2025年中考数学一轮复习：锐角三角函数（3大模块知识梳理+9个考点+4个重难点+2个易错点）解析版

专题11锐角三角函数

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（3大模块知识梳理）

知识模块一：锐角三角函数

知识模块二：解直角三角形

知识模块三：解直角三角形的应用

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大基础考点）

考点一：理解锐角三角函数的概念

考点二：求角的三角函数值

考点三：由三角函数求边长

考点四：由特殊角的三角函数值求解

考点五：在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

考点六：在网格中求锐角三角函数值

考点七：三角函数综合

考点八：解直角三角形的相关计算

考点九：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

04破，重点难点：突破重难点，冲刺高分。（4大重难点）

重难点一：运用解直角三角形的知识解决视角相关问题

重难点二：运用解直角三角形的知识解决方向角相关问题

重难点三：运用解直角三角形的知识解决坡角、坡度相关问题

重难点四：12345模型

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（2大易错点）

易错点1：未在直角三角形中求锐角三角函数的值

易错点2：误认为三角函数值与三角形各边的长短有关

锐角A的正弦，余弦，正切，合称zA的锐角三角函数

/.NA的对边»

〃正弦—A4=斜边新

锐角三角函数定义/《NA的邻边b

卜余弦斜边C

\.NA的对边.1

知识梳理4

\IEWti,nA=^a-=b

由Rt-的已知元素求未知元素

解直角三角形双―三融

锐、元素/

—两个锐角

角

三

角同名函数利用单调性比

比较两个函数值的大小

函互余函数利用互余关系化为同名函数

数\兑角,7

30°45°60°

亩数

JLJ2

sina也

学法指导2~22

2

cosa2立

222

皂

tana16

特殊角的三角函数值3

三角函数的定义中，没有注意边与边的对应关系

学习误区特殊角的值记错

正弦、余弦的互换关系记错（没考虑到互余关系）

盒

知识模块一：锐角三角函数

知识点一：正弦，余弦，正切

正弦：在RtZ\ABC中，NC=90。，把锐角A的对边a与斜边c的比叫做

NA的对边a

NA的正弦，记作sinA,

斜边c

余弦：在Rt^ABC中，NC=90。，把锐角A的邻边b与斜边c的比叫做

NA的邻边b

ZA的余弦，记作cosA,即cosA=

斜边c

正切：在Rt^ABC中,NC=90A的对边a

的正切，记作tanA‘贝"tanA=第翳=*

【注意】1）正弦、余弦、正切是在直角三角形中进行定义的，本质是两条线段的比，因此没有单位，只与

角的大小有关，而与直角三角形的边长无关.

2）根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅

助线来构造直角三角形.

3）tad/表示tan/•tan/,可以写成（tan/）2,不能写成tanA2（正弦、余弦相同）.

知识点二：锐角三角函数

锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都是NA的三角函数.（其中：0<NA<90°）

取值范围:在RtZ\ABC中，NC=90°,由于直角边一定比斜边短，故有如下结论：0<sinA<l,0<cosA<1,

tanA>Q.

增减变化：当0°<ZA<90°,sinA,tanA随/A的增大而增大，cosA随NA的增大而减小.

【补充】利用锐角三角函数值的增减变化规律可比较锐角的大小.

知识点三：特殊角的三角函数值

利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，如下表所示：

三角函数值特殊角

30°45°60°

sina£

V3

2~T~T

cosaj_

V3V22

~TT

tana

V3V3

Vi

知识点四：锐角三角函数的关系

在Rt^ABC中，若/C为直角，则/A与/B互余时，有以下两种关系:

1）同角三角函数的关系：

①平方关系：sin2A+cos2A=1；

②商数关系：tanA=^=•

cosA

2）互余两角的三角函数关系：

①互余关系：

sinA=cos（90°-ZA）=cosB,即一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值.

sinB=sin（90°-NA）=cosA,即一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.

②倒数关系：tanA•tanB=1

知识模块二：解直角三角形

知识点一：解直角三角形

定义：一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知

元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.

在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：

1）直角三角形的五个元素：边：a、b、c,角：NA、ZB.

2）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）.

3）两锐角之间的关系：ZA+ZB=90°.

4）边角之间的关系：sinA=-,sinB=-,cosA=-,cosBtanA=-,tanB=-.

ccccba

【补充】三角函数是连接边与角的桥梁.

