2025年中考数学难点一轮复习：圆的基本性质的常考题型（6大热考题型）解析版

难点07圆的基本性质的常考题型

（6大热考题型）

0直击中港

题型一：圆的基本和最值问题

题型二：垂径定理及其应用

题型三：圆心角、弦、弧之间的关系

题型四：圆周角定理

题型五：圆周角定理的推论和应用

题型六：圆内接四边形

、精淮提分

题型一：圆的基本和最值问题

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•江苏苏州・中考真题）如图，矩形/BCD中，AB=5BC=T,动点£,歹分别从点/,C

同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点。运动，过点£,歹作直线/,过点/作直线

/的垂线，垂足为G,则NG的最大值为（）

A.V3B.—C.2D.1

2

【答案】D

【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角

三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键.

连接/C,BD交于点、O,取。4中点连接G/Z,根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹,

从而求出/G的最大值.

【详解】解：连接/C,BD交于点、O,取CM中点连接G8,如图所示：

ZABC=90°fOA=OC,AB//CD,

在RtZX/BC中，AC=y]AB2+BC2="可+F=2,

：.OA=OC=-AC=1,

2

AB//CD,

ZEAO=ZFCO,

在△/OE与AC。尸中，

AE=CF

-AEAO=ZFCO

OA=OC

ZUOE丝△COF(SAS),

ZAOE=ZCOF,

：.E,O,厂共线，

---AGVEF,H是。8中点，

.•.在RtZUGO中，GH=-AO=-,

22

，G的轨迹为以H为圆心，；为半径即NO为直径的圆弧.

•••/G的最大值为的长，即/&四=/。=1.

故选：D.

【典例2】(2023•山东淄博・中考真题)在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活

动.

(1)操作判断

小红将两个完全相同的矩形纸片ABCD和CEFG拼成乜”形图案，如图①.

试判断：的形状为

(2)深入探究

小红在保持矩形N8C。不动的条件下，将矩形CEPG绕点C旋转，若N3=2,AD=4.

探究一：当点尸恰好落在/。的延长线上时，设CG与D尸相交于点M,如图②.求ACW的面积.

探究二：连接/E,取NE的中点H,连接DH,如图③.

求线段长度的最大值和最小值.

EE

图②图③

【答案】(1)等腰直角三角形

⑵探究一：探究二：线段。H长度的最大值为遥+1,最小值为行-1

【分析】(1)由/C=CF,可知“CF是等腰三角形，再由“8C多AWGC(SAS),推导出//Cb=90。，即

可判断出A/CF是等腰直角三角形,

(2)探究一：证明ACDM也AFGW(AAS),可得再由等腰三角形的性质可得AD=。尸，在

而ACDMr中，勾股定理列出方程CA/2=22+(4-CM)2,解得CM,即可求ACW的面积；

探究二：连接DE,取DE的中点P,连接〃尸，取A。、3C的中点为V、N,连接血W,MH,NH,分别

得出四边形是平行四边形，四边形HNC尸是平行四边形，则/MfflV=90。，可知a点在以九W为直

径的圆上，设MV的中点为T,DT=布,即可得出DH的最大值与最小值.

【详解】(1)解：,••两个完全相同的矩形纸片和CEFG,

:.AC=CF,

是等腰三角形，

AB=GF,ZFGC=ZABC=90°.BC=CG,

.•.△/5C/△FGC(SAS),

:./BAC=/GFC,

VAB\\CDf

：.ABAC=ZACG,

ZACG=ZGFC,

•・•ZGCF+ZGFC=90°1

:.AACG+ZGCF=9Q°f

:.ZACF=90°,

.•.△/C/是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

(2)探究一：・；CD=GF,ZFMG=ZDMC,/G=NCDF=90。,

:.^CDM^FGM(AAS),

:.CM=MF,

•;AC=CF,CDLAF,

AD=DF,

♦.•AB=CD=2,AD=DF=4,

:.DM=4-CM,

在比△COM中，CM2=CD2+DM2,

/.CM2=22+(4-CM)2,

解得CM=g,

5

2

:.KMF的面积=LX2X*=9；

222

探究二：连接DE,取DE的中点?，连接HP,CP,取力D、3C的中点为M、N,连接JW,MH,NH,

・.•〃是ZE的中点,

图③

I1

MH//DE,且

CD=CE,

CPVDE,DP=PE,

■■MH//DP,且MH=DP,

.,・四边形是平行四边形，

:.MD=HP,MD//HP,

•••AD//BC,MD=CN,

HP//CN,HP=CN,

四边形HNCP是平行四边形，

NH//CP,

:.ZMHN=9Q°,

r.H点在以MN为直径的圆上，

设MN的中点为T,

DT=A/12+22=45，

，D”的最大值为6+1，最小值为退-1.

