2025年中考数学一轮复习考前突破：二次函数与几何综合题（4大必考题型）原卷版

考前突破06二次函数与几何综合题（4大必考题型）

题型一：与线段有关问题

题型二：与面积有关问题

题型三：与角度有关问题

题型四：与特殊图形存在性有关问题

/

,浦淮理分

题型一：与线段有关问题

【中考母题学方法】

1.（2024•山东淄博・中考真题）如图，抛物线>=加+法+3与x轴相交于4（M,0）,3k,0）两点（点A在

点8的左侧），其中▲，X?是方程彳2一2%-3=0的两个根，抛物线与>轴相交于点C.

⑴求该抛物线对应的函数表达式；

（2）已知直线/：y=3x+9与x,>轴分别相交于点D,E.

①设直线与/相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得NPBP=NDFB?若存在,

求出点尸的坐标；若不存在，说明理由；

②过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交于点。.连接

QD,QE.求线段QD+QE的最小值.

2.(2023嘿龙江绥化•中考真题)如图，抛物线％=72+法+。的图象经过A(-6,0),B(-2,0),C(0,6)三点,

⑴求抛物线和一次函数的解析式.

(2)点E,歹为平面内两点，若以E、F、B、C为顶点的四边形是正方形，且点E在点尸的左侧.这样的E,

产两点是否存在？如果存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由.

(3)将抛物线％=/+6x+c的图象向右平移8个单位长度得到抛物线内，此抛物线的图象与％轴交于M,N

两点(M点在N点左侧).点P是抛物线％上的一个动点且在直线NC下方.己知点P的横坐标为小.过点

「作PDLNC于点。.求机为何值时，CO+gp。有最大值，最大值是多少？

Q

3.(2023辽宁•中考真题)如图，抛物线y=^+|x+c与无轴交于点A和点3(3.0),与y轴交于点C(0,4),

点尸为第一象限内抛物线上的动点过点P作无轴于点E,交2C于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当的周长是线段PP长度的2倍时，求点P的坐标；

⑶当点尸运动到抛物线顶点时，点。是y轴上的动点，连接8。，过点8作直线连接。尸并延长交

直线/于点M.当=时，请直接写出点。的坐标.

4.（2023•内蒙古呼和浩特,中考真题）探究函数y=-2|x「+4国的图象和性质，探究过程如下:

⑴自变量》的取值范围是全体实数，尤与y的几组对应值列表如下

_523

XL-2_2-1012L

~2~2~2222

_523_23__5

yL0m020L

~22222~2

其中，m=.根据上表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分,

请画出该函数图象的另一部分.观察图象，写出该函数的一条性质；

（2）点尸是函数y=-2|x「+4国图象上的一动点，点4（2,0）,点8（-2,0）,当为皿=3时，请直接写出所有

满足条件的点尸的坐标；

⑶在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y=-2/+4x交x轴于0,A两点（点。在点A的左边），

点P是点Q（L0）关于抛物线顶点的对称点，不平行>轴的直线/分别交线段。尸，"（不含端点）于N

两点.当直线/与抛物线只有一个公共点时，PAf与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请

说明理由.

5.（2023•辽宁丹东•中考真题）抛物线y=aY+bx-4与无轴交于点A（y。），B（2,0）,与y轴交于点C.

⑴求抛物线的表达式；

（2）如图，点。是抛物线上的一个动点，设点。的横坐标是根（-4〈加＜2）,过点。作直线DEL龙轴，垂足

为点E,交直线AC于点?当O,E,歹三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段。尸的长；

⑶若点P是抛物线上的一个动点（点尸不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平

面内，当四边形CMPN是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点尸的横坐标.

6.（2024・辽宁•中考真题）已知％是自变量x的函数，当%=盯1时，称函数为为函数为的"升塞函数".在

平面直角坐标系中，对于函数％图象上任意一点4相,"），称点B（北加〃）为点A"关于％的升哥点”，点B在

函数X的"升基函数"上的图象上.例如：函数3=2x,当%=孙|=片2了=2/时，则函数%=2/是函数

%=2x的"升幕函数在平面直角坐标系中，函数％=2元的图象上任意一点A（〃z,2机），点2疗）为点A

"关于%的升累点”，点B在函数％=2x的"升募函数"y2=2x2的图象上.

