2025年中考数学难点一轮复习：与三角形有关的常考题型（6大热考题型）解析版

难点02与三角形有关的常考题型

（6大热考题型）

题型一：三角形三边关系的应用

题型二：用三角形的高的应用

题型三：三角形中线性质的应用

题型四：与平行线有关的三角形角度计算

题型五：与角平分线有关的三角形内角计算

题型六：平行线间的距离折叠背景下的三角形内角计算

精淮提分

题型一：三角形三边关系的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程/_10》+21=0的两个根，则这个

三角形的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得占=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程--10》+21=0得，占=3,x2=7,

：3+3<7,

•••等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

,这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

【变式1-1］（2024•四川宜宾•中考真题）如图，在V48c中，AB=3&AC=2,以8C为边作RtABCD,

点。与点/在8C的两侧，贝U4D的最大值为（）

【答案】D

【分析】如图，把V48c绕8顺时针旋转90。得到，求解4H=J/S2+BH2=6,结合4DWDH+AH,

，。三点共线时取等号），从而可得答案.

【详解】解：如图，把V48c绕5顺时针旋转90。得到△//B。，

:.AB=BH=3及，AC=DH=2,ZABH=90°,

•*-AH=ylAB2+BH2=6-

VAD<DH+AH,（4〃,。三点共线时取等号），

二40的最大值为6+2=8,

故选D

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，旋转的性质，三角形的三边关系，二次根式的乘法运算，做出合

适的辅助线是解本题的关键.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•广东韶关•模拟预测）如图，人字梯的支架N5NC的长度都为2m（连接处的长度忽略不计），则

B,C两点之间的距离可能是（）

A

AB

A.3mB.4.2mC.5mD.6m

【答案】A

【分析】根据三角形任意一边小于其它两边两边之和求出BC的取值范围，判断各选项即可得的答案.本题

主要考查了三角形的三边关系，掌握据三角形任意一边小于其它两边两边之和是解决问题的关键.

【详解】解：■.■AC=AB=2m,

2-2<BC<2+2,

即0<3C<4.

只有A选项数值满足上述的范围，

故选：A.

2.（2024•云南曲靖一模）菱形的一条对角线长为8,边48的长是方程工2-7工+10=0的一个根，则

菱形4BCD的周长为（）

A.16B.20C.16或20D.32

【答案】B

【分析】本题考查了菱形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程等知识，先解方程得玉=2,%=5,

再根据菱形的性质和三角形三边关系得到=5,即可求解，掌握相关知识是解题的关键.

【详解】解：由题意可知，边的长是方程V-7x+10=0的一个根，

解方程：/-7尤+10=0,

（x-2乂x-5）=0

解得：玉=2,x2=5,

•.•菱形/BCD的一条对角线长为8,

，当三=2时，2+2<8,不能构成三角形，

当％=5时，5+5=10>8,能构成三角形，

AB=5,

...菱形43c。的周长=5x4=20,

故选：B.

3.（2024•河北•模拟预测）如图，嘉嘉将一根笔直的铁丝AB放置在数轴上，点/,8对应的数分别为-5,5,

从点C,。两处将铁丝弯曲两头对接，围成一个三角形，其中点。对应的数为-2,则点。在数轴上对应的

数可能为（）

4c/,PRT

-5-205

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】本题考查数轴上两点的距离、三角形的三边关系、解不等式组，先求得AC,设。对应的数

为x,根据三角形的三边关系列不等式求得得到x的取值范围，进而可作出选择.

【详解】解:设。对应的数为X,

•.,点/,8对应的数分别为-5,5,点C对应的数为-2,

=5-（5）=10,AC——2—5）=3,CD—x—（^—2）—x+2,BD=5—x,

根据题意，AC+CD>BD,CD-AC<BD,

（3+x+2>5—x

则。一,

[x+2—3<5—x

解得0<x<3,

.•.点D在数轴上对应的数可能为2,

故选：A

4.（2024•湖南长沙•模拟预测）已知两个等腰三角形可按如图所示方式拼接在一起，则边/C的长可能为（）

【答案】B

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解题的关键是掌握相关知识.根据等腰三角

形的性质和三角形的三边关系求解即可.

