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文档简介
专题13特殊平行四边形
目录
01理•思维导图:呈现教材知识结构,构建学科知识体系。
02盘•基础知识:甄选核心知识逐项分解,基础不丢分。(3大模块知识梳理)
知识模块一:矩形的性质与判定
知识模块二:菱形的性质与判定
知识模块三:正方形的性质与判定
03究•考点考法:对考点考法进行细致剖析和讲解,全面提升。(12大基础考点)
考点一:根据特殊四边形的性质求角度
考点二:根据特殊四边形的性质求线段长
考点三:根据特殊四边形的性质求周长
考点四:根据特殊四边形的性质求面积
考点五:根据特殊四边形的性质求点的坐标
考点六:利用特殊四边形的性质证明
考点七:特殊四边形的折叠问题
考点八:证明四边形是特殊四边形
考点九:根据特殊四边形的性质与判定求角度
考点十:根据特殊四边形的性质与判定求线段长
考点十一:根据特殊四边形的性质与判定求周长
考点十二:根据特殊四边形的性质与判定求面积
04破•重点难点:突破重难点,冲刺高分。(6大重难点)
重难点一:与特殊平行四边形有关的最值问题
重难点二:中点模型
重难点三:十字架模型
重难点四:半角模型
重难点五:一线三垂直模型
重难点六:对角互补模型
05辨•易混易错:点拨易混易错知识点,夯实基础。(2大易错点)
易错点1:未掌握矩形,菱形,正方形的判定定理
易错点2:求菱形面积时出错
思维¥槌
具有的四边形所有14S
四个角都是直角
对角线相等
既是中心对称图形,又是轴对称图形
有一个角是直角的平行四边形
角-----------------------------
有三个角是直角的四边形
判定对角线对角线相等的平行四边形
运用勾股定理求边或对角线的长
应用
运用对角线相等证明四个小三角形的面积相等
具有平行四边形所有蟠
边四条边都相等
两条又捅线互相垂直
对角线
菱形每一条对角线平分一组对角
有一组邻边相等的平行四边形
特殊平行四边形&边
四条边都相等的四边形
判定
对角线互相垂直的平行四边形
具有帝亍四娜所有瞳
边四条边都相等
角四个角都是直角
相等
对角线互相垂直平分
每条对角线平分一组对角
正方形轴对称图形4条对称轴
对称性
中心对称图形
边有一组邻边相等的矩形
角有一个角是直角的菱形
判定
对角线互相垂直的朝
对角线
对角线相等的美形
盒基森如说、
知识模块一:矩形
知识点一:矩形的性质
性质符号语言图示
边两组对边平行且相等•/四边形ABCD是矩形
,AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//BCAD
角四个角都是直角四边形ABCD是矩形
・•・NBAD=NBCD二NABC二NADC=90°
BC
对角线两条对角线互相平分・・・四边形ABCD是矩形
且相等.*.A0=C0=B0=D0
【补充】
1)矩形是特殊的平行四边形,所以矩形具有平行四边形的一切性质;
2)矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形,经常会用到等腰三角形的性质解决问题.
3)利用矩形的性质可以推出:在直角三角形中斜边的中线,等于斜边的一半.
知识点二:矩形的判定
判定定理符号语言图示
一个角是直角的平行四在平行四边形ABCD中,AD
边形是矩形VZABC=90°,二平行四边形ABCD是矩o
BC
角形
二个角是直角的四边形在四边形ABCD中,D
是矩形VZB=ZA=ZD=90°,
BC
**•四边形ABCD是矩形
对角线对角线相等的平行四边在平行四边形ABCD中,AD
形是矩形:AC=BD,.•.平行四边形ABCD是矩形
BX
C
知识模块二:菱形
知识点一:菱形的性质
性质定理符号语言图示
・・・四边形ABCD是菱形
边四条边都相等
L
.\AB=CD=AD=BC
四边形ABCD是菱形,AC_LBD,
对角对角线互相垂直,且每一条——
AC平分/BAD,AC平分/BAD,
线对角线平分一组对角r
AC平分/BAD,AC平分/BAD
【补充】
1)菱形是特殊的平行四边形,所以菱形具有平行四边形的一切性质;
2)菱形的两条对角线互相垂直,且对角线将菱形分成四个全等的直角三角形.
3)对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
4)菱形的面积公式:
①菱形的面积=底义高,即
②菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半,即S=’根”.
