2025年中考数学一轮复习：二次函数（5大模块知识梳理+9大考点+5大易错点）原卷版

专题06二次函数

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘•基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（5大模块知识梳理）

知识模块一：二次函数的相关概念

知识模块二：二次函数的图象与性质

知识模块三二次函数与久①c之间的关系

知识模块四二次函数与方程、不等式

知识模块五二次函数的应用

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（9大考点）

考点一：二次函数的图象与性质

考点二：判断二次函数图象a,b,c之间的关系

考点三：二次函数含参问题

考点四：二次函数解析式的确定及图象变化

考点五：二次函数最值

考点六：二次函数与一元二次方程关系

考点七：二次函数与不等式关系

考点八：二次函数的实际应用

考点九：二次函数综合

04辨•易混易错：点拨易混易错知识点，冲刺高分。（5大易错点）

易错点一：忽略题目中的隐含条件

易错点二:混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性

易错点三：考虑不全，导致出错

易错点四：求最值时忽略自变量的取值范围

易错点五：忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错

£形娴=冰2+国+式0网的函数叫做二次函数

____Z

描点法:通常取与抛物

图像画法线的对称轴相对称的

一般写法:形娴=OX2+M+C（叶0）"\七个点（含顶点）

是最基本的形式/

/1^-4000,与x轴有两个交点,

注意事项:叶0.b、c可以为0,也可以Z“奴•〈O,与（轴无交点;

不为9,白变量的取值范围是实数〃-如。=0,与x有一个交点

—c>0,与y轴正半轴相交;

平移前后的图像,其形状、大小相Ic<0,与y轴负半相交;

同,只是彳立置不同平移前后特征\c=O,与原点相交

平移前后的解析式中,a的值不变a>0,抛物线开口向上a<0,

开口方向

二次雨费、换物线开口向下

自平移变后量解,上析加式下的减确常定:数左项加有减/移年后扰解尸加析麻式L确无小一〉I

ba、b同号在y轴左侧.

对称轴

二a、b异号的轴右侧

漏掉“：次项系数不为）”这个隐含条件

易将:y=a（*h）2+k的符号弄错理解问题.确立变量与常量

在0>0时,函数有最小值:在a<0时,函数有最大值用函数关系式表示它们之问的关系

函数在对称轴左、右两侧的增减性相反利用二次函数的性质进行求解

顶点纵坐标切忌写错检验结果的合理性

待定系数法求解

灵活运用二种表达式一般式,

顶点式,交就

知识模块一：二次函数的相关概念

知识点一：二次函数的概念

一般地，形如y=ox2+bx+c（其中b、c是常数，存。）的函数叫做二次函数.其中，x是自变量，a是

二次项系数为是一次项系数,c是常数项。

注意：如果已说明该函数为二次函数,那么隐含条件为aWO.

知识点二：二次函数解析式的确定

1.二次函数常见表达式

名称解析式适用范围

一般式y=ax2+bx+c（叶0）已知抛物线上的无规律的三个点的坐标

顶点式y=a（x-h）2+k（a,h,Z为常数，已知抛物线的顶点坐标或对称轴、最值

叶0）,顶点坐标是（h,k）

交点式y—a(x-xi)(x-X2)(叶0)已知抛物线与X轴两交点坐标

注意:抛物线与X轴交点的横坐标就是方办2

+bx+c=O的解

相互联系1)以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化.

2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法.

2.对未给定二次函数解析式，根据所给点坐标选择适当的表达方式

(1)顶点在原点,可设为>=以2

(2)对称轴是丫轴(或顶点在y轴上),可设为>=ax2+c；

(3)顶点在x轴上,可设为~y=a(x-h)2;

(4)抛物线过原点,可设为y=ax2+bx.

知识模块二：二次函数的图象与性质

知识点一：二次函数的图象与性质

二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线

的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

注意：

图象特征

二次函数图象的画法(1)依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象；(2)利用配方法找

出函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找

出图象与y轴的交点,画出简易的函数图象.