3

（2汝口图1,点A在函数弘=—（尤＞0）的图象上，点A"关于丹的升幕点"8在点A上方，当筋=2时，求点A的

坐标；

⑶点A在函数必=r+4的图象上，点A〃关于丹的升基点〃为点3,设点A的横坐标为加.

①若点8与点A重合，求优的值；

②若点B在点A的上方，过点8作无轴的平行线，与函数外的"升哥函数"内的图象相交于点C，以A3,BC

为邻边构造矩形ABCD,设矩形A3CD的周长为V,求＞关于〃?的函数表达式；

③在②的条件下，当直线y=4与函数y的图象的交点有3个时，从左到右依次记为E,尸，G,当直线y=L

与函数y的图象的交点有2个时，从左到右依次记为M,N,若硬=MN,请直按耳出马-%的值.

【中考模拟即学即练】

1.(2024.广东.模拟预测)综合探究

如图，在平面直角坐标系中.直线y=kx(kK0)与抛物线丫=以2+。(。H0)交于4(8,6),3两点，点8的横

坐标为-2.

“B

(1)求抛物线的解析式；

(2)点尸是直线A3下方抛物线上一动点，过点尸作x轴的平行线，与直线交于点C.连接尸O,设点尸的

横坐标为机.

①若点尸在x轴上方，当加为何值时，OC=CP；

②若点尸在x轴下方，求△POC周长的最大值.

2.（2024•广东深圳•模拟预测）【背景】如图，二次函数丫="2+酎+3的图象经过点41,0）和8（3,0）,与丁

轴相交于点C.已知位于点B右侧图象上有一动点P,并且射线以、尸3分别交y轴于点。、点E.

（1）求二次函数表达式；

【特例】

（2）当点P的横坐标为4时，线段。E、CD有什么数量关系？请说明理由；

【思考】

（3）当点尸为点B右侧图象上任意一点，（2）中的结论是否仍成立？请说明理由.

3.（2025•广东•模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线/与无轴交于点A（4,0）,与y轴交于点3（0,T）,

抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点尸是直线/下方抛物线上的一动点，过点P作尸轴，垂足为C,交直线/于点。，求DP的最大值

及此时P的坐标；

（3）在（2）的条件下，过点P作尸垂足为求的最大值.

2

4.（2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测）在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线＞=-§（彳-3）9'+k与x

轴交于点A、B,与y轴的正半轴交于点C,且AB=12.

⑴如图1,求人的值；

（2）如图2,点尸在第一象限对称轴右侧的抛物线上，尸石〃左轴交射线于点E,设点尸的横坐标为线

段EP的长为d,求d关于f的函数解析式（不要求写自变量t的取值范围）；

（3）如图3,在（2）的条件下，作PZlx轴交无轴于点Z,点尸在线段3D上，且/^=亚刊7,FQ±BC,

10

交直线反于点。，当尸。=8时，R是线段CO上的一点，过点R作RG平行于x轴，与线段P。交于点G,

连接OG、OQ,恰好使NGOQ=45。，延长QR交抛物线于点H,连接A”，求线段A”的长.

5.(2024•山西・模拟预测)综合与探究

13

在平面直角坐标系中，已知抛物线丁=5——万元―2与X轴分别交于A,8两点(点A在点8的左边)，与y

(1)求点A和点C的坐标和直线BC的解析式;

DF

(2)如图1,点。为第四象限抛物线上一点，连接AD,交2C于点E,求益的最大值;

(3)如图2,连接AC,BC,过点。作直线/〃BC,点P,。分别为直线/和抛物线上的点，试探究：在第一

象限是否存在这样的点P,Q，使PQBsCAB.若存在，请求出所有符合条件的点尸的坐标；若不存在,

请说明理由.

6.(2024•湖北武汉.模拟预测)抛物线>=女2+如+。交工轴于点4(-1,0),3(3,0),与>轴交于点C(0,-4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图(1),连接BC,。是抛物线第四象限内一点，直线A。交8c于尸，交y轴于点。，若CP=CQ,

求。点坐标；

(3)如图(2),经过第四象限的直线":丫二履+,交抛物线于点石，F,交V轴于点G,作平行四边形3FG4,

连接E",若EHLx轴，当点。到跖距离的最大时，求”的值.

