2025年中考数学难点与解题模型：与角平分线、中点有关问题（5大热考题型）（原卷版）

难点与解题模型n与角平分线'中点有关问题（5大热考题型）

题型一：与角平分线有关问题

题型二：与中线有关问题

题型三：与中位线有关问题

题型四：与等腰三角形底边中点有关问题

题型五：倍长中线模型

,精淮握分

题型一：与角平分线有关问题

：指।点।迷।津

常考模型及步骤

:第一步：依据特征找模型一一找是否存在角平分线

:第二步：抽离模型一一判断角平分线上一点与角两边上点的连线与角平分线的位置关系

I

:第三步：利用性质解题一一利用角平分线的性质、全等三角形、等腰三角形“三线合一”及平行线的性质

解题

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023•湖南•中考真题）如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,按以下步骤作图：①以点A为圆心，

以小于AC长为半径作弧，分别交AC,AB于点“，N；②分别以M,N为圆心，以大于的长为半

径作弧，在—3AC内两弧交于点0；③作射线AO,交BC于点、D.若点。到的距离为1,则CD的长

【典例1-2】（2023・江苏•中考真题）如图，B、E、C、/是直线/上的四点，AB=DE,AC=DF,BE=CF.

⑴求证：△ABC四△DEF；

（2）点尸、。分别是VABC、的内心.

①用直尺和圆规作出点。（保留作图痕迹，不要求写作法）;

②连接PQ,则P。与BE的关系是.

【典例1-3】（2023•甘肃兰州•中考真题）综合与实践

问题探究：（1）如图1是古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》第1卷命题9："平分一个已知角.”即：

作一个已知角的平分线，如图2是欧几里得在《几何原本》中给出的角平分线作图法：在。4和08上分别

取点C和，使得OC=OD,连接CD,以CD为边作等边三角形CDE,则OE就是NAO3的平分线.

请写出OE平分，的依据：；

类比迁移：

（2）小明根据以上信息研究发现：一CDE不一定必须是等边三角形，只需CE=DE即可.他查阅资料：我

国古代已经用角尺平分任意角.做法如下：如图3,在-403的边。4,02上分别取QW=0N,移动角尺，

使角尺两边相同刻度分别与点N重合，则过角尺顶点C的射线0C是NAO3的平分线，请说明此做法

的理由；

拓展实践：

（3）小明将研究应用于实践.如图4,校园的两条小路和AC,汇聚形成了一个岔路口A,现在学校要

在两条小路之间安装一盏路灯E,使得路灯照亮两条小路（两条小路一样亮），并且路灯E到岔路口A的距

离和休息椅〃到岔路口A的距离相等.试问路灯应该安装在哪个位置？请用不带刻度的直尺和圆规在对应

的示意图5中作出路灯E的位置.（保留作图痕迹，不写作法）

图3图4图5

【典例1-4］（2023•河南・中考真题）如图，VABC中，点。在边AC上，且=

⑴请用无刻度的直尺和圆规作出ZA的平分线（保留作图痕迹，不写作法）.

⑵若（1）中所作的角平分线与边交于点E,连接DE.求证：DE=BE.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2024•贵州铜仁•一模）如图，在VABC中，NC=90。，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别

交AC,A3于点N,再分别以M,N为圆心，大于!长为半径画弧，两弧交于点0,作射线40,

2

交BC于点、E.已知CE=2,AB=6,AEB的面积为（)

C.10D.6

【变式1-2］（2024•山东济宁•一模）如图，在VABC中，ZC=90,AC=12.

⑴请用无刻度的直尺和圆规在边BC上求作一点D,使得点。到边AB,AC的距离相等（保留作图痕迹,

不写作法）;

⑵在（1）所作的图形中，过点、D作DEJ.AB于点、E.

①求证：AE=AC；

②若CD=4,SABD=30,求BE的长.

【变式1-3］（2024•河南周口•模拟预测）如图，在VABC中，NC=90。.

B

⑴请用无刻度的直尺和圆规作出-3的平分线.（保留作图痕迹，不写作法）

⑵若（1）中所作的角平分线与边AC交于点。，CD=3,A3=8,求的面积.

