2025年中考数学一轮复习：二次函数的对称性和增减性（含答案）

2025年中考数学一轮复习-专题3二次函数的对称性和增减性

1.二次函数的对称性

设抛物线y=ax2+bx+c经过Pi（久1,%），2（>2/2）,则为=为P/2关于抛物线的对称轴对称=抛物线的对

_b_%i+x2

称轴为直线久=一击=一.

2.二次函数的增减性

由二次函数的增减性可得以下结论：

①当时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小，离对称轴越远，函数值越大；

②当a<0时，抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，离对称轴越远，函数值越小.

3.二次函数的最值（对称性和增减性的应用）

（1）二次函数y^ax2+bx+c（a*0）的最大（小）值即抛物线顶点的纵坐标；

（2）二次函数y^ax2+bx+c（a丰0）当mWxWn（m¥n）时的最值求法.

记抛物线的对称轴为直线x=h,则函数y的最大（小）值一定在x=m,x=n或x=h处取得.以a>0为例（a<0时同理

求最值）：

①如图1-3-1①，当h>n或h<m时,y的最值分别在x=m和x=n处取得；

②如图②，当m<h<n时,y在x=h处取得最小值，最大值在x=m或x=n处取得.在x=m还是在x=n处取得最大值,

由m,n距离对称轴的远近决定.

in/,

av%”x

h>nh<m

①②

图1-3-1

应用举例

1.二次函数的对称性问题

y=（a%+m）（x+加图象经过0,3）,（t-4,3）两点若方程

例1已知自变量为X的二次函数

（公+加卜+9=°的—个根为*=1,

则其另一个根为______.

变式1已知抛物线y=-ax2-2czx+c（a,c是常数）经过不重合的两点A（2,1）,则m=（）

A.-4B.-2

C.OD.1

2

变式2若实数a,b,c满足a>b>c,4a+2b+c=0且a/),抛物线y=ax+bx+c^x轴交于A(xi,0),B(X2,0),点A在

点B的左侧，则线段AB的最大值是()

A.2B.3

C.4D.5

变式3已知当x=2m+n+2和x=m+2n时多项式x2+4x+6的值相等，且m--n+2#),则当x=3(m+n+l)时，求多项式

x2+4x+6的值.

2.二次函数的增减性

例2在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a)0)上.

(1)若爪=3,n=15,,求该抛物线的对称轴；

(2)已知点(-1，为)，(2曲,(4,乃)在该抛物线上.若mn<0,比较月必必的大小,并说明理由.

变式已知二次函数y^ax2+bx+3.

(1)若此函数的图象与x轴只有一个交点，试写出a与b满足的关系式；

(2)若b=2a,点P，3，%),2(-1,乃)岛(3,乃)是该函数图象上的3个点，试比较心以必的大小;

(3)若b=a+3,当x>-l时，函数y随x的增大而增大，求a的取值范围.

3.二次函数的最值问题

例3已知二次函数V=-必+6%-5,

(1)求二次函数图象的顶点坐标.

(2)当iWxg时，函数的最大值和最小值分别为多少？

⑶当t<x<t+3时，函数的最大值为m,最小值为n.若m-n=3,求t的值

变式1已知二次函数丫=61-2Mx+3,其中m/).

(1)若二次函数图象经过点(-1,6),求二次函数解析式;

(2)若该抛物线开口向上，当-1WXW2时，抛物线的最高点为M,最低点为N,点M的纵坐标为6,求点M

和点N的坐标；

(3)在二次函数图象上任取两点(xi,yD,(X2,yz),当a<久i<冷Wa+2时，总有yAy?,求a的取值范围.

进阶训练

2

1,若二次函数y=ax+bx+c的部分图象如图1-3-2所示，贝!J关于x的方程a，+bx+c=0的另一

个解为()

A.x=-2B.x=-l(jI.

