2025年中考数学一轮复习考前突破：规律探究（3大必考题型）60题（解析版）

考前突破01规律探究（3大必考题型）60题

题型一：数式规律探究

题型二：图形规律探究

题型三：点坐标的规律探究

.精淮提分

题型一：数式规律探究

【中考母题学方法】

1.（2024・山东日照・中考真题）在数学活动课上，老师给出了一个数字构造游戏：对于给定的一列有序数字，

在每相邻两个数之间插入这两数的和，形成新的一列有序数字.现有一列数：2,4,进行第1次构造，得到

新的一列数：2,6,4,第2次构造后,得到一列数：2,8,6,10,4,...,第"次构造后得到一列数：2,再,％,孙…，4，4，

记%=2+再+3+%3++々+4.某小组经过讨论得出如下结论，错误的是（）

A.«3=84B.2为偶数C.。"+i=3a“-6D.k=2n-l

【答案】D

【知识点】数字类规律探索

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，先求出%，%,a3,%的值，以及对应的左值，可得规律

屐=32_1-6,此时左=2"-1,据此可判断A、C、D；再证明是偶数即可判断B.

【详解】解：由题意得q=2+6+4=12,此时左=1=，一1,

a

a2=12+8+10=30=3^-6,此时26=G—2,左=3=2,-1,

第3次构造后得到的一列数为2,10,8,14,6,16,10,14,4,

回%=30+10+14+16+14=84=3%-6,止匕时与2=出一2,%=23-1=7,故A正确，不符合题意;

同理可得=%+162=3%-6,此时*9=%-2#=15=24-1,

以此类推可知，an=3tz„_1-6,此时左=2"-1,故D错误，符合题意

Ely=a„_i-2,an+x=?>an-6,故C正确，不符合题意；

回q=12是偶数，

吟=4-2是偶数，

团。2是偶数，

吟=%-2是偶数，

团〃3是偶数，

以此类推，4T也是偶数，

吟为偶数，故B正确，不符合题意；

故选：D.

2.(2024.宁夏.中考真题)观察下列等式：

第1个：1X2-2=22X0

第2个：4x3-3=3"

第3个：9X4-4=42X2

第4个：16X5-5=52X3

按照以上规律，第〃个等式为.

【答案】M2(n+l)-(w+l)=(n+l)2(w-1)

【知识点】数字类规律探索

【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等

于序号加1的平方乘以序号减1,据此可得答案.

【详解】解：观察算式可知，序号的平方乘以序号加1减去序号加1的结果等于序号加1的平方乘以序号

减1,

所以第〃个等式为："5+1)-5+1)=(”+1)25一1),

故答案为：n2(n+l)-(n+l)=(zi+l)-(n-\).

3.(2024•山东潍坊・中考真题)将连续的正整数排成如图所示的数表.记为数表中第i行第，列位置的数

字,如。(1,2)=4,%2)=8,%4)=22.若％,”)=2024,则〃z=,n=.

T

1T5

14

lOfIlf12fl320

I

25<—24<—23<—22<—21

I

2627—>28—>29—►•••

【答案】452

【知识点】数字类规律探索

【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解题的关键是找出规律：当正整数为左2时，若左为奇数，则上2

在第上行，第1歹！I,下一个数再下一行，上一个数在第2歹!J；若左为偶数，则廿在第1行，第左列，下一个

数再下一列，上一个数在第2行.

【详解】解：由图中排布可知，当正整数为^时，

若左为奇数，则公在第左行，第1歹！I，下一个数再下一行，上一个数在第2歹!J；

若左为偶数，则二在第1行，第七列，下一个数再下一列，上一个数在第2行；

2

：a(mn)=2024=2025-1=45-1,

而2025=452,在第45行，第1歹U,

二2024在第45行,第2列，

••in—45,AZ=2,

故答案为：45,2.

【中考模拟即学即练】

4.(2025•山东临沂・一模)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了伍+3"("为非负整数)展

开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角

(Q+Z?)°=1

(a+Z?)=a+b

(a+Z?)2=a2+2ab+b1

23

(a+人丫=+3c+3ab+b

(a+人=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b*

(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

1

11

121

1331

14641

15101051

则（4+6）23展开式中所有项的系数和是.（结果用指数塞表示）

【答案】22024

【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算

【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到

规律是解题的关键.根据“杨辉三角”展开式中所有项的系数和规律确定出（〃+》）”（W为非负整数）展开式的

项系数和为2"，求出系数之和即可.

