2025年中考数学一轮复习考前突破：二次函数性质综合题（2大必考题型）原卷版

考前突破05二次函数性质综合题(2大必考题型)

题型一：纯性质综合题

题型二：交点问题

.精淮理分

题型一：纯性质综合题

【中考母题学方法】

1.(2024・北京・中考真题)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线丁=依2-2/M。工°).

(1)当。=1时，求抛物线的顶点坐标；

(2)已知和Nd，%)是抛物线上的两点.若对于无1=3。，3<X2<4,都有％<%，求。的取值范围.

2.(2024•浙江•中考真题)已知二次函数y=f+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(-2,5),对称轴为直

⑴求二次函数的表达式；

⑵若点8(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移机(机>0)个单位长度后，恰好落在y=Y+fox+c的图象

上，求机的值；

O

(3)当-24x4冏时，二次函数y=f+fex+c的最大值与最小值的差为1,求n的取值范围.

3.（2024•江苏南通・中考真题）己知函数丁式龙-4厂+^-9？（a,b为常数）.设自变量x取与时，y取得最

小值.

（1）若。=—1,6=3,求毛的值；

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（2）在平面直角坐标系无Qy中，点P（a⑼在双曲线丫=-一上，且％=—.求点P到y轴的距离；

x2

（3）当/一2a-2匕+3=0,且14/<3时，分析并确定整数a的个数.

4.（2024•安徽・中考真题）已知抛物线丫=-丁+云（b为常数）的顶点横坐标比抛物线y=—f+2x的顶点

横坐标大1.

⑴求b的值；

（2）点A（与，M）在抛物线y=-f+2x上，点3（%+"1+〃）在抛物线〉=-炉+乐上.

（回）若/z=3r,且占2。，/>0,求/）的值；

（0）若占=-1,求/）的最大值.

5.（2024山东・中考真题）在平面直角坐标系工帆中，点尸（2,-3）在二次函数〉="2+法-3（。＞0）的图像上,

记该二次函数图像的对称轴为直线x="，.

⑴求m的值；

⑵若点Q（〃?T）在丫=加+版-3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函

数的图像.当04x44时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；

⑶设丫=加+人尤_3的图像与x轴交点为（不⑼，（％,0）（不＜%）.若4＜%-再＜6,求。的取值范围.

6.（2024・山东威海•中考真题）已知抛物线y=f+汝+46＜0）与x轴交点的坐标分别为&,0）,（x,,0）,且

⑴若抛物线乂=/+加+。+10＜0）与无轴交点的坐标分别为（£,0）,（尤4，°），且退＜%.试判断下列每组数

据的大小（填写＜、=或＞）：

①尤1+天2

X]+X4.

x3+x4；②占一马

（2）若占=1,2＜马＜3,求6的取值范围;

⑶当0＜%＜1时，y=封，+"+°。/〈0）、最大值与最小值的差为9求匕的值.

7.（2024•广东广州•中考真题）已知抛物线G:y=o？-6办-。3+24+1（°>0）过点4（不2）和点35,2）,直

线/:y=/x+w过点C（3,l）,交线段A3于点。，记ACQ4的周长为G，ACZ必的周长为G，且G=C2+2.

⑴求抛物线G的对称轴；

（2）求加的值；

⑶直线/绕点C以每秒3。的速度顺时针旋转f秒后（04f<45）得到直线,当/'〃AB时，直线/'交抛物线G于

E,歹两点.

①求f的值；

②设△但'的面积为S,若对于任意的。>0,均有S2左成立，求上的最大值及此时抛物线G的解析式.

8.（2024•吉林长春•中考真题）在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线y=V+2无+c（c是常数）

经过点（-2,-2）.点A、B是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为加、-机，点C的横坐标为-5m，点C

的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结AB、AC.

⑴求该抛物线对应的函数表达式；

（2）求证：当〃?取不为零的任意实数时，tanNG4B的值始终为2；

⑶作AC的垂直平分线交直线于点。，以AD为边、AC为对角线作菱形AZJCE,连结DE.

①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形43CE的面积；

②当此抛物线在菱形ADCE内部的点的纵坐标>随x的增大而增大时，直接写出m的取值范围.

【中考模拟即学即练】

9.(2025・上海虹口•一模)在平面直角坐标系无Oy中，抛物线y=Y+2加尤+/”+1经过点8(-1,0).