7.(2024.山西.一模)抛物线、=混+法-3过点4-1,0),点8(3,0),与y轴交于C点.

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

⑵如图1,设M是抛物线上的一点，若NMAB=45。，求M点的坐标；

(3)如图2,点尸在直线BC下方的抛物线上，过点尸作轴于点。，交直线2C于点E,过P点作尸尸，BC,

交BC与尸点，！尸跖的周长是否有最大值，若有最大值，求出此时尸点的坐标.若不存在，说明理由.

8.(2024广东・模拟预测)如图，抛物线》=办2+法+。交轴于点4(-1,0),3(3,0),交>轴于点C,ZCAB=60°,

点E是线段AB上一动点，作EF〃AC交线段2C于点

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,延长线段所交抛物线于点G,点。是AC边中点，当四边形ADGF为平行四边形时，求出G点

坐标；

⑶如图2,M为射线所上一点，且=将射线所绕点E逆时针旋转60。，交直线AC于点N,连

接MN,P为的中点，连接AP,8P,问：AP+3P是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若

不存在，请说明理由.

9.(2024•河北张家口•模拟预测)如图，二次函数y=gx2+6x+c的图象交x轴于A、。两点，并经

过B点，已知A点坐标是(2,0),B点坐标是(&6).求二次函数的解析式；求函数图象的顶点坐标及。点

的坐标；二次函数的对称轴上是否存在一点C,使得△CBD的周长最小？若C点存在，求出C点的坐

标；若C点不存在，请说明理由.

10.(2023・湖北黄石・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a?+bx+c与％轴交于两点

A(—3,0),3(4,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)已知抛物线上有一点P6,%),其中为＜。，^ZCAO+ZABP=90°,求为的值;

(3)若点。，E分别是线段AC,A3上的动点，且AE=2CD,求CE+2皿的最小值.

11.(2024・四川南充•模拟预测)如图，已知抛物线y=a/+芈x+c与x轴交于A(T,0)、8两点，与y轴

交于点C,OC=y/3OA.

图I图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸为第一象限内抛物线上一点，连接尸C,当NPCB=2NOC4时，求点尸的坐标.

(3)如图2,过点A作3c交抛物线于点D,已知点M是线段BC上方抛物线上一点，过点M作MN〃y

轴，交AD于N,在线段AC、4。上分别有两个动点E、F,EF=2,G是跖的中点，当MN+DN取得最

大值时，在线段2C上是否存在一点"，使得“G+HN的值最小？若存在，请求出“G+HN的最小值；若

不存在，请说明理由.

题型二：与面积有关问题

【中考母题学方法】

1.(2024•江苏徐州•中考真题)如图，A、B为一次函数＞=-x+5的图像与二次函数y=Y+6x+c的图像的

公共点，点A、8的横坐标分别为0、4.尸为二次函数y=f+法+。的图像上的动点，且位于直线的下

方，连接24、PB.

⑴求b、c的值；

(2)求P4B的面积的最大值.

2.(2024•山东东营•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=W+6无+c与x轴交于A(-1,0),

8(2,0)两点，与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

⑴求抛物线的表达式；

(2)当点。在直线8C下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交3C于点E,设点。的横坐标为f,DE的

长为/,请写出/关于f的函数表达式，并写出自变量f的取值范围；

⑶连接AD,交于点尸，求鲁”的最大值.

3.（2024•山东济南•中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y=犬+6x+c经过点A（0,2）,3（2,2）,

顶点为。；抛物线G：丁=彳2-2〃a+1_〃?+2（根71）,顶点为Q.

⑴求抛物线G的表达式及顶点D的坐标；

⑵如图1，连接AD,点E是抛物线G对称轴右侧图象上一点，点尸是抛物线G上一点，若四边形ADEE是

面积为12的平行四边形，求加的值；

（3）如图2,连接3。。。，点/是抛物线G对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合），过点M作“

交x轴于点N,连接BN,DN,求BDN面积的最小值.