【详解】解：当”=0时，展开式中所有项的系数和为1=2°，

当〃=1时，展开式中所有项的系数和为1+1=2=21

当〃=2时，展开式中所有项的系数和为1+2+1=4=2上

当”=3时，展开式中所有项的系数和为1+3+3+1=8=23

…,

由此可知（a+by展开式的各项系数之和为2"，

则（a+6）他4展开式中所有项的系数和是22期，

故答案为：22°2、

5.（2024・重庆江津•二模）一个四位自然数"，如果满足各个数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位

数字之差为2,百位数字与十位数字之差为2,则称这个数〃为"双喜数".对于一个"双喜数"n,记F（〃）=-.例

〃=6314,因为6—4=2,3-1=2,所以6314是“双喜数”，尸（6314）==574.贝|尸（8426）=；

若一个四位自然数优是“双喜数"，且且驾是整数，则满足条件的根的最大值为__________.

12

【答案】7668976

【分析】本题主要考查了"双喜数"的定义、实数的运算、整除等知识点，掌握实数的运算法则成为解题的关

键.

根据F(n)=E的定义即可求得F(8426)；由已知可得设

m=1000x+100j+10(y-2)+x-2=1001x+110y-22,其中2Vx<9,2<y<9,且1,y都是整数，兀

可得AM)=91x+10y-2,而£詈是整数，可知%无+；?-2是整数,可知9k+10y-2必为偶数，91x-2

为偶数，故x最大为8；设726}0y=呷即，="霏竺；然后列举卬的值找到最大的y值，最后根据"双

喜数"的定义即可解答.

【详解】解：由题意可得尸(8426)=呼=766,

根据"双喜数"定义，设〃?=1000x+100y+10(y-2)+x-2=1001x+110y-22,其中24x49,2<y<9,S.x,

y都是整数，xwy,

小小咏r2=弧+1吁2,

回曾是整数，

12

9lx+10y2曰击七.七八

0--------是整数，

02<x<9,且x是整数，

国彳=8,

0------57—是整数，

、六726+10y12w-726

设一^^=卬，即Hn>=一而—，

02<y<9,

团当w=68时，y=9

团满足条件四位自然数m的最大值为8976.

故答案为：766,8976.

6.(2024•湖北黄冈•模拟预测)我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图

表给出了(“+6)"展开式的系数规律.

1..........(a+6)°=1

11..........(a+6)=a+b

121(«+Z?)2=a2+2ab+b2

1331(a+Z?)3=a3+3a2b+3ab2+b3

当代数式丁一9尤2+27x-27的值为8时，贝！］x的值为.

【答案】5

【分析】本题考查了多项式乘法中的规律性问题，立方根的定义等知识，灵活的应用规律解题是关键.由

规律可得：(o+6)3+3a%+3a62,令a=x,b=—3,可得(x—3丫=8,再解方程即可.

【详解】解：由规律可得：(a+6)4=a4+4a%+6a282+4a/?+〃，

令0=%b=-3,,

EI(x-3)3=X3-9X2+27X-27,

Elxx3-9x2+27x-27的值为8

EI(X-3)3=8,

El尤一3=2,

团x=5,

故答案为：5.

7.(2024•山东滨州•三模)如图，在Rt^A。片中，。4=。耳=1，耳=90°,以Rt^AQ用的斜边4#为

直角边作等腰直角三角形・AAA，再以的斜边44为直角边作等腰直角三角形△右q星，…同样

的作法，作下去可以依次得到一组等腰直角三角形想再Bz,△&与昌，△4员统，…，里，

则第〃个等腰直角三角形△A4,T纥的面积为.

【答案】22"-3

【分析】本题考查图形和数字类规律探究，涉及等腰直角三角形的性质、勾股定理、算术平方根等知识，

熟练掌握等腰直角三角形的性质，找到面积变化规律是解答的关键.先求得前几个等腰直角三角形的直角

边长和面积，找到变化规律，进而可求解.

