2025年中考九年级数学复习 解直角三角形的应用问题解答题 提升训练

2025年九年级数学中考复习解直角三角形的应用问题解答题专

题提升训练

1.如图，矩形A3CL)的对角线AC与8。相交于点O,CD〃OE,直线CE是线段OD的垂直

平分线，CE分别交O2AD于点EG,连接DE.

(1)判断四边形OCDE的形状，并说明理由；

⑵当CD=6时，求EG的长.

2.喜欢钻研的小亮对75。角的三角函数发生了兴趣，他想：75度虽然不是特殊角，但和特

殊角有着密切的关系，能否通过特殊角的三角函数值求75。的正弦值呢？经研究，他发现:

sin75°=sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°,于是他大胆猜想:

sin(o+p)=sinacos/?+cosasin尸(。和£为锐角).将图1(。)等积变形为图1(b)可用

于勾股定理的证明，现将这两幅图分别“压扁”成图2(。)和图2(6).如图，锐角为a的

直角三角形斜边为优，锐角为月的直角三角形斜边为〃，请你借助图2(。)和图2(6)

证明上述结论能成立.

ffil(a)图1(b)

3.如图，在菱形ABCD中，NBCD=60,A3=8cm,动点P,。分别从点A,C出发，

分别沿AB,CB方向匀速运动，速度为2cm/s.过点。作QE，AC交边C£＞于点E,垂足

为K,PE与AC交于点N.设运动时间为《s）（O<r<4）.

⑵设VPQE的面积为S（cm2）,求S与f之间的函数关系式；

（3）连接NQ,在运动的过程中，是否存在某一时刻使线段NQ的值最小？若存在，求出，

的值；若不存在，请说明理由.

4.如图，在平面直角坐标系中，点A坐标（6,0）,点8坐标（0,3）,过点A、8分别作坐标

轴的垂线交于点C,连接48、BC、AC得到VABC,点尸是线段。4上一个动点，点。是

射线上一个动点，且OP=OQ,连接尸。得到△尸。3将△尸。。绕点尸顺时针旋转90。

得到！PEF,设！尸EF与VA5c重叠部分面积为S,点P坐标为（根,0）,求S与m的函数关

5.在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识测量城运河某河段的宽度，如图所示，

BC为水面，他们在河岸一侧的一个栏杆CD上放飞一只无人机，无人机在河上方距水面60

米的点M处测得C。正对岸8处的俯角为46。，测得栏杆顶端。处的俯角为56.2。，经测量

栏杆C。高度为L5米（图中在同一平面内），求运河的宽度即2C的长度.（参

考数据：sin46tM）.72,sin56.2。。0.83,tan46°»1.04,tan56.2°®1.49,结果精确到0.1米）

6.如图，三角形花园A3C紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道.经测量，点

C在点A的正东方向，AC=200米.点E在点A的正北方向.点8,。在点C的正北方向,

班)=100米.点2在点A的北偏东30。，点。在点E的北偏东45。.(参考数据：忘=1.414,

73»1.732)

(1)求步道OE的长度(精确到个位)；

(2)点。处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点。，也可以经

过点E到达点D请计算说明他走哪一条路较近？

7.如图，在Rt^ABC中，/A=90。，AB=3,AC=4,。是线段AC上的点，且满足

tanZADB=3,将线段绕点。逆时针旋转90。得到DE,连结CE.

⑴求证：ACLCE-,

⑵连结OE交线段BC于点尸，求芸的值；

(3)点尸在直线AC上，当tan/D2P=；时，求AP的长.

8.(1)如图1,在菱形A3CD中，对角线AG如相交于点。，AB=6,sinZDBC=1.若

E是BC的中点，连接AE,交BD于点、F,求线段OF的长；

(2)某市规划一块四边形ABCD的休闲旅游观光区，如图2所示，

ZZMF=ZD=90°,AB=2AD=2CD=300米，点、E,F是观光区预计规划的两个车库出入

口，具体位置满足2CE=3AF,已知AMJLEF,点N,。分别是AB,CB上的一点，为了

方便游客，需建“V，NQ,三条人行走道，已知走道造价每米300元，请求出走道的最

低造价为多少元？

图1

9.已知VABC为等边三角形，。是边A3上一点，连接CD,点E为CD上一点，连BE.