【变式1-4］（2023•广西桂林•模拟预测）在VABC中，3。是边AC上的高.

⑴尺规作图：作/C的平分线，交BD于E.

（2）若DE=4,BC=10,求，BCE的面积.

【变式1-5］（2023•广东惠州•二模）如图，CB=CD,ZD+ZABC=180°,CE_LAOTE.

⑴求证：AC平分/DAB；

(2)若AE=10,DE=4,求AB的长.

题型二：与中线有关问题

「辐TMT屣T承..................

与中线有关的解题关键解题关键是利用中线的性质，如图，在4ABC中,AD是4ABC的中线则BD=CD,

i

【中考母题学方法】

【典例2-1】（2024•山东德州•中考真题）如图，在VABC中，AD是高，AE是中线，AD=4,S^ABC=12,

则BE的长为（）

A.1.5B.3C.4D.6

【典例2-2】（2023•浙江•中考真题）如图，点P是VABC的重心，点。是边AC的中点，PE〃AC交BC于

点、E,DF〃BC交EP千点、F,若四边形CDEE的面积为6,则VABC的面积为（）

A.15B.18C.24D.36

【典例2-3】（2024•福建福州•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=d（x>0）的图象分别

X

与等腰RtAO3的直角边和斜边02交于点C,。，点A在无轴正半轴上，连接AD,CD,若

则ABCD的面积为.

B

O

【典例2-4】（2024,河北•中考真题）如图，VA3C的面积为2,AD为BC边上的中线，点A,G，G，C3是

线段CC4的五等分点，点A,2，2是线段。2的四等分点，点A是线段8月的中点.

（1）△AGR的面积为

（2）的面积为

【典例2-5】（2024•湖北武汉•模拟预测）如图是由小正方形组成的9x9网格，每个小正方形的顶点叫做格点

A,B,C三点是格点,尸点是与网格线的交点.，仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图.

（1）在图1中，取A3的中点£）,AC的中点E,连接ED,再作平行四边形3DEK；

（2）在图2中，在上画出一点G,使ZACG=ZACF；

（3）在图3中，点T在格点上，连接87,CT,在CT上画点使AM平分四边形ABTC的面积.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1］（2024•云南昆明•二模）如图，AD,CE是VABC的两条中线，连接即.若^^^=16,则阴

影部分的面积是（）

【变式2-2］（2024・安徽六安•模拟预测）如图，是VA3C的中线，点E是仞的中点，连接CE并延长,

交A3于点F,若A3=6.则AF的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【变式2-3］（2024•安徽蚌埠•模拟预测）如图，D,E,尸分别为VABC三边上一点，且

交于点G,若SBDG=6,SS3=4,SAEG=15,贝”ABC=（）

【变式2-4］（2024•重庆•模拟预测）如图，在RtABC中，ABAC=90°,AB=5,AC=W,。为8C的中点,

E为AC中点，连接BE交A£＞于点/，贝尸的面积为.

A

【变式2-5］（2024•辽宁・模拟预测）如图，将VABC沿直线AC翻折得到△ADC,BD交AC于点E,F为CD

的中点，连接AF并延长，交2C的延长线于点G,连接班若AB=10,AE=6,的面积为18,

则JJEF的面积为.

【变式2-6］（2024•山东临沂•模拟预测）如图，将VABC沿8c边上的中线AD平移到,A'3'C'的位置，已知

VABC的面积为25cm2,阴影部分三角形的面积为9cn?,若A4'=lcm,则AD的值为cm.

【变式2-7］（2024•广东东莞•模拟预测）如图，在菱形ABCD中，两条对角线相交于点O,AC=4,BO=2,

过点C作CE1AS,交A3的延长线于点E,连接OE,则COE的面积是

【变式2-8］（2024•上海浦东新•一模）如图，在VABC中，AB=4,AC=6,石为3。中点，AD为VABC的

角平分线，VABC的面积记为豆，VADE的面积记为$2,则$2：5=

4

【变式2-9］（2024,广东广州•二模）如图，已知△ABO中，AC1BD,BC=8,CD=4,cosZABC=-,BE

为A。边上的中线.