【详解】解：回△A.B,T纥是等腰直角三角形，。4=。瓦=1,

团A耳=J12+12=^2，

=B[B?=不卜0)+(3)=2，

&人=44=,2?+2?=2夜,

=B2B3=J(2可+(2可=4,

4员=A4=44、+4、=4y/2，

A,B3=B3B4=J(4句+(4可=8,

..,

团S"*耳=|xlxl=1,

S工研也=万4片.BXB2=-X2X2=2,

11a

S△他理不也员=JX4X4=8=23，

22

=

2,B3B4=5*8x8=32=25,

依次类推，得％4B”.=22"-3,

故答案为：22n-3

8.(2024•重庆铜梁•一模)在中国文化中，"6"被视为完美的数字，因为它寓意和谐、顺遂和圆满，因此，"66"

可以被解读为双倍顺遂或更加完美.一个四位自然数加=砺，若各个数位上的数字均不为0.且满足1%

-7d|=66.则称这个四位数M为"双顺数".例如：对于9226,回92-26|=66,09226是"双顺数"；对于2689,

ffl|26-89|=63^66,团2689不是"双顺数”.则最大的“双顺数"是；如果将一个"双顺数"M=而?

的千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数而，并且规定：

F(四)=”手.若£凹是整数，则符合条件的M的最小值是________.

1017

【答案】99331682

【分析】此题考查学生数的表示方法及数学推理能力，解题的关键是根据题意确定出是7的倍数的数98.一

个四位数尝试最大时尝试千位数和百位数字是9,根据I方-万|=66可得个位，十位上数字为3,因此最大的

“双顺数”是9933.用。、6、c、1表示出M和“，互换位置后两数尸(")="注是7的倍数，2。。+；"66,

可推断出M的最小值为1682.

【详解】解：由题意版-同=66,当。=9,6=9时，99-66=33,此时这个四位数是9933.

故最大的“双顺数”是为9933.因为|茄-五|=66,不妨设元〉则这个四位数各位上数为c+6,d+6,c,

d,

M=1000(c+6)+1000+6)+10c+,当千位数字与十位数字交换，百位数字与个位数字交换后得到四位数

M'=1000c+100d+10(c+6)+d+6,

所以网")=丝整2020c+202d+666620c+4+66

101—7

因为ll<10c+d<33可得88<20c+2d+66<99,

又(M)是7的倍数，

所以可推出20c+2d+66的值为98

贝l|20c+2d=98-66=32,

可得10c+d=16,

因此，c=l,d=6.

所以66+16=82,

故M的最小值为1682.

故答案为：9933、1682.

__]_]_]_]

2=,3=,

9.(2024・湖南岳阳•模拟预测)已知％='°1，201，3%=1+j'[=]+”,则

q。2。3

q++%+…+%=

【答案】R

【分析】本题考查了数字类规律实数运算，根据题意计算4,电,生,4,得到

=]=]M__

“1+2+3+...+"-小+1)=一2(n“+J即可求解，找到规律是解题的关键.

2

【详解】解：由题意得：4=六

1_1

ITT以

11

%

1_1

177=1+2+3+4,

L,

1_1

%―1,-1+2+3+~~Tn,

---\-n

an

a二1二1M

团n1+2+3+...+〃+1〃n+1J,

2

团4+%+/+

2〃

故答案为：言

10.（2023•辽宁锦州•三模）设VABC的面积为1,如图①，将边BC、AC分别2等分，相交于

点O,一ABO的面积记为H；如图②，将边3C、AC分别3等分，BE1、相交于点。，一MO的面积

记为Sz；……，依此类推，贝I52023=

【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，从中找出规律.

利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得结果.

【详解】解：在图①中，连接OC,

A

一

、AE[=CEX,BD[=CD],

B7c

图①

•q—Qs二SOCDi'SME]=S5Q=5SABC=W，

••0OAEX~u.OCE[，uOBDi~

q-v-VSOBD~SABD_SOAB，

uOAEi~0ABE1°OAB，XX

•q―s

..uOAEi_uOBDX9

•q—q_q—

一uOAE\_uOCEi_uOBD}~uOCDif

SOCDi=X,则

设$O4&=S0CEi=SOBDI二

S,+x=一

<i2,

S]+4x=1

解得S1=g；

在图②中，连接。旦、c)

c、OD2,

A

BD}D2C

图②

—C—C—C—C—c

则SABE,=S=->S'

ABD[ME1一u0砧2-OCE2~©OBDi~°ODXD2~°OCD2

设SOAE,=S.og=go%-SOBD.=S皿4=SOCD2=X,贝I

S,+x=-

,3,

S2+6X=1

解得S2=g;

