1,3一篝,

k-k=--由点差法可知，。尸平分为5,如图M是中点.

OPABa

22

【结论5】设尸为蒙日圆。：/+/=/+〃上任一点，过点p作椭圆宏+3=1（。>6〉0）的两条切线，交蒙

日圆O于两点C,D,则。尸，CZ）的斜率乘积为定值后

a

22

【结论6】设P为蒙日圆/+/=。2+〃上任一点，过点尸作椭圆^+%二吊。〉/,〉。）的两条切线，切点分别

A4

为4,8,。为原点，则。4,08的斜率乘积为定值：k-k=~.

OPCDa

22

【结论7】设P为蒙日圆/+/=/+〃上任一点，过点p作椭圆二+勺=1(.>6>0)的两条切线，切点分别

ab

为/，瓦。为原点，则S.OB的最大值为?，S^OB的最小值为在

2a+b

22

【结论8】设P为蒙日圆一+、2=。2+/上任一点，过点尸作椭圆］+==1(.>6>0)的两条切线，切点分别

44

ah

为4B,则S^PB的最大值为一，的最小值为二J.

a+ba+b

*丽加综i

一、单选题

1.(24-25高三上•山西太原•阶段练习)画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在

一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴、短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭

圆C:=+—=l(a>0)的离心率为:，则椭圆c的蒙日圆的方程为()

aa—13

A.x2+y2=19B.x2+y2=17

C.x2+y2=15D.x2+y2=14

2.(24-25高三上•湖北•期中)19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几

何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同

22

心的圆上，称为蒙日圆，椭圆餐+4=1(°>6>0)的蒙日圆方程为x2+y2=/+/.若圆

ab

22

*-4)2+()-〃)2=16与椭圆—+一=1的蒙日圆有且仅有一个公共点，则"的值为()

63

A.±3B.±^33C.±V§4D.±6

3.(2024•广东•二模)法国数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交点

轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆.根据此背景，设M为椭圆C:x2+Zl=l的一个外切长方

12

形(M的四条边所在直线均与椭圆C相切)，若M在第一象限内的一个顶点纵坐标为2,则M的面积为

()

-112114

A.13jr3B.26C.5D.§

4.(24-25高三上•天津滨海新•期中)法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他

发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙

日圆.若椭圆「■+A=l(a>0,6>0)的蒙日圆为C:x2+y2=：a2,过C上的动点初作r的两条切线，分

6ZDN

别与C交于P,。两点，直线尸。交r于A,B两点，则下列说法中，正确的个数为()

①椭圆r的离心率为日

②”到r的左焦点的距离的最小值为a一6&

2

@^MPQ面积的最大值为:/

④若动点。在r上，将直线。4,D3的斜率分别记为尤，h，则左芯=-3

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

5.（24-25高三上・江西•期中）己知椭圆C：5+\=l（a>b>0）,我们把圆/+/=/+尸称为。的蒙日圆,

。为原点，点尸在C上，延长。尸与C的蒙日圆交于点。，则（）

A.|P。的最大值为石可B.若P为。。的中点，则C的离心率的最大值为9

C.过点。不可能作两条互相垂直的直线都与C相切D.若点（2,1）在C上，则C的蒙日圆面积最小

为97t

6.（23-24高三上•广东广州•期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔・蒙日发现：与椭圆相切的两

条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆

fr-

C：y+/=1,片，耳分别为椭圆的左、右焦点，直线/的方程为缶+了-4=0,M为椭圆C的蒙日圆上

一动点，MA,M3分别与椭圆相切于4,5两点，。为坐标原点，下列说法正确的是（）

A.椭圆C的蒙日圆方程为f+/=4

B.记点/到直线/的距离为d,则周的最小值为0

C.一矩形四条边与椭圆C相切，则此矩形面积最大值为4G

D.△Z03的面积的最大值为走

2

三、填空题

7.（24-25高三上•广西柳州•阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它

的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲

线沙：土一/=1的蒙日圆上一点p作少的两条切线，与该蒙日圆分别交于48两点，若/尸/8=30。，贝I

3

△P4B的周长为.

8.（24-25高三上•江西上饶•阶段练习）加斯帕尔•蒙日是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现:

椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆''.已

22

知椭圆C:、+匕=1（/>6）,若直线/：4x-3y+30=0上存在点p,过P可作C的两条互相垂直的切线，则

椭圆离心率的取值范围是.

9.（23-24高三上•广东江门•期中）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意

两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家

加斯帕尔・蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆C:三+r=1的左、右焦点分别为片、%尸为椭圆C上一

动点，过户和原点作直线/与椭圆C的蒙日圆相交于M,N,则也用..用

四、解答题

10.（24-25高三上・重庆渝中•阶段练习）法国著名数学家加斯帕尔・蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任

22

意两条互相垂直的切线的交点G的轨迹是以椭圆的中心为圆心，^a+b（。为椭圆的长半轴长，6为椭圆

的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：y+y2=l,K，月分别为椭圆C的左、右

焦点，椭圆C的蒙日圆为圆E.