【详解】解：••,VN5C为等腰三角形，

NC为3或4,

/C<ND+CD=2+2=4,

AC=3,

故选：B.

5.（2024•江苏镇江・中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

【答案】6

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键.分两种

情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能

构成三角形，即可得出答案.

【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6,底边长为2,

,/6+6>2,

能构成三角形，

第三边长为6；

当2为一腰长时，则另一腰长为2,底边长为6,

2+2<6,

不能构成三角形，舍去；

综上，第三边长为6,

故答案为：6.

6.（2024•贵州黔东南•二模）某校九年级学生计划前往贵州省博物馆开展一天的研学活动，出发前每班需要

准备一个三角形形状的队旗，下列给出的三边长规格中，可以实现三角形队旗制作的是（）

A.6dm,6dm,12dmB.8dm,4dm,2dm

C.6dm,3dm,10dmD.6dm,8dm,7dm

【答案】D

【分析】本题考查了三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系并运用是解题的关键.根据三角形三

边关系定理，即“三角形任意两边之和大于第三边”、“三角形任意两边之差小于第三边”进行计算，逐一判断

即可解答.

【详解】解：A、♦；6+6=12,.♦.不能组成三角形，故此选项不符合题意；

B、；2+4<8,.•.不能组成三角形，故此选项不符合题意；

C、：3+6<10,.•.不能组成三角形，故此选项不符合题意；

D、；6+7>8,8-6<7,.,.能组成三角形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】

7.（2024・河北邢台•模拟预测）题目：“如图，NB=30。,BC=2,在射线上取一点/,设4c=d,若

对于d的一个数值，只能作出唯一一个V48C,求d的取值范围.”对于其答案，甲答：d>2,乙答：d=\,

丙答：为，则正确的是（）

B.乙、丙答案合在一起才完整

C.甲、乙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才完整

【答案】c

【分析】本题主要考查三角形的三边关系及等腰三角形以及直角三角形的知识，熟练掌握直角三角形的性

质及三角形的三边关系是解题的关键.由题意知，当CA4或C/2BC时，能作出唯一一个V/8C,分这

两种情况求解即可.

【详解】由题意知，当CA4或时，能作出唯一一个YABC,分这两种情况求解即可.

①当。，以时，

VZ5=30°,BC=2,

：.AC=-BC=-x2=l,

22

此时d=1时，能作出唯——个V/3C；

②当。=5C时，

BC=2,

.•.当d22时能作出唯——个V4BC；

综上，当d=1或4N2时能作出唯——个NABC,

故选：C.

8.（2024•江苏南京•模拟预测）如图，为平行四边形，AC=BC,若VN8C腰长为5,则平行四边形

A.28B.30C.32D.34

【答案】A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形三边关系，由四边形是平行四边形，得4B=CD,

AD=BC,从而有/C=3C=4D=5,则平行四边形/BCD周长为243+10,最后由三边关系即可求解，

熟练掌握知识点的应用是解题的关键.

【详解】；四边形/BCD是平行四边形，

AB=CD,AD=BC,

：.AC^BC^AD=5,

二平行四边形/BCD周长为2(48+80)=2/3+10,

在V4BC中，根据三角形三边关系得：0<48<10,

二0<2/8+10<30,

.••选项A符合题意，

故选：A.

9.(2024•贵州贵阳•一模)如图，V48C中，AC=8,。为/C边上一点，且乙403=60。.点。在射线8。

上，且8。=6,连接DC.则/8+DC的最小值是.

【答案】2岳

【分析】构造平行四边形3DCD',则当/、2、携三点共线时48+8。最小，然后依次求出EC,

的长即可.

【详解】解：如图，构造平行四边形助C。'，

CD=BD',BD=CD'=6,

：.AB+CD=AB+BD',

当/、B、"三点共线时48+最小,

过/作/£_LCD'交CD于点E,

在RM/CE中，AC=8,AACE=AAOB=60°,

:.EC=AC•cos60°=4,AE=AC-sin60°=473,

■-AD=>]AE2+D'E2=2V13，

即AB+DC的最小值是2JW.