在图③中，连。心、OE3、OC、OQ、02，

图③

=SABDi=W，SOAE-SOg—C—C—Q—C—C—Q

则S"E,X一4.OE2E3-Q.OCE3.uOBD{-©OD{D2-uOD2D3-JOCD3，

设SOAE^=OE\E2=SOE24=SOCE3=SOBD]=SOD[D2=OD2D3~,OCD3=%，则

_£

S+x

3-4,

S3+8x=1

解得$3=",

1

由可知,S〃=

2n+l

11

2?20231—4047

1

故答案为:

4047

题型二：图形规律探究

【中考母题学方法】

11.（2024,黑龙江牡丹江,中考真题）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个

图有4个三角形.第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图

中三角形的个数是（）

△

△△△△

△△△△△△△

AAA△△△AAA

第I个第2个第3个

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】B

【知识点】图形类规律探索

【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律.根据前几

个图形的变化发现规律，可用含〃的代数式表示出第〃个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三

角形的个数.

【详解】解：第1个图案有4个三角形，即4=3xl+l,

第2个图案有7个三角形，即7=3x2+l,

第3个图案有10个三角形，即10=3x3+1,

按此规律摆下去，第〃个图案有（3〃+1）个三角形,

则第674个图案中三角形的个数为：3x674+1=2023（个）.

故选：B.

12.（2024•山东济宁•中考真题）如图，用大小相等的小正方形按照一定规律拼正方形.第一幅图有1个正

方形，第二幅图有5个正方形，第三幅图有14个正方形......按照此规律，第六幅图中正方形的个数为（）

【答案】B

【知识点】图形类规律探索

【分析】本题主要考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到有关图形个数的规律.仔细观察

图形知道第1个图形有1个正方形，第2个有5=F+22个，第3个图形有14=1?+2?+3?个，...由此得到规

律求得第6个图形中正方形的个数即可.

【详解】第1个图形有1个正方形，

第2个图形有5=12+22个正方形，

第3个图形有14=F+22+32个正方形，

M6^0^<12+22+32+42+52+62=1+4+9+16+25+36=91（个）正方形,

故选：B.

13.（2024•四川巴中•中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若Q4=l,则OG=（）

KL

.125「12564

Rc.—324

64642727

【答案】C

【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算

【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解

360°OBOC=cos3（T=正，再进一步探究即可;

ZBOA=ZBOC==30°,可得空=

12OBOCOD2

【详解】解：团12个相似的直角三角形,

360°

团Z.BOA=NBOC='■==30°,

12

OAOBOC

=cos30°=

OBOCOD2

团Q4=l,

0OB=-^=lx-V3,

33

OC=g=lx［沟,

6_64

ElOG=lx

~27

故选C

14.（2024•青海,中考真题）如图是由火柴棒摆成的图案，按此规律摆放，第（7）个图案中有.个火柴

棒.

⑴⑵⑶

【答案】15

【知识点】图形类规律探索

【分析】本题考查图形类规律探究.根据题意得到第（1）、（2）、（3）个图形中火柴棒的数量，由此可得第

⑺个图形有。+2〃）根火柴棒,即可.

【详解】解:根据题意得：第（1）个图形有3=1+2根火柴棒，

第（2）个图形有5=（l+2x2）根火柴棒，

第（3）个图形有7=（l+2x3）根火柴棒，

第"）个图形有（1+2〃）根火柴棒，

团第（7）个图案中有1+2x7=15根火柴棒，

故答案为：15

15.（2024•西藏,中考真题）如图是由若干个大小相同的"O"组成的一组有规律的图案，其中第1个图案用了

2个第2个图案用了6个9",第3个图案用了12个"O",第4个图案用了20个9”,......,依照此

规律，第"个图案中"O"的个数为（用含“的代数式表示）.

OOOOO

OOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOOOO…

第1个第2个第3个第4个

【答案】rr+n

【知识点】图形类规律探索

【分析】

本题考查了图形类规律，根据图形规律求得第〃个图案中"O"的个数为"2+〃，解题的关键是明确题意，发

现题目中。个数的变化规律.