基本形式y-axr2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c

V/

图\/h>0,k>0v

a>0

象

__1>ox

4h<0,k<0:

代A

h<0,k>0

-L―Ju——

a<0/LAji>0,k<0

巾o10__________>oX

b

对称轴y轴y轴x=hx=hx=---

2a

(b4ac-b2^

顶点坐标(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)

2a4a

a>0开口向上，顶点是最低点，当x=-9时y有最小值”p；

最2a4a

值

a<0开口向下，顶点是最高点，当X=-9时时y有最大值受把.

2a4a

增在对称轴X=-白的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=-白的右边y随x的增大而增大.

a>02a2a

减

在对称轴X=-白的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=-白的右边y随x的增大而减小.

性a<02a2a

知识点二：二次函数的图象变换

1.二次函数的平移变换

总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”

方法一：

(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标为(h,k);

(2)保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，

方法二：

⑴将抛物线y=ax2+bx+c沿y轴向上(或向下)平移in(m>0)个单位，得抛物线y=ax2+bx+c+m(M

y=ax2+bx+c-m);

(3)(2)将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向左(或向右)平移个单位，得抛物线厂如:+加产+贴+刈+7或

y=*-刈2+贴_刈+0具体平移方法如下：

平移方式（n>0）一般式y=a£+bx+c顶点式y=a(x-h)2+k平移口诀

左加

向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k

向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减

向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n个单位y=ajr+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减

2.二次函数图象的翻折与旋转

变换前变换方式变换后口诀

绕顶点旋转180°y=-a(x-h)2+ka变号,h、k均不变

2

y=a(x-h)+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)2-k〃、h、k均变号

沿X轴翻折y=-a(x-h)2-ka、k变号,h不变

沿y轴翻折y=a(x+h)2+ka、h不变,h变号

知识点三：二次函数的对称性问题

抛物线的对称性的应用，主要体现在：

1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标；

2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.

解题技巧：

1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与》=-二的差的绝对值相等；

2a

2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=-二对称；

2a

3二次函数-^y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数与y=-a£-bx-c的

图象于x轴对称.

知识模块三二次函数与人c之间的关系

关系符号图象特征

a决定抛物线a>0开口向上⑷壁尢抛物线的开口小.

的开口方向

a<0开口向下

a、b共同决b=0对称轴是y轴

定抛物线对

ab>O（a,b同号）对称轴在y轴左侧左同右异

称轴的位置

ab<O（（a,b异号））对称轴在y轴右侧

C决定了抛物c=0抛物线经过原点

线与y轴交

c>0抛物线与y轴交于正半轴

点的位置.

c<0抛物线与y轴交于负半轴

由bz-4ac确b2-4ac>0抛物线与X轴有两个交点

定抛物线与X

b2-4ac=O抛物线与X轴有一个交点

轴交点的个

b2-4ac<0抛物线与X轴没有交点

数

注意：当x=l时，产Q+Z?+C;当x=-l时,y=〃-b+c.若〃+Z?+c>0,即当x=l时y>0;若〃6+0<0,即当x=-l时,y<0.

知识模块四二次函数与方程、不等式

知识点一：二次函数与一元二次方程的关系

一元二次方程加74;冗/°=0（叶0）的解就是二次函数丫=加77?%7^=0图象与x轴交点的横坐标.

b2-4ac与0的关系二次函数与无轴交点个数一元二次方程ax2-^bx+c=0根的情况

按-4〃c>02个交点有两个不相等的实数根

b2-^ac=01个交点有一个不相等的实数根

b2-^ac<00个交点没有实数根

知识点二：二次函数与不等式的关系（以。大于0为例）

不等式以。大于。为图象观察方法解集

例

ax2+bx+c>0函数y=ax2+bx+c的X<X1或X>X2

的解集情况X图象位于X轴上方时

4a叫。及时0产

对应的自变量的取值

范围

ax2+bx+c<0函数y=ax2+bx+c的X1<X<X2

的解集情况L图象位于X轴下方时

O8

/a2,。）4

对应的自变量的取值

范围

知识模块五二次函数的应用

知识点一：用二次函数解决实际问题的一般步骤

1.审：仔细审题，理清题意；

2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当

的未知数；

3.歹!J：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式；

4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题；

5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论.

注意：二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶

点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论.