(1)如图1,延长3E交AC于点/，若/CB尸=45。，BF=3五,求CT的长；

(2)如图2,将V8EC绕点C顺时针旋转60。到，AGC,延长BC至点使得CH=BD,连接

A”交CG于点N,求证CE=OE+2GV；

(3)如图3,43=8,点H是BC上一点，且BD=2C”,连接点K是AC上一点，CK=AD,

连接。K,BK,将△3立)沿3K翻折到BKQ,连接C0,当的周长最小时，直接

写出-CK。的面积.

10.如图，在VABC中，/区4c=45。，以A3为直径的：。交AC,BC于点瓦。，连接OE,

尸是C。上一点，，翡足NCEF=NCDE.

⑴求证：EF是「。的切线.

(2)过点。作DGLA5于点G,AG=8,BG=2,求AC的长.

11.(1)如图，在菱形A3CD中，对角线AC,8D相交于点0,AB=6,sinZDBC=1.若

E是BC的中点，连接AE,交3。于点歹，求线段。厂的长；

(2)某市规划一块四边形A3CD的休闲旅游观光区，如图所示，ZA=ZD=90°,

AB=2AD=28=300米，点、E,歹是观光区预计规划的两个车库出入口，具体位置满足

2CE=3AF,已知点N,。分别是AB,CB上的一点，为了方便游客，需建MN,

NQ,MQ三条人行走道，已知走道造价每米300元，请求出走道的最低造价为多少元？

12.如图，VABC内接于。，48为＜。的直径，ZADE=ZCBA,BC=BD,延长54至

E.

13.如图，在ABC中AB=AC,BC=6,正方形OEPG的顶点G、下在线段BC上,

。在边上.在边AC上取一点“，使NAEH=ZB.

⑴若点E为&ABC的重心，直接写出点A和射线FE的位置关系，并求A"的长;

（2）如图1,若ABC为正三角形，且空=立，求正方形DEfG的边长；

EH2

（3）连接HF,若_AS）和_HEF全等，求47的长.

14.数学课外兴趣小组决定利用无人机测量学校国旗杆的高度（如图）无人机起飞到点。

处时距离地面的垂直高度CD为50米，DE为水平线测得国旗杆AB顶端A的俯角为45°,

测得国旗杆AB底端8的俯角为60。，求国旗杆AB的高度（血”1.41，君。1.73,结果精

确到0.1米）.

15.如图1,在正方形A3CD中，AB=2,P是4。边上一点，连接3P,将一A5P绕着点B顺

时针旋转，得到△A'B'P.

A'

B

图1

⑴己知旋转角为60。，点尸与。点重合（如图2）.

①证明：ABPA'心BPC；

②证明：.A'PC是等腰三角形；

⑵已知旋转角为45。.

①请用没有刻度的直尺和圆规，在图3上的AD边上作出一点尸，使P、A\P三点在一直

线上；（不写作法，保留作图痕迹）

②当APC是直角三角形时，求AP的长.

《2025年九年级数学中考复习解直角三角形的应用问题解答题专题提升训练》参考答案

1.(1)四边形OCDE是菱形，理由见解析

(2)273

【分析】(1)证明和△EOD是等边三角形，即可推出四边形OCDE是菱形；

(2)利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得"l和CF的长，利用菱形的性

质得到防=B=2百，在Rt^OGF中，解直角三角形求得G/的长，最后根据线段的和差

求解即可.

【详解】(1)证明：四边形OCDE是菱形，理由如下：

:矩形A2CD的对角线AC与即相交于点0,

：.OC^OD=-AC^-BD,

22

•••直线CE是线段。。的垂直平分线，

/.CO=CD,EO=ED,

：.CO=CD=OD,即△COD是等边三角形，

ZOCD=ZCDO=Z.DOC=60°,NOCF=ZDCF=-ZDCO=30°,

2

CD//OE,

：.ZEOD=ZEDO=ZCDO=60°,

**•△•EOD是等边三角形，

，CO=CD=EO=ED,

・•・四边形OCDE是菱形.

(2)解：・・,直线CE是线段OD的垂直平分线，且ZDCF=30。，

：.DF=^CD=3,CF7CD?-DF。=3元，

由(1)得四边形OCDE是菱形，

，EF=CF=3y/3,

在RtADGF中,Z.GDF=90°-NODC=30°,

GF=DFtan30°=3x^=V3,

3

/.EG=EF-GF=.

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、线段垂

直平分线的性质、矩形的性质等知识点，明确题意，找出所求问题需要的条件是解答本题的

关键.

2.证明见解析

【分析】根据平行四边形面积公式求出图（。）中的平行四边形A3CD面积，根据矩形的面

积公式求出图（6）中的矩形ASCZ）和矩形CEFG面积，由图（。）中的平行四边形ABCD

面积和图（6）中的矩形A3CO和矩形CEFG面积和相等，即可证明

sin（a+^）=sinacos（3+cosasin[3.