4.(2024•海南•中考真题)如图1,抛物线,=-^+云+4经过点4(—4,0)、8(1,0),交y轴于点C(0,4),点

图I图2

⑴求该抛物线的函数表达式；

(2)当点P的坐标为(-2,6)时，求四边形AOCP的面积；

⑶当NPB4=45。时，求点尸的坐标；

(4)过点A、0、C的圆交抛物线于点E、F,如图2.连接AE、AF.EF,判断△?!£/的形状，并说明理由.

5.(2024•黑龙江大庆•中考真题)如图，己知二次函数y=ax2+2x+c的图象与x轴交于A,3两点.A点坐

标为（TO）,与y轴交于点c（o,3）,点M为抛物线顶点，点E为48中点.

⑴求二次函数的表达式；

（2）在直线BC上方的抛物线上存在点Q,使得NQCB=2ZABC,求点。的坐标；

⑶已知。，歹为抛物线上不与A,8重合的相异两点.

①若点尸与点C重合，。（见-12）,且机＞1,求证：D,E,尸三点共线；

②若直线AD,3尸交于点尸，则无论。，下在抛物线上如何运动，只要D,E,尸三点共线，

尸中必存在面积为定值的三角形.请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由.

6.（2024・山东济宁,中考真题）已知二次函数＞=加+以+。的图像经过（0,-3）,（也。）两点，其中a,b,

为常数，且必＞0.

（1）求a,c的值；

⑵若该二次函数的最小值是Y,且它的图像与无轴交于点A,8（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.

①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,2的坐标；

②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点尸作x轴的垂线，垂足为与直线AC交于点

E,连接PC,CB,BE.是否存在点P,使白笆=.?若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明

'△CBE"

理由.

7.（2023•山东青岛・中考真题）许多数学问题源于生活.雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察

撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象一一抛物线.在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在＞

轴上，坐标原点。为伞骨Q4,08的交点.点C为抛物线的顶点，点A,B在抛物线上，OA,08关于y

轴对称.0C=l分米，点A到无轴的距离是0.6分米，A,2两点之间的距离是4分米.

图①图②

⑴求抛物线的表达式;

⑵分别延长A0，3。交抛物线于点凡E,求E,F两点之间的距离;

⑶以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为跖，将抛物线向右平移加（加〉0）个单位，得到一条

3

新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为$2.若S2=[S]，求小的值.

8.（2023•辽宁盘锦•中考真题）如图，抛物线y=&+法+3与x轴交于点A（-l,0）,B（3,0）,与V轴交于点

C.

⑴求抛物线的解析式.

4

⑵如图1,点。是X轴上方抛物线上--点，射线轴于点N,若=>tanZMB7V=-,请直

接写出点。的坐标.

⑶如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交>轴于点。，AE的延长线交抛物线于点P,点F在线段CZ)

上，且CF=OD,连接以FE,BE,BP,若5徵科=5“^，求，面积.

9.(2023・湖南张家界•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ox2+bx+c的图象与x轴交

于点力(—2,0)和点3(6,0)两点，与y轴交于点C(0,6).点。为线段2C上的一动点.

⑴求二次函数的表达式；

（2）如图1,求△AOD周长的最小值；

（3）如图2,过动点。作D尸〃AC交抛物线第一象限部分于点P,连接厚,尸3,记△孙£＞与△口?£）的面积和

为S,当S取得最大值时，求点尸的坐标，并求出此时S的最大值.

【中考模拟即学即练】

1.（2025・上海黄浦•一模）已知抛物线y=/+笈+。（。片0）经过点A（T6）、巩1,—2）、C（0,l）.

⑴求该抛物线的表达式及其对称轴/;

（2）如果点A与点。关于对称轴/对称，联结AB、BD,求的面积.

2.（2025•上海松江•一模）已知一条抛物线的顶点为A。,3）,且经过点3（0,2）.

产

5-

4-

3-

2-

1-

-3-2-1O123%

-1

-2

⑴求该抛物线的表达式;

⑵若点。（3/）在该抛物线上，求VABC的面积.