5）面积公式5=工次?=」防（h为斜边上的高）.

22

知识点二：解直角三角形的常见类型

已知条件解法步骤图示

斜边和一直角边（如c,a）由sinA=2,求ZA,ZB=90°-ZA,b=4c2-a2A

c

两

边两直角边（如a,b）由tanA=：,求Z_A,NB=90°—NA,c=ylCl2+/72

bb

ZB=90°—NA,a=c*sinA,b=c»cosA

斜边和一锐角（如c,ZA）口

—■CB

边

一直角边和一锐角（如a,ZA）ZB=90°—ZA,b=---,c=---

tanAsinA

角b

另一直角边和一锐角（如b,ZA）ZB=90°—ZA,a-/7*tanA,c=-------

cosA

【注意】已知两个角不能解直角三角形，因为有两个角对应相等的两个三角形相似，但不一定全等，因此

其边的大小不确定.

【总结】在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素（至少有一条边），可求出其余的

三个未知元素（知二求三）.

【已知一边一角的记忆口诀】有斜求对用正弦，有斜求邻用余弦，无斜求对（邻）用正切.

知识模块三：解直角三角形的应用

知识点一：仰角、俯角

视角：视线与水平线的夹角叫做视角.

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角.

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角.

【注意】仰角和俯角是相对于水平线而言的，在不同的位置观测，仰角和俯角是不同的.

知识点二：坡度、坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=1

坡角：坡面与水平面的夹角a叫做坡角.

【注意】坡度与坡角是两个不同的概念，坡角是两个面的夹角，坡度（用字母i表示）是比；两者之压间的

关系是i=与坡角越大，坡度越大.

知识点三：方位角、方向角

方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA,PB,

PC的方位角分别为是40°,135°,245°.

方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90。的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线

0A,OB,0C,OD的方向角分别表示北偏东30°,南偏东45°,南偏西80°,北偏西60°.特别如：东南方

向指的是南偏东45°,东北方向指的是北偏东45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西

45

知识点四：解直角三角形实际应用的一般步骤

①弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；

②将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；当有些图

形不是直角三角形时，可适当添加辅助线，把它们分割成直角三角形或矩形.

③选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；

④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解.

【常见类型】航海、建桥修路、测量楼高、塔高等.

费者逝者法

考点一：理解锐角三角函数的概念

1.（2022・吉林长春・中考真题）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该

起重机的变幅索顶端记为点A,变幅索的底端记为点B,A0垂直地面，垂足为点D,BC1AD,垂足为点C.设

^ABC=a,下列关系式正确的是（）

AC

DC.sina=——

BCABACAB

【答案】D

【分析】根据正弦三角函数的定义判断即可.

【详解】-BCLAC,

.•.△ABC是直角三角形,

,-Z-ABC=a,

.AC

.,•sina=一,

AB

故选：D.

【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义.在直角三角形中任意锐角乙4的对边与斜边之比叫做乙4的正弦，

记作sinzA.掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键.

2.（2024•天津红桥•一模）如图，在RtAABC中，乙48c=90。，。为边45上一点，过点O作。E1AC,垂足

为凡则下列结论中正确的是（）

A.sinA=—B.cosA=—C.tanA=—D.tanA=—

ABADADBC

【答案】B

【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义.由锐角的三角函数定义，即可判断.

【详解】解：•.•DE1ZC,

・•・^AED=Z.ABC=90°,

A、sinA=故A不符合题意；

B、结论正确，故B符合题意；

C、tan/=?,故C不符合题意；

D、tanH=些，故。不符合题意.

AB

故选：B.

3.（2024广州市模拟预测）在RtAABC中，NC=90。，各边都扩大2倍，则锐角A的三角函数值（）

A.扩大2倍B.不变C.缩小3D.扩大3

【答案】B

【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握锐角三角函数

的定义，三角形相似的判定和性质，根据三角形相似的判定，可以确定各边扩大后的三角形与原三角形相

似，再根据相似三角形的性质可知锐角A的度数不变，所以锐角A对应的三角函数值就不变.

【详解】解：因为各边扩大后的三角形与原三角形相似，锐角A的度数不变，锐角A对应的三角函数值就

不变.

故选：B.

考点二：求角的三角函数值

1.（2022・江苏常州•中考真题）如图，在四边形ABCD中，zX=^ABC=90°,DB平分A4DC.若2D=1,

CD=3,则sin/ABD=.