⑴求加的值以及抛物线的对称轴；

(2)将该抛物线向右平移〃个单位后得到新抛物线，如果新抛物线经过原点，求”的值.

10.(2025•江西景德镇•模拟预测)抛物线y=2尤2-4x+c的顶点至IJ尤轴的距离为3.

⑴求抛物线的顶点坐标；

(2)若抛物线与x轴有两个交点，当-lVxW4,求y的取值范围.

11.(2024,浙江台州,模拟预测)已知抛物线小y=a(尤-3『-5经过点(2,-4).

⑴求乙的函数表达式及其顶点坐标；

⑵若点和3(〃,%)在抛物线右上，且m=4,%=%.

①求A,2两点的坐标；

②将抛物线。平移得到抛物线4：y=a(x-3+4-5.当相WxW〃时，抛物线4的函数最大值为p,最小

值为g,若p-q=6,求左的值.

12.（2024•贵州六盘水•二模）已知二次函数图象的顶点坐标为（1,-4）,且图象经过点（3,0）,（0,-3）.

⑴求二次函数的表达式

（2）将二次函数的图象向右平移加＞0）个单位，图象经过点［1,求根的值;

⑶在由⑵平移后的图象上，当24尤1时，函数的最小值为-3,求w的值.

13.（2024•贵州贵阳•模拟预测）如图是二次函数％=3尤2弓的图象，根据图象回答下列问题:

⑴二次函数y=N的图象与％的图象有什么相同和不同（各写出两条）;

（2）若有一个二次函数的图象与%的图象形状相同，且不经过第三、四象限，写出一个符合条件的二次函数

的表达式.

14.(2025・湖北黄石•一模)如图1,抛物线y="/+6x+c交无轴于A,C两点，交y轴于点B,对称轴为x=2,

若点A的坐标为(TO),03=0C,点。(〃%8)为某个动点.

⑴直接写出点8,C的坐标；

⑵当点。在抛物线上且在对称轴右侧时，设直线AO的解析式为、=履+〃，依据函数图象试求不等式

ax2+[b-k)x+c-d<0的解集；

(3)如图2,过点。作x轴的垂线DE,交抛物线于点E,记£>£=〃，求〃关于机的函数解析式.当〃随机

图1图2

15.（2024•贵州遵义•三模）如图，是小明在自家院子里晾晒衣服的示意图，他发现此时晾衣绳的形状可以

近似的看作一条抛物线.经过测量，他发现立柱AB,CD均与地面垂直，且AB=CD=2m,AB.CD之

间的水平距离BD=8m.绳子最低点与地面的距离为1m.

图（1）图（2）

⑴按如图（1）建立的平面直角坐标系，求抛物线的解析式.

（2）由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，如图（2）

肱V的高度为1.55m,通过调整MN的位置，使左边抛物线K对应的函数关系式为％=a（x-2）2+左，且最

低点离地面1.4米，求水平距离DN.

⑶在（2）的条件下，小明测得右边抛物线F?对应的函数关系式为%=0.09（X-5）2+1.19,将图（2）中与,

F?两条抛物线组成的新函数图象整体向右平移相＞0）个单位长度，平移后的函数图象在5WXW6时，y

的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出根的取值范围.

16.（2024•江苏盐城•二模）已知二次函数>尤-犷+上的图象开口向下，且经过A（-3,加），3（-1,〃）两

点.

⑴①。0（填">"或"<"）；

②当〃z=w时，求〃的值；

（2）若点C（2,p）和点。（1,0）也在二次函数y=a（x—/?）2+左图象上，且"掰<0,

①求〃的取值范围；

②若两不同点E（-l-2r,e）和/"2"）都在二次函数y=a（x-/7『+后的图象上，且始终满足e</，求f的取

值范围.

题型二：交点问题

【中考母题学方法】

1.（2020•江苏盐城・中考真题）若二次函数、=内2+如+。的图像与x轴有两个交点

加（和0）川（々,0）（0<xl<x2）,且经过点4（0,2）,过点A的直线/与尤轴交于点C,与该函数的图像交于点B

（异于点A）.满足zviav是等腰直角三角形，记AAMN的面积为的面积为邑，且S2=gs「

W

A-

O~M

（1）抛物线的开口方向一（填"上"或"下"）；

（2）求直线/相应的函数表达式；

（3）求该二次函数的表达式.