【详解】解：如图（。），原来内部的正方形变成了一个平行四边形，册，〃为相邻两边，

其夹角为a+尸，

作,ABCD的高AE交BC于点E,

则AE=A&sinHSChz?（°-osiaj3^=m（a+0，

则SMCO=BCAE=raisin（a+0）,

如图（6）,原来的两个小正方形变成矩形ABC。和矩形CEFG,

则SABCD=BCAB="sire例wcos=/raina（3,

SCEFG=CECG=mstKaln.注maosa/3,

:图（a）中的平行四边形ABCD面积和图（6）中的矩形ABCD和矩形CEFG面积和相等,

mnsin（（z+/）=mncosasin/3+mnsinacos0,

即sin（a+'）=sinacosf3+cosasin（3得证.

【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，解题关键是理解图（。）中的平行

四边形ABCD面积和图（6）中的矩形ABCD和矩形CEFG面积和相等.

3.（1）2

⑵S=-2舟+8/(o<r<4)

(3)存在，t=3

【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形

的性质，相似三角形的判定与性质及三角形的面积等知识点，熟练掌握以上知识是解题的关

键.

(1)证明△,CKQ%CXE(ASA)△,得出CQ=CE,证出四边形MCE是平行四边形，得出

PB=CE,列出方程可得出答案；

(2)证明一BPQsBAC,得出NBQP=NACB,则尸Q〃AC,过点B作3尸，于点尸，

求出QB,PQ,由三角形面积公式可得出答案；

(3)证明QV=；PE,则当PE的值最小时，线段N。的值也最小，故当PE_LAB时，PE的

值最小连接求出f=3.

【详解】(1)解：：四边形AB。是菱形，；.NQCK=NECK.

VQELAC,：.ZCKQ=ZCKE=90.

在-CKQ和4CKE中,

ZQCK=ZECK

<CK=CK,

ZCKQ=ZCKE

CKQmCXE(ASA),

:.CQ=CE.

:动点尸，。分别从点A,C出发，分别沿48,CB方向匀速运动，速度为2cm/s,

AAP=CQ=2t,；.PB=AB-AP=8-2t,CE=2t.

•.•四边形ABCD是菱形，

二AB//CD.

'：PE//BC,

四边形PBCE是平行四边形，

:.PB=CE,即8-2f=2f,解得f=2,

故/的值为2.

(2)解:由(1)知AP=C£=C0=2J

NBCD=60,

・・・△CQ石是等边三角形，

QE-CQ=2t.

•・•四边形ABC。是菱形，

・•・BC=AB=8,

BP=BQ=8—2z,

.BPBQS-2t

・•莉―沃-8•

又,：/PBQ=AABC,

：..BPQs-BAC,

：.ZBQP=ZACB,

：.AC//PQ.

QE±AC,

：.QE,LPQ,

・・・VPQE为直角三角形.

如图1,过点3作5尸，尸。于点尸.

•••△CQE是等边三角形，QE.LACf

：.ZACB=-ABCD=30,

2

・•・ZPQB=30.

在尸。中，COS/PQB=R,gpQF=BQcos3Q=(8—2/)x立=一打+4班.

2

•；BP=BQ,BF上PQ,

：.PQ=2QF=-24+8百，

：.S=^PQQE=弟2"+8⑹2=-2&+8"(0<f<4).

(3)解：由(2)知VPQE为直角三角形.

•/CD//AB,

：.NBAC=NDCA.

XVAP=CE=2t,ZANP=ZCNE,

/.APNmCEN(AAS),

：.PN=EN=-PE,ANCN=-AC,

22

NQ=gpE,

...当PE的值最小时，线段NQ的值最小.

VAB//CD,AN=CN,

.,.当PE，Afi时，PE的值最小.

如图2,连接3N.

,:AB=BC,AN=CN,：.BNYAC,

AAN=CN=BC-cos30=4百，

AP=AN-cos30=6,

21=6,

；・，=3,

・・・当，=3时，线段NQ的值最小.

8

—nr-8/71+6(1.5<m<2)

4.S=《~m2+m-3(^2<m<3)

一2m。+4m(3<m<6)

【分析】分别求出点E点E落在AB上时机的值，分三种情形：当0<mVL5时，没有重

叠部分；当1.5〈机V2时，重叠部分是肱VF,如图3中，根据点N作NK_LAP于点K交环

于点J；当2<根43时，重叠部分是四边形现WF,如图4中，过点N作NKLR4于点K；

当3〈机W6时，重叠部分是五边形必WGC,分别求解即可.