【答案】亭

6

【分析】过点。作BC的垂线交于E,证明出四边形ABED为矩形，△BCC为等腰三角形，由勾股定理算出DE=

V5,BD=V6,即可求解.

【详解】解：过点。作的垂线交于E,

•・•Z.A=Z.ABC=90°,

・•・四边形为矩形，

・•.DE//AB,AD=BE=1,

•••乙ABD=Z-BDE,

•・•8。平分匕/OC,

•••Z-ADB=乙CDB,

-AD//BE,

•••Z-ADB=乙CBD,

•.乙CDB=cCBD

CD=CB=3,

AD=BE=1,

CE=2,

•••DE=y/DC2-CE2=V9^4=V5,

•••BD=y/DE2+BE2=V5+1=V6

./Dn□BE1V6

•••smZ-BDE=—=-p=——，

BDV66

・•・sinZ-ABD=—,

6

故答案为：咚.

6

【点睛】本题考查了锐角三角函数、矩形、等腰三角形形、勾股定理、平行线的性质，解题的关键是构造

直角三角形求解.

2.（2024・四川雅安・中考真题）如图，把矩形纸片A8CD沿对角线BD折叠，使点C落在点£处，BE与AD交

于点F,若4B=6,BC=8,贝Ijcos乙4BF的值是.

【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键.

折叠问题优先考虑利用勾股定理列方程，证BF=DF,再利用Rt△4BF求出边长，从而求解即可.

【详解】解：•••折叠,

Z.DBC=乙DBF,

,•・四边形ABC。是矩形,

ADWBC,AD=BC=8,

•••Z.ADB=乙DBC,

•••乙DBF=Z.ADB,

・•.BF=DF,

・•.AF=AD-DF=8-BF,

在RtUBF中，AB2+AF2=BF2,

・•・62+(8-BF}2=BF2,

解得BF=与

4nLAB24

・•・cosZ-ABF=——=——

BF25

故答案为：黄

3.（2024•江西・中考真题）将图1所示的七巧板，拼成图2所示的四边形ABCD,连接AC,贝Man4CAB=

图2

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图1,设等腰直角△MNQ

的直角边为a,利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的

定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图1，设等腰直角AMNQ的直角边为a,则MQ=Via,小正方形的边长为a,

••.MP=2a,

；.EM=J(2a)2+(2a)2=2缶,

：.MT=EM=2V2a,

-'-QT=2V2a—V2a=V2a,

如图2,过点C作CHd.AB的延长线于点H,贝=BH=CD,

由图(1)可得，AB=BD=2V2a,CD=V2a+V2a=242a,

■.CH=2&a,BH=2五a,

-,-AH=2>/2a+2V2a=4近a,

••.tanW8=*慧=[

故答案为：

考点三：由三角函数求边长

1.（2023・湖南娄底•中考真题）如图，点E在矩形A8CD的边CD上，将△>!£）£沿2E折叠，点。恰好落在边BC

上的点尸处，若BC=10.sinzXFB=1,贝ijDE=

【答案】5

【分析】利用矩形的性质及折叠的性质可得力。=AF=10,EF=ED,可得力B=AF-sin〃FB=10x：=8,

BF=y/AF2-AB2=6,设DE=x,贝!JCE=CD-DE=8-x,利用勾股定理可得=CF2+CE2,进而

可得结果.

【详解】解：•••四边形4BCD是矩形，

:2B=NC==90°,AB=CD,AD=BC=10,

根据折叠可知，可知AD=AF=10,EF=ED,

贝i|,在RtAAB尸中，AB^AF-sinzXFB10x1=8,贝iJCO=8,

：.BF=VXF2-AB2=6,贝!|C尸=BC-BF=4,

设DE=x,则CECD-DE=8-x,

在RtACEF中，EF2=CF2+CE2,即：x2-(8-x)2+42,

解得：x=5,

即：DE=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、解直角三角形，灵活运用折叠的性质得到相等线段是解决问

题的关键.

2.(2024•山东青岛・中考真题)如图，AABC中，BA=BC,以8c为直径的半圆。分别交AB,AC于点。，

E,过点E作半圆。的切线，交48于点跖交的延长线于点N.若。N=10,COSNABC=点则半径0C的

长为.

