2025年中考数学复习：直角三角形的存在性问题 专项练习（含解析）

直角三角形的存在性问题

L如图1,抛物线y=ax2+|x+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C,直线y=-jx-2经过点A、C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.

①当APCM是直角三角形时，求点P的坐标；

②作点B关于点C的对称点B,则平面内存在直线1,使点M、B、B到该直线的距离都相等.当点P在y轴

右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线1：y=kx+b的解析式(k、b可用含m是式子表示).

2.已知二次函数y=ax2+bx-4(a〉0)的图像与x轴相交于A、B两点(A在B的左侧，且OA<OB),与y轴相

交于点C.

(1)求点C的坐标，并判断b的正负性；

(2)设这个二次函数的图像的对称轴与直线AC相交于点D,已知DC：CA=1：2,直线BD与y轴相交于点E,

连接BC.

①若ABCE的面积为8,求这个二次函数的表达式；

②若ABCD为锐角三角形，请直接写出0A长的取值范围.

图1备川图

3定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A(a,b),B(c,d),若点T(x,y)满足x=年,y=工-,那么称点T

是点A、B的融合点.

例如:A(-1,8),B(4,2),当点T(x,y)满足K=三匕=1，＞=手2=2时,则点T(l,2)是点A、B的融合点.

(1)已知点A(-l,5),B(7,7),C(2,4),请说明其中一个点是另外两个点的融合点；『

(2)如图1,点D(3,0),点E(t,2t+3)是直线1上任意一点，点T(x,y)是点D、E的融合点；|

①试确定y与x的关系式；.

-DX

②若直线ET交x轴于点H.当ADTH为直角三角形时,求点E的坐标./

图1

4.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2-2x+n是常数)经过点A(-2,3)、B(-3,0),与y轴的交

点为点C.

(1)求此抛物线的表达式；

⑵点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15。,求线段CD的长度;

(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当ABPC为直角三角形时，求点P的坐标.

5.如图1,已知。O的半径长为1,AB、AC是。O的两条弦，且AB=AC,BO的延长线交AC于点D,联结OA、OC.

(1)求证:AOADs^ABD;

(2)当AOCD是直角三角形时，求B、C两点的距离；

(3)记AAOB、AAODXACOD的面积为S2sS3若S2是S1和S3的比例中项,求0D的长.

B

0

6如图1,四边形ABCD中,/BCD=/D=90。,E是边AB的中点.已知AD=1,AB=2.

⑴设BC=x,CD=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域;

⑵当NB=70。时，求NAEC的度数；

(3)当AACE为直角三角形时.求边BC的长.

ffli

7.如图1,抛物线y=Y+次+c与x轴交于A、B两点,点B的坐标为(4,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求抛物线的解析式；

⑵点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y=x+m与直线BC交于点E,与y轴交于点F,求PE+EF的

最大值；

(3)点D为抛物线对称轴上一点.

①当ABCD是以BC为直角边的直角三角形时，直接写出点D的坐标；

②若ABCD是锐角三角形，直接写出点D的纵坐标n的取值范围.

2

8如图1,在平面直角坐标系中，抛物线(C1：y=ax+bx-1经过点A(-2,l)和点B(-1,-1),抛物线(C2:y=

2x2+x+1,动直线x=t与抛物线Ci交于点N,与抛物线C2交于点M.

(1)求抛物线a的表达式；

(2)直接用含t的代数式表示线段MN的长；

(3)当AAMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；

⑷在⑶的条件下，设抛物线Ci与y轴交于点P,点M在y轴右侧的抛物线C2±,连接AM交y轴于点K,

连接KN,在平面内有一点Q,连接KQ和QN,当KQ=1且/KNQ=NBNP时,请直接写出点Q的坐标.

9.如图，已知在平面直角坐标系中点A的坐标为(-2,0)，点B是点A关于原点的对称点『是函数y=|(%)0)

图像上的一点，且AABP是直角三角形，求点P的坐标.

10.如图，已知在平面直角坐标系中点A的坐标为(-2,0)点B是点A关于原点的对称点F是函数y=：(久)0)

图像上的一点，且AABP是直角三角形，求点P的坐标.

1.满分解答

(1)由y=—[%—2彳导A(-4,0),C(0,-2).

将A(-4,0)、C(0,-2)两点分别代入y=a/+枭+2得-2+；=解得l一2.所以y=次+

2IC=—Z.a=4c=4

-2.