2
知识点二:菱形的判定
判定定理符号语言图示
四条边相等的四边形是在四边形ABCD中,
边菱形.:AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是菱
形
一组邻边相等的平行四在平行四边形ABCD中,c
边形是菱形.VAB=BC,平行四边形ABCD是菱形
对角线对角线互相垂直的平行在平行四边形ABCD中,A
四边形是菱形.VAC±BD,平行四边形ABCD是菱形
B
C
知识模块三:正方形
知识点一:正方形的性质
1)正方形的四个角都是直角,四条边都相等,对边平行.
2)正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角.
【补充】
1)正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
2)一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形,对角线与边的夹角是45°.
3)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
4)正方形的面积是边长的平方,也可表示为对角线长平方的一半.
知识点二:正方形的判定
定义法平行四边形+一组邻边相等+一个角为直角有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边
形是正方形
判定定理矩形+一组邻边相等有一组邻边相等的矩形是正方形
矩形+对角线互相垂直对角线互相垂直的矩形是正方形
菱形+一个角是直角有一个角是直角的菱形是正方形
菱形+对角线相等对角线相等的菱形是正方形
⑹著点司法
考点一:根据特殊四边形的性质求角度
1.(2023•黑龙江哈尔滨•中考真题)矩形4BCD的对角线4C,BD相交于点0,点F在矩形4BCD边上,连接0F.若
4ADB=38°,4BOF=30°,贝!JNHOF=.
2.(2023•黑龙江大庆•中考真题)将两个完全相同的菱形按如图方式放置,若4BAD=a,乙CBE=0,贝4=
()
B
13
45。+%C.90°--aD.90°--a
222
3.(2023・山东・中考真题)如图,点E是正方形4BCD内的一点,将△ABE绕点8按顺时针方向旋转90。得到
△CBF.若4WE=55°,则/EGC=度.
考点二:根据特殊四边形的性质求线段长
4.(2024・四川巴中•中考真题)如图,矩形4BCD的对角线4C与BD交于点0,DE14C于点E,延长DE与BC交
于点F.若AB=3,BC=4,则点F到BD的距离为.
5.(2024.海南・中考真题)如图,菱形4BCD的边长为2,NABC=120。,边4B在数轴上,将2C绕点A顺时
针旋转,点C落在数轴上的点E处,若点E表示的数是3,则点A表示的数是()
BE
A.1B.1-V3C.0D.3-2V3
6.(2024•吉林・中考真题)如图,正方形2BCD的对角线AC,BD相交于点。,点E是。力的中点,点E是。。上
一点.连接EF.若NFEO=45。,则g的值为
考点三:根据特殊四边形的性质求周长
7.(2023•辽宁丹东•中考真题)如图,在矩形ABCD中,对角线4C与BD相交于点O,UBD=60°,AE1BD,
垂足为点E,尸是。C的中点,连接EF,若EF=2次,则矩形力BCD的周长是()
C.4V3+8D.8g+8
8.(2023•内蒙古・中考真题)如图,在菱形48CD中,4B=4,乙4=120。,顺次连接菱形4BCD各边中点E、
F、G、H,则四边形EFGH的周长为()
C.4+4V3D.6+4V3
9.(2024•江苏连云港.中考真题)如图,正方形中有一个由若干个长方形组成的对称图案,其中正方形边长
是80cm,则图中阴影图形的周长是()
A.440cmB.320cmC.280cmD.160cm
考点四:根据特殊四边形的性质求面积
10.(2022•湖南邵阳・中考真题)已知矩形的一边长为6cm,一条对角线的长为10cm,则矩形的面积为
cm2".
11.(2024・广东.中考真题)如图,菱形48CD的面积为24,点E是4B的中点,点厂是BC上的动点.若4BEF
的面积为4,则图中阴影部分的面积为.
12.(2023・湖南•中考真题)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具,某同学用边长为4dm的正方形纸
板制作了一副七巧板(如图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四边形组成.则图中阴影部
分的面积为dm3.
考点五:根据特殊四边形的性质求点的坐标
13.(2024•吉林中考真题)如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-4,0),点C的坐标为(0,2).以。4,OC
为边作矩形Q48C,若将矩形04BC绕点。顺时针旋转90。,得到矩形OA'B'C',则点夕的坐标为()
5
A'―
_______C
AOCx
A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)
14.(2024.辽宁•中考真题)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形40BC的顶点4在x轴负半轴上,顶点B在
直线y=|x上,若点B的横坐标是8,为点C的坐标为()
A.(-1,6)B.(-2,6)C.(-3,6)D.(-4,6)
15.(2024.河南・中考真题)如图,在平面直角坐标系中,正方形48CD的边力8在左轴上,点A的坐标为(-2,0),
点E在边CD上.将4BCE沿BE折叠,点C落在点尸处.若点P的坐标为(0,6),则点E的坐标为.