【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性

质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定”点的运动轨迹是解题的关键.

【变式1-1］（2024•江苏连云港•中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在。点，另一端绑一重物.将此

重物拉到/点后放开，让此重物由/点摆动到8点.则此重物移动路径的形状为（）

A.倾斜直线B.抛物线C.圆弧D.水平直线

【答案】C

【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧.

【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点A的运动轨迹是以。为圆心，CM为半径的一段圆

弧,

故选：c.

【变式1-2］（2023•江苏宿迁・中考真题）在同一平面内，已知O。的半径为2,圆心。到直线/的距离为3,

点尸为圆上的一个动点，则点P到直线/的最大距离是（）

A.2B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】过点。作于点A,连接OP,判断出当点尸为49的延长线与。。的交点时，点P到直线/的

距离最大，由此即可得.

【详解】解：如图，过点。作于点A,连接OP,

当点P为NO的延长线与的交点时，点P到直线/的距离最大，最大距离为尸/=3+2=5,

故选：B.

【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点尸到直线/的距离最大时，点尸的位置是解题关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•安徽合肥•三模）如图，P为线段上一动点（点尸不与点43重合），将线段N尸绕点P顺时

针旋转45°得到线段CP,将线段BP绕点P逆时针旋转45°得到线段DP，连接4D,BC,交点、为Q.若4B=6,

点，是线段N2的中点，则。〃的最小值为（）

【答案】B

【分析】本题考查旋转的性质、等腰三角形手拉手问题、三角形中位线及四点共圆最小值问题，作

且=先证A/尸。也ACPB,结合旋转角度问题得到N、。、B、£四点共圆，结合三角形三边关系即

可得到答案；

【详解】解：•••线段4尸绕点尸顺时针旋转45。得到线段。尸，将线段5P绕点P逆时针旋转45。得到线段。P,

AP=CP,DP=BP,ZAPC=ZBPD=45°,

・・・ZAPD=ZCPB=135°f

在与△CTO中，

AP=CP

・.•(ZAPD=ZCPB,

DP=BP

.・・之△(7尸B(SAS),

：.NC=/DAP,

・.・ZCKA=ZC+ZCQA=/DAP+/CPA,

・•・ZCQA=45°f

：.ZAQB=\3509

作E4_L8/且E4=A4,取5E的中点O,连接。“，OA,OQ,

E"

,/AB=6,EA=BA,

：.AE=6,NE=45。，

:点”、。是中点，

OH——AE=3,OA=OE=OB=—BE=—个6°+6°=36,

222

•/NE+NZ08=45°+135°=18O°,

."、。、B、E四点共圆，

*/OA=OE=OB,

；./、0、B、£是在以点。为圆心04为半径的圆上，

当。、“、。在同一直线时，

QH=0Q-0H=3五-3,

当0、H、。不在同一直线时

QH>OQ-OH=342-?>，

则"最小值为3行-3，

故选：B.

2.（2024•浙江嘉兴•一模）如图，在矩形/BCO中，4B=3,£为8C边上的一个动点，连接NE,点3关于

NE的对称点为玄，连接87X若夕。的最大值与最小值之比为2,则4D的长为.

［答案】4±V7

【分析】本题主要考查了一点到圆上一点距离的最值问题，矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，由轴

对称的性质可得AB，=AB=3,则点"在以/为圆心，半径为3的圆上运动，据此可得当4D、"三点共

线时，B7J最小，当点E与点5重合时，B，D最大,据此表示出沙。的最大值和最小值，再由9。的最大值

与最小值之比为2列出方程求解即可.

【详解】解；如图所示，连接/"，

由轴对称的性质可得AB，=AB=3,

点"在以/为圆心，半径为3的圆上运动，

二当4D、"三点共线时，B，D最小,

.•.8'%小=M。一3|；

:点E在线段BC上，

当点£与点8重合时，B，D最大,最大值即为AD的长,

B，D最大=〃加+/9='AD』,

•：B'D的最大值与最小值之比为2,

.^AD-+9

「曲一3|

AD-+9=A(AD-^,

/.3-8/0+9=o，

解得/£>=4+疗或ZD=4—近，

故答案为：4±J7.