知识点二：方法技巧总结

1.利用二次函数解决面积最值：利用图形面积公式构造关于x的二次函数,利用二次函数图象的顶点坐标求

出最值，注意解题时必须结合自变量的取值范围和函数的增减性确定最值

2.抛物线形问题：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型,利用二次函数的性质解决问题

3.销售利润问题：根据“利润=（售价-进价）X销量列出函数解析式，利用二次函数的性质求最值

4.利用二次函数解决动点问题：首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线

或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进

行计算.

5.利用二次函数解决存在性问题：一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该

点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列

出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.

考点一：二次函数的图象与性质

【典例1】（2024.内蒙古包头.中考真题）将抛物线y=f+2尤向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点

式为（）

A.y=（x+l）2-3B.y=（%+7）2-2C.J=（X-1）2-3D.y=（%-l）2-2

【典例2】（2024•四川凉山・中考真题）抛物线y=g（x-iy+c经过（一2,％）,（0,%）,||，%）三点，则

M，火，%的大小关系正确的是（）

A.%>%>%B.%>%>%C.D.

【典例3】（2024.安徽马鞍山.二模）下列函数中，当x>0时，y随x的值的增大而增大的是（）

A.y=-x+lB.y=x+l

C.y=-（x+1）2D.y=（x-1）2

【典例4］（2024・西藏・中考真题）如图，已知二次函数y=ad+bx+c（a片0）的图象与x轴相交于点A（-3,0）,

3（1,0）,则下列结论正确的个数是（）

①abc<0

②36+2c>0

③对任意实数加，am1+bmWa—b均成立

④若点（T,yJ,［g,%］在抛物线上，贝

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例5】（2024・贵州遵义二模）已知函数y=二的图象与二次函数y=2渥+3g+1（。<0）的图象交于点

X+1

8%2，%），。（电，%）.若点A在％轴下方且%时，则下列正确的是（）

A.再<%2<%3B.x2<x1<x3

C.x3<0<x1<x2D.x3<x2<xi

【典例6】（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，正方形ABCD的顶点A,。在抛物线y=-/+4上，点。在

,轴上.若A。两点的横坐标分别为加〃（m>n>0）,下列结论正确的是（)

A.m+n=1B.m—n=lC.mn=lD.—二1

n

考点二：判断二次函数图象a,b,C之间的关系

【典例1】（2024•山东青岛・三模）二次函数丁=以2+法+°（。片0）的图象如图所示，下列结论：①％<0；

②2°+6=0；③机为任意实数，则。+方4加（。/+6）；®a-b+c>Q\⑤若依；+如=ax；，且占R%，

则占+%=2.其中正确的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【典例2】（2024•湖北武汉•二模）函数％、%在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角

坐标系中，函数>=%+%的大致图象是（）

【典例3】（2024•四川自贡冲考真题）一次函数、=尤-2〃+4,二次函数、=炉+（”_1比一3,反比例函数

w+1

>=巴巳在同一直角坐标系中图象如图所示，则H的取值范围是（）

C.—lv〃vlD.l<n<2

【典例4】（2024・四川遂宁•中考真题）如图，已知抛物线＞（〃、6c为常数，且〃。0）的对

称轴为直线户-1,且该抛物线与1轴交于点A（l,0）,与y轴的交点3在（0,-2）,（0,-3）之间（不含端点），

则下列结论正确的有多少个（）

②9。-3〃+c20；

（3）—＜4＜1;

④若方程依2+云+。=%+1两根为租,〃（加＜〃），贝！J-3〈根＜lv〃.

A.1B.2C.3D.4

【典例5】（2024.山东青岛•中考真题）二次函数y=Q/+法+。的图象如图所示，对称轴是直线X=-1,则

过点M（c,2a-6）和点N（Z?_4ga-6+c）的直线一定不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【典例6】（2024・四川雅安・中考真题）已知一元二次方程依2+6x+c=0有两实根国=-1,%=3,且必c＞0,

则下列结论中正确的有（）

@2a+b-0；②抛物线y=加+bx+c的顶点坐标为［1,孚］；

③。＜0；④若根（曲2+人）＜4〃+%,贝!］0＜相＜1.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【典例7】（2024.山东日照.中考真题）已知二次函数y=a?+bx+c（aw0）图象的一部分如图所示，该函数