3.（2024•青海西宁•一模）如图，抛物线＞=-/+法与x轴交于A,B两点,与V轴交于。点，直线5c

方程为y=%—3.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点尸为抛物线上一点，若SAPBA=|SAABC，求点P的坐标；

⑶直线BC上方的抛物线上有一点Q,当△BC。的面积最大时，点。的坐标是什么？△BC。的最大面积是

多少？

4.（2024•云南昆明•一模）如图，抛物线与x轴交于A（-l,0）,8两点，与y轴交于点C,且满足OB=OC=3OA.

⑴求抛物线的解析式；

⑵M是线段BC上的一点（不与点8,C重合），过点M作M0，轴交抛物线于点M交x轴于点。，连接

NB,NC,若点M的横坐标为相，是否存在点使的面积最大？若存在，求相的值；若不存在，

请说明理由.

5.（2024,江苏盐城•三模）如图,抛物线y=-V+打+。与轴交于点A,与无轴交于点8、C,已知A（0,4）,B（4,0）.

⑴求抛物线的表达式，并求出点C的坐标.

⑵点M是抛物线（第一象限内）上的一个动点，连接当面积最大时，求M点的坐标.

⑶若点M坐标固定为（1,6）,。是抛物线上除M点之外的一个动点，当，与aABQ的面积相等求出点。

的坐标.

3

6.（2024・四川眉山•二模）如图，二次函数y=G2+bx（aw0）的图象经过A（l,4）,对称轴是直线了=-天线

段A£＞平行于X轴，交抛物线于点。.在y轴上取一点C（o,2）,直线AC交抛物线于点B，连结OA.OB.OD,

BD.

⑴求该二次函数的解析式及点B的坐标;

⑵坐标平面内一点E,使，求点E的坐标；

⑶设点尸是的中点，点P是线段上的动点，问尸£＞为何值时，将^BPF沿边PF翻折，使SBPF与ADPF

重叠部分的面积恰好是ABZ）尸面积的;，并说明理由.

7.（2024•甘肃•模拟预测）如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=V+6x+c与x轴交于A,8（3,0）两点,

与y轴交于点C（0,-3）,P是直线3C下方抛物线上一动点.

⑴求抛物线y=/+bx+c的表达式;

（2）如图2,连接PO,PC,并把△POC沿CO翻折，得到四边形尸OPC,当四边形尸OPC为菱形时，求出

点尸的坐标;

⑶当点尸运动到什么位置时，四边形43PC的面积最大？求出此时点P的坐标及此时线段鳍的长.

8.（2025,安徽•模拟预测）如图，抛物线、=以2+以与直线y=-尤+6交于AB两点，点8在x轴上，过点A

作AC_Lx轴于点C,且OC:3c=1:2.

⑴求抛物线的解析式.

(2)将△AOC沿A3方向平移到二

S

①如图2,若尸M经过点C,PN与x轴交于点Q,求于丝的值.

DAAnr

②如图3,直线y=gx与抛物线A3段交于点。，与直线AB交于点E,当顶点尸在线段AE上移动时，求

4MPN与、QBD公共部分面积的最大值.

题型三：与角度有关问题

【中考母题学方法】

4

L（2023・四川自贡•中考真题）如图，抛物线，=-§/+6尤+4与天轴交于4（-3,0）,B两点，与V轴交于点C.

⑴求抛物线解析式及8,C两点坐标；

⑵以A,B,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求点。坐标；

⑶该抛物线对称轴上是否存在点E,使得ZACE=45。，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.

2.（2023糊南岳阳・中考真题）已知抛物线。|：,=--+云+°与戈轴交于4（_3,0）,5两点，交》轴于点。（0,3）.

⑴请求出抛物线Qi的表达式.

(2)如图1,在y轴上有一点。(0,-1),点E在抛物线0上，点b为坐标平面内一点，是否存在点E,尸使得

四边形为正方形？若存在，请求出点瓦尸的坐标；若不存在，请说明理由.

⑶如图2,将抛物线0向右平移2个单位，得到抛物线。2,抛物线。2的顶点为K,与无轴正半轴交于点

抛物线2上是否存在点P,使得NCPK=NCHK?若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2023•湖南郴州•中考真题)已知抛物线y=a/+bx+4与x轴相交于点4(1,0),B(4,0),与>轴相交于

点c.