【详解】解：如图1中当点尸落在上时，过点尸作于点Z).

・・・A(6,0),5(0,3),

/.OA=6,OB=3,

由题意四边形西尸是正方形,

・•・DF=PD=EF=PE=OP=m,

tan/2变°B3

ADOA62

AD=2m

4m=6

••in—1.5

・••当Ovm41.5时，！PE尸与VABC没有重叠部分；

如图2中，当点E落在上时，OP=PE=m,AP=2m,

m=2

当1.5＜加工2时，重叠部分是,的两，如图3中，过点N作NKLA尸于点K交环于点J.

3x=6-m

・O1

..x=2——m

3

JN=JK-NK=m-\2--m\=-m-2

[33

84

：.MJ=2JN=-m-4FJ=NJ=-m-2

3f3f

：.FM=MJ+FJ=4m-6,

=；（4加-6）X4一2

••u一口MNF+6

(33

当2V机43时，重叠部分是四边形EMNF,如图4中，过点N作NK,A4于点K.

QQ—V=-PEEF--PMPM=-m2--x-(6-mM2--m\=—m2+m-3

0—0PEF°PMN22222V7I3J12

当3＜加工6时，重叠部分是五边形HMNGC,如图，过点N作于点K.

AG=AP=6-m,

..s=s四边形"PA。-sPMN-sPAG

8

—m2-8m+6(1.5<m<2)

综上所述,S=<-m2+m-3(2<m<

12v

4

+4”?(3<m<6)

6

【点睛】本题考查坐标与图形的变化-旋转,二次函数的应用，正方形和矩形的性质和判定,

解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，学会用分类讨论的思想解

决问题，属于中考常考题型.

5.97米

【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，矩形的判定与性质，掌握解直角三角形的计算

是解题的关键.

如图所示，延长BA8垂直于点M所在的水平直线，垂足为点尸,E,则四边形3CEF是矩

BF

形，则3C=EF,在吊血质中由tanZBMF=—得到MR~57.7（米），在W。回0中由

MF

r）p

tanZDME=tan56.2°=—得至lja39.3（米），则砂=EM+=57.7+39.3=97（米），

EM

由此即可求解.

【详解】解：如图所示，延长BACD垂直于点M所在的水平直线，垂足为点£石，

VAB±BC,CD±BC,BF_LEF,

四边形BCEF是矩形，则BC=EF,

:.CE=BF=60（米）,

BF

在应BMF中,tanZBMF=tan46°=-----

MF

：.MF=BF®®57.7（米）,

tan46°1.04

DE

在RE中,DE^CE-CD.60-1.5^58.5（米）n56.2。=说

/.EM=DE®®39.3（米）,

tan56.2°1.49

AEF=EM+FM=51.1+393=91（米）,

：.BC=EF=97（米）；

答：河宽的长度为97米.

6.⑴283米

⑵经过点8到达点。较近

【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题

的关键.

（I）过E作BC的垂线，垂足为H,可得四边形ACHE是矩形，从而得到即=AC=200米，

再证得为等腰直角三角形，即可求解；

（2）分别求出两种路径的总路程，即可求解.

【详解】（1）解：过。作。尸_LAE于尸，如图:

由己知可得四边形ACDF是矩形,

:.DF=AC=200^,

:点D在点E的北偏东45。，即/。跖=45。，

；•_DEF是等腰直角三角形，

DE=拒DF=20072*283米，

答：步道。E的长度约为283米.

（2）解:由（1）知.。即是等腰直角三角形，上=283米,

，所=。尸=200米，

:点3在点A的北偏东30。，即NEAB=30。，

/AfiC=30°,

AC=200米，

,,AB=2AC=400米，BC=AB1—AC2=200y/3米，

•/5。=100米，

经过点B到达点。路程为AB+班＞=400+100=500米，

CD=BC+BD=(200若+100)米,

AF=CD=(2006+100)米,

AE=AF-EF=(200石+100)-200=(20073-100)米,

，经过点E到达点D路程为AE+DE=20073-100+200夜它529米,

529>500,

经过点8到达点。较近.