⑴求AC的长；

(2)求BED的面积.

题型三：与中位线有关问题

指I点I迷I津

与中位线有关的解题关键

利用中位线的性质解题，如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，则DE//BQ

DE=—0,B/C,SAAy|DE/\=fXr_Sl.SAABC

【中考母题学方法】

【典例3-1】(2024•广东深圳•模拟预测)【定义】我们把两条中线互相垂直的三角形称为"中垂三角形

【示例】如图，AF,BE是VA3C的中线，MAF±BE,垂足为尸，像VA3C这样的三角形称作"中垂三角

形”.设BC=a,AC=b,AB=c.数学兴趣小组想研究"中垂三角形"的三边是否存在某种关系，进行了如

下探究过程：

(1)【特例探究】如图2,VABC为"中垂三角形"，当/4BE=30。，c=4时，求。，b的值;

解：回VABC为"中垂三角形"，即AFXBE,

X0ZABE=3O°,AB=c=4,

0AP=2,BP=@,

国AF、BE分别是中线，连接班

I3E尸是VABC的中位线，

^EF//AB,EF=-AE,

2

^ZABP=Z.FEB,ZBAP=NEFP,

^AABP^AFEP,

^FP=-AP=\,

...（此处省略部分步骤）

Elj?C=a=②，AC=b=@.

完成上述解题过程中的填空；

①：，②：，③：$

2

⑵【归纳证明】请你观察（1）中的解题思路及计算结果，猜想b,0?三者之间的关系，用等式表示

出来，并利用图3证明你发现的关系式；

⑶【拓展应用】利用（2）中的结论，解答下列问题：如图4,在边长为8的菱形ABCD中，。为对角线AC,

即的交点，E,尸分别为线段Q4,的中点，连接BE,CF并延长交于点BM,CM分别交AD于

点G,H,直接写出MG2+MH?的值.

【典例3-2】（2024•重庆九龙坡•三模）小明想利用三角形全等的知识，再探三角形中位线定理，他的探究思

路如下：如图，在VABC中，点。、E分别为A3、AC的中点，连接。E,过点C在AC的右边作/Ab,

使得ZACF=ABAC,延长。E交CF于点尸，然后通过证明.ADE'CFE和平行四边形BCFD来证明三角

形中位线定理，请完成下面的作图和填空.

⑴用尺规完成以下基本作图：以点C为顶点，在AC的右侧作N4CF=4LC,延长DE,交CF于点尸；（保

留作图痕迹，不写作法，不下结论）

（2）求证：BC=2DE,BC//DE.

证明：回点E为4C的中点，

0AE=CE,

y.SZACF=ZBAC,

回①.

在VADE和△era1中，

ZDAE=ZFCE

<AE=CE,

②

回.ADEMCFE,

团③，DE=FE,

回点。为A3的中点，

团AD=BD,

0@,

国四边形DBCF是平行四边形,

团DF=BC,DF//BC,

国DE=FE,

回⑤，

^BC=2DE,BC//DE.

【典例3-3】（2024・广西南宁•模拟预测）阅读下面材料，并回答问题.

在几何学习中，经常通过添加辅助线构造图形，将未知问题转化为已知问题.

在八下课本49页中，我们得到了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第

三边的一半.证明过程如下：

已知：如图1,D、E分别是VABC的边AB,AC的中点；

求证：DE〃BCMDE=LBC.

2

证明：如图1,延长。E到点R使EF=DE,连接尸C,DC,AF.

SE为AC中点

:.AE=（1）

DE=EF,

回四边形AOCF是平行四边形，（@_）（填推理的依据）

前开平行且等于ZM

即CP平行且等于3D

团四边形O8CF是平行四边形

DF//BC,DF=BC,

又・DE=-DF,:.DE//BC,DE=-BC.

22

这个证明方法，就体现了三角形问题和平行四边形问题的相互转化.

⑴请完成证明过程中的填空：

①②

（2）在学习的过程中，我们可以用转化的数学思想，解决很多数学问题.

例如：如图2,在四边形ABC。中，AD//BC,且点E,尸分别为和C。中点.