考点六:利用特殊四边形的性质证明
16.(2024•山东东营・中考真题)如图,四边形48CD是矩形,直线EF分别交AD,BC,8。于点E,F,O,
下列条件中,不能证明AB。尸三△DOE的是()
A.。为矩形48CD两条对角线的交点B.EO=FO
C.AE=CFD.EF1BD
17.(2024•山东青岛•中考真题)如图,菱形48CD中,BC=10,面积为60,对角线AC与8。相交于点。,
过点A作交边BC于点E,连接E。,则E。=
18.(2023•四川绵阳•中考真题)如图,在边长为4的正方形2BCD中,点G是BC上的一点,且BG=3GC,
DEL2G于点E,BF||DE,且交4G于点R则tan/EDF的值为()
A-;B-1c|D-I
考点七:特殊四边形的折叠问题
19.(2024.山东淄博.中考真题)如图所示,在矩形力BCD中,BC=2AB,点M,N分别在边8C,力。上.连
接MN,将四边形CMND沿MN翻折,点C,。分别落在点4E处.贝Utan乙4MN的值是()
A.2B.V2C.V3D.V5
20.(2023•江苏南京・中考真题)如图,在菱形纸片2BCD中,点E在边4B上,将纸片沿CE折叠,点、B
落在B'处,CB'LAD,垂足为尸若CF=4cm,FB'=1cm,则BE=___cm
21.(2023・湖北・中考真题)如图,将边长为3的正方形A8CD沿直线EF折叠,使点B的对应点M落在边4。上
(点M不与点4。重合),点c落在点N处,MN与CD交于点、P,折痕分别与边48,CD交于点£,尸,连接BM.
(1)求证:^AMB=4BMP;
(2)若DP=1,求MD的长.
考点八:证明四边形是特殊四边形
22.(2024•吉林长春・中考真题)如图,在四边形48CD中,乙4=LB=90。,。是边4B的中点,乙4。。=NBOC.求
证:四边形4BCD是矩形.
23.(2024•内蒙古呼伦贝尔・中考真题)如图,在平行四边形力BCD中,点尸在边力。上,AB=AF,连接BF,
点。为BF的中点,4。的延长线交边BC于点E,连接EF
(1)求证:四边形A8EF是菱形:
⑵若平行四边形4BCD的周长为22,CE=1,ABAD=120°,求4E的长.
24.(2023・湖北十堰•中考真题)如图,回48CD的对角线力&BD交于点。,分别以点为圆心,长
为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP.
AD
(1)试判断四边形BPC。的形状,并说明理由;
(2)请说明当团力BCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形?
考点九:根据特殊四边形的性质与判定求角度
25.(2024•湖北武汉•中考真题)小美同学按如下步骤作四边形4BCD:①画NAMN;②以点4为圆心,1个单
位长为半径画弧,分别交4M,4N于点B,D;③分别以点8,。为圆心,,1个单位长为半径画弧,两弧交于点
C;④连接BC,CD,BD.若乙4=44。,则NC8D的大小是()
Af
/X\//
Z__
A[yN
A.64°B.66°C.68°E).70°
26.(2023•江苏镇江•二模)如图,在平行四边形4BCD中,点E、F、C;、”分别在边力B、BC、CD、D4上,
且AE=CG,BF=DH,连接EG、FH.
DGC
AEB
⑴求证:4AEH任CGF;
(2)若EG=FH/AHE=35。,求NDHG的度数.
27.(2023・四川・中考真题)如图,半径为5的扇形20B中,/.AOB=90°,。是舫上一点,CD1OA,CE1OB,
垂足分别为D,E,若CD=CE,则图中阴影部分面积为()
.257rc257r—,257r一257r
A.—B.—C.——D.—
16864
考点十:根据特殊四边形的性质与判定求线段长
28.(2024.西藏・中考真题)如图,在RtAABC中,ZC=90°,AC=12,BC=5,点尸是边48上任意一点,
过点尸作PD14C,PE1BC,垂足分别为点。,E,连接DE,则DE的最小值是()
29.(2024•山东德州•中考真题)如图,ElABCD中,对角线4C平分NR4D.
(1)求证:12ABe。是菱形;
(2)若力C=8,4DCB=74°,求菱形力BCD的边长.(参考数据:sin37°«0.60,cos37°«0.80,tan37°«0.75)
30.(2020•贵州黔西・中考真题)如图,在ATlBC中,CA=CB,Z.ACB=90°,4B=2,点。为48的中点,
以点。为圆心作圆心角为90。的扇形EDF,点C恰在舁上,则图中阴影部分的面积为.