⑴求抛物线的表达式；

pA

（2）如图1,点尸是抛物线的对称轴/上的一个动点，当24c的周长最小时，求^的值；

⑶如图2,取线段OC的中点。，在抛物线上是否存在点Q,使tan/QDB=；?若存在，求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

4.（2023,江苏无锡•中考真题）已知二次函数y=,且经过点8（4,立）

和点C(-1,0).

⑴请直接写出b,c的值；

(2)直线BC交>轴于点D，点E是二次函数y=^(x2+bx+c)图像上位于直线4B下方的动点，过点E作直

线48的垂线，垂足为

①求EF的最大值；

②若尸中有一个内角是的两倍，求点E的横坐标.

5.(2023•辽宁营口•中考真题)如图，抛物线广加+桁-1(。W0)与x轴交于点4(1,0)和点5,与>轴交于

点C,抛物线的对称轴交x轴于点0(3,0),过点5作直线轴，过点。作。E1CO,交直线/于点E.

⑴求抛物线的解析式;

(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和3P交于点Q,当。|=5时.求点P的坐标;

⑶在(2)的条件下，连接AC,在直线8P上是否存在点尸，使得ZDEF=ZACD+NBED?若存在，请直

接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

6.(2024•重庆・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=#+Zu-3与x轴交于A(-L,0),8两点,

交y轴于点c,抛物线的对称轴是直线xg

⑴求抛物线的表达式；

（2）点P是直线2C下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点尸作轴交抛物线于点。，作PE，3c于点E,

求PD+好PE的最大值及此时点P的坐标;

2

⑶将抛物线沿射线BC方向平移6个单位，在尸。+包%取得最大值的条件下，点/为点尸平移后的对应

2

点，连接AF交y轴于点点N为平移后的抛物线上一点，若ZNMF-ZABC=45。,请直接写出所有符

合条件的点N的坐标.

7.（2024•重庆•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o^+桁+4（。片0）经过点（-1,6）,与y轴

交于点C,与无轴交于A3两点（A在8的左侧），连接AC,BC,tan，C54=4.

⑴求抛物线的表达式;

⑵点尸是射线C4上方抛物线上的一动点，过点尸作轴，垂足为E,交AC于点。.点M是线段DE

上一动点，MNLy轴，垂足为N,点尸为线段BC的中点，连接AM,NF.当线段尸。长度取得最大值时,

求AM+M2V+NR的最小值;

⑶将该抛物线沿射线C4方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点。，且与直

线AC相交于另一点K.点。为新抛物线上的一个动点，当=时，直接写出所有符合条件的

点。的坐标.

2

8.（2024•四川广安•中考真题）如图，抛物线y=—与％轴交于人，⑶两点，与>轴交于点。，点

A坐标为（T,。），点5坐标为（3,0）.

⑴求此抛物线的函数解析式.

（2）点P是直线2C上方抛物线上一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线2C于点。，过点尸作y轴的垂线，

垂足为点E,请探究2尸/）+尸石是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时尸点的坐标；若没有最大值,

请说明理由.

⑶点M为该抛物线上的点，当NMCB=45。时，请直接写出所有满足条件的点"的坐标.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・陕西•模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线L过A（l,0）,B（0,-2）,C（c,0）三点，ZABC=90°.

⑴求抛物线L的函数表达式；

（2）在x轴下半部分的抛物线L上有一点连接MC,肠4,当/AMC为锐角时，设点M的横坐标为相，求

m的取值范围.

2.（2025•陕西西安•一模）在直角坐标平面xOy中，直线y=-；尤+2沿y轴向下平移；5个单位后，正好

经过抛物线y=。必+8以+2的顶点C,抛物线与y轴交于点B.

J___

o

(1)求点C的坐标；

(2)点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当=时，求点M的坐标.

3.(2024•上海嘉定•三模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=；/+如:+，2经过点2(6,1),C(5,0),

且与y轴交于点A.