(2)①直线PM与直线AC的夹角保持不变，直角三角形PCM存在两种情况：

⑴如图2,当/MPC=90。时,PC〃x轴.所以P、C关于抛物线的对称轴x=l对称.此时P(-2,-2).

(ii)如图3,当NMCP=90。时作MG±y轴于G作PH±y轴于H.

由APHCs/iCGM狷器=焉•设+刎一2),M(m，一刎一2).

所以—V=却因为n#0，化简，得上=去解得m=6.此时P(6,10).

-m2+-mm-m+-2

②直线1的解析式是y=-总x-2.

ZTTi—4

考点伸展

第⑵题②可以这样思考：如图4,ABB,M的三条中位线所在的直线，每条都满足点M、B、B到该直线的距离

都相等.

2k+b=0,

(i)将B(2,0)、M-|m-2)两点分别代入y=kx+卜得

mk+b=--m—2.

解得k=-表，此时直线1的解析式为y=-2.

-2k+b=0,

(ii)将B'(—2，—4)、M(m>-纲-2)两点分别代入y=kx+b,得

mk+力=--m—2.

解得卜=一段.此时直线1的解析式为y=一”久-2.

2m+4J2m+4

(iii)因为直线BC的斜率k=l,BM的中点为Dgm+1),将点D代入y=x+b得b=-|m-2.此时

直线1的解析式为y=x--m—2.

4AV

OB,

M

2.满分解答

⑴由y=ax2+bx-4,得C(0,-4).

又因为a>0,所以点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴.

由OA<OB,得抛物线的对称轴在y轴右侧，即x=-/>0.所以b<0.

(2)①如图2,因为DHCO黑吟=三

设HO=m,那么OA=2m,HB=3m.\

如图3,因为==\

nUHD3N

c

所以=8.所以CE=4.

如图4,SBCE=^CE-OB=|x4x4m=8m—8.E

所以m=l.此时A(-2,l),B(4,0).

设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x-4).

根据常数项相等，得-8a=-4.所以a=l，

所以抛物线的解析式为y=|(x+2)(%-4)-x-4.

@2V2<OA<4.

考点伸展

第⑵题②可以这样考虑：

①如图5,当乙BEC=90。时.由抛物线的轴对称性，可得/DAB=/DBA=45。.

所以AAHD是等腰直角三角形,AH=HD.所以3m=6.解得m=2.此时OA=4.

②如图6,当NBCE=90。时,ABOCs/^CFD.所以器=5所以等=4

OCFD4m

解得m=此时CM=2V2.

所以当2V2<OX<4时"BCD为锐角三角形.

3.满分解答

⑴因为-1+7=6=3X2,所以.知+4=3xc.

因为5+7=12=3x4,所以.yA+yB=3yc.

所以点C是点A、B的融合点.

⑵①因为点T(x,y)是点D(3,0)、E(t,2t+3)的融合点，所以x=^,y=等,由t=3x-3,2t=3y3得2(3x-3)=3y-3.

整理彳导y=2x-l.

②第一步，确定点H.

如图2,作EE'±x轴于E',作TT_Lx轴于T'.

由注=三=二，得HE，=3H『.

HE'EE13’

所以比H-t=3(如-詈)解得xH=|.所以H(|，0).

第二步，分类讨论直角三角形DTH.

已知.D(3,0),♦(|，0),E(t，2t+3),T(誓，等).

①如图3,如果/THD=90。,那么XT=XH.

解詈=|彳导”|.此时E(|，6).

②如图4,如果/TDH=90。,那么.xt=xD.

解詈=3,得t=6.此时E(6,15).

③不存在/HTD=90。的可能.

考点伸展

已知定点D和定直线1,如果点E在定直线1上，点T是点D、E的融合点，那么点T的轨迹是和定直线1

平行的一条直线.

设D(m,n),直线1为y=kx+b,可设E(t,kt+b).

如果点T(x,y)是点D、E的融合点，那么%=等,y="等2.

由t=3x-m,kt=3y-b-n,,得k(3x-m)=3y-b-n.

整理，得y=kx+若处.这条直线的斜率为k,与直线1平行.

4满分解答

(1)将A(-2,3)、B(-3,0)两点分别代入.y=mx2-2x+n,

f4m+4+n=3,解得*=-1,

付19m+6+ri=0.用牛仲In=3.

所以抛物线的表达式为y=-%2-2x+3.点C的坐标为(0,3).