3.（2024•江苏南京•模拟预测）如图，点C是。/上一动点，8为一定点，。随着C点移动而移动，EG为BD

的垂直平分线，NCBD=90。,BD=2BC,EG=ABC,若04半径为2,点8到点/的距离为4,则在C点

【答案】6y（26

【分析】该题主要考查了勾股定理，正方形的性质和判定，垂直平分线的定义，圆中相关知识点，解题的

关键是找到CE取得最大值时点C的位置.

过点C作C尸，GE交GE所在直线于点尸，证明四边形8CFG是正方形，设8C=x,则

BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,勾股定理得出Cl=26/,确定出8c=6时BC最大，求解即可;

【详解】解:过点C作CFLGE交GE所在直线于点尸，

:EG为8。的垂直平分线，ZCBD=90°,

：.NCBG=ZBGF=ZCFG=90°,

BC=BG,

二四边形3CFG是正方形，

设BC=x,则BD=2x,EG=4x,EF=5x,BG=CF=x,

在RMCFE中,CE2=CF2+EF2=26x2,

故当x最大时，CE最大,

BC<AB+AC,

BC=/3+NC=4+2=6时8c最大，即x最大,

止匕时CE=^^=6而，

故答案为：6^/26•

4.（2024•河北秦皇岛•一模）某校社团实践活动中，有若干个同学参加.先到的"个同学均匀围成一个以O

点为圆心，1m为半径的圆圈，如图所示（每个同学对应圆周上一个点）.

（1）若〃=6,则相邻两人间的圆弧长是m.（结果保留兀）

（2）又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移。米，再左右调整位置，使这（"+2）个同学之

间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧长相等.这（〃+2）个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重

复前面的操作，则每人须再往后移。米，才能使得这（"+3）个同学之间的圆弧长与原来〃个同学之间的圆弧

长相同，贝U2=.

a

【答案】?T

【分析】本题考查圆的周长和弧长，

(1)先计算出圆的周长，再计算出圆的弧长即可；

(2)先计算出半径往后移。米的圆的周长，求出弧长，根据弧长相等建立等式即可求出a,再计算出6,即

可得到答案.

【详解】解：(1)当〃=6时，圆的周长为：2%，

相邻两人间的圆弧长是牛=£,

63

故答案为：y;

(2)又来了两个同学后圆的周长为：2万(1+Q),

,21(1+4)_71

••--------=—,

6+23

••14—,

3

当又有一个同学要加入队伍后，圆的周长为：2〃(1+。+6),

.2〃(l+a+6)兀

••--------=—，

6+2+13

b=—,

6

••一——,

a2

故答案为：y.

5.(2024•浙江•模拟预测)如图，以点/为圆心的圆交数轴于瓦C两点(点C在点/的左侧，点8在点N

的右侧)，若4,3两点表示的数分别为1,百，则点C表示的数是.

【答案】2-V3/-V3+2

【分析】本题主要考查了是数轴上两点之间的距离和圆的性质.根据/,8两点表示的数可求得。幺的半径

为6-1,再利用3点表示的数减去。N的直径即可解题.

【详解】解：3两点表示的数分别为1,6，

根据圆的性质可得：

，/C=3C=G-l，

OC=V3-2x（万1）=2-瓦

..•点C表示的数是2-6,

故答案为：2-6

6.（2024・陕西•模拟预测）如图，在矩形N2CD中，AB=2,BC=3,M是平面内一动点，且倒f=l，则

线段的最大值为

【答案】VB+I/I+VB

【分析】该题主要考查了矩形的性质，勾股定理，圆相关知识点，解题的关键是明确点M的运动轨迹.

根据勾股定理算出旧，再根据题意确定点”在以1为半径的。8上运动，。河的最大值=3。+8河,

即可求解；

【详解】解：：四边形/BCD是矩形，

ZC=90°,CD=AB=2,

,•BD=,2?+3?=5^3"，

...点M在以1为半径的08上运动,

如图当8,三点共线时，

DM最大,最大值=8。+及恢—y/\3+1.

故答案为：V13+1.