7.⑴见解析

13

3

（3）亍或3

【分析】（1）根据三角函数的定义得到AD=1,CD=AC-AD=3,由旋转的性质得到

DB=DE,求得ZABD=/CDE,根据全等三角形的性质得到"CE=NBAD=90。，求得

ACLCE-,

nr

（2）如图2,过点。作OG〃回交BC于点G,根据相似三角形的性质得到==—,

ABCA

9

得到OG=T，由（1）知CE〃AB,CE=AD=l根据相似三角形的性质得到

4f

EFEF44曰与।跖4

~ED~EF+DF~V3,侍壬茄一IP

（3）①当点尸在点。下方时，如图3,连结尸3,过点尸作尸M_L3£＞于点M,设=

贝1]3知=2。，根据三角函数的定义得到。求得〃1/=3加，解直角三角

3

形得到AP=OP—AD=1；

②当点P在点。上方时，如图4,连结PB,过点尸作PN2.3。交BD的延长线于点N,设

PN=b,则BN=2b,根据三角函数的定义得到黑=黑=3,求得DN=；PN=；b,得

ULXDJ

到BD=BN-DN=2b-；b=3b=回,求得PN=b=：回,根据三角函数的定义即可得

到结论.

【详解】（1）证明：如图1,在Rt^ABC中，NA=90。，

图1

*/tanNADB==3,AB=3,

AD

**•AD=19CD=AC—AD=3,

由旋转的特征，得：DB=DE,

ZADB+ZABD=ZADB-^-ZCDE=90°,

：.ZABD=ZCDEf

在△板）和.COE1中，

AB=CD

<ZABD=ZCDE,

DB=DE

：.ABD^CDE,

：.ZDCE=ZBAD=9Q0,

：.AC1CE；

(2)解：如图2,过点。作OG〃AB交5C于点G

MDGSMAB,

,DGCD

"~AB~~CA

DG]

由（1）知CE〃AB,CE=AD=1,

：.DG//CE,

：.NCEF^NGDF,

.EFCE

••一,

DFDG

EF_1_4

即而下一口

4

.EFEF_4

••而-EF+DF一口’

•；BD=ED,

.EF_4

**BD-13；

(3)解：在RtAADB中，BD=VAZ)2+AB2=V10»

①当点尸在点。下方时,

如图3,连结尸8,过点?作于点M,

PM1

在中，tanZDBP=——=一,

BM2

设=贝115M=2Q,

在Rt和RtAWB中,

tanZADB=W

：.DM=-PM=-a,

33

,:BD=DM+BM,

J10——Q+2a,

3

解得：

：.PM=-sJ10,

7

在RtAADB中，smZPDB=~^==~sflO,

DU，1010

PM

在RtPDM中，sinZPDB=------,

3377

3

・•・AP=DP-AD=-

7

②当点尸在点。上方时,

过点P作PN，5。交BD的延长线于点N,

PN1

在RtPBN中,tanZDBP=——=-,

BN2

没PN=b,则3N=2A,

在Rt△尸DN和RtAADB中，

•:ZADB=/NDP,

tanZADB=tanZAKP,

.PNAB

••——J,

DNAD

：.DN=-PN=-b,

33

・・・BD=BN-DN=2b--b=-Z?=^/w,

33

・・.PN=b=3M,

在KAPDN和RtZkADB中，

■:AADB=/NDP,

・・・smZADB=sinZNDP,

.PDNPAT®

...勿=半取=用酒=2,

AP^DP+AD^3,

综上所述：AP的长为1或3.

【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，旋转的

性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

8.(1)yV2；(2)(18000回-18000)元

【分析】(1)根据sinZDBC=T='，.AD尸6右班户得出oc=』8C=2,—,

BC33BFBE

进一步得出结果；

(2)作CV,AB于匕先求得NABC=/BCV=45。，连接AC,交E尸于W,根据C。AB

得出CEW^^FAW,进而求得AW=1AC=60也，结合/4ME=90。可得出点M在以AW

为直径的。'上运动，作点M关于A3的对称点式作M关于BC的对称点G,连接GH,

连接QG,HN,连接3G,BH,可推出M/V+MQ+NQ=NH+QG+NQ2G”,

NHBG=ZABC=90°,从而得出当H、M。、G共线时，等号成立，GH=y/lBM，连接O'B,

交(。'于当点M在M'处时，3M最小，进一步得出结果.