⑴求抛物线的表达式及点A的坐标；

（2）点P是y轴右侧抛物线上的一点，过点尸作PQ_L,交线段OA的延长线于点Q,如果ZPAB=45。.求：

点尸坐标

⑶若点歹是线段A8（不包含端点）上的一点，且点/关于AC的对称点尸恰好在上述抛物线上，求"'的

长.

4.（2024•河南•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丁=/+/+。与x轴交于A,g两点点在

B点左侧），与y轴交于点C（0,—3）,对称轴是直线x=l,直线>=区+加经过点2,C.

⑴求抛物线和A,B两点坐标；

⑵点M为y轴上一点，是否存在点使得国MBC与回ABC相似？若存在，请求出点"的坐标；若不存在,

请说明理由；

⑶点P为抛物线上一点（点P与点8不重合），且使得P4c中有一个角是45。，请直接写出点P的坐标.

5.（2024•四川泸州•模拟预测）如图，抛物线y=/+桁+。经过4（-1,0）,3（3,0）两点，与y轴交于点C,P

为第四象限抛物线上的动点，连接AGBC.

备用图

⑴求抛物线的解析式；

(2)连接尸C,过点尸作无轴的垂线交直线BC于点D若以C,P,。为顶点的三角形与.H9C相似，请求出

所有满足条件的点尸的坐标；

⑶是否存在点尸，使得/PBC+NACO=45。？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由.

6.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A,B,

与y轴交于点C,其对称轴为x=-l,点A的坐标为(2,0),点在抛物线上.

⑴求该抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸在y轴上，且点尸在C的下方，若NPDC=45°,求点尸的坐标；

MN

⑶如图2,£为线段上的动点，射线与线段4)交于点与抛物线交于点N,求当三取最大值

OM

时，点AD,N围成的三角形的面积.

7.(2025•上海青浦•一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线丫=依2.<0)经过直线丁=-”上的点人，已知

OA=2及.

斗

I1III______11111A

O~_X

⑴求该抛物线的表达式；

（2）将抛物线丁=也2（。＜0）先向右平移1个单位，再向上平移％（%＞（））个单位后，所得新抛物线与y轴相交

4

于点C,如果tan/OC4=—.

9

①求上的值；

②设新抛物线的顶点为点。，新抛物线上的点8是点A的对应点.联结8、CD,在新抛物线的对称轴上

存在点尸，使得NOPB=NODC,求点尸的坐标.

8.（2025・上海虹口•一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线了=-炉+桁+3与x轴交于点A、B

（点A在点8的左侧），与y轴交于点C,联结AC,tanZC4＜9=3,抛物线的顶点为点。.

⑴求6的值和点。的坐标；

（2）点P是抛物线上一点（不与点B重合），点P关于无轴的对称点恰好在直线上.

①求点P的坐标；

②点M是抛物线上一点且在对称轴左侧，连接如果=求点”的坐标.

9.（2025•上海普陀•一模）在平面直角坐标系xOy中（如图）.已知抛物线y=o?+笈-3（。N0）的顶点A的

坐标为（1，-2）,与y轴交于点8将抛物线沿射线W方向平移，平移后抛物线的顶点记作其横坐标为

m.平移后的抛物线与原抛物线交于点N,且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为

⑴求原抛物线的表达式；

（2）求小关于n的函数解析式；

⑶在抛物线平移过程中，如果4碗是锐角，求平移距离的取值范围.

3

10.（2024•重庆沙坪坝•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=1/+6x+c与无轴交于点A,8（4,0）,

与y轴交于点C（0,—3）.

⑴求抛物线的表达式;

(2)点P是直线BC下方抛物线上且位于抛物线的对称轴右侧的一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线的对

称轴于点D过点P作于点E,求［PO+PE的最大值及此时点尸的坐标；

⑶在(2)中gpO+PE取得最大值的条件下，将该地物线沿射线方向平移!■个单位长度，点F为点P

平移后的对应点，连接点M为平移后的抛物线上一点，若ZMPF=ZABC,写出所有符合条件的点〃

的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程.

11.(2024・重庆九龙坡・模拟预测)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线;)；=以2-彳+。与;(:轴交于4

3(2,0)两点，与y轴交于点C,如图所示.点。为抛物线的顶点，点后［1,£|是抛物线上的一点.