图象经过点（T,。），对称轴为直线x=2.对于下列结论：①%<0；②a+c=b；③多项式依2+bx+c可

因式分解为"+1）（》-5）；④当机>-9a时，关于x的方程加+6x+c=m无实数根.其中正确的个数有（）

C.3个D.4个

考点三：二次函数含参问题

【典例1】（2024•四川内江•二模）若二次函数y=&+3x_i的图象与x轴有公共点，则上的取值范围是（）

99r

A.k>——B.k>——且左

44

99

C.k>一一D.k>一一且左wO

44

【典例2】（2024•山东荷泽一模）若二次函数y=（m+2）九2一侬:+疗一2帆—8经过原点，则用的值为（）

A.-2B.4C.-2或4D.无法确定

【典例3】（2024•广东广州•一模）二次函数y=（左-1）/”的图象开口向—.

【典例4】（2023•浙江嘉兴・中考真题）在二次函数y=V一2九+3«>0）中，

⑴若它的图象过点（2,1）,贝卜的值为多少？

⑵当04x43时，y的最小值为-2,求出f的值：

⑶如果A（〃z-2,°）,3（4,6）,CO,°）都在这个二次函数的图象上，且。<b<3,求wz的取值范围.

【典例5】（2024•云南.二模）我们约定：若关于x的二次函数为=%尤2+4x+q与丫2=g/+3+02同时满

足五三+（仇+乙）2+卜2-弓|=0，3-仇产3=0,则称函数%与函数为互为“美美与共”函数.根据该约

定，解答下列问题.

⑴若关于X的二次函数％=2/+乙+3与%=7/+尤+”互为“美美与共”函数，求3相,〃的值.

（2）对于任意非零实数，，$,点与点。（sJ）（"s）始终在关于x的函数％=，+2。+s的图象上运动，

函数%与必互为“美美与共”函数.

①求函数为的图象的对称轴.

②函数内的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由.

考点四：二次函数解析式的确定及图象变化

【典例1】（2024•江苏南通・中考真题）将抛物线y=9+2%-1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐

标为（）

A.（TT）B.（-4,2）C.（2,1）D.（2,-2）

【典例2］（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）将抛物线y=ax2+bx+3向下平移5个单位长度后，经过点（-2,4）,

则6a-3b-7=.

【典例3】（2024•江苏徐州冲考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=（尤-2023）（尤-2024）+5的图

象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则PQ=.

【典例4】（2024•江苏镇江・中考真题）对于二次函数y=Y-2ax+3（a是常数），下列结论：①将这个函

数的图像向下平移3个单位长度后得到的图像经过原点；②当“=-1时，这个函数的图像在函数丁=-彳图像

的上方；③若。21,则当x>l时，函数值y随自变量无增大而增大；④这个函数的最小值不大于3.其中正

确的是（填写序号）.

【典例5】（2024・四川巴中•中考真题）若二次函数丁=依2+云+c（。>0）的图象向右平移1个单位长度后关

于》轴对称.则下列说法正确的序号为.（少选得1分，错选得。分，选全得满分）

①”2

a

3522

②当白。4三时，代数式a+b-5b+8的最小值为3

22

③对于任意实数沉，不等式。m2+6加-4+620一定成立

④P（xi，yj,QQ2,>2）为该二次函数图象上任意两点，且占<超.当%+%+2>。时，一定有力<当

【典例6】（2024・湖北武汉•中考真题）抛物线y=依2+bx+c（a,b,c是常数，a<0）经过（T,l）,（m,l）

两点，且0<〃z<l.下列四个结论：

@b>0；

②若0<x<l,贝!]a（x-iy+6（x-l）+c>l；

③若。=-1,则关于尤的一元二次方程办2+施+0=2无实数解；

④点4（芯,必），研程％）在抛物线上，若玉+%>-；，龙1>々，总有％<%，则

其中正确的是（填写序号）.

【典例7】（2024内蒙古・中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2/-4经过点（-1,根）.

（1）若根=1,则人=,通过配方可以将其化成顶点式为；

（2）已知点（&%）,（々，%）在抛物线上，其中国<4.若租>0且2占+2%245,比较％与%的大小关系，并说

明理由；

（3）若6=0,将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线>=息+；交于A,B两点,直线与y轴交于

点G点E为AC中点’过点“作尤轴的垂线’垂足为点R连接CF.求证：/=3E.