【详解】

解：回第1个图案用了『+1=2个"O"，

第2个图案用了用+2=6个"O",

第3个图案用了3。+3=12个"O",

第4个图案用了4?+4=20个

团第〃个图案中"0"的个数为1+n，

故答案为：rr+n.

16.（2024•山东泰安・中考真题）如图所示，是用图形"。"和"•"按一定规律摆成的"小屋子”.按照此规律继续

摆下去，第个"小屋子"中图形"。"个数是图形"•"个数的3倍.

O

OOO

CDOOOOOO

OOOOOOOOOOOO……

OOOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOOooooo

OOOOOOOOoo

OOOOOOOooooo

(1)(2)(3)(4)(5)

【答案】12

【知识点】用代数式表示数、图形的规律、与图形有关的问题（一元二次方程的应用）

【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现"O"和"・"

的个数变化规律是解题的关键.

根据所给图形，依次求出"O"和"•"的个数,发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可.

【详解】解：由所给图形可知，

第1个“小屋子"中图形的个数为:1=1,"/的个数为：4=lx2+2；

第2个“小屋子"中图形的个数为:3=1+2,"•"的个数为：6=2x2+2；

第3个“小屋子"中图形"O"的个数为:6=1+2+3,"・"的个数为：8=3x2+2；

第4个“小屋子"中图形"O"的个数为:10=1+2+3+4,"/的个数为：10=4x2+2

所以第一个"小屋子"中图形的个数为：1+2+3+・+〃=型，"•"的个数为：2,1+2；

2

由题矢口“（；+1）=3（2〃+2）,解得4=-1,%=12,

又〃为正整数，则〃=12,即第12个“小屋子"中图形"O"个数是图形"•”个数的3倍.

故答案为：12.

【中考模拟即学即练】

17.（2024•浙江嘉兴•一模）为美化市容，某广场要在人行雨道上用大小相同的灰、白两色的广场砖铺设图

案，设计人员画出的一些备选图案如图所示，图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白枝有12

块；以此类推；若所选的图中灰砖有64块，则白砖有（）块

图1图2图3

A.28B.30C.34D.36

【答案】D

【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索

【分析】根据所给图形，依次求出图形中灰砖和白砖的块数，发现规律即可解决问题.本题主要考查了图

形变化的规律，能根据所给图形发现灰砖及白砖块数变化的规律是解题的关键.

【详解】由所给图形可知，

第1个图形中灰砖块数为：1=F，白砖块数为：8=lx4+4,

第2个图形中灰砖块数为：4=2?，白砖块数为：12=2x4+4,

第3个图形中灰砖块数为：9=3?,白砖块数为：16=3x4+4,

所以第〃个图形中灰砖块数为/块，白砖块数为（4〃+4）块，

当“2=64时，"=8（舍负），

则4〃+4=36（块），

即所选的图中灰砖有64块，则白砖有36块.

故选：D.

28.（2025•湖南娄底•一模）观察图形，若有六边形2024个，则需火柴棍根.

【答案】10121

【知识点】图形类规律探索

【分析】本题考查探索与表达规律，列代数式，熟练掌握列代数式是解题的关键；

对于找规律的题目首先应找出发生变化的位置，并且观察变化规律，进而用式子表示一般规律.观察图形

发现，然后可求出第x个六边形需要（5%+1）根小棒，把x=2024代入求值即可.

【详解】解：团有六边形1个，需要火柴棒根数为6=5xl+l,

有六边形2个，需要火柴棒根数为11=5x2+1,

有六边形3个，需要火柴棒根数为16=5x3+1,

有六边形4个，需要火柴棒根数为21=5?41,

有六边形x个，需要（5x+l）根小棒，

团有六边形2024个，需要火柴棒5x2024+1=10121（根）.

故答案为：10121.

19.（2025,山西长治•模拟预测）如图是一组有规律的图案，它们是由大小相同的"＜＞”组成的，第1个图案中

有3个“＜丫＞",第2个图案中有9个"弋第3个图案中有18个"弋二＞"......按此规律，第八个图

案中有个（用含〃的代数式表示）

・田心、3)(77+1)

【答案］-1----L

2

【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索

【分析】本题主要考查列代数式，根据图案规律，写出第w个图案中图形的个数是解题的关键.根据图案

找出规律即可.