C.x=0D.x=l10\\

图1-3-2

2

2.已知点A(1,yi),B(2,y2)在抛物线y=-(久+l)+2上，则下列结论中正确的是()

A.2>yi>y2B.2>y2>yi

C.yi>y2>2D.y2>yi>2

3.二次函数丫="-2"+1咖)的图象过人(一3»1)月(-1,丫2)。(2,丫3),口(434)|四个点,下列说法一定正确的是

()

A,若y/2>。，则y3y4>o

B.若yiy4>。，则y2y3>o

c.若y2y4<。，则"乃<o

D.若y3y4<O,则7172<0

4.设P(x,yi),Q(x,yz)分别是函数CQ图象上的点，当a/xWb时，总有T441恒成立，则称函数CQ

在a<x<b上是“逼近函数”，aWxgb为“逼近区间”.则下列结论：

①函数y=x-5,y=3x+2在1女92上是“逼近函数”；

②函数丫=刀-5/=久2-4%在3<X<4上是“逼近函数”；

@o<x<i是函数y=/T,y=2/—x的“逼近区间，，；

@2<x<3是函数y=4x的“逼近区间”.

其中，正确的有()

A.②③B.①④

c.①③D.②④

5.对于任意实数a,抛物线，=久2+2*+。+6与*轴都有公共点，则b的取值范围是______

6.在平面直角坐标系中，抛物线y^x2+2mx+2m2一爪的顶点为A.

(1)求顶点A的坐标(用含有字母m的代数式表示)；

(2)若点.B(2,yB),C(5,yc)在抛物线上，且yB>yc,则m的取值范围是_______(直接写出结果即可)；

(3)当l<x<3时，函数y的最小值等于6,求m的值.

7.已知抛物线y=ax2+bx+c过点A(2,0),8(3兀-4,%),C(5兀+6,乃)三点，对称轴是直线％=L关于x的方

程ax2+bx+c=久有两个相等的实数根.

(1)求抛物线的解析式；

(2)若n<-5，i试比较y与yz的大小；

(3)若B,C两点在直线,x=1的两侧，且y>>y2,y2,求n的取值范围.

答案

I应用举例I

例13或一5［解析］•.y=g++3=m+g+m)%+3,

・••当x=0时,y=3.

...抛物线y=g+哪+A)必经过点。3).

•,.t=0或t-4=0.

•・抛物线y=(ax+mAX+：)的对称轴为直线x=f=2或直线X=早=_2.

•••方程3+陶卜+目=°的一个根为x=l,

・•.另一个根为3或-5.

变式1A［解析］••公(2,1),13(叫1),二线段AB的中点坐标为(筌，1)、•二次函数图象的对称轴为直线x=

—2a_12+m_I

2.(_a)=_…_L解得m=-4.

变式2D［解析］由4a+2b+c=0且a>b>c可知a>0,c〈0,且当x=2时,y=0.

a>0,c<0,a>b,-<l,x2=2.

•••AB=%2-=2-(：-2)=4+^<5.

故AB最大值为5.

变式3解:,•,当x=2m+n+2和x=m+2n时多项式i+4%+6的值相等，

2m+n+2+m+2n_3m+3九+2

••・二次函数y="+4久+6图象的对称轴为直线x=2=一2-1

又・••二次函数y=x2+4x+6图象的对称轴为直线x=-2,

3m+3n+2„

•••—2—二-2.

・•・3m+3n+2=-4,m+n=-2.

.•.当x=3(m+n+l)=3x(-2+l)=-3时,公+4x+6=(-3)2+4x(-3)+6=3.

例2解:⑴Tm=3,n=15,

・••点(1,3),(3,15)在抛物线上.

将(1,3),(3,15)代入y=ax2+如得

(3=Q+仇(a=1,

(15=9a+解得［b=2.

.・.y=%2+2%=(%+l)2—1.

••・抛物线对称轴为直线X=-1.

(2)解法1:•••y=ax2+bx(a)。),

••.抛物线开口向上且经过原点.

当b=0时,y=a7,抛物线的顶点为原点，当x>0时y随X增大而增大，n>m>0不满足题意;

当b>0时，抛物线的对称轴在y轴左侧，同理可得，n>m>0不满足题意；

当b<0时，抛物线的对称轴在y轴右侧，

又:抛物线开口向上且经过原点，mn<0,.大=1时m<0,x=3时n>0.

即抛物线和x轴的两个交点，一个为(0,0),另外一个在(1,0)和(3,0)之间.

_1_31b3

•・抛物线对称轴在直线*=5与直线之间，即/一五<了

与对称轴的距离电=-导(-1)满足-%<I，

(2,yz)与对称轴的距离第=2-(蜀，满足l<h2<l，

(4,%)与对称轴的距离%=4-圜，满足|<%<[->-y2<yi<y3-

解法2r.•点(l,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+法(。)0)上，；.a+b=m,9a+3b=n.