【分析】本题主要考查了切线的性质，解直角三角形，等边对等角，平行线的性质与判定等等，解题的关

键在于证明NEON=乙4BC,根据等边对等角推出〃=AOEC,则可证明48||0E得到NEON=AABC,再

由切线的性质得到N0EN=90°,则解Rt△EON求出。E的长即可.

【详解】解:如图所示，连接OE,

A

•-Z-A=Z-BCA,Z.OCE=Z-OEC,

••/-A=Z-OEC,

­.AB||OE,

"EON=AABC,

•••MN是。。的切线，

■.Z.OEN=90°,

.••在Rt△EON中，cos乙EON=cos^ABC=空=三，

ON5

■■■OE=^ON=6,

二半径OC的长为6,

故答案为：6.

3.（2023•山东・中考真题）如图，△力BC是边长为6的等边三角形，点D,E在边BC上，若ND4E=30。,

tan^EAC=则BD=.

【答案】3-V3

【分析】过点A作A”_LBC于”，根据等边三角形的性质可得NBAC=60。，再由4H，BC,可得NB4D+

ADAH=30°,再根据NB4D+NE4C=30°,可得=NE力C,从而可得tanAEMH=tan/EAC=%利

用锐角三角函数求得4"=4B-sin6(T=3b,再由警=失=；,求得DH=百，即可求得结果.

AH3V33

【详解】解：过点A作2H18C于H,

:是等边二角形,

MB=AC=BC=6,乙BAC=60°,

-AH1BC,

.ZBAH=-Z-BAC=30°,

2

工乙BAD+Z.DAH=30°,

-Z.DAE=30°,

.ZBAD+^EAC=30°,

••・"/”=£.EAC,

i

.,.tanzDXH=tanZ.EAC=

3

"BH=-AB=3,

2

•••AH=AB-sin60°=6x—=3V3,

2

DH_DH_1

二布=乘=7

■■.DH=V3,

：.BD=BH-DH=3-®

故答案为：3—

【点睛】本题考查等边三角形的性质、锐角三角函数，熟练掌握等边三角形的性质证明ADA"=NE4C是解

题的关键.

考点四：由特殊角的三角函数值求解

1.（2024•山东青岛・中考真题）计算：V18+Q）"1-2sin45°=.

【答案】2A/2+3/3+2V2

【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，负整数指数幕和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角

函数值，负整数指数幕和化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可.

【详解】解：V18+(I)-1-2sin45°

lV2

=3v2+3-2x

=372+3-72

=2V2+3,

故答案为：2或+3.

2.(2023・山东・中考真题)计算：|百—2|+25比60。-2023。=.

【答案】1

【分析】根据先计算绝对值，特殊角的三角函数值，零指数哥，再进行加减计算即可.

【详解】解：一2|+2sin60。一2023°

lV3

=2-V3+2X——1

=1

故答案为：L

【点睛】本题考查了实数的运算，掌握绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幕的运算是解题的关键.

3.(2022•黑龙江绥化•中考真题)定义一种运算；sin(cr+£)=sincrcos/?+cosasin0,sin(cr—0)=sinacos£—

cosasiny?.例如：当a=45。邛=30。时，sin(45°+30°)=—x—+—x-=恒21,贝!]sinl5。的值为_____.

22224

【答案】①

4

【分析】根据sin(a-S)=sinacosS-cosasin^代入进行计算即可.

【详解】解：sinl5°=sin(45°-30°)

=sin45°cos30°—cos45°sin30°

V2V3V21

二—X---------X-

2222

_V6_V2

~44

_V6—V2

4•

故答案为：

【点睛】此题考查了公式的变化，以及锐角三角函数值的计算，掌握公式的转化是解题的关键.

考点五：在平面直角坐标系中求锐角三角函数值

1.（2024•江苏宿迁•中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=上，且点A的横坐标为4,

直角三角板的直角顶点C落在无轴上，一条直角边经过点A,另一条直角边与直线。力交于点3,当点C在x

轴上移动时，线段4B的最小值为______.

【答案】Y

【分析】利用一次函数求出点A的坐标，利用勾股定理求出。4当点C在x轴上移动时，作48与29关于AC

对称，且49交x轴于点D,由对称性质可知，AB'=AB,^BAC=^DAC,当ABTx轴于点。时，AB=

=+最短，记此时点C所在位置为C',作。ElAB于点E,有=E。，设DC，==巾，

则OL=。。一DC，=4-爪，利用锐角三角函数sin〃l。。=器=,=：建立等式求出小，证明△（；，£）夕一

t^ADC,再利用相似三角形性质求出夕£）,最后根据2B=4夕=AD+9。求解，即可解题.