【典例8】(2024・湖南邵阳•模拟预测)如果二次函数％的图象的顶点在二次函数为上的图象上，同时二次

函数%的图象的顶点在二次函数为的图象上，那么我们称这两个函数互为“顶点相容函数”.

(1)若二次函数%=尤?-2x-3与二次函数为=-x2+弧-7互为“顶点相容函数”，贝I]b=

(2)如图，已知二次函数y=：(尤+1)2-2的图象的顶点为点尸是x轴正半轴上的一个动点，将二次函数

%的图象绕点尸旋转180。得到一个新的二次函数%的图象，旋转前后的两个函数互为“顶点相容函数”，且为

的图象的顶点为N.

①求二次函数内的解析式；

②点。为了轴上一点，是否存在一点Q,使得△MAQ为直角三角形？若存在，求出点。的坐标；若不存在,

请说明理由.

【典例9】(2024•江苏宿迁•中考真题)如图①，已知抛物线％=，+H+c与x轴交于两点0(0,0)、4(2,0),

将抛物线力向右平移两个单位长度，得到抛物线内,点P是抛物线％在第四象限内一点，连接出并延长,

交抛物线乃于点。.

⑴求抛物线为的表达式；

(2)设点尸的横坐标为埠，点。的横坐标为与，求%-%的值；

(3)如图②，若抛物线为=Y-8x+f与抛物线%=*+"+c交于点C,过点C作直线MN,分别交抛物线％

和劣于点〃、N(M、N均不与点C重合)，设点M的横坐标为点N的横坐标为“，试判断I，"-川是

否为定值.若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由.

4

【典例10X2024・江苏镇江・中考真题)如图,在平面直角坐标系中,。为坐标原点，二次函数y=--(x-l)2+4

的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，顶点为C.

(1)求A、B、C三点的坐标；

(2)一个二次函数的图像经过8、C、M«,4)三点，其中twl,该函数图像与x轴交于另一点D,点3在线段

OB±.(与点O、B不重合).

①若D点的坐标为(3,0),则t=

②求f的取值范围：

③求OD/汨的最大值.

【典例11】(2024山东泰安.中考真题)如图，抛物线G：y=ax2+gx-4的图象经过点与无轴交

(1)求抛物线。的表达式；

(2)将抛物线G向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线G,求抛物线C2的表达式，并判断点D

是否在抛物线g上；

(3)在x轴上方的抛物线g上，是否存在点P,使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请求出点尸的坐标；

若不存在，请说明理由.

考点五：二次函数最值

【典例1】（2024・广西•中考真题）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=V+2办+a-3的

最值问题展开探究.

【经典回顾】二次函数求最值的方法.

（1）老师给出。=-1,求二次函数？=炉+2依+。-3的最小值.

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多。的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整

理成下表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*为②的计算结果.

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.“

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取无=就能得到y的最小值.”

乙同学：“我发现，y的最小值随。值的变化而变化，当。由小变大时，》的最小值先增大后减小，所以我猜

想y的最小值中存在最大值.”

（2）请结合函数解析式y=f+2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理？

（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

【典例2】（2024•江苏徐州•模拟预测）已知在正方形中，AB=4,点E为边上一动点（不与点S

C重合)，连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90。得到族，连接赫交C£＞于点G

(1)如图1,当点石为BC的中点时，求二方的值;

ACJ

(2)如图2,若DG=BE,求班的长；

(3)连接。尸，求。尸的最小值.

【典例3】(2024•四川南充・中考真题)已知抛物线y=-无2+法+。与龙轴交于点A(-i,0),B(3,0).

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,抛物线与y轴交于点C,点P为线段0C上一点（不与端点重合），直线上4,P8分别交抛物线

于点E,D,设面积为跖，△尸砥面积为S2,求U的值；

（3）如图2,点K是抛物线对称轴与工轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点M,N,

过抛物线顶点G作直线/〃x轴，点。是直线/上一动点.求QM+QV的最小值.

【典例4】（2024.内蒙古呼伦贝尔.中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数丁=G2+法+。（。二0）

的图像经过原点和点4(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点8(1,3),与y轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点尸是二次函数图象上的一个动点，当点尸在直线上方时，过点P作PELx轴于点E,与直线AB交

于点。，设点尸的横坐标为优.