猜想：线段A。，8C和EF之间的数量和位置关系，并写出证明过程.

⑶类比运用：如图3,在四边形ABC。中，AD//BC,且AB=CD.求证：ZABC=NDCB.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］（2024・山西阳泉,一模）阅读下面材料，并完成相应的任务.

三角形中位线的折法

如图1,在Rt^ABC中，ZACB=90°,将3A向下对折，使点A与点C重合，得到折痕DE,则OE垂直

平分AC,易得DE是VABC的中位线,

如图2,借鉴直角三角形中位线的折法，可以折出锐角三角形的中

H

位线.

第一步，将NC向左对折，使点C的对应点C'落在2C上，展开后，得到折痕AP；

第二步，将一A向下对折，使点A与点P重合，得到折痕£>E,则OE是VA3C的中位线.

理由如下：设”与DE交于点。.

第一次折叠可得APLCC',第二次折叠可得DELAP,且AQ=PQ.

^ZAQD=ZAPB=90°.

ADAQAE

^DE//BC-回而=瓦=无（依据）.

^\AQ=PQ,^\AD=BD,AE=CE.

EIOE是VABC的中位线,

如图3,继续探究其他折法:

第一步，将/C向左对折，使点C的对应点C落在BC上，展开后，得到折痕MN；

第二步，将/A向下对折，使点A的对应点A落在BC上，点M的对应点落在折痕上，则DE是VABC

的中位线.

任务:

⑴写出材料中的依据：.

(2)请根据图3的折法，求证：OE是V43C的中位线.

【变式3-2](2024,江苏淮安•模拟预测)在初二下学期我们学习了三角形中位线的定义以及三角形中位线定

理，并且能用相关知识解决问题.

【问题再现】

己知：如图1,在VA3C中，D、E分别是边AB、AC的中点，求证：DE//BC,DE=；BC.

(1)如图2,A、2两地被建筑物阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C,连接C4、CB,分

别取C4、CB的中点。、E.测得DE的长为20m,则A、B两地的距离为m.

A

BECBC

图2图3

(2)如图3,在四边形ABC。中，AD〃BC,点、E、尸分别是8。和AC的中点，AD=3,BC=5,求砂的

长.

【灵活运用】

如图4,在边长为6的正方形ABCD中，点E是3C上一点，点P是A3上一点，点/关于直线DE的对称

点G恰好在的延长线上，FG交DE于点点M为AD的中点，若MH=再，求8E的长.

图4

【变式33］（2024・辽宁锦州•二模）【问题提出】

如图1,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,/为VABC内一点，连接AF,将AF绕点尸顺时针旋转90。

得到。/，连接所并延长到点E,使EF=BF,连接3D,CD,DE.求证：DE±CD,DE=CD.

A

图1图2图3

图4备用图1备用图2

【思路探究】

“神州小组”的解题思路：将线段OE借助平行线进行平移，如图2,过点B作BG平行DE交DF的延长线

于点G,这样可以将证明DE和S的关系转化为8G和的关系;

智慧小组”的解题思路：结合/为防的中点构造三角形的中位线,如图3,过点8作平行DF交即

延长线于点从而借助三角形中位线性质，将OE和CD的关系转化为和CD的关系.

（1）请你选择其中一个小组的思路，或者用你自己探究的思路写出证明过程；

【思维训练】

王老师为了进一步让学生体会平行线在图形证明中的作用，又出示了下列问题：

（2）如图4,在VABC中，NACB=90。，ZA=30°,。为AB上一点，将CO绕点C逆时针旋转60。得到CE,

连接BE,DE,。为。E中点，连接30并延长交CD的延长线于点尸，若NEBO=2ZBCE,探究OP,OB,

班之间的数量关系，并说明理由；

【能力提升】

（3）“北斗小组”的同学在【问题提出】的基础上对该问题又进一步拓展：连接CE,若F为平面内一点,

AD//CE,CD=2,AC=3,其他条件不变，求AF的长.