7.（2023・四川乐山•模拟预测）【发现问题】

小明在练习簿的横线上取点。为圆心，相邻横线的间距为半径画圆，然后半径依次增加一个间距画同心圆,

描出了同心圆与横线的一些交点，如图1所示，他发现这些点的位置有一定的规律.

【提出问题】

图1图2备用图

【分析问题】

小明利用已学知识和经验，以圆心。为原点，过点。的横线所在直线为x轴，过点。且垂直于横线的直线

为丁轴，相邻横线的间距为一个单位长度，建立平面直角坐标系，如图2所示，当所描的点在半径为5的同

心圆上时，其坐标为.

【解决问题】

请帮助小明验证他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明继续思考：设点尸（0,加），加为正整数，以。尸为直径画。是否存在所描的点在OM上，若存在，

求他的值；若不存在，请说明理由.

【答案】【分析问题】（-3,4）或（3,4）,【解决问题】见解析，【深度思考】4

【分析】分析问题：利用垂径定理与勾股定理解答即可；

解决问题：设所描的点在半径为为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为1,再进一步求解横坐标

即可；

深度思考：设该点的坐标为（土历二结合OM的圆心坐标，利用勾股定理，即可用含"的代数式表示

出加的值，再结合加，"均为正整数，即可得出小，〃的值.

【详解】解：分析问题：根据题意，可知：所描的点在半径为5的同心圆上时，其纵坐标＞=5-1=4,

yt

•.•横坐标X=±五彳=±3,

.•.点的坐标为（-3,4））或（3,4）；

解决问题：证明：设所描的点在半径为为正整数）的同心圆上，则该点的纵坐标为"-1,

该点的横坐标为土J：/—（〃—if=±J2〃-1,

该点的坐标为卜石二或"T）,

（士=2n-1,«-1=~~~~~~,

...该点在二次函数＞=-1）=；/的图象上，

小明的猜想正确；

深度思考：设该点的坐标为上历二的圆心坐标为加］,

J^±y/2n-1-0j+fj加,

2-1+1Y-lY+2仿—1)+11

又•・•加，〃均为正整数，

-1=1,

/.m=l+2+l=4,

・•・存在所描的点在。M上，冽的值为4.

【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理的应用，二次函数图象上点的坐标特征以及与圆有关的位置关系,

解题的关键是找出点在二次函数y=：x2-1的图象上.

22

8.（2024・湖南•模拟预测）如图，在6x6的正方形网格中，小正方形的顶点叫做格点.A,8两点均为格点,

请仅用无刻度直尺找出经过4,2两点的圆的圆心O,并保留作图痕迹.

【答案】见解析

【分析】根据圆心确定的条件即弦的垂直平分线的交点，再利用垂径定理解答即可.

本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、垂径定理等知识点，灵活运用垂径定理是解题的关键.

【详解】解：根据题意，画图如下：

则点。即为所求.

9.（2025•湖北十堰•模拟预测）如图，O。的直径48垂直弦CD于点E,尸是圆上一点，。是8尸的中点,

连接CF交OB于点、G,连接BC.

（1）求证：GE=BE；

（2）若NG=6,BG=4,求CD的长.

【答案】（1）证明见解析

（2）8

【分析】（1）利用ASA证明△CEG之△CE8,即可得到6后=8£；

（2）连接。C,求出直径的长，即得半径OC=O8=5,求出。G,由（1）知GE=BE=；BG=2,再

求出OE,利用勾股定理求出CE,根据垂径定理即可求出。.

【详解】（1）证明：•••。是筋的中点，

・•・ZFCD=/BCD,即ZGCE=/BCE,

u：CDLAB,

：.ZCEG=/CEB=9（F,

又,：CE=CE,

.・.△C£G%C£B（ASA）,

:・GE=BE；

AB=6+4=10,

OC=OB=-AB=5,

2

OG=OB—BG=5—4=T,

由（1）知GE=BE=LBG=2,

2

OE=OG+GE=1+2=3,

CE=yj0C2-0E2=4，

•.•直径A8_LCD,

CD=2CE=2x4=8.

【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定与性质，垂径定理，勾股定理.熟练掌握圆的基本性

质、三角形全等的判定定理是解题的关键.

题型二：垂径定理及其应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•湖南长沙•中考真题）如图，在＜30中，弦的长为8,圆心。至U/B的距离OE=4,则。。

的半径长为（）

B.472C.5D.5A/2

【答案】B

【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到ZE,再根据勾股定理求解即可.