【详解】解：,••点A在直线y=：x上，且点A的横坐标为4,

.,.点A的坐标为（4,3）,

OA——5,

当点C在x轴上移动时，作与4次关于4c对称，且49交x轴于点。，

由对称性质可知，AB'=AB

当，x轴于点。时，AB=AB'^AD+B'D最短,记此时点C所在位置为C',

由对称性质可知，Z.BAC=Z.DAC,

作C'E_L48于点E,有。C'=EC',

设DC'=EC=m,则OC'=OD-DC=4-m,

scEC'AD3

•••smZ-AOD=—7=—=-

OC'OA5

m_3

4-m5

解得m=I，

经检验血=|是方程的解,

■：AAC'D+Z-DC'B'=90°,ADAC+PLAC'D=90°,

•••乙DC'B'=Z.DAC,

•••AC'DB'=/.ADC=90°,

AAC'DB'-'△ADC',

B'D_DC'

DC'~AD

,3

B'D_2

--3

2

解得B,D,

2-1q

・•.AB=ABr=3+-=—

44

故答案为请

【点睛】本题考查了轴对称性质，勾股定理，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，角平分线性质，垂

线段最短，一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据轴对称性质和垂线段最短找出最短的情况.

2.(2024.吉林长春.中考真题)在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线y=x2+2x+c(c是常数)

经过点(-2,-2).点/、8是该抛物线上不重合的两点，横坐标分别为血、-m,点C的横坐标为-5租，点C的

纵坐标与点4的纵坐标相同，连结48、AC.

(1)求该抛物线对应的函数表达式;

(2)求证：当小取不为零的任意实数时，tan/CAB的值始终为2；

(3)作4C的垂直平分线交直线AB于点D,以AD为边、4c为对角线作菱形力DCE,连结DE.

①当DE与此抛物线的对称轴重合时，求菱形力DCE的面积；

②当此抛物线在菱形2DCE内部的点的纵坐标y随X的增大而增大时，直接写出小的取值范围.

【答案】⑴y=x2+2x—2

(2)见详解

⑶①S菱形ADCE=9；@mW-3或一1<m<0或0<mW4-V13

【分析】(1)将(―2,—2)代入y=/+2x+c,解方程即可；

2

(2)过点B作BH1AC于点H,由题意得4(??1,巾2+2m—2),B(—m,m—2m—2),则=\yA—yB|=4|m|,

AH=\xA—xB\=2\m\,因止匕tan/CAB=瑞=2；

(3)①记力C,DE交于点C(-5m,/+2m-2),而对称轴为直线x=-1,则带处=一1,解得:巾=5

则4M=|,AC=3,由tanNC4B=^=掣=2,得0M=3,则DE=6,因此S菱形48E=%

②分类讨论，数形结合，记抛物线顶点为点R则F(-1,-3),故菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线，当

巾>0时，符合题意；当相继续变大，直至当直线CD经过点/时，符合题意，过点尸作FQ14C于点。，

由NCAD=乙FCQ,得到—+2--2-，3)=2,解得：m=4-履或m=4+V13(#),故0<mW4-V13,

当m>4-旧时，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意；当m<0时，符合题意：当加

继续变小，直至点A与点P重合，此时爪=一1,故一13m<0；当/"继续变小，直线4E经过点P时，也

符合题意，过点/作FQ14C于点。，同上可得，—^—=2,解得：7n=-3或m=-l(舍)，当

机继续变小时，仍符合题意，因此m<-3,故根的取值范围为：m<一3或一1<m<0或0VmW4-V13.

【详解】(1)解：将(一2,—2)代入y=/+2%+c,

得：4—4+c=-2,

解得：%=-2,

••・抛物线表达式为：y=/+2%—2；

(2)解：过点8作于点H,贝！!乙4"8=90。，

由题意得：A(m,m2+2m—2),8(—犯病—2m—2),

・・・

BH=\yA-yB\=4|m|,AH=\xA-xB\=2|m|,

•••在Rt△AHB中，tan/CZB=—=^=2；

AH2\m\

(3)解：①如图，记AC,DE交于点

由题意得，C(—5m,m2+2m—2),

,l,b2.