【详解】

解：第1个图案中有：3=3x1个弋»,

第2个图案中有：9=3*（1+2）个弋〉，

第3个图案中有：18=3x0+2+3）个弋），

第4个图案中有：30=3x0+2+3+4）个弋）,

回第〃个图案中有3。+2+3+…+”）=吗型个弋＞；

、r3nfn+l）

故答案为：二一L

2

题型三：点坐标的规律探究

【中考母题学方法】

20.（2023•山东烟台・中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以

点p为位似中心作正方形出443,正方形P4AA，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上,

其中正方形尸444的顶点坐标分别为尸（-3,0）,4（-2,1）,A（T0）,A（-2,-1）,则顶点/）的坐标为（

A.（31.34）B.（31,-34）C.（32,35）D.（32,0）

【答案】A

【知识点】点坐标规律探索

【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律4“_2（〃-3,〃）.

【详解】解：回4（一2,1）,A（-1-2）,4洋，3）,&）（1，4）,L,

回4.一2（〃一3,n）,

0100=3x34-2,则〃=34,

团Aoo（31,34）,

故选：A.

【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律.

21.(2024・湖北武汉•中考真题)如图，小好同学用计算机软件绘制函数y=V-3V+3尤-1的图象，发现它

关于点(1,0)中心对称.若点4(。。%)，4(02%)，4(03%),……,美(19%)，都在函数

图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1,则％+%+丫3++%+%()的值是()

B.-0.729C.0D.1

【答案】D

【知识点】点坐标规律探索、求自变量的值或函数值、成中心对称

【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出%+%+%+%+为+%=0,

进而转化为求加+为。，根据题意可得加=。，为。=1，即可求解.

【详解】解：•••这20个点的横坐标从0,1开始依次增加0.1,

.0.1+1.90.2+1.80.9+1.1,

•.----------=-----------=--------------=1，

222

；•%+%+%+%+乂9=°，

+

；•%+%+为+.-弘9+=V10+%0，而Ao（1，°）即％0=°，

Vy=x3-3x2+3x-l,

当x=0时，y=-1,即（0,-1）,

,/（0,-1）关于点（1,0）中心对称的点为（2,1）,

即当x=2时，%o=1，

•,•%+%+%++必9+以0=%。+%0=0+1=1，

故选：D.

22.(2024•四川巴中•中考真题)如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案.若。4=1,则OG=()

KL

32-J3

27

【答案】C

【知识点】图形类规律探索、利用相似三角形的性质求解、解直角三角形的相关计算

【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解

=cos30o=立，再进一步探究即可;

2

【详解】解：团12个相似的直角三角形,

360°

^\ZBOA=ZBOC=1■=——=30°,

12

团Q4=l,

aOB=-V3=lx-V3,

33

OC=-=lxf-^，

故选c

23.（2023•山东东营・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线/：>=底-百与X轴交于点4，以。A

为边作正方形点G在y轴上，延长G瓦交直线/于点4，以GA为边作正方形4B2GG，点G在y

轴上，以同样的方式依次作正方形A3B3c3c2,…，正方形4。23不。23c2023c2必，则点功侬的横坐标是.

/i-\2022

【答案】1+日

【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题、根据正方形的性质求线段长

【分析】分别求出点点名的横坐标是1，点反的横坐标是1+走，点名的横坐标是友+&=(1+立]，找

333I3J

到规律，得到答案见即可.

【详解】解：当>=。，0=后-囱，解得x=i,

回点A。，0),

团A^G。是正方形，

团0\—AB]=OC]=1,

团点片(1,1),

团点片的横坐标是1,

当y=1时，1=^/3x-A/3,解得x=1+,

回点41+(>1，

团432c2cl是正方形，

团4层=。。2=42G=1+孝，

回点为1+4,2+4,

即点鸟的横坐标是1+理，

3

当y=2+^^时，2+,解得x=2),

团4B3GG是正方形，

2^34

0A^=QC3=A3C2=^-+-,

回点名的横坐标是手+g=/2

1+

(/Z-X2022

以此类推，则点B2O23的横坐标是1+日

(反产

故答案为：1+—

I3J

【点睛】此题是点的坐标规律题，考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合是是解

题的关键.