B
考点十一:根据特殊四边形的性质与判定求周长
31.(2021.内蒙古・中考真题)如图,在回ABC。中,AD=12,以AD为直径的O。与相切于点E,连接
OC.若。C=4B,贝!!laaBCD的周长为
32.(2023•青海西宁•中考真题)如图,在团4BCD中,点E,F分别在4B,CD的延长线上,且BE=DF,连
接EF与4C交于点M,连接力F,CE.
E
(1)求证:LAEM=△CFM-,
(2)若4尸=3鱼,求四边形2ECF的周长.
33.(2023・浙江•模拟预测)如图,在RtAABC中,ZC=90°,AC=6,BC=8,AB=10,两锐角的角平
分线交于点P,点E,F分别在边AC,BC上,且NEPF=45。,求△CEF的周长.
P
A
B
考点十二:根据特殊四边形的性质与判定求面积
34.(2023•山东潍坊・中考真题)工匠师傅准备从六边形的铁皮4BCDEF中,裁出一块矩形铁皮制作工件,
如图所示.经测量,AB||DE,4B与DE之间的距离为2米,48=3米,4F=8C=1米,乙4==90。,
ZC=ZF=135°.MH,HG,GN是工匠师傅画出的裁剪虚线.当的长度为多少时,矩形铁皮MNGH的面
积最大,最大面积是多少?
35.(2023•西藏•中考真题)如图,两张宽为3的长方形纸条叠放在一起,己知乙48c=60。,则阴影部分的
A.1B.3V3C.竽D.6V3
36.(2021・广西贵港•中考真题)如图,在正方形ABC。中,E,尸是对角线AC上的两点,MEF=2AE=2CF,
连接。E并延长交AB于点连接DP并延长交8c于点N,连接MN,则登也=()
S&MBN
Dy__________
A0MB
321
A-;B-3C-1D.5
f点燃点
重难点一:与特殊平行四边形有关的最值问题
1.如图,在RtAABC中,Z5XC=90°,且B4=6,AC=8,点。是斜边BC上的一个动点,过点。分别作
DM1AB于点M,DNLAC于点、N,连接MN,则线段MN的最小值为()
A.5B.3.6C.2.4D.4.8
2.(2022・山东苗泽・中考真题)如图,在菱形ABC。中,力B=2,々1BC=60。,M是对角线3。上的一个动
点,CF=BF,则M4+MF的最小值为()
A.1B.V2C.V3D.2
3.(2021・青海・中考真题)如图,正方形4BCD的边长为8,M在DC上,且0M=2,N是AC上一动点,则DN+MN
的最小值为
重难点二:中点模型
1.(2023•山西・中考真题)阅读与思考:下面是一位同学的数学学习笔记,请仔细阅读并完成相应任务.
瓦里尼翁平行四边形
我们知道,如图1,在四边形48CD中,点E,F,G,H分别是边D4的中点,顺次连接E,F,G,H,
得到的四边形EFGH是平行四边形.
D
图1我查阅了许多资料,得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里
尼翁"ar讥gncm,Pierrel654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.
①当原四边形的对角线满足一定关系时,瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正
方形.
②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.
③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下:
证明:如图2,连接AC,分别交于点P,Q,过点。作DM1AC于点M,交HG于点N.
・•・H,G分别为的中点,••.HG||=*C.(依据1)
D
图2,,黑吗••:DG=GC,:.DN=NM=3DM.
•••四边形EFGH是瓦里尼翁平行四边形,.WE||GF,即”P||GQ.
■.■HG||AC,SPWG||PQ,
四边形HPQG是平行四边形.(依据2):.SmPQG=HG,MN=^HG-DM.
','SAADC=万力,-DM=HG-DM,■,-S^HPQG=^I^ADC■同理,…
任务:
(1)填空:材料中的依据1是指:.
依据2是指:.
(2)请用刻度尺、三角板等工具,画一个四边形4BCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH,使得四边形EFGH为
矩形;(要求同时画出四边形4BCD的对角线)
(3)在图1中,分别连接4C,BD得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线4C,BD长度的关
系,并证明你的结论.
图3
2.(2024・青海・中考真题)综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形,我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学
兴趣小组通过作图、测量,猜想:原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.
【探究一】
原四边形对角线关系中点四边形形状1
不相等、不垂直平行四边形
图1
如图1,在四边形4BCD中,E、F、G、H分别是各边的中点.