由---=---=—1,

2a2

得：对称轴为直线：X=-1

,•・四边形4DCE是菱形，

.•.点A、C关于DE对称，AC=2AM,DE=2DM,

•••DE与此抛物线的对称轴重合，

-m+5m

--------=—1a,

2

解得：m=|,

1

：'XA=29

'-AM=--(—1)=-

2、，2

•­AC—3,

「A「DMDM「

,-'tanZ-CAB=—=—r-=2,

AM-2

：.DM=3,则DE=6,

1

二S菱形4DCE=/EX4C=9;

②记抛物线顶点为点R把％=-1代入y=/+2%-2,得：y=—3,

；.F(-1,-3),

,•,抛物线在菱形2DCE内部的点的纵坐标y随x的增大而增大,

•••菱形中只包含在对称轴右侧的抛物线,

当机继续变大，直至当直线CD经过点尸时，符合题意，如图:

过点/作FQ14C于点。,

••・四边形4DCE是菱形,

-'-DA=DC,

'-Z-CAD=乙FCQ,

.,•tanzFCQ=tanZ-CAD=^=2,

.病+2171-2-(-3)_Q

,,--l-(-5m)—-，

解得：zn=4-VH^m=4+Vl^(舍)，

••.0<m<4—V13,

当4-旧时，如图，发现此时菱形包含了对称轴左侧的抛物线，不符合题意;

当相继续变小，直至点A与点月重合，此时771=-1,符合题意，如图:

当叫继续变小，直至直线4E经过点尸时，也符合题意，如图:

过点F作FQ1AC于点Q,同上可得,

tanzFXQ='=2,

TH^+2771—2—(—3)

=2,

-1-771

解得：m=-3或m=-1(舍)，

当相继续变小时，仍符合题意，如图:

综上所述，利的取值范围为：mW-3或-1W巾<0或0<mW4-

【点睛】本题考查了抛物线与几何的综合，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，求锐角的正切值，正

确理解题意，利用数形结合的思想，找出临界状态是解决本题的关键.

3.(2024・西藏・中考真题)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3(a30)与x轴交于4(一1,0),3(3,0)

(2)如图(甲)，设点C关于直线/的对称点为点。，在直线/上是否存在一点尸，使PA-PD有最大值？若

存在，求出PA-P。的最大值；若不存在，请说明理由；

(3)如图(乙)，设点M为抛物线上一点，连接MC,过点M作MN1CM交直线/于点N.若tan/MCN=|,

求点M的坐标.

【答案】(l)y=-/+2%+3

(2)P4-PD存在最大值；最大值为VTU

(3)点M的坐标为(-1,0)或向或(|,空或(3,0)

【分析】(1)把4(一1,0),8(3,0)代入抛物线求出°、6的值，即可得出抛物线的解析式；

(2)先求出点C的坐标为(0,3),连接PC、PD.PA,根据轴对称的性质得出PC=PD,PA-PC=PA-PD,

得出当PA—PC最大时，PA—PD最大，根据当点A、C、尸三点在同一直线上时，P4—PC最大，即当点尸

在点P'时，PA-PD最大,求出最大值即可；

(3)过点M作EO||y轴，过点C作CO，0E于点£>,过点N作NE10E于点E,设点M的坐标为：

(m,-m2+2m+3),得出DM=|—m2+2m+3-3|=\—m2+2m\,NE=|m-1|,证明△CDMMEN,

得出”从而得出+2m\=2\m-1|,分四种情况：当zn<0时，当0<mW1时，当1<mW

NEMN3

2时，当?n〉2时，分别求出点M的坐标即可.

【详解】(1)解：把4(一1,0),8(3,0)代入y=a/+匕％+3(。w0)得：

(d—力+3=0

19。+3b+3=0'

解得：忆:，

2

••・抛物线的解析式为：y=-x+2x+3;

(2)解：P4-PD存在最大值；

把x-0代入y=—x2+2x+3得:y=3,

二点C的坐标为(0,3),

■■,y=—x2+2久+3=—(x-I)2+4,

••・抛物线的对称轴为直线久=1,

连接PC、PD、PA,如图所示：

•••点C关于直线/的对称点为点。，点尸在直线/上,

：.PC=PD,

：.PA-PC=PA-PD,

•••当P4—PC最大时，P4—PD最大，

当点A、C、尸三点在同一直线上时，PA-PC最大,即当点尸在点P'时，P4-PD最大,

.•.P4-PD最大值为：AC=Vl2+32=V10.