2.(2021・四川雅安・中考真题)已知二次函数y=f+2bx-3b.

(1)当该二次函数的图象经过点A(L0)时，求该二次函数的表达式；

(2)在(1)的条件下，二次函数图象与x轴的另一个交点为点2,与y轴的交点为点C,点尸从点A出发在

线段48上以每秒2个单位长度的速度向点8运动，同时点。从点8出发，在线段8c上以每秒1个单位长

度的速度向点C运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求&BP。面积的最大值；

(3)若对满足尤21的任意实数无，都使得＞20成立，求实数6的取值范围.

3.（2020•湖南株洲•中考真题）如图所示，二次函数y=a?+bx+c（a＞0）的图像（记为抛物线「）与y轴交

于点C,与x轴分别交于点A、B,点A、B的横坐标分别记为4，%,且。＜%＜乙.

（1）若〃=。，b=—3,且过点求该二次函数的表达式；

（2）若关于x的一元二次方程/+foc+c=0的判别式A'=4.求证：当g时，二次函数

%=办2+（b+l）x+c的图像与X轴没有交点.

（3）若AB2=CJ2C+6,点p的坐标为（_后,_1）,过点P作直线1垂直于y轴，且抛物线的「顶点在直

C

线I上，连接OP、AP、BP,PA的延长线与抛物线「交于点D,若NOPB=NDAB,求x0的最小值.

4.（2020•江苏连云港,中考真题）在平面直角坐标系xOv中，把与x轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛

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物线”.如图，抛物线匕：丫=5尤2-］尤-2的顶点为。，交无轴于点A、8（点A在点8左侧），交y轴于点C.抛

物线4与乙是"共根抛物线”，其顶点为P.

备用图

（1）若抛物线4经过点Q,T2）,求右对应的函数表达式；

（2）当的值最大时，求点尸的坐标；

（3）设点。是抛物线右上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若VDPQ与VABC相似，求其“共根抛物

线"4的顶点尸的坐标.

【中考模拟即学即练】

5.(2024•浙江杭州・二模)已知二次函数y=/—ax+6在尤=-1和x=5时的函数值相等.

⑴求二次函数y=Y-ax+b图像的对称轴；

(2)若二次函数y=--以+b的图像与x轴只有一个交点，求b的值.

6.(2024•浙江宁波•一模)若二次函数>=尤2+27加+。与x轴只有一个交点，且经过A(a,6)和2(〃+2,6).

(1)用含a的代数式表示m;

(2)若点C(2a+2,32-c)也在该二次函数的图象上，求该二次函数的解析式.

7.(2025・上海崇明•一模)已知抛物线y=/-2x-3的顶点为P,与V轴相交与点Q.

⑴求点尸、。的坐标；

(2)将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与x轴的另一个交点为求sinNOMQ

的值.

8.(2024•云南•模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=依2+6依-4m(aW0)与无轴的交点为A、B

(点A在点B的左侧)，且AB=2.

⑴求抛物线的对称轴及相与。的数量关系；

(2)若将此抛物线在点A、8之间的部分与线段A8所围成的区域(包括边界)记为C,当在C内的整点(横、

纵坐标都为整数的点)有且仅有7个时，求出a的取值范围.

9.（2025・上海静安•一模）二次函数＞=〃尤2+及+0的部分图像如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是

⑴填空：①a与b的数量关系为：b=；②图像与无轴的另一个交点坐标为

⑵如果该函数图像经过点（0,-3）,求它的顶点坐标.

10.（2024,福建福州•模拟预测）已知二次函数y=ax2+bx+c（a*0）.

⑴当。=2时,

①若该函数图像的对称轴为直线x=l,且过点（。,3）,求该函数的表达式;

②若方程a?+fcv+c=0有两个相等的实数根，求证：2b+8c3-l；

，…be,已知点（）点

(2)右a=一彳=3“29+2,N„+2当二次函数y=af+6x+c的图像与线段"N有交点

时，直接写出。的取值范围.

11.（2024•贵州安顺•一模）如图，二次函数％=2/+bx+c与x轴有两个交点，其中一个交点为4-1,0）,

且图象过点2（1,2）,过A,8两点作直线AB.

⑴求该二次函