故答案为：2岳.

【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行四边形的性质等知识点，添加合适的辅助线是解题关

键.

10.(2024•贵州黔南•模拟预测)如图，在V48c中，AC=BC=^,过点A作直线AD18C于点。，E,

尸分别是直线4D,边/C上的动点，且/E=CF,则B/+CE的最小值为.

【答案】V6

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系的应用，

如图，过C作BCLCG,使CG=/C=JL连接GF,G3,证明AGC尸0(SAS),可得GF=CE,

BF+CE=BF+GF>BG,可得3尸+CE的最小值为3G,再进一步利用勾股定理求解即可.

【详解】解：如图，过C作8CLCG,使CG=ZC=6，连接GF,GB,

CG//AD,

ZGCF=ZCAE,

AE=CF,

AGC尸也(SAS),

GF=CE,

：.BF+CE=BF+GF>BG,

尸+CE的最小值为8G,

,:BC=GCM,BCLCG,

2G=+(网2=y/~6,

.•.3/+CE的最小值为几；

故答案为：

11.(2024・四川遂宁•模拟预测)已知等腰三角形的周长12cm,底边长y(cm)是腰长x(cm)的函数.

(1)写出这个函数关系式.

(2)求自变量x的取值范围.

(3)画出这个函数的图像.

【答案】(1»=12-2工

(2)3<x<6

(3)见解析

【分析】本题考查了一次函数关系式、函数自变量的取值范围及函数的图象；

(1)根据等腰三角形的周长计算公式表示即可；

(2)根据构成三角形三边的关系即可确定自变量x的取值范围；

(3)可取两个点，在平面直角坐标系中描点、连线即可.

【详解】(1)解:这个函数关系式为>=12-2X；

(2)由题意得x-尤<12-2尤<尤+x,即0<12-2尤<2x,

解得3<x<6,

所以自变量x的取值范围为3<x<6；

(3)当x=3时，y=6;当x=6时，y=0,函数关系式y=12-2x(3<x<6)的图象如图所示，

题型二：三角形高的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•河北•中考真题）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段5。一定是VN8C的（)

C.中位线D.中线

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线,根据作图痕迹可得L/C,从而可得答案.

【详解】解：由作图可得：BDLAC,

二线段BD一定是VABC的高线;

故选B

【典例2】（2024•山东德州•中考真题）如图，在V/BC中，/£＞是高，/£是中线，AD=4S：=12,

则BE的长为（）

C.4D.6

【答案】B

【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据$。4=12和/。=4求出8。=6,根据4E是中线即

可求解.

【详解】解—B_x5Cx312,g,

BC=6

,：/E是中线，

BE=LBC=3

2

故选：B

【变式2-1］（2024•河北•模拟预测）如图，。是V/3C的边8C上一点，将V/BC折叠，使点C落在8。上

的点C'处，展开后得到折痕AD,则力。是A/3C的（）

BCDC

A.中线B.IWJ线C.角平分线D.中位线

【答案】B

【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），三角形的高线，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.根据折叠

的性质和三角形的高线的定义即可得到结论.

【详解】解：••,将V/3C折叠，使点C落在8c边上，

AADC=ZADB,

ZADC+ZADB=180°,

：.NADC=ZADB=90°,

ADLBC,

是VNBC的高线，

故选：B.

【变式2-2］（2024•陕西西安•模拟预测）如图，在3x3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,点/,

8,C都在网格线的交点上，贝1JV4BC中边BC上的高为（）

2V10VlO4710

5

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出8c的长，再由三角形

面积求出V/2C中边8c上的高即可.熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键.

【详解】解：设VA8C中边2C上的高为力，

由勾股定理得：SC=VI2+32=Vio）

,/S/.=-BC-h=2x3--x2x2--xlxl--x3xl=2,

△"ARCC2222

-Xy/10/l=2,

2

.,2V10

••n=--------,

5

即V/BC中边5c上的高为2叵,

5

故选：B.