【详解】解：：在。。中，弦N8的长为8,圆心。到的距离0E=4,

OEVAB,AE=-AB=4,

2

在RtZ\/OE中，04=yjoE-+AE2=A/42+42=472，

故选：B.

【变式2-1］（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，圆形拱门最下端在地面上，。为N8的中点，C为拱

门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若/3=lm,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为（）

A.1.25mB.1.3mC.1.4mD.1.45m

【答案】B

【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接04,先证明CDL/3,

AD=BD=0.5,再进一步的利用勾股定理计算即可；

【详解】解:如图，连接04,

•.•。为的中点，C为拱门最高点，线段。经过拱门所在圆的圆心，/8=lm,

CD1ABfAD=BD=0.5,

设拱门所在圆的半径为小

OA=OC=r,而CD=2.5m,

J00=2.5--,

/.r2=0.52+（2.5-r）2,

解得：r=1.3,

拱门所在圆的半径为1.3m；

故选B

【变式2-2X2024•新疆•中考真题）如图，是。。的直径，CD是O。的弦，48_L。，垂足为E.若CD=8,

。。=5,则BE的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键.

根据垂径定理求得。£=：。。=4,再对RtVOED运用勾股定理即可求OE,最后BE=05-OE即可求解.

【详解】解：：48是。。的直径，

：.DE=-DC=4,ZOED=90°,

2

...在RtVOE。中，由勾股定理得O£=Ja>2一E£>2=3,

BE=OB-OE^5-3=2,

故选：B.

【变式2-3］（2024•黑龙江牡丹江•中考真题）如图，在O。中，直径48LCD于点E,CD=6,BE=1,贝！］弦

NC的长为.

A

【答案】3V10

【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键.

由垂径定理得CE=ED=，CO=3,设OO的半径为/，则。E=08-£2=r-1,在AAOED中，由勾股定

2

理得出方程，求出厂=5,即可得出/E=9,在比AZEC中，由勾股定理即可求解.

【详解】解：•••/8，a),co=6,

CE=ED=-CD=3,

2

设。。的半径为，，则。£=。8-防=-1,

在比AOED中，由勾股定理得：OE2+DE2=OD2,即(—I)?+32=/,

解得:r=5,

/.0A=5,OE=4,

/.AE=0A+0E=9,

在比A/£C中，由勾股定理得：AC=^CE2+AE2=V32+92=3>/10-

故答案为：3V10.

【变式2-4](2024•江西・中考真题)如图，是。。的直径，”=2,点C在线段N8上运动，过点。的

弦DEqB,将万壶沿DE翻折交直线NB于点R当。E的长为正整数时，线段F2的长为.

【答案】2-6或2+b或2

【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据。E4/8,可得。E=1或2,利用勾股定理

进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键.

【详解】解：为直径，DE为弦,

DE<AB,

・・・当DE■的长为正整数时，。石=1或2,

当。£=2时，即。E为直径，

DE±AB

，将磁沿。E翻折交直线43于点尸，此时尸与点A重合,

故必=2；

当DE=1时，且在点C在线段08之间,

如图，连接

DE1.AB,

22

OC=y/OD2-DC2=—

2

BC=OB-OC=2^L，

2

:.BF=2BC=2-0

当DE=1时，且点C在线段CM之间，连接OD,

BF=2BC=2+y/3,

综上，可得线段EB的长为2-6或2+百或2,

故答案为：2-6或2+6或2.

【中考模拟即学即练】

1.（2023•广东东莞•一模）如图，48是OO直径，点C在。。上，CD,48垂足为。，点E是。。上动点

（不与C重合），点厂为CE的中点，若/。=3,CD=6,则。厂的最大值为.

【答案】7.5

【分析】本题考查了垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，延长CD交O。于点G,连接GE、OC,根

据垂径定理得到CD=Z）G,推出。尸=；GE,得到当GE取最大值时，。尸也取得最大值，设O。的半径为「，

则。。=厂-3,利用勾股定理求出〃即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】解：延长C。交O。于点G,连接GE、OC,

'：CDLAB,即CG_L/3,是。。的直径,

/.CD=DG,

:点尸为CE的中点，

：.DF=-GE,

2

当GE取最大值时，。厂也取得最大值，

设OO的半径为『，则。。=―3,

在RtAOCZ）中，OC2=OD2+CD2,

r2=(r-3)2+62,解得：r=7.5,

•••GE的最大值为15,

二。厂的最大值为7.5,

故答案为：7.5.