【详解】解：：四边形ABCD是菱形，AB=6,

：.ADBC,AC±BD,BD=2OB,AD=BC=AB=6,

oc1

sinZDBC=—=-,ADF^EBF,

BC3

：.OC=-BC=2,—,

3BFBE

OB=VBC2-OC2=A/62-22=4&，

BD=8A/2，

是BC的中点，

AD=BC=2BE,

需2

小抑=|x8而殍

(2)如图1,作CV_LAB于V,

图1

/.NAVC=90。，

"：ZA=ZD=9Q°,

四边形AVCD是矩形，

，AV=CD=150米，CV=AD=150米,

W=AS—AV=300—150=150米，

/.BV=CV,

：.ZABC=ZSCV=45°,

如图2,

图2

连接AC,交E/于W,

VZD=90°,AD=CD=150米，

・♦・AC=0A£)=15O及米，ZBAC=ZCAD=45°f

・•・/胡C=45。，

CDABf

・•・CEW^AFW,

.CWCE

**AW-AF'

2CE=3A尸，

._3

••一，

AW2

AW=|AC=60亚米，

NAME=90。，

...点M在以AW为直径的。'上运动，

作点〃关于48的对称点笈，作M关于BC的对称点G,连接Ga,连接QG,HN,连接

BG,BH,

：.MN=NH,MQ=QG,ZGBQ=ZMBQ,ZHBF=ZMBF,BG=BM=BH,

：.MN+MQ+NQ=NH+QG+NQ>GH,ZHBG=1ZABC=90°,

当H、N、Q、G共线时，等号成立，GH=s/2BM,

连接02,交。。于“，当点。在AT处时,最小,

作于R,

O'R=AR=-O'A=—x-AW=—x30y/2=30=—x30y/2=^i

22222

5R=AB—47?=300-30=270米，

O'B=NOK+BR1=A/302+2702=30姬米，

/.最小=BM'=(30y/^2-300)米，

/.MN+MQ+NQ的最小值为后x(30^2-30亚)=(60历一60)米，

；•走道的最低造价为：300x(60面-60)=(18000历-18000)元.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，菱形的性质，

轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

9.(1)273

(2)见解析

(3)4A/3

【分析XI)如图1,过点尸作FPL3c于点P,利用等腰直角三角形的性质求得BP=EP=3,

再解直角三角形求解即可；

(2)如图2,延长CG到/,使G/=DE,连接加，过点a作交CG于点跖

先后证明，AG,IAN—CHN,AGN^HMN,AHCM名八BDE,利用三角形

全等的性质和线段的和差求解即可;

(3)过点。，H分别作3c的垂线，分别交2C于点R交AC于点G,作/血圮=60。，交BC

于点E,证明△GCHQADBF可得DF=GH,DF=GH,族=CH,再证明&BDE沿AAKD,

可得3E=AD=CK,设BF=CH=a,则CG=其=瓦＞=2。，可得DE,得到当八4£)长的

周长最小值时，OE的值最小，据此求解即可.