【变式2-3］（2024・陕西西安・模拟预测）如图,若力5=4。=5,8。=6,点石为5。的中点,过点月作反，4。

于点凡则斯的长为（）

ZAx

BEC

c9_125

A.2B.—C.—D.-

552

【答案】c

【分析】本题主要考查了等腰三角形性质和勾股定理,连接ZE.由等腰三角形三线合一性质可知

CE=3,再由勾股定理求出/£=J/C2-=4,进而由三角形面积求出高所.

【详解】如图，连接/E.

Ax

BEC

VAB=ACf点石为5C的中点，BC=6,

：.AE1.BC,CE=3,

,：AC=5,

.•.在RMNCE中，AE=y/AC2-CE2=A/52-32=4-

S,=-AE-CE=-ACEF,

aArCF£22

〜AE-CE3x412

..EF=----------=------=——.

AC55

故选C.

【中考模拟即学即练】

1.(2024・重庆•三模)如图，V48c中，于点。，AB,CE于点、E,CE与2。相交于点H,已知

AD=HD=2,CD=6,贝1JVN8C的面积为.

【答案】24

【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，根据ASA证明△NDB0ZVTOC,得到BD=CD=6,再根

据V/8C的面积解答即可求解，证明名△加C是解题的关键.

【详解】解：'：BDLAC,CE1AB,

：.ZHDC=ZADB=NAEC=90°,

N/+NHCD=90°,ZDHC+ZHCD=90°,

N4=ZDHC,

在AADB与LHDC中,

'ZA=ZDHC

,AD=HD,

ZADB=ZHDC

：.△ADB知HDC(ASA),

BD=CD=6,

：/C=/D+CD=2+6=8,

/.VJSCWffi^=-^C«fiD=-x8x6=24,

2J2

故答案为：24.

2.(2024・安徽・模拟预测)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的8x8网格中，V/2C的顶点均

为格点(网格线的交点).

(1)将V4BC向右平移1个格，再向下平移3格，画出对应的△4B1G；

(2)仅用无刻度直尺作出△4与G的高4P.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)根据平移的性质求解即可；

(2)根据网格线的特点取格点G,连接/G交4G于点P,4尸即为所求.

【详解】(1)解：如图所示，△同qG为所求；

(2)解：如图所示，4P为所求.

MD

取格点。，连接/G交用£于点尸，4尸即为所求;

取格点N,与qG相交于点G,

•:A、M=B、N,ClN=MD,AAXMG=/LBXNCX

：.A&AO知耳NG(SAS)

Z.ZMAtD=NNBG

NNBG+组GM=9(P,ABfiM=ZAGCt

：.ZAGQ+ZGAD=90°

.•./4PG=90。，点尸即为所求

3.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）实践操作：如图，在5x5正方形网格中，每个小正方形的边长都为1,线段

（1）作出一个面积等于9个平方单位的VN8C,使得点C落在格点上；

（2）在（1）的条件下，作出V/BC最大边上的高，垂足为。，并保留作图痕迹.

【答案】（1）见解析

（2）见解析

【分析】本题考查格点作图，三角形的面积，勾股定理.

（1）设V/BCN8边上的高为〃，利用勾股定理求出=30，再根据三角形面积公式得到〃=3及，取格

点尸，Q,利用格点的性质，易得PQ上4B,连接尸。交NB于格点再取格点G,延长尸。交过格点G的

竖网格线与格点C,格点C即为所求；

（2）根据格点的性质，取格点E,连接BE,交/C于点。，易得即AD为所求.

【详解】（1）解：设V48c48边上的高为人

；Lx9,=M+=3也，

h=3^2>

如图所示，格点。即为所求；

（2）解:如图所示，AD为所求.

4.(2024•湖北武汉•模拟预测)如图，在7x7的正方形网格中，A,B,C均为小正方形的顶点，仅用无刻度

的直尺画图，保留画图痕迹.