(2)由B(-3,0)、C(0,3),得/CBO=45。.

如图2,分两种情况讨论/DBC=15。.

①当点D在点C下方时,NDBO/CBO-ZCBDudSO-lSLSO。.

在R3BOD中,/DBO=3(rQB=3,所以0D=V3.

止匕时CD=OC-OD=3-V3

②当点D在点C上方时，记作D,此时/DBO=/CBO+/CBD=45o+15o=60。.

在RtABOD中，Z-D'BO=60°,OB=3,所以0D'=3百.

止匕时CD=OD'-0C=3V3-3.

(3)分三种情况讨论直角三角形BPC.

①如图3,当.Z.PCB=90。时过点C作直线x=-l的垂线垂足为E.止匕时/PCE=45。.所以CE=1,PE=1.所以P(-l,4).

②如图3,当Z.PCB=90。时,设直线x=-l与x轴交于点H,此时/PBH=45。.

所以BH=2,所以PH=2.所以P(-l,-2).

③如图4,以BC为直径做OG,那么。G与直线x=-l的两个交点，就是直角顶点P.

由B(-3,0)、C(0,3),得G(—1，|)设设P(-l,y).

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得GP=所以GP2=

Z4

所以(—1+1)2+(y-|)2=；(32+32).整理，得必一3y-2=0.

解得”亨.此时P(-1，t)或(-1，上/)

考点伸展

第(3)题求解/BPC=90。,也可以构造R3BMPSR3PNC(如图5所示).

由型=型，得Z=工.

MPNC2y-3

整理，得必一3y-2=0.

解得y=过尹.

5满分解答

(1)如图2,因为OA=OB=OC,所以N1=N2,N3=N4.

由弦AB=A。得圆心角NAOB=NAOC.所以Nl=/2=/3=/4.

又因为/ADO=NBDA,所以AOADs/^ABD.

(2)因为等腰三角形的底角不可能为直角，所以不存在NOCD=90。的情况.分两种情况讨论直角三角形OCD:

①如图3,当NODC=90。时,弦心距ODL弦AC,所以BD垂直平分AC,AB=CB.

所以AABC是等边三角形，O是等边三角形的中心.此时BC=V30C=V3.

②如图4,当/COD=90。时,ABOC是等腰直角三角形，此时BC=V20C=V2.

⑶如图5,因为弦AB=AC,所以它们所对应的弦心距相等，也就是说AAOB、AAOD.ACOD的高相等.

当Sz是Si和S3的比例中项时，AD2=AB-CD.

等量代换，得.AD2=AC.S.所以点D是AC的黄金分割点金=黑=合.

C>2A"Z

所以包="=旦.所以。。=渔二。B=渔工.

SiOB222

考点伸展

第⑶题因为St=Sz+S3,S2是Si和S3的比例中项，所以会=会=-1.所以黑=案一1.因为

3]0202UtSUL)

OB=1,所以。。=今一1.解得OD=等.

6满分解答

(1)如图2,作BHLAD,垂足为H.

在RtAABH中.BH=CD=y,AH=BC-AD=x-l,AB=2.

由勾股定理，得必+0—1)2=22.整理，得y=V3+2x-合.定义域是0<x<3.

⑵如图3,设CD的中点为F,联结EF,那么EF是梯形ABCD的中位线.

因为/D=90。,所以EF垂直平分CD.所以Nl=/2.

由EF〃人口〃3(2,可得/8人口=180。-/8=110。,/2=/4.

在AADE中，由AD=AE=1,可得/3=/4=35。.

所以，AAEC=zl+Z2+Z3=35°+35°+35°=105°

图3

(3)直角三角形ACE存在两种情况：

①如图4,当/AEC=90。时，由于AD=AE=BE=1,一方面,CE垂直平分AB;另一方面,AACD丝4ACE.

于是可得CA、CE三等分NBCD.所以NACB=60。.

所以AACB是边长为2的等边三角形.此时BC=2.

②如图5,当NCAE=90。时,△CDAsAAHB.

所以器所以衿号即y2=x-l.

U/inD±y

解方程3+2久—/=x—L得x=1士了,此时BC=计了.

考点伸展

从第⑵题的解题过程可以看出,/l=N2=N4=N3.

设/B=a,那么ZSXD=180°-a.

在AADE中，由于AD=AE,所以N4=43=*所以/-AEC=y.