【详解】(1)解:如图，过点尸作FP-L8C于点尸,

ABC为等边三角形,

ZASC=ZACB=60。，

FP±BC,

.-.ZFP5=90°,

,ZCBF=45°,

:./BFP=45。,

:.BP=FP,

BF=3五,

,-.BP=FP=—x3y/2=3,

2

FP

tanZACB=—=Vr3,

PC

PC=y/3,

CF=2PC=2石；

(2)如图2,延长CG到/,使GI=DE,连接从，过点X作H7W〃AG,交CG于点

ABC为等边三角形,

图2

/.AB=AC=BC,ZABC=ZACB=60°,

由旋转的性质得,ZBCD=ZACI,CE=CG,BE=AGfNCBE=NCAG,

/.BCD空一AC/(SAS),

:.BD=AI,ZIAC=ZABC=60°,

:.AI//BC,

:/AN=/CHN,

CH=BD,

:.CH=AI,

又二/INA=/CNH,

.二MTV均CfflV(AAS),

:.AN=HN,

,HM//AG,

.\ZGAN=ZMHN,

又二ZANG=ZHNM,AN=HN,

AGN0HMV(ASA),

:.AG=HM,GN=MN,

同理HCM均BDE(ASA),

:.CM=DE,

：.CE=CG=CM+MN+NG=DE+2GN、

(3)如图3,过点。，〃分别作5C的垂线，分别交3c于点尸，交AC于点G,作/KDE=60。,

交BC于点E,

Q

图3

:./GCH=NDBF=60。,

GHA.BC,

「.NHGC=30。，

:.CG=2CH,

BD=2CH,

:.BD=CG,

又/DFB=/GHC=9U,

GCH"DBF(AAS),

:.DF=GH,BF=CH,

CK=AD,

.\BD=AK,

NKDE=60。,

:./BDK=ZBDE+600=60°+ZAKD,

:.ZBDE=ZAKD,

BDEWAKD(AS^),

:.BE=AD=CK,DE=KD,

设BF=CH=a,贝lJCG=A^=BD=2a,

：.HG=DF=6a,BE=AD=CK=8—2a,

:.EF=\BF-B^\=\a-^-2a^=\ia-^,

DE=J(V3a)2+(3a-8)2=^12(«-2)2+16，

.♦.△ADK的周长最小值时，DE的值最小，

当。=2时，DE的值最小，此时CG=4T=BD=4,

即点K,点G重合，如图4,

「KC—2sr=2x—x2x2A/3=

CAI,/CrCrJr/72

【点睛】本题是三角形的综合题，考查了解直角三角形，等边三角形的判定与性质，全等三

角形的判定与性质，求二次函数的最值等知识，做出合理的辅助线，学会利用参数构建二次

函数解决问题是解题的关键.

10.(1)见解析;

(2)^2

3

【分析】(1)连接OE,先通过ZA+ZBDE=180°,NCDE+NBDE=180。，得NA=NCDE

MffiiiZCEF=ZCDE,得ZA=NCEF,得到E尸〃AB,再通过求解得到ZAOE=90。，

ZFEO=ZAOE=90°,即可得到跳'是匚O切线；

(2)连接OD,过点C作_L45于点Af,先求AB=AG+3G=8+2=1。，得半径

OD=OB=5,则OG=C®—BG=3.通过勾股定理求得DG=JaF—OG?=4,在BOG和

8cM中，ZBGD=ZBMC=90°,nT^tanB=—=—=2,则CM=2BAf,据边与边

BGBM

20,__________

的关系求得AM=j.在及AMC,利用勾股定理即可得：AC=口得到答案.

【详解】(1)证明：如图，连接

•・•四边形石是。内接四边形,

：.ZA+ZBDE=180°.

,：ZCDE+ZBDE=180°,

：.ZA=ZCDE

'：ZCEF=ZCDEf

：.ZA=ZCEF.

：.EF//AB

：.ZFEO=ZAOE.

・.・AO=EO,ZBAC=45°,

：.ZOAE=ZAEO=45°.

：.ZFEO=ZAOE=1800-ZOAE-ZAEO=90°9即OE_L防.

•：OE为。半径，

：・EF是，。切线.

(2)解：如图，连接OD,过点。作于点

DGLAB,

：.ZDGO=90°.

•・•AB=AG+5G=8+2=10,

：.OD=OB=5.

：.OG=OB-BG=3.

在RtZX?O中，DG=yJOD2-OG2=4

在；BOG和5cM中，/BGD=/BMC=90。,

•.•tanB八-DG-CM-~2.

BGBM

：.CM=2BM.

VZAMC=90°,ZBAC=45°

：.AM=CM=2BM.

AB=AM+BM=10f

：.AM=—.

3

在RtZXAMC,ZAMC=90°,

，AC=JAM?+CM2=.

3

【点睛】本题考查了利用三角函数解直角三角形，圆的内接四边形的性质、切线的判定，勾

股定理等知识点，能灵活运用知识点进行推理和计算是解此题的关键.

11.(1)犷；(2)(18000屈一18000)元

OC11

【分析】(1)根据sinZD3C=2=z，得到。。=彳3。=2,勾股定理求得50,进而求得

BC33

BD=8插,证明aAD尸S.EBE,得出三=即可求解；

BFBE

(2)作CVLAB于V,先求得NABC=/3CV=45。，连接AC,交E尸于W,根据CD〃AB

得出一CEWS_E4W,进而求得AW=]AC=600,结合/4ME=90。可得出点M在以AW

为直径的O'上运动，作点、M关于AB的对称点H,作M关于BC的对称点G,连接GH,

连接QG,HN,连接BG,BH,可推出M7V+MQ+NQ=M+QG+NQ2G”,

NHBG=ZABC=9Q。,从而得出当H、N、Q、G共线时，等号成立，GH=^BM,连

接03,交(7于AT,当点M在AT处时，3N最小，进一步得出结果.

【详解】解：：四边形A2CD是菱形，AB=6,

：.ADBC,AC_LBD,BD=2OB,AD=BC=AB=6,

oc1

AsinZDBC=—=-,ADF^.EBF,

BC3

：.OC=-BC=2,—,

3BFBE

OB=ylBC2-OC2=V62-22=4夜，

BD=80，

是BC的中点，

AD=BC=2BE,

软2

£»F=-Br>=-x8V2=^?