图I图2

(1)在图1中，点。为8c与网格线的交点，先将点。绕点C顺时针旋转90。，画出点。的对应点E,再在BE

上找点尸，使E4=FE；

(2)在图2中，先找点^AM=^AB,S.ZCAM=ZBAC,再在/C上找点N,使

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】(1)作出线段8C绕点C顺时针旋转90°得到的线段HC,HC与网格线的交点即为点。的对应点E,

连接BE,取的中点为G,作G尸〃/E交3E于点尸，根据平行线分线段成比例可知竺=要=1,即

EFAG

FE=-BE,在Rt^4BE中，4尸为斜边上的中线，AF=-BE,即有E4=FE；

22

(2)将线段/C向下平移2个单位得到G。(G为中点)，作G。的垂线PG,再将线段ZC向上平移2个

单位与尸G的交点即为点M,则有GS=MS,易得A/GS丝ANMS(SAS),即有==且

ZCAM=ABAC,取。。=5,连接GO交/C于点N,利用相似三角形性质即可推出5^^=.

【详解】(1)解：所作点。的对应点E,以及点尸，如下图所示:

H

Ml

(2)解：所作点〃，点N如图所示:

vAM=AG,/MAN=/GAN,AN=AN，

「.△/GN义△/MV(SAS),

•Q=S

…n"GN-©AAMN'

'-AG//OQ,

:"GAN=/GO。,

vZGNA=ZONC,AC//GQ,

：.ZOGQ=ZONC9

:.ZOGQ=ZGNA,

■.AOGQSAGA3,且相似比为92=3,

-AG2

.S.OGQ_25

：S,OG°=gx5x4=10,

,<_v_10x4_8

…*AMN-D"GN———u，

••点N满足S凶.=不，\ABC-

【点睛】本题考查复杂作图，旋转作图，平移作图，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，直

角三角形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

题型三：三角形中线性质的应用

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•黑龙江绥化•中考真题）已知：VABC.

（1）尺规作图：画出V/BC的重心G.（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

⑵在（1）的条件下，连接NG,BG.已知A/BG的面积等于5cm2,则V/8C的面积是

【答案】⑴见解析

⑵15

【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线；

（1）分别作8C,/C的中线，交点即为所求；

S2

（2）根据三角形重心的性质可得寸=弓，根据三角形中线的性质可得又咏=2S”加=15cn?

^^ABD3

【详解】（1）解：如图所示

作法：①作3C的垂直平分线交BC于点D

②作AC的垂直平分线交AC于点F

③连接4。、8尸相交于点G

④标出点G,点G即为所求

（2）解：是VN8C的重心，

：.AG=-AD

3

.S«ABG_2

S.ABD3

AABG的面积等于5cm2,

•,S、ABD=7.5cm2

又：。是8C的中点，

S.ABC=2s“BZ>=15cnr

故答案为：15.

【变式3-1］（2024•河北唐山•三模）对于题目：如图1,在钝角V/BC中，AB=5,BC=3,NC边上的中

线BD=2,求V/3C的面积.李明想到了如图2和图3所示的两种作辅助线的方法.

方法一方法二

则下列说法正确的是（）

A.只有方法一可行B.只有方法二可行

C.方法一、二都可行D.方法一、二都不可行

【答案】C

【分析】图2中，证明A4DE0ACDB（SAS）,则/E=3C=3,ZAED=Z.CBD,/E〃BC,证明四边形/3CE

是平行四边形，则又48c=：S5CE=LBE，由/£2+砧2=482，可知“劭是直角三角形，N4EB=90°,

则=二邑金；血*6；可判断方法一可行；图3中’由题意知，如是“C尸的中位线，则

AF=2BD=4,由2尸+/尸=/炉，可知△“朋是直角三角形，ZAFB=90°,则邑盘==6；

可判断方法二可行.