⑴求圆E的方程；

⑵已知点A是椭圆C上的任意一点，点。为坐标原点，直线。4与圆E相交于S、T两点，求证：

\AS\-\AT\=\AF^\AF^.,

⑶过点8（1,0）作互相垂直的直线4、3其中4交圆E于P、。两点，4交椭圆C于"、N两点，求四边

形尸面积的取值范围.

题型通关•冲高考

一、单选题

1.（24-25高三上•福建厦门•期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了

经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两

定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点

和8（2,1）,且该平面内的点P满足归/|=拒|尸耳，若点尸的轨迹关于直线加x+即-2=0对称，则

■|加+〃的值为（）

A.0B.1C.2D.3

2.（23-24高三上•河南南阳・期中）如图，加斯帕尔・蒙日是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥

曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点P的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也叫

3.（2025高三•全国•专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直

于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰RtAPNB

的圆锥尸O,过点4及线段P8的中点M的某平面截圆锥P。，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）

4.（24-25高三上•浙江杭州•期中）法国数学家加斯帕・蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发

现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日

225

圆.若椭圆「*r+方=1（“>6>0）的蒙日圆为。：/+产=#,过c上的动点初作r的两条切线，分别与c

交于尸，。两点，直线尸。交：r于A,B两点，则下列结论错误的是（）

B.AMP。面积的最大值为1不

（II-、

C.〃到r的左焦点的距离的最小值为受-?a

D.若动点。在：T上，将直线。N,的斜率分别记为占，&,则左向=-3

二、多选题

5.（24-25高三上•全国・单元测试）加斯帕尔•蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时

发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日

22

圆”（如图所示）.当椭圆方程为三+q=1（“>6>0）时，蒙日圆方程为一+必=/+62.已知长方形G的

ab

22

四边均与椭圆土+匕=1相切，则下列说法正确的是（）

A.椭圆N的离心率为十

B.若G为正方形，则G的边长为2后

C.椭圆M的蒙日圆方程为*+廿=7

D.长方形G的面积的最大值为14

6.（24-25高三上•福建福州・期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262〜前190）发现：平面内到

两个定点48的距离之比为定值44/1）的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波

罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xQy中，已知41,0）,5（-2,0）,动点尸满足曷=不，直线

I:mx—y+m+l=0,贝”（）

A.直线/过定点（-1,1）

B.动点P的轨迹方程为（x-2）2+/=4

C.动点P到直线/的距离的最大值为历

D.若点。的坐标为（1,1）,则|尸必+2]/训的最小值为加

7.（2024•江西宜春•三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义:

在平面内，已知两定点工,8之间的距离为。（非零常数），动点〃到/,3的距离之比为常数2（2>0,

且叱1）,则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆.在平面直角坐标系xQy中，已知/（-4,0）,3（2,0）,点M满

足|M4|=2|九必则下列说法正确的是（）

A.面积的最大值为12B.应。标的最大值为72

C.若。（8,8）,贝川他4|+2m0]的最小值为10口.当点M不在x轴上时，MO始终平分乙4MB

8.（23-24高三下•广西•阶段练习）法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆/=的任

意两条互相垂直的切线的交点。的轨迹是以原点为圆心，曲犷为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形

22

G的四边均与椭圆C:土+二=1相切，则下列说法中正确的是（）

54

A.椭圆C的蒙日圆方程为X2+/=9

B.过直线/：x+2y-3=0上一点p作椭圆C的两条切线，切点分别为M、N,当NM/W为直角时，直线。尸

的斜率为-14

C.若圆（x-4『+（y-加）"=4与椭圆C的蒙日圆有且仅有一个公共点，则加=±3

D.若G为正方形，则G的边长为3夜

9.（23-24高三下•重庆•阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口曲

线.如图，当平面垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲线”，

则是椭圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线（部分）；若平面平行于圆锥的轴，得到双曲线（部

分）.已知以尸为顶点的圆锥尸。，底面半径为1,高为G，点A为底面圆周上一定点，圆锥侧面上有一动

点T满足L4=7P,则下列结论正确的是（）

A.点T的轨迹为椭圆

B.点T可能在以。为球心，1为半径的球外部

C.7P可能与以垂直

D.三棱锥尸-/T。的体积最大值为逅

12

10.（24-25高三上•广西贵港•阶段练习）法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为“画

法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为

圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆氏J+，=l（a>6>0）的蒙日圆为。：/+必=^",过圆。

上的动点又作椭圆£的两条切线，交圆C于尸，。两点，直线PQ交椭圆E于48两点，则下列结论正确的

是（）

A.椭圆E的离心率为逅

3

B.若点。在椭圆E上，且直线的斜率之和为0,则直线的斜率为乎

C.点”到椭圆E的左焦点的距离的最小值为Q一啦）“

3

D.A&P。面积的最大值为6a2

三、填空题

11.（24