特别地，当a=70。时，/-AEC=拳=答:=105

第⑴题y随x变化的函数图像为什么是一段圆弧呢?

因为AB=2为定值，所以点B在以A为圆心、2为半径的圆上运动.

如果以D为坐标原点、AD长为单位长度建立平面直角坐标系，那么BC=x的意义就是点B的横坐标，CD=y

的意义就是点B的纵坐标的相反数.

所以y随x变化的函数图像如图6所示

7.满分解答

⑴因为抛物线与x轴交于点B(4,0),设y=(x-4)(x-x2).

代入点C(0,4),得4=4x2.解得x2=1-

所以y=(%—4)(x—1)=x2—5x+4.

(2)第一步，说理，转化.

如图2.由B(4,0)、C(0,4),可得NBCO=45。.

由y=x+m,可知NEFO=45。.

如图3,过点C作x轴的平行线交直线EF于点G.作PHXCGTH.

所以ACFG、ZCEG和ACFE保持等腰直角三角形的形状.

所以PE+EF=PE+EG=PG=V2HP.

第二步，计算.

如图3,设H(a,4),P(a,a2-5a+4),那么HP=4-(a2«5a+4)=-a2+5a.

所以当a=,时，HP取得最大值，最大值=-(f)2+§=今

所以PE+EF的最大值=鱼HP=YV2.

4

(3)①点D的坐标为(|号)或(|e|)

②点D的纵坐标n的取值范围是-1＜几＜手或手＜n＜色

考点伸展

第⑶题的思路是这样的：

如图4,以BC为直角边的直角三角形BCD有2个，1(|号)，4(|一|)以BC为直径的。Q与抛物线的

对称轴有两个交点D,符合乙BDC=90。.求得03gli尹)，。4glz/).

如果ABCD是锐角三角形，那么点D在线段D1D3上或线段外。4上(都不含端点).

8.满分解答

2

(1)将A(-2,l\B(-l,-1)两点分别代入y=ax+bx-L得｛丁二造二，解得a=l,b=l.所以抛物线C1的

表达式为y=x2+x-1.

(2)MN-y^/[—yN=(2/+t+1)—Q?+力—1)=/+2.

(3)先确定直角，再验证是否等腰.分两种情况：

已知4(一2,1),2产+t+1),N(t，t2+t-1).

①当NAMN=90。时,yM=yA.解方程2户+t+1=1得t=0,或t=

当t=0时,AM=2,MN=t2+2=2.所以AAMN是等腰直角三角形(如图2).

当t=—泄，AM=l，MN=t2+2=:所以AAMN不是等腰直角三角形.

②当NANM=90。时,yN=yA.解方程t2+t-1=1,,得t=l,或t=-2.

当t=l时.AN=3,MN=t2+2=3.所以AAMN是等腰直角三角形(如图3).

当t=-2时，直线过点A,所以AAMN不存在.

综上所述，当AAMN是以MN为直角边的等腰三角形时，t=0或t=l.

(4攻口图4,Qi(-l,3),Q2(0,2),Qa(|,£,)Qi(熊/)

考点伸展

第(4)题的解题过程:先来梳理一下A、B、M、N、P、K等6个点.

已知A(-2,l),B(-l,-l),M(t,2t2+t+l),N(t,t2+t-l),P(O,-1).

当t=0时，M(0,1)在y轴上，不在y轴右侧.所以不考虑这种情况.

当t=l时,M(1,4),N(1,1).由A(-2,l)sM(l,4),可得K(0,3)(如图5所示).

再来认识这6个点的位置关系和数量关系.

如图5,由B(-l,-l)、N(l,l).P(O,-1),可得B、N关于原点对称,BN过原点,BP=OP=L

由K(0,3)、P(0—l)sN(l,l),可知点N在KP的垂直平分线上,所以NP=NK.

第一次变换：

如图6,过点N画水平直线y=l,以直线y=l为对称轴，将ANBP翻折，那么点B对应点Q1,点O对应点

Qz,符合KQ=BP=1,ZKNQ=ZPNB.

点关于直线y=l的对应点Qi的坐标是(-1,3);点0(0,0)关于直线y=l的对应点Q?的坐标是(0,2).

第二次变换:

如图7,以K为圆心画单位圆.以直线NK为对称轴，作Qi、Q2的对应点Q3、,那么点QssQ4—XE洛在

圆上,而且弦Q1Q3II弦QzQ*直线NK垂直平分Q1Q3、Q2Q4.

①如图8,