【详解】解：图2中，VED=BD=2,ZADE=ZCDB,AD=CD,

AADE^CDB（SAS）,

:.AE=BC=3,NAED=NCBD,

AE//BC,

，四边形/BCE是平行四边形，

,,S./BC=5^oABCE=S"ABE'

•••32+42=52,

•*-AE?+BE?=AB?，

是直角三角形，ZAEB=90°,

S、ABC=S.ABE=xBE=6;方法一可行；

图3中，由题意知，3。是△/（?尸的中位线，

二AF=2BD=4,

,/32+42=52，

BF-+AF2=AB2，

，必是直角三角形，ZAFB=90°,

.-.SAABC=^BCXAF=6；方法二可行；

故选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线等

知识.熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理的逆定理，中位线是解题

的关键.

【变式3-2］（2024•云南昆明•二模）如图，AD,CE是VNBC的两条中线，连接E/X若凡六0=16,则阴

影部分的面积是（）

B

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查的是三角形的中线，熟记三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键.根

据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分计算即可.

【详解】解：是V48。的中线,号加=16,

^^ABD=^^ABC=_X16=8,

•・•£是45的中点，

-S^BED~]S^ABD=4,

故选：B

【中考模拟即学即练】

1.（2024・安徽蚌埠•模拟预测）如图，A4BC的面积为10,点。，E,尸分别在边AB,BC,C4上，AD=2,

D8=3,的面积与四边形。2£尸的面积相等，贝!的面积为（）

【答案】C

【分析】本题考查三角形面积性质的应用，可通过作辅助线的方法，做此题时注意理清各个三角形面积之

间的关系.

由题意可知的面积和四边形D3E尸的面积相等，可通过连接。E,OC的方法，证明出龙〃/C,进而

求出ABOC的面积，然后即可求出答案.

【详解】解：连接。E,OC.

,••3vADE_=nS^FDE，

•..两个三角形有公共底。£,且面积相等,

.••高相等，

DE//AC,

从而可得：SMDE=S&CDE,

•V-c

••2"BE-JBDC，

又AD=2,DB=3,

33

S4BDC=sS"8c=丁1°=6,

即^AABE=6，

故选：c.

2.（2024・安徽六安・模拟预测）如图，40是V/5C的中线，点£是4。的中点，连接CE并延长，交于

点、F,若45=6.则Z尸的长为（）

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中线，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的

关键.过点4作平行线交CF延长线于点G,可得LAGFs△CBF4GEsMDE,通过比例式即可

AF1

求出,=彳，即可解决问题•

FB2

【详解】解：过点4作平行线交CF延长线于点G,

△AGFsABCF,AAGEs△DCE,

AFAGAG_AE

而一茄，而一茄’

点E是40的中点，

AGAE1

五=访j

AG=CD,

；40是V48c的中线,

BD=CD,

：.AG=CD=BD,

.AFAG1

：.AF=-AB=2,

3

故选：B.

3.（2024•上海浦东新•一模）如图，在V/2C中，AB=4,AC=6,£为5c中点，4D为V4BC的角平分线,

VABC的面积记为S1,VADE的面积记为S2,则S2:St=.

【答案】1:10

【分析】此题考查角平分线的性质，关键是根据三角形中线的性质和角平分线的性质得出面积关系解答.根

据三角形中线的性质和角平分线的性质解答即可.

【详解】解：过点〃作。

•.•4D为V/3c的角平分线,

DM=DN,

VAB=4,AC=6,E为3c中点,

•*‘VABE=AEC

ABC，

-ABDM.c

Sc

NABD_2=i=1

S、瓯-AC-DN63

2

X

设SvABD=2x,SvADC=3x,则SvABC=5x,SvABE=AEC='^，

c5

3x——x[

贝nl匹c=___2_」，

H5x10

故答案为：1:10.

31

4.（2024・湖北随州•二模）如图，点A在反比例函数y=—-的图象上，ZB/x轴于点B,已知点8,C关于

x

原点对称，贝IJV48c的面积为.

3

【分析】根据题意先求出屋”。=2,再根据点3,C关于原点对称得到S"c=25.。计算即可.本题考查

了反比例函数上值的几何意义，熟练掌握左值几何意义是关键.

【详解】解：.•,点A在反比例函数＞=3的图象上，无轴于点8,

X

..SnABO=5，

•点3,C关于原点对称，

BO=CO,

―3.