①加为何值时线段尸口的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点尸，使得MPD与△AOC相似.若存在，请求出点尸坐标；若不存在，请说明理由.

【典例5】(2024•江苏常州•中考真题)将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、小尸叠放在一起，使点£、

3分别在边AC、DF±（端点除外），边AB、EF相交于点G,边BC、DE相交于点H.

（2）如图2,若EF〃BC,求两张纸片重叠部分的面积的最大值；

（3）如图3,当AE>EC,即>应）时，AE与所有怎样的数量关系？试说明理由.

【典例6】（2024•山东淄博•中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习.

【操作发现】

小明作出了。。的内接等腰三角形ABC,AB^AC.并在BC边上任取一点O（不与点B,C重合），连

接AD,然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到小”.如图①

小明发现：CE与。O的位置关系是,请说明理由：

【实践探究】

连接DE,与AC相交于点歹.如图②，小明又发现：当VA3C确定时，线段C尸的长存在最大值.

请求出当A3=3jiU.3C=6时，b长的最大值；

【问题解决】

在图②中，小明进一步发现：点。分线段8C所成的比与点尸分线段DE所成的比分:EE始终相

等.请予以证明.

【典例7】（2024.重庆铜梁.一模）已知，在平面直角坐标系中，抛物线,=办2+施+3与x轴交于点3,C,

与y轴交于点4其中3(-3,0),C(1,O).

⑴求a,6的值;

(2)如图1,连接AB,点P是直线AB上方抛物线上一动点,过点P作PK〃y轴交AB于点K,过点K作KE，y

轴，垂足为点区求尸K+KE的最大值并求出此时点尸的坐标；

(3)如图2,点尸在抛物线上，且满足在(2)中求出的点尸的坐标，连接PC,将该抛物线向右平移，使得

新抛物线V恰好经过原点，点C的对应点是凡点M是新抛物线V上一点，连接CM,当ZMCF+ZPCB=135°

时，请直接写出所有符合条件的点M的坐标.

考点六：二次函数与一元二次方程关系

【典例1】（2024•贵州•中考真题）如图，二次函数y=o%2+bx+c的部分图象与％轴的一个交点的横坐标是

-3,顶点坐标为（-1,4）,则下列说法正确的是（）

A.二次函数图象的对称轴是直线x=l

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当x<-l时，y随x的增大而减小

D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3

【典例2】（2024.黑龙江牡丹江•中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线y=62+bx+c（aw0）与x轴交于

A、B两点，A（-3,0）,3（1,0）,与y轴交点C的纵坐标在-3〜-2之间，根据图象判断以下结论：①必/>0；

2

@-<b<2-③若oxi-bx1=axi,-bx、且玉w马，则xt+x2=-2；④直线y---cx+c与抛物线y=ax+bx+c

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的一个交点（加,〃）（〃件0）,则m=：.其中正确的结论是（）

C.①②③D.①②③④

【典例3】（2024.宁夏・中考真题）若二次函数y=2/-x+根的图象与无轴有交点，则加的取值范围是

【典例4】（2024.辽宁・中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=如2+法+3与尤与相交于点A,

8,点5的坐标为（3,0）,若点C（2,3）在抛物线上，则的长为.

【典例5】(2024.全国.模拟预测)根据以下素材，探索完成任务.

素材1：为响应全民健身号召，某校在校运会上开展“8”字长绳比赛.图1是绳甩到最高处时的示意图，可

以近似的看作一条抛物线，正在甩绳的甲、乙两位队员拿绳的手间距6米，到地面的距离均为1米.

素材2：如图2,身高为1.5米的小丽站在距点。的水平距离为1米的点尸处，绳子甩到最高处时刚好通过

她的头顶点E.

(2)某班跳绳成员有男生和女生各5名，男生身高1.70米至1.80米，女生身高1.60米至1.68米，绳子能否

顺利从每位跳绳成员头顶越过？请说明理由.

(3)身高为1.6米的跳绳成员至少站在离摇绳同学多远的地方，才能让绳子顺利从头上越过？

【典例6】(2024•云南昆明•一模)已知抛物线y=f-2g+%2-9.

(1)求证：抛物线与x轴有两个不同的交点；

(2)当根=1时，抛物线与x轴交于点A,B