2.（2025•安徽•模拟预测）已知。。的半径为5,是。。的弦,P是弦48的延长线的一点，若尸N=8,尸8=2,

则圆心。到弦NB的距离为（）

A.V41B.6C.V30D.4

【答案】D

【分析】本题考查了垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.关键是根据勾股定

理解答.作OCJ.43于C,连接。4,根据垂径定理得至IJNC=8C=L/8=Lx6=3,然后在RMZOC中，利

22

用勾股定理计算OC即可.

【详解】解：作OCL/3于C,连接。4,如图，

PA=8,PB=2,

：.AB=PA-AB=8-2=6,

,：OCLAB,

：.AC=BC=-AB=--x6=?>,

22

在RbUOC中，04=5,

•*-OC=y/o^-AC2=J52-32=4，

即圆心。到弦的距离为4.

故选：D.

3.（2024・山西长治•模拟预测）明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（一种水利灌溉工

具）的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆.已知圆心O在水面上方，且。。

被水面截得弦2B长为8米，。。半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦4B所在直线的距

离是（）

图1图2

A.2米B.4米C.（6-2指）米D.（6+2指）米

【答案】C

【分析】本题考查的知识点是垂径定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握垂径定理.

连接OC交4B于点根据垂径定理得到/»=2»=1/8=4米，OCYAB,再根据勾股定理得到

2

。斤+，斤=0/2即可得解.

【详解】解：连接OC交2B于点

依题得：AH=BH=LAB=4米,OC1AB,O/=OC=6米,

2

设OH=x,即CH=6-x,

•.•火区/。”中，OH?+=OA?,

即/+42=62,

解得尤=2不，

即。〃=2•米,

.♦.C7/=（6-2石）米,

即点C到弦所在直线的距离是（6-2石）米.

故选：C.

4.（2024・云南怒江•一模）如图，48是OO的弦，半径OC_L/3,垂足为。，设NB=6,CD=1,则OO的

半径长为（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理，连接3,由垂径定理可得==设CM=OC=r,则

OD=OC-CD=r-1,再由勾股定理计算即可得解.

：43是。O的弦，半径OCJ,/8,垂足为D,

Z.AD=-AB=3,

2

设O/=OC=r,则。。=。。一。=V一1,

由勾股定理可得：0/2=0。2+/。2,即/=（—“+32,

解得：r=5,

故选：C.

5.（2024・四川成都・二模）如图，48是OO的弦，若。。的半径04=10,圆心O到弦NB的距离OC=6,

【答案】C

2

【分析】根据垂径定理，得4C=BC=g/B,RAC=^O^-OC=710^=8,解答即可.

本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握两个定理是解题的关键.

【详解】解：根据垂径定理，得4c==,

根据勾股定理，得ZC=^OA2-OC2=Vltf-62=8，

故/5=2/C=16.

故选：C.

6.（2024・湖北武汉•模拟预测）如图，分别是以NA/C为直径的两个半圆，其中ZC是半圆。的一条弦,

£是就中点，。是半圆石3中点.若48=6，DE=\,且NC>3,则/C的长为（）

A.3+V3B.4+百C.3+V2D.4+V2

【答案】D

【分析】本题考查圆的垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，作出合理的辅助线证明。、E、尸、。在

同一条直线上是解题的关键.连接。4DC,EO,BC.E是左中点，推OE垂直平分/C,。是半圆寂

中点，推O垂直平分NGD、E、F、。在同一条直线上，下是/C的中点，。是中点，推。厂是VN8C

的中位线，在RtZ\48C中，根据勾股定理得NC长.

【详解】解：连接。4DC,EO,BC,OE交AC于点、F,

.•.。£垂直平分/（?,

尸是4c的中点.

・・・/C为。尸的直径,

NADC=90°,

,・,。是半圆而中点,

.•・即垂直平分/C,

..D、E、F、。在同一条直线上，DA=DC,/DFA=90。,

ZDAF=45°f

DF=AF,

设环=x,DF=AF=CF=x+l,OF=-x6-x=3-x,

2

AC=2x+2,

•.•尸是/c的中点，。是NB中点，

尸是V4BC的中位线，

\BC=2OF=6-2x,

AB为OO直径，

ZACB=90°,

在RtZ\48C中，根据勾股定理得，AB2=AC2+BC2,

62=（2+2r）2+（6-2x）2,

..x=1i,

2

vAC>3,

,A/2

..X=1H，

2

\/C=2x+2=4+收

故选：D.