S/Bc=2s“BO=2x耳=3.

故答案为：3.

5.（2024•河南新乡•三模）如图是正方形网格，请仅用无刻度的直尺，分别根据下列要求画出图形，并用实

线保留作图痕迹.

⑴请在图（1）中的线段48上作点。，使最短；

（2）请在图（2）中.在上找一点M、使得CM平分V48c面积；

（3）访在图（3）中，在2C上找一点N,使得4N将V/2C分成面积比为2:3的两部分（找到一个即可）.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)见解析

【分析】本题考查网格作图，三角形中线的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相关的知识是解题的关

键.

(1)根据网格的特点和垂线段最短画图即可；

(2)根据三角形中线的性质找到的中点即为所要求作的点M；

(3)构造相似三角形利用相似三角形的性质将8C分成2:3的两部分，连接/N,即为所求.

【详解】(1)如图所示，点。即为所求；

(2)如图所示，点用■即为所求；

BE//CF,

：.ABENSKFN

.BEBN_2

''FC-CW"3

.S"=BN=2

,•S.ACNCN3-

6.(2024•陕西西安・模拟预测)如图，在V/3C中，ND是5c边上的中线，请用尺规作图法在NC边上作一

点P，使得4sA(保留作图痕迹，不写作法)

【分析】本题考查了尺规作图一作垂线,与三角形中线有关的面积的计算,分别以点A、C为圆心，大于:/C

的长度为半径画弧，交于M、N,作直线"N角/C于点P,点尸即为所求，熟练掌握以上知识点并灵活

运用是解此题的关键.

【详解】解：如图，点尸即为所求，

A-热

B:加DC

Z

•.・在VN8C中，40是8c边上的中线，

••S4ABe=2s丛ACD，

由作图可得：垂直平分4C,

/.AP=CP,

=，

一•V»"CD—乙Q屋APD»

,•,VQ&ABC=4QrkJ^APD•

7.(2023•山东青岛・二模)【模型】

同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比.

D

图1图2图3

MENF°

图4图5

S^ABD__BD

己知，如图1,V/2C中，。为线段BC上任意一点，连接N。，则有：

S.ACJCD-

【模型应用】

(1)如图2,任意四边形43co中，E、尸分别是43、C。边的中点,连接C£、AF,若四边形N3CO的

面积为S,则S四边形4ECF=___________-

(2)如图3,在任意四边形ABC。中，点£、尸分别是边4B、C。上离点A和点。最近的三等分点,连接

AF,CE,若四边形的面积为S,贝”四边/烟=.

(3)如图4,在任意四边形/BCD中，点E、尸分别是边48、CD上离点B和点。最近的〃等分点,连接

AF,CE,若四边形48co的面积为S,贝!|S四边形A£CF=.

【拓展与应用】

(4)如图5,若任意的十边形的面积为100,点K、L、M、N、。、P、。、五分别是/8、CD、DE、

EF、FG、HI.IJ、〃边上离点A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分点，连接应、DK、DR、

MJ、NJ、FQ、OI、GP,则图中阴影部分的面积是.

【答案】［模型应用］⑴工⑵《；(3)巴工；［拓展与应用］⑷75

【分析】本题考查了四边形面积、三角形面积、三角形的中线性质以及多边形面积等知识；

［模型应用］(1)由三角形的中线性质得S“Ec=gS"BC，即可解决问题；

(2)连接NC,由模型得14EC=；S_BC，即可解决问题；

(3)连接NC,由模型得邑双=’5向c，S=-S^，根据S四边形题中=S四边形8CD—(S^BEC+S“DF),

AADFACD即可

nn

求解；

4-13

-

［拓展与应用］(4)连接4。、JE、IF,由(3)得：S四边形成QK=一^S四边形45CZ)=四边形438，问理，

333

S四边形MW=四边形400,S四边形力陷=四边形曲7，S四边形1OGP=7s四边形ZFG"，根据

-

S阴影S四边形或OK+S四边形应乂0+S四边形加世+S四边形/0GP，即可求解.