,•0mn<0,(a+b)(9a+3b)<0.a+b与3a+b异号.

•••a>0,・•・a+b<0,3a+b>0.

•・・(/,y1),(2,y2),(4")在该抛物线上，

，yi=ct—b,y2=4a+2b,y3=16a+4b.

,

••,y3-yi=(16a+4b)-(a-b)=5(3a+b)>0,..y3>yi.

••,yi-y2=(a-b)-(4a+2b)=-3(a+b)>0,

••­yi>yz­••y2<yi<ys.

变式解：⑴由条件得△=bJ12a=0,；.b2=12a且#0.

⑵当b=2a时，抛物线的对称轴为直线x二一五=-L即3为顶点.

①当a>0时，抛物线开口向上，殍为最小值.

,,

•••|-3-(-l)|<|3-(-l)|?..yi<y3...y2<yi<y3.

②当a〈0时，抛物线开口向下，yz为最大值.

,,

•••|-3-(-l)|<|3-(-l)|?..yi>y3...y3<yi<y2.

_a+3

(3)当b=a+3时，抛物线y=ax2+bx+3的对称轴为直线”=一万1

要使当x>-l时，函数y随x的增大而增大，

需满足：抛物线开口向上，对称轴在直线X=-1的左侧或与其重合，即a>0,且一H,一I'解得0<aS3,；.a的

取值范围是0<a<3.

例3解:(⑴.Jy=一久2+6%-5=-3)2+4,...顶点坐标为(3,4).

(2),・,顶点坐标为(3,4),-1<0,.,.当x=3时,,y最大值=4.

・•・当l<x<3时，y随着x的增大而增大，

・•・当x=l时,y最小值=0.

•・•当3<x<4时,y随着x的增大而减小，

・•・当x=4时,y最小值=3.

.••当10x04时，函数的最大值为4,最小值为0.

⑶当t<x<t+3时对t进行分类讨论，

①当t+3<3,即t<0时,y随着x的增大而增大，当x=t+3时，函数取得最大值，

TH——(t+3>+6(t+3)—5——产+4.

当X=t时，函数取得最小值，••-n=-t2+6t-5.

・・・m-n=-6t+9.，-6t+9=3.解得t=l(不合题意，舍去).

②当t>3时，y随着x的增大而减小，

当X=t时，函数取得最大值，••-m=-t2+6t-5.

当x=t+3时，函数取得最小值，

IT——(t+3)2+6(t+3)—5=-t2+4.

・•・m-n=6t-9.・・.6t-9=3解得t=2(不合题意，舍去).

③当0MS3时，顶点的横坐标在取值范围内，.•.m=4.

3

①当°W"2时,在x=t时,函数取得最小值，•••n=-t2+6C-5.

•••m—n=4—(―t2+6t-5)=t2—6t+9.

t2-6t+9=3,解得V3-机=3+4(不合题意,舍去);

3

(ii)当2<t<3时，在x=t+3时，函数取得最小值，

••・n=—t2+4.m—n=4—(―t2+4)=t2.

•••产=3・解得0=62=一平(不合题意，舍去)，综上所述，t的值为：3一避或73

2

变式1解:⑴把(-1,6)代入.y=mx-2mx+3得m+2m+3=6,.-.m=l.

・•・函数解析式为y=x2-2x+3.

(2,•抛物线开口向上,

y=mx2—2mx+3=m(x—l)2+3—m,

抛物线的顶点坐标为(1,3-m).

.•・当x<l时,y随x增大而减小;当x>l时,y随x增大而增大，当x=l时,y有最小值3-m.

；・最高点M(-l,3m+3),最低点N(l,3-m).

.•.3m+3=6.；.m=l.

.-.M(-1,6),N(1,2).

⑶①若m>0,则当x<l时,y随x增大而减小;当x>l时，y随x增大而增大；当x=l时，y有最小值3-m.

...当a<x1<x2<a+2时，总有yi>y2)

.••止匕时a+2WL；.aW-L

②若m<0,则当x<l时,y随x增大而增大;当x>l时,y随x增大而减小.

...当a<X1<x2<a+2时，总有y»y2,.•.此时a>l.

综上，当m>0时,aW-1;当m<0时,aNl.