⑴求抛物线的解析式；

(2)点P是直线AE上方抛物线上一动点，过点P分别作尸河〃3C交无轴于点M,小〃了轴交直线AE于点

N.求拽PM+PN的最大值及此时点P的坐标；

5

⑶将抛物线沿AE方向平移递个单位长度得到新抛物线，点M是新抛物线的顶点，点p是点£平移后的

2

对应点，点G是新抛物线上一动点，连接当NO'Bb+NFBG=90。时，请直接写出所有符合条件的点G

的坐标.

12.(2024•重庆沙坪坝•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线>=依2+法-2过点且交x轴

于点4(1,0),点8,交y轴于点C,顶点为。，连接AC,BC.

⑴求抛物线的表达式.

（2）点P是直线2C下方抛物线上的一动点，过点P作尸河AC交x轴于点尸打〃彳轴交BC于点X,求

—PM+PH的最大值，以及此时点P的坐标.

5

⑶连接A4,把原抛物线沿射线D4方向平移g个单位长度后交x轴于A,笈两点（A在夕右侧），在新抛

物线上是否存在一点G,使得NG4'B'=45。，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由.

13-（2。25•上海奉贤•一模）在直角坐标平面中,直线丁=-《、+2向下平移5个单位后,正好经过抛物

线y=以2+8〃X+2的顶点c,抛物线与y轴交于点8.

⑴求点C的坐标；

（2）点M在抛物线对称轴上，且位于C点下方，当=时，求点M的坐标;

⑶将原抛物线顶点C平移到直线y=-：x+2上，记作点G，新抛物线与>轴的交点记作点用，当

/叫G=45。时，求明的长.

14.（2025・湖南娄底•模拟预测）已知抛物线丁=依2+法+。（。>。）与工轴左、右交点分别为A、B,与y轴负

半轴交于点C,坐标原点为。，若。B=OC=3OA,5ABe=6,点尸是抛物线上的动点（点尸在y轴右侧）.

⑴求抛物线的解析式；

（2）。是线段OC的中点，①当NOPC=45。时，请求出点尸的坐标；②当NOPC=NQW时，请求出点P

的坐标.

题型四：与特殊图形存在性有关问题

【中考母题学方法】

1.（2023•四川雅安,中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=/+法+。过点A（0,2）,对称轴是直线

⑴求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；

（2）若点2在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形

的边长；

⑶已知点E在抛物线的对称轴上，点。的坐标为（1,-1）,是否存在点R使以点A,D,E,F为顶点的四

边形为菱形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

2.（2023•山东淄博,中考真题）如图，一条抛物线y=经过△Q4B的三个顶点，其中0为坐标原点,

点A(3,-3),点B在第一象限内，对称轴是直线％=且△OAB的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)求点8的坐标；

⑶设C为线段A3的中点，尸为直线OB上的一个动点，连接AP,CP,将△入"沿CP翻折，点A的对应

点为4.问是否存在点尸，使得以A，P,C,B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条

件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(2023糊北随州•中考真题)如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线产++fox+c过点4-1,0),5(2,0)

和C(0.2),连接BC,点、P(m,ri)(m>0)为抛物线上一动点,过点P作尸轴交直线于点交x轴

（图1）

⑴邕谈军中抛物线和直线BC的解析式;

(2)如图2,连接OM,当—OCM为等腰三角形时，求加的值;

⑶当尸点在运动过程中，在>轴上是否存在点Q,使得以0,P,。为顶点的三角形与以B,C,N为顶

点的三角形相似(其中点尸与点C相对应)，若存在，直接写出点尸和点。的坐标；若不存在，请说明理由.

4.(2023•四川内江•中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=办2+公+。与彳轴交于3(4,0)"(—2,0)

两点.与y轴交于点A（0,-2）.

⑴求该抛物线的函数表达式；

（2）若点P是直线A3下方抛物线上的一动点，过点尸作x轴的平行线交A3于点K,过点P作y轴的平行线

交x轴于点D,求与gpK+PD的最大值及此时点P的坐标；

⑶在抛物线的对称轴上是否存在一点使得△MA3是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求

出点〃的坐标，若不存在，请说明理由.

5.（2023•湖南