求证:中点四边形EFGH是平行四边形.
证明:••・£、F、G、//分别是43、BC、CD、的中点,
;.EF、GH分别是△ABC和△4CD的中位线,
.许=2,GH=IAC(一①一)
:.EF=GH.
同理可得:EH=FG.
•••中点四边形EFGH是平行四边形.
结论:任意四边形的中点四边形是平行四边形.
(1)请你补全上述过程中的证明依据①
【探究二】
原四边形对角线关系中点四边形形状A
不相等、不垂直平行四边形%
B
AC=BD菱形
____1____1____1____'
C图2
从作图、测量结果得出猜想I:原四边形的对角线相等时,中点四边形是菱形.
(2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上,写出后续的证明过程.
(3)从作图、测量结果得出猜想H:原四边形对角线垂直时,中点四边形是②.
(4)下面我们结合图3来证明猜想H,请你在探究一证明结论的基础上,写出后续的证明过程.
【归纳总结】
(5)请你根据上述探究过程,补全下面的结论,并在图4中画出对应的图形.
中点四边形形状
原四边形对角线关系
③________④________
结论:原四边形对角线③.时,中点四边形是④.
重难点三:十字架模型
1.(2023・山东・中考真题)(1)如图1,在矩形力BCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE1DF,垂足为
点G.求证:4ADEfDCF.
图1图2图3
【问题解决】
(2)如图2,在正方形4BCD中,点E,F分别在边DC,BC上,AE=DF,延长BC到点H,使CH=DE,连
接DH.求证:4ADF=KH.
【类比迁移】
(3)如图3,在菱形4BCD中,点E,F分另U在边DC,BC上,AE=DF=11,DE=8,AAED=60°,求CF的
长.
2.(2023・河南・三模)综合与实践课上,老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动.
(1)操作判断
如图1,正方形纸片力BCD,在边8C上任意取一点E,连接4E,过点B作BF14E于点G,与边CD交于点F.
根据以上操作,请直接写出图1中BE与CF的数量关系:
(2)迁移探究
小华将正方形纸片换成矩形纸片,继续探究,过程如下:
如图2,在矩形纸片ABC。中,AB-.AD=m-.n,在边BC上任意取一点E,连接力E,过点B作BF12E于点G,
与边CD交于点尸,请求出K的值,并说明理由;
(3)拓展应用
如图3,已知正方形纸片4BCD的边长为2,动点E由点力向终点D做匀速运动,动点尸由点。向终点C做匀速
运动,动点E、F同时开始运动,且速度相同,连接力F、BE,交于点G,连接GD,则线段GD长度的最小值
为,点G的运动轨迹的长为.(直接写出答案不必说明理由)
重难点四:半角模型
1.(2023•内蒙古赤峰•中考真题)数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①,把一个含有45。角的三角尺
放在正方形力BCD中,使45。角的顶点始终与正方形的顶点C重合,绕点C旋转三角尺时,45。角的两边CM,CN
始终与正方形的边AD,48所在直线分别相交于点M,N,连接MN,可得△CMN.
图③
【探究一】如图②,把ACDM绕点C逆时针旋转90。得到ACBH,同时得到点H在直线力B上.求证:4CNM=
MNH;
【探究二】在图②中,连接BD,分别交CM,CN于点、E,F.求证:△CEFCNM;
【探究三】把三角尺旋转到如图③所示位置,直线BD与三角尺45。角两边CM,CN分别交于点E,F.连接北
交BD于点求黑的值.
NM
2.(2024・四川乐山・中考真题)在一堂平面几何专题复习课上,刘老师先引导学生解决了以下问题:
【问题情境】
如图1,在AABC中,^BAC=90°,4B=AC,点。、E在边BC上,且=45。,BD=3,CE=4,求
DE的长.
解:如图2,将AABD绕点A逆时针旋转90。得到连接E».
图1
由旋转的特征得NBA。=/.CAD',Z.B="CD',AD=AD',BD=CD'.
':/-BAC=90°,/.DAE=45°,
/.BAD+Z.EAC=45°.
,//.BAD=4cAD',
:.Z.CAD'+^EAC=45°,即NE4D'=45。.
Z.DAE=乙D'AE.
在AIME和△£1%£中,
AD=AD',Z-DAE=^D'AE,AE=AE,
①.
:.DE=D'E.
又,:乙ECD'=NEC4+AACD'=乙ECA+NB=90°,
.•.在RtAEC。'中,②.
:.DE=D'E=③.
【问题解决】
上述问题情境中,
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