24.(2023•黑龙江齐齐哈尔・中考真题)如图,在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B在x轴上，OA=OB=4,

连接A3,过点。作。4于点4,过点儿作A瓦，x轴于点片；过点耳作用4,48于点4,过点人作

人星，x轴于点B?；过点层作坊$LAB于点&,过点&作轴于点鸟；…；按照如此规律操作下

【知识点】点坐标规律探索、等腰三角形的性质和判定

【分析】根据题意，结合图形依次求出A，4,4的坐标，再根据其规律写出人必的坐标即可.

【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点2在X轴上，04=03=4,

.•.△OAB是等腰直角三角形，ZOR4=45°,

O\LAB,

。4啰是等腰直角三角形，

同理可得：均为等腰直角三角形，

根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，

依次可得：^（3,1）,

由此可推出：点4E3的坐标为（4-0r，03]

故答案为：卜一白?，9rl

【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形

的性质，解题的关键是依次求出4,4,4的坐标，找出其坐标的规律.

25.（2024•山东青岛•中考真题）如图，点A，4,A，＞4,4M为反比例函数y=：（左＞0）图象上的点，其横

坐标依次为1,2,3,过点A，4，A，L,4作X轴的垂线，垂足分别为点，匕；过点a作

&瓦，A区于点耳，过点人作4与，44于点易，…，过点4+1作4M纥，4%于点纥.记△A44的面

积为y,AAB.A的面积为邑，…,△44,A中的面积为s“.

（1）当左=2时，点4的坐标为,品+邑=,H+邑+Ss=,H+S2+S3++s“=

（用含”的代数式表示）；

（2）当左=3时，Sl+S2+S3++S„=（用含〃的代数式表示）.

【答案】⑴(1,1);

,、3〃

2--------

2〃+2

【知识点】图形类规律探索、反比例函数与几何综合

【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索：

(1)先求出A(1,2)，4(2,1),A(3,g],进而得到Ad=2,OH1=1,再求出用乜=4凡=1,

4与=乜%=2-1=1,则4(1,1),同理可得鱼(2,1],A4k|l&。；)，再根据三角形面积计算公式

求出际S2,S3)邑的面积，然后找到规律求解即可;

(2)仿照(1)表示出岳，S2,S3,邑的面积，然后找到规律求解即可.

2

【详解】(1)解：当左=2时，反比例函数解析式为y=—,

X

22

在丁=一中，当％=1时，y=2；当％=2时，y=i；当％=3时，y=一,

x3

回A(1,2)，4(2,1),

团_Lx轴，

团AW=2,OH]=1,

团LAiHi,

回B[H[=A2H2=1,A2Bl=H1H2=2-l=l

SB,(1,1);

同理可得华。114(4,£[,々/J],

0S，BB

1=1-A1-A1=gx(2-l)xl=g,S2=i4B2-A；B2=|x^l-1^xl=i,

21X1=A，54=|A4B4-AB4=1X12xl$

S=

3=2X3225

112213314

团S+s,=—i—=—,§+邑+邑=—।—=—,s+s2+邑+St=—।———

122631*3312412344205

以此类推可得，sl+s.+s3++'=—1；

n+1

7QH

故答案为：(1,1);;

(2)解：当左=3时，反比例函数解析式为y=±3,

X

33

在＞=一中，当尤=1时，y=3；当％=2时，y=—；当工=3时，y=l,

冗2

W412,£|,阳3,1),

团4"_L%轴,

团A”I=3，。51=1,

团4耳_LAX,

3

团男"1=&兄=2，A2Bl=HiH2=2-l=l

同理可得与(2,11A/G］，小梳)，

S3=14S3-A4B3=lxlx^l-|^S4=1A4B4,AB4=|xlxg-^

以此类推可得，S1+S2+S3++s„

=—xlx|3-

2I

=—xlxf3-

2I

3n

2n+2

【中考模拟即学即练】

26.(2024•河北石家庄•二模)如图，一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1

次它从原点运动到点(1,0),第2次运动到点(1,1),第3次运动到点(2,1)…按这样的规律，经过第2024次运

动后，蚂蚁的坐标是()

A.(1011,1010)B.(1011,1011)C.(1012,1011)D.(1012,1012)

【答案】D

【知识点】点坐标规律探索

【分析】本题主要考查了点的坐标规律探索，根据前几次运动的坐标特点可得规律横坐标是从1开始的连

续的正整数，每个正整数出现2次，纵坐标是从0开始的正整数，其中只有0出现1次，其余数出现2次，

据此求解即可.

【详解】解：第1次：（1,0）,

第2