333

(2)如图1,作CVLAB于V,

ZAVC=90°,

•/ZA=ZD=90°,

四边形AVCD是矩形，

AV=CD=150米，CV=AD=150米,

8V=AB-AV=300—150=150米，

・•・BV=CV,

・•・ZABC=ZBCV=45°,

如图2,连接AC,交E厂于W,

图2

VZD=90°,A£>=CD=150米，

，AC=0AZ)=15O及米，ZBAC=ZCAD=45°f

：.ABAC=45°,

CD//AB,

：.-.CEW^AFW,

.CWCE

**AW-AF'

2CE=3AF,

・CW_3

••而-5，

・・・AW=gAC=600米，

'：ZAME=90°,

・••点”在以AW为直径的O,上运动，

作点”关于A5的对称点〃，作点M关于5C的对称点G,连接G”,连接。G,HN,连

接5GBH,

：.MN=NH,MQ=QG,ZGBQ=ZMBQfZHBF=AMBF,BG=BM=BH,

.・.MN+MQ+NQ=NH+QG+NQ>GH,ZHBG=2ZABC=90°,

当〃、N、。、G共线时，等号成立，GH=6BM，

连接O'b,交O,于AT,当点M在W处时，最小，作O7?_LAB于A,

o^==—0^=—x-AW=-X30A/2=30=—X30A/2=7«：

22222

3R=AS—A/?=300—30=270米，

O'B=doK+BR2=A/302+2702=30姬米，

，最小=BM'=(30屈-300)米,

MN+MQ+NQ的最小值为夜x00屈-30底)=(60741-60)米，

.••走道的最低造价为：300x(60741-60)=(18000741-18000)元.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，解直角三角形，菱形的性质，

轴对称的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形.

12.(1)见解析；

(2)ED=y.

【分析】此题主要切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角

形，熟练掌握切线的判定与性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三

角形的性质，锐角三角函数进行计算是解决问题的关键.

(1)连接OD,则8=03,进而得ZD£H=ZBDO证明RtBC4和RtBDA全等得

NCBA=NDBA,根据NADE=NCR4,MZADE=ZDBA=ZBDO,再根据

4。0+4400=々94=90。得/40£'+/400=90。，BPED±OD,据此可得出结论；

(2)根据80=4得AB=2O3=8,则EB=M+8,根据/。朋=ZD朋得tanZD3A=L

2

AE)1

则tanNQB4=—=-,设AD=a,BD=2a,证明△EAD^^\EDB得ED:EB=AE:ED=AD:BD,

BD2

gpED:(AE+S)=AE:ED=a:2a,由AE:£D=a:2a,AE=—ED,由ED:(AE+8)=〃:2a,得

2ED=AE+8,则2瓦)=；EZ)+8,据此可得ED的长.

【详解】(1)证明：连接OD,如图所示：

:.ZBCA=ZBDA=90°,OB=OD,

:.ZDBA=ZBDO,

在Rt5c4和RtBDA中，

[BA=BA

[BC=BD，

RtABCA^RtABZM(HL),

.\ZCBA=ZDBAf

ZADE=ZCBAfZDBA=ZBDOf

:.ZADE=ZDBA=ZBDO,

ZBDO+ZADO=ZBDA=90°,

..ZADE+ZADO=90。,

即矶)_LOD,

OD为。的半径，

:.ED是。的切线；

(2)解：50=4,

,\AB=2OB=8f

.\EB=AE+AB=AE+8,

tmZCBA=-,NCBA=/DBA,

2

/.tan/DBA=—,

2

AF)1

在中，tanZDBA=--=-,

BD2

设AD=a,BD=2a,

ZADE=ZDBA,ZE=NE,

，AEAD^AEDB,

ED:EB=AE:ED=AD:BD,

ED:(AE+S)=AE:ED=a:2af

由AE:ED=a:2a,得：AE=gED,

由ED:(AE+8)=4：2Q,得：2ED=AE+8,

...2ED=-ED+8

2f

ED=1

13.(1)6=半

(2)正方形DEFG的边长为尹T2〉

23

【分析】(1)根据重心的性质，三线合一的性质，正方形的性质可得EFJ.BC可

得A在射线FE上，设DE=Q,则AE=2〃，AD=^5则§由乙4。七=”一,证明

ZB=ZADE=ZAEH,在Rt中，sinZAEH=—=^,即可求解；

AE5

(2)延长。石交AC于/,作〃/_LAE1于/.证明一AEHsZADE=ZEHI,

ADEs