7.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，。/是。。的半径，弦于点。，连接02.若。。的半径为5cm,

BC的长为8cm,则AD的长是cm.

【答案】2

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，根据垂径定理和勾股定理求出的长，进而求出/。的长即可.

【详解】解：由题意，OA=OB=5cm,

是。。的半径，弦3CLQ4于点。，

BD=-BC=4cm,

2

OD=y/0B2-BD2=3cm，

AD=OA-OD=2cm；

故答案为：2.

8.（2024•上海嘉定•二模）如图在圆。中，NB是直径，弦CD与45交于点E,如果/E=l,EB=9,AAEC=45°,

点M是CD的中点，连接0河，并延长CW与圆。交于点N,那么儿W=.

【答案】5-2V2/-2V2+5

【分析】本题主要考查圆有关性质.熟练掌握垂径定理推论，等腰直角三角形性质，是解决问题的关键.

由题意可知43=10，则ON=GL4=5,根据垂径定理推论得到（W，CD,结合NNEC=45。可得是

等腰直角三角形，求得PM=与OE=26,即可求得儿W=5-2啦.

2

【详解】解：：在圆。中，是直径，4E=1,EB=9,

：.AB=10,

：.3=5,

OE=4,

•.•点M是CD的中点，

OMLCD,

:ZAEC=45°,

AEOM是等腰直角三角形，

PM^—OE=242,

2

MN=ON-OM=5-2A/2，

故答案为：5-272.

9.（2024・湖南•二模）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点。为圆心的圆的一部分，如果。是。。中

弦48的中点，CD经过圆心。交。。于点。，且/8=8m,（9C=3m,则CD=______m.

【答案】8

【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理.连接04,先根据垂径定理、线段中点的定义可得0CL/8,

AC=4m,设。。的半径长为rm,再在RbNOC中，利用勾股定理即可得。。的半径，进一步计算即可求

解.

【详解】解：如图，连接。4,

设。。的半径长为mi,则。N=O£）=rm,

22

在RtAZOC中，r=73+4=5>

则CD=OD+OC=8（m）,

故答案为：8.

10.（2024•广东湛江•模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦的垂直平分线交弧于点C,交弦AB

（1）求作此残片所在的圆的圆心。（不写作法，保留作图痕迹）;

⑵求出（1）中所作圆的半径.

【答案】(1)见解析

(2)5cm

【分析】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂径定

理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握.

(1)在圆形残片上作弦BE的垂直平分线交CD于点P,连接/尸，以P为圆心，NP为半径的圆为所

求残片的圆.

(2)先设圆尸的半径为r,根据和已知条件求出=PD=(r-2)cm,在RtA/PD中，

WAP2=AD2+DP\得出r=42+(一2『，求出r即可.

【详解】⑴解：作图如下，

(2)解：设圆尸的半径为r,

ABJ_CD,AB=8cm,CD=2cm,

/D==4cm,PZ)=(r-2)cm,

在RtA4P。中，AP?=AD?+DP?，

：.r2=42+(r-2)2,

解得r=5,

。尸的半径为5cm.

11.(2024・湖南•模拟预测)某校组织九年级学生前往某蔬菜基地参观学习，该蔬菜基地欲修建一顶大棚.如

图，大棚跨度AB=8m,拱高CD=2m.

同学们讨论出两种设计方案：

方案一，设计成圆弧型，如图1,已知圆心O,过点。作0CL/8于点。交圆弧于点C.连接04.

方案二，设计成抛物线型，如图2,以NB所在直线为x轴，线段的垂直平分线为〉轴建立平面直角坐标

系.

(1)求方案一中圆的半径；

(2)求方案二中抛物线的函数表达式；

(3)为扩大大概的空间，将大棚用1米高的垂直支架支撑起来，即袒=M=lm.在大棚内需搭建2m高的

植物攀爬竿，即6"=助=201,GM,4g于点尸，HN，AB于点、Q,G8与。C交于点K.请问哪种设

计的种植宽度0W)要大些？(不考虑种植间距等其他问题，且四边形GACV〃是矩形)

【答案】⑴5m

(2)y=--x2+2

o

⑶方案一中的种植宽度(NV)要大些

【分析】本题考查二次函数与圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、待定系数法求二次函数的解析式，求

得抛物线的函数表达式是解答的关系.