【变式3-4](2024•辽宁大连•二模)【问题初探】

(1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：

如图1,在VABC中，点。是的中点，点E是AC的一个三等分点，S.AC=3CE,连接CO,BE交于

点、F,求证：CF=FD.

①如图2,小鹏同学利用"三角形中位线的性质"的解题经验，取£8的中点G,连接DG,再通过“全等三角

形的性质"解决问题;

②如图3,小亮同学利用"三角形相似的性质"的解题经验，过点C作CG〃钿，交BE的延长线于点G,再

通过“全等三角形的性质"解决问题.

请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程.

【类比分析】

(2)李老师发现之前两名同学都运用了数学的转化思想，将证明三角形线段的关系转化为我们熟悉的角度

去理解.为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师又提出了一个问题，请你解答：如图4,在VABC中，

点。是AB的中点，点E,G是AC的三等分点，BG,8E与CD分别交于点H,F,求的值.

【学以致用】

(3)如图5,在VABC中，AC=BC,在射线A3上取点。，使=连接CD,在CD上取点E,

射线班，G4相交于点尸，当历=ED时，求BE:8k的值.

图4图5

【变式3-5］（2024•宁夏银川•一模）如图1.在VA8C中，D、E分别为AB、AC的中点，连接DE：

A

一7

操作1.将VADE绕点E按顺时针方向旋转180。到△CEE的位置.

操作2.延长DE到点E使EF=DE,连接CF.

试探究DE与BC有怎样的位置关系和数量关系？B4--------------

图1

（1）请结合操作1或操作2的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理,

【结论应用】

（2）如图2,四边形中，对角线AC、5D相交于点O,四条边上的中点分别为E、F、G、H、依次

连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH.

图2

①求证：四边形EFG”为平行四边形；

②当AC与8。满足一时，四边形EFGH是矩形，当AC与8。满足一时，四边形EFGH是菱形.

③若AC=16,次）=20,ZA（9fi=60°,求四边形EFGH的面积.

【问题解决】

（3）如图3所示，在一个四边形ABCD的草坪上修一条小路，其中点尸和点。分别为边48和边。的中

点，且NA+NABC=90。，BC=6,AD=8,求小路P。的长度.

图3

题型四：与等腰三角形底边中点有关问题

:藉TMT逑T承....................

三线合一法

解题关键是利用等腰三角形“三线合一”，即顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线重合，利用角平分线、

中线和高线的性质解题.

【中考母题学方法】

【典例4-1】（2023・四川绵阳•中考真题）如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度BC=10m,々=30。,

则中柱4。（。为底边中点）的长为m.

【典例4-2】（2024•湖北武汉•中考真题）如图，VABC为等腰三角形，。是底边3C的中点，腰AC与半圆。

相切于点D,底边3C与半圆。交于E,尸两点.

⑴求证：A3与半圆。相切；

（2）连接OA.若CD=4,CF=2,求sin/Q4c的值.

【典例4-3】（2022•山东德州•中考真题）如图1,在等腰三角形A3C中，AB=AC,。为底边3C的中点,

过点。作ODLAfi,垂足为。，以点。为圆心，0。为半径作圆，交BC于点M,N.

⑴A8与。的位置关系为

（2）求证：4。是（。的切线；

⑶如图2,连接。欣，DM=4,ZA=96°,求：。的直径.（结果保留小数点后一位.参考数据:

sin24°«0.41,cos24°«0.9Ltan24°~0.45)

【中考模拟即学即练】

【变式4-1］（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱AD（。为底边

中点）的长为5m,ZB=30°,则它的跨度BC为m.

【变式4-2］（2024•贵州遵义•模拟预测）辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变

得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题.

2.等腰三角形+底边中3.直角三角形+斜边中

题眼1.普通三角形+中点4.两个中点

点点

A_______EA

L3A

—

大致图形

BC

/A

BCBDC

辅助线名

倍长中线二线合一斜边中线中位线

称

延长3。到点E,

具体做法连接AD连接co连接。E

使DE=BD,连接

△AED沿ACBDAD1BC

产生效果①②

AE//BCABAD=ACAD

⑴请在①，②中任选择一个填空：

你选择的是,产生效果是.（产生效果写一个或两个）

（2）如图①，在三角形中，AD是VABC的一条中线，AB=5,AC=3,AD=2,求的长.