【详解】解：［模型应用］((1)E,f分别是ZB、C。边的中点,

AE=-AB,CF=-CD,

22

q

--Dv"EC-—J2_v^ABC，口AAFC--J_2v"CD，

,S四边形4BC。=SaABC+S^ACD，S四边形NEC尸=^AAEC+^AAFC，

.c3=£

一“四边形NECT-2"四边形ZBCD—2

故答案为：-

(2)如图，连接NC,

•・•点E、尸分别是边48、C。上离点A和点C最近的三等分点,

AE=-AB,CF=-CD,

33

•V-J_VV-J_V

一口"EC-3Q"BC9口AAFC_3^^ACD，

c_c_I_c

,S四边形43cZ>=S^ABC+S4CD，2四边形NEC产一°AAEC丁3AFC，

,,,S四边形ZECE-]S四边物88~~

故答案为：—

(3)如图，连接/C,

A

D

F点、E、厂分别是边48、CD上离点B和点。最近的〃等分点,

E

BaC

:.BE=-AB,DF=-CD,

nn

・q-J_v

一口sABEC~304ABe'口"DF-Q&ACD，

nn

S四边形”。尸-S四边形a)一(SABEC+S"DF)‘

§四边形4&C£>=S“BC+S&ACD，5

S四边形"C户-S四边形48co-(S.BEC+S"DF)

=S四边形A5C7)(SAZBC+S“CD

n

=S四边形45coS四边形N6CZ)

n

7

n

上S,

n

W—1

故答案为：—S；

n

［拓展与应用］(4)如图，连接4。、JE、IF,

z4-13

由（3）得：5四边形成Z）K=一^一S四边形45cz>=四边形ABCD

_3小四…3

同理，S四边形电）w=-S四边形4DEJ，S四边形力忸0S四边形QGP=1S四边形ZFG”，

•S十边形HBCDEFGHU='四边形46。+S四边形"汨/十”四边形㈤7十。四边形/FGH，

-S阴影二S四边形&/）K+S四边形应）M/+S四边形川理+S四边形/OGP

3333

二S四边形43s+^四边形/。Q+—S四边形的十-S四边形/以汨

3

二W（S四边形/5C。+$四边形/QE7+$四边形㈤;y+$四边形皿汨）

—34°十边形4BCDEFGHIJ

3

=-xlOO

4

=75,

故答案为：75.

题型四：与平行线有关的三角形角度计算

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•黑龙江大庆•中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行,

小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得N1=N2=59。；小铁把纸带②沿G8折

叠，发现GD与GC重合，HF与HE重合.且点C,G,。在同一直线上，点E,H,厂也在同一直线上.则

下列判断正确的是（）

GD

BAHF

A.纸带①、②的边线都平行

B.纸带①、②的边线都不平行

C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

【答案】D

【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得N1=N/A3=59。，利用三角形内角和定理求得氏4=62。，

再根据折叠的性质可得N/5C=4DA4=62。，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，

ZCGH=NDGH,AEHG=ZFHG,由平角的定义从而可得N£”G=NFHG=90°,ZCGH=ZDGH=90°,

再根据平行线的判定即可判断.

【详解】解：对于纸带①，

Zl=Z2=59°,

Zl=ZADB=59°,

ZDBA=180°-59°-59°=62°,

由折叠的性质得，ZABC=ZDBA=62°,

Z2丰NABC，

对于纸带②，由折叠的性质得，ZCGH=ZDGH,ZEHG=ZFHG,

又：点C,G,。在同一直线上，点E,H,尸也在同一直线上，

AZCGH+ZDGH,EHG+NFHG=180°,

：.ZEHG=ZFHG=90°,ZCGH=ZDGH=90°,

Z.NEHG+NCGH,

J.CD//EF,

综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行,

故选：D.

【点睛】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定

和折叠的性质是解题的关键.

【变式4-1］（2024・广东中山•模拟预测）将一副三角板（NE=30°）按如图方式摆放，使EF//AB,则NFPC=

（）

A.105°B.115°C.75°D.90°

【答案】