(1)根据垂径定理和勾股定理求解即可；

(2)利用待定系数法求解抛物线的函数表达式即可；

(3)根据题意，分别求得两个方案中的G8长，然后比较大小可得结论.

【详解】(1)解：如图1,设圆的半径为rm,

,/OCLAB,/B=8m,

AD=—AB=4m,

2

在RtANOD中，OD=OC-CD=(r-2)m,

由勾股定理得户=4?+(―2),解得厂=5,

即圆的半径为5m；

(2)解：根据题意，力(一4,0),8(4,0),C(0,2),

设该抛物线的函数表达式为y=ax?+2,

将点8(4,0)代入＞=62+2中，得16。+2=0,解得。=一：，

O

...该抛物线的函数表达式为＞=-：./+2；

O

(3)解：如图1,连接OH,

or

图3

由题意，GH=MN,KD=Im,GK=KH,ZOKH=90°,

在RtAO/K中，OH=5m,OK=OD+KD=5-2+1=4m,

由勾股定理得KH=yjoH2-OK2=V52-42=3m，

二MN=GH=2KH=6m；

如图4,由题意，点”和点G的纵坐标均为1,

图4

将尸1代入＞=-卜+2得1=-*+2,解得』2行,

OO

•,MN—GH—4-\/2＞

•4^/2＜6，

，方案一中的种植宽度(肱V)要大些.

题型三：圆心角'弦'弧之间的关系

【中考母题学方法】

【典例1】（2023•河北・中考真题）如图，点月〜4是。。的八等分点.若ARPi,四边形月匕4月的周长分

别为a,b,则下列正确的是（）

Pi

P5

A.a<bB.a=bC.a>bD.a,b大小无法比较

【答案】A

【分析】连接依题意得耳£=鸟△=4勺=44，乙1=44,AAA4的周长为。=44+耳4+乙片，

四边形的周长为人=月与+舄［+［，+月片，故6-。=々£+£8-4月，根据△△的三边关系即可

得解.

【详解】连接与鸟出月，

尸।

尸5

•••点月〜月是。。的八等分点，即质=朋=筋4=筋=丽=蔗=“8=而

.•.月月=月4=月月=44,筋=筋+筋=耳目+丽=德

乙A=PR

又△《鸟鸟的周长为。=《月+耳片+月A,

四边形月勺月，的周长为6=月与+与1+1月+月月,

.•.6-。=（月月+与线+月4+月片）一（月月+耳，+月6）=（65+々6+£片+月片）一（々鸟+46+乙乙）

=48+5鸟—PR

在△《5月中有片鸟+P2P3>PR

:.b—Cl=P^2+^2^3_4片>0

故选A.

【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的

关键.

【变式3-1］（2022•山东聊城•中考真题）如图，/8,CD是。。的弦，延长4S,CD相交于点P已知/尸=30。，

ZAOC=80°,则前的度数是（）

C.20°D.10°

【答案】C

【分析】如图，连接。8,OD,AC,先求解/。/。+/。。4=100。，再求解/尸/O+/PCO=50。，从而可

得/BO/+/COZ）=260。，再利用周角的含义可得N8O£>=360。-80。-260。=20。，从而可得答案.

【详解】解：如图，连接05,OD,AC,

'：ZAOC=80°,

/.ZOAC+ZOCA=100°,

'：NP=30°,

/.NPAO+NPCO=50°,

,?OA=OB,OC=OD,

：.NOBA=NOAB,NOCD=NODC,

：.ZOBA+ZODC=5Q°,

：.ZBOA+ZCOD=260°,

：.ZBOD=360°-80°-260°=20°.

二丽的度数20。.

故选：C.

【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆

心角与弧的度数的关系”是解本题的关键.

【变式3-2](2023・山东烟台・中考真题)如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量

角器的外弧分别交于点N,B,C,D,连接AB,则/84D的度数为.

【答案】52.5°

【分析】方法一：如图：连接由题意可得：OA=OB=OC=OD,

ZAOB=50°-25°=25°,然后再根据等腰三角形的性