⑶如图②，在VA3C中，4=30。,/。=90。,43=4,点"，N是边AC上两个不同的动点，以为边在

VA3C内部（包括边界）作等边三角形一点E,F分别是AM,PM的中点，当的周长取最大

值时，求线段族的长.

【变式4-3］（2024•广西•模拟预测）如图，已知VA3C为等腰三角形，点。是底边BC上中点，腰与

相切于点D.

⑴求证：4。是(。的切线；

(2)当NC=45。，。的半径为1时，求图中阴影部分的面积；

⑶设。与的交点为G、H,若BGxBH=12,求的长.

【变式4-4](2024•辽宁,模拟预测)问题情境

数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片(各等腰三角形形状不同)探究旋转的特性，

如图①，AB^AC,。为底边2C的中点.将VABC以点。为旋转中心，逆时针方向旋转，设旋转后得到

的三角形记为旋转角为打(0。＜。＜180。).同学们经过操作探究后发现：旋转角a等于2倍底角的

度数时，边AC'总能落在原三角形边A3所在的直线上.在此基础上同学们进行如下探究:

独立思考:

小明："设AE与3c相交于点D,当与2C垂直时，则夕=60。.”

小红："若a=45。,过点A作AEL3C,垂足为E,交3'C'于点F,则AN=30."

实践探究

奋进小组的同学们经过探究后提出问题1,请你回答:

(1)问题1：在等腰三角形ABC中，AB^AC,.A?C'由VABC绕底边2C中点。旋转得到，当旋转角

a=2ZC时，边A'C'总能落在原三角形边AB所在的直线上.

(0如图②，设AE与BC相交于点。，当A笈与2C垂直时，求证：a=60。；

(z7)如图③，若々=45。，过点H作AELBC,垂足为E,交3'C'于点/，求证：A'F=BD.

问题解决

小明经过探究发现：在问题1的基础上，若给出等腰三角形ABC腰与底的长，图中用字母标记的线段都可

求，可以将问题进一步拓展.

(2)问题2：如图④，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6.若？H与CB的延长线相交于点。，

请直接写出的长.

题型五：倍长中线模型

倍长中线法

题中已知三角形及中线，或已知过一边中点的线段，常考虑倍长中线或倍长类中线构造全等三角形.

类型倍长中线倍长类中线

图示

4co

8

\[DC

E

E

条件在^ABC中.AD是边BC的中线在4ABC中点D是边BC的中点，点E是边

AB上一点，连接ED

作法延长AD至点E,使DE=AD,连接BE延长ED至点F,使DF=DE,连接CF

结论△ACD^AEBD△BDE^ACDF

【中考母题学方法】

【典例5-1】(2024・贵州遵义•模拟预测)辅助线是解决几何图形问题的利剑，合理添加辅助线，会使问题变

得简单，下表给出了三角形中几个常见利用中点添加辅助线的模型，请根据要求解决问题.

2.等腰三角形+底边中3.直角三角形+斜边中

题眼1.普通三角形+中点4.两个中点

点点

A_______EA

3A

—

大致图形

1ABC

BCBDC

辅助线名

倍长中线三线合一斜边中线中位线

称

延长3。到点E,

具体做法连接A。连接CD连接。E

使DE=BD,连接A£

△AED^ACBDAD1BC

产生效果①②

AE//BCZBAD=ZCAD

⑴请在①，②中任选择一个填空：

你选择的是,产生效果是.（产生效果写一个或两个）

⑵如图①，在三角形中，AD是VABC的一条中线，AB=5,AC=3,AD=2,求8c的长.

（3）如图②，在VABC中，44=30。,/。=90。,45=4,点M,N是边AC上两个不同的动点，以为边在

VABC内部（包括边界）作等边三角形aPMN,点E,F分别是AM,尸河的中点，当的周长取最大

值时，求线段族的长.

【典例5-2】(2024・吉林长春•一模)【发现问题】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样的一个问题:

如图①，在VA3C中，AB=6,AC=8,第三