变式2解:⑴当b=2,c=-3时,二次函数的解析式为y=x2+2%-3=(%+1)2-4,

・•・当x=-l时，二次函数取得最小值-4.

(2)当c=5时，二次函数的解析式为y=x2+bx+5.

由题意得，y^x2+bx+5的最小值为1,

.4x5-b2_1

—4—=L解得bl-4,b2--4.

•••二次函数的解析表为y=必+4x+5或y=x2-4x+5.

（3）当c="时，二次函数解析式为y=/+版+〃，图象开口向上，对称轴为直线”=一了

b,

①当-2<“即b>0时，在自变量x的值满足b<x<b+3的情况下，y随x的增大而增大，

・・・当x=b时,y=.+'•b+，=3〃为最小值.

••.3b2=21,解得比=一"（舍去）,无=

②当bM—jb+3,即一2直4）时，

当”一及时y—R为最小值，

解得bi=-2々倍去）,与=2。（舍去）；

③当4>6+3即卜_2时，在自变量x的值满足bWxWb+3的情况下，y随x的增大而减小，

故当x=b+3时,y=（b+3）2+b（b+3）+b2=3b2+95+9

为最小值，

3〃+9b+9=21,解得bi=l（舍去）,b2=-4.

当仁"时，解析式为：y=/+0%+7,当b=-4时，解析式为：7=7-4%+16.

综上所述，此时二次函数的解析式为V=/+"%+7或y=%2-4x+16.

I进阶训练I

1.B

2.A［解析］解法1:当x=l时,%=-（1++2=一2;

当x=2时,以=-（2+If+2=-7,

所以2>%>力故选A.

解法2：因为-1<0,抛物线V=-。+I）?+2的顶点坐标是（一1,2）,对称轴是直线x=-l,

所以当x>-l时，y随x的增大而减小，

所以及<外<2.故选A.

_b_—2a_i

3.C［解析「•二次函数7=ax2-2ax+c（a）O）图象的对称轴为直线”二一五=—/=且开口向上，...距离对

称轴越近，函数值越小.

­■•yi>y4>y2>y3-

若y/2>0,,则y3y4>0不一定成立，故A选项错误,不符合题意；

若yiy4>。，则y2y3>°不一定成立，故B选项错误，不符合题意；

若y2y4<0,所以yi>0,y3<0,则yiy3<0一定成立，故C选项正确，符合题意；

若y3y4<0,则.人乃<0不一定成立，故D选项错误，不符合题意.

故选c.

4.A［解析］令①②③④中的前一个函数为yi,后一个函数为W•①力-及=-2%-7在1<X<2上，当x=l时，

治一为最大，为-9;当x=2时,y»最小，为-11,即T1Wyi-yz<-9,故函数y=x-5,y=3x+2在1WXW2上是“逼近函数”不

正确；

②及=~x2+5x-5,在3<X<4上，当x=3时力最大为1；当x=4时,yf最小，为-1,即

t<yi-y2<1,故函数y=x-5,y=久2_八在3<x<4上是“逼近函数”正确；

_13

③%一以=-%2+x-L在OWxWl上，当x=2时，%一为最大，为一不当x=0或x=l时,.g一以最小，为一1,即

T-为一火工T当然-1<yi-y2<1也成立，故owxwl是函数7=久2—l,y=2/-久的“逼近区间，，正确；

_55

④%-乃=一/+5万一5,在2a至3上，当"=2时，最大，为力-以田当x=2或x=3时,yf最小,％一为为

1,即1W为一乃<<故2<X<3是函数y=x-5,7=好一叙的，，逼近区间，不正确....正确的有②③.故选A.

1

工匕-解析］•••对于任意实数a,抛物线y=x2+2ax+a+b与x轴都有交点，

...方程x2+2ax+a+b=。总有实数根.

(2a)2—4(a+b)>。，即b<总成立.

v

a-a=(a—j--f

_i>._i

••・出一。的最小值为

/、2m

6,解:⑴••・"=”=，，

4x1x(2m2-7n)-(27n)27

y=------------；----------=m—m.

J4x1

二顶点A的坐标为((一犯―一根)•

(2)m<-3.5

(3)分三种情况进行讨论：

①如图①，当-mWl,即m>-l时，当x=l时,y取得最小值6,

_府-1~_^/41+1

得