(3)解：过点〃作E01y轴，过点。作C010E于点。，过点N作NE10E于点如图所示:

•••CM1MN,

：/CMN=90°,

MN2

••.tanzMC/V=—=

CM3

设点M的坐标为：（科一m2+26+3）,

:.DM=\—m2+2m+3—3|=\—m2+2m|,NE=|m-1|,

,・2CMN=乙NEM=Z.CDM=90°,

・・/DCM+Z,CMD=乙CMD+乙NME=90°,

••・乙DCM=乙NME,

・•.△CDMMEN,

tNE_MN_2

"DM~CM~39

\m-l\_2

\-m2+2m\3'

.,.2|—m2+2m|=3|m-1|,

当THWO时，-m2+2niW0,m—1<0,贝！J：

2m2—4m=3—3m,

解得：7nl=-1,m2=|（舍去），

此时点M坐标为：（-1,0）；

当0<mW1时，一血2+2m>0,m—1<0,贝lj：

—2m24-4m=3—3m,

解得：ZH1=3（舍去），巾2=/

此时点M坐标为：&自）；

当1<mW2时，一血？+2m>0,m—1>0,贝lj：

—2m2+4m=3m—3,

解得：nii=|,m2——1（舍去），

此时点M坐标为：（|,号；

当m>2时，一7n2+27n<0,m—1>0,贝（J：

2m2-4m=3m—3,

解得：=3,m2=|（舍去），

此时点〃坐标为：（3,0）；

综上分析可知：点M坐标为：（-1,0）或&号或（I，•或（3,0）.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解

直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握

相关的判定和性质，注意进行分类讨论.

考点六：在网格中求锐角三角函数值

1.（2024•内蒙古包头•模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，点4、B、C、D、E都在小正方形格点

的位置上，连接4B,CD相交于点P,根据图中提示所添加的辅助线，可以求得tan/BPC的值是（）

A.-B.—C.2D.V5

25

【答案】c

【分析】本题考查了三角函数，勾股定理,平行线的性质，解题的关键是数形结合.由题得：COIIBE,乙AED=

45°,/.BED=45°,根据勾股定理求出ZE=2&，BE=&,进而求出tan/ABE=2,即可求解.

【详解】解：由题得，CDIIBE,AAED=45°,ABED=45°,

.­.乙BPC=^ABE,/.AEB=90°,

•••AE=V22+22=2V2,BE=712+12=V2,

.•.在Rt△力BE中，tan4力BE=竺=莘=2,

贝lltan/BPC=tanZJlBE=2,

故选：c.

2.（2024・湖北武汉.模拟预测）如图，是由小正方形组成的7x6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，4ABe

的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.

⑴在图1中，将线段AB绕点A逆时针旋转90。得到线段力M；在4c上画点N,使tan/ABN="

4

（2）在图2中，。是BC上任意一点，先画4。的中点E,再在上找到一点兄使得乙4FB=NCFE.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】（1）根据旋转的性质可得线段2M,借助网格中平行线可得比例线段，从而求解.

（2）利用矩形MBM4性质，可得4。=80,四边形4HCG是平行四边形，AO'=CO',即可求解.

本题考查作图——旋转变换，轴对称变换、平行线的性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解答本题

的关键.

【详解】（1）解：如图1,根据旋转的性质可得线段4M,取格点P,Q,连结PQ交4M于点O,

此时券号，则需建

口口

即——AO=A­O=3-

AMAB4

连结。B交AC于点N,

3

•••tan乙4BN=tan乙48。=一，

4

则点N即为所求.

图1

(2)解：如图2,连结MN,交AB于点0,

•.•四边形MBM4是矩形，

AO=B0,

AC与HG交于点O,

••・四边形4HCG是平行四边形,

AO'=CO',

连结。。'交4。于点E,点E即为所求.

连结BL、KP交于点Q,连结CB'、DC'交于点Q',

连结QQ'交G'D于点连结49交BC于点R

点尸即为所求.

MA

LP

图2

3.(2024・湖北武汉.模拟预测)如图是由边长为1的小正方形构成的网格，点4D、E、尸在格点上，点2、

C是直线EF与网格线的交点.请用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图

(1)如图1,将线段EF绕着点E逆时针旋转90。得到线段EM,在线段4