2025年中考数学难点一轮复习：多边形和平行四边形常考题型（5大热考题型）解析版

难点05多边形和平行四边形常考题型

（5大热考题型）

题型一：多边形的内角和

题型二：多边形的外角和

题型三：平行四边形的性质

题型四：平行四边形的判定

题型五：三角形中位线的性质

题型六：平行线间的距离折叠背景下的三角形内角计算

R糖淮握分

题型一：多边形的内角和

【中考母题学方法】

【典例1】（2024•山东青岛•中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形/BCDE和

正方形CDFG中，CF,DG的延长线分别交NE,48于点N,则/™E的度数是（）

【答案】B

【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键.

根据正五边形的内角的计算方法求出/CDE、NE,根据正方形的性质分别求出NCD尸、/CFD,根据四

边形内角和等于360。计算即可.

【详解】解：•••五边形/8CQE是正五边形,

.（5-2）x180。

..ZCDE=ZE=---------------=108°,

5

•..四边形CZ）FG为正方形，

AZCDF=90°,ZCFD=45°,

，/五D£=108°-90°=18°,/DFM=180°—45°=135°,

Z™E=360°-18°-135°-108°=99°,

故选：B.

【典例2】（2024•吉林长春•中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中

正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则/a的大小为（）

A.54°B.60°C.70°D.72°

【答案】D

【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关

键.

根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论.

【详解】解：Na=180。-（5-2,8。。=72°,

故选：D.

【变式1-1］（2024•河北•中考真题）直线/与正六边形N8CDE尸的边分别相交于点N,如图所

示，贝（）

CD

A.115°B.120°C.135°D.144°

【答案】B

【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键.

先求出正六边形的每个内角为120。，再根据六边形MBCDEN的内角和为720°即可求解ZENM+NNMB的

度数，最后根据邻补角的意义即可求解.

62X180

【详解】解：正六边形每个内角为：（-）\120O,

6

而六边形MBCDEN的内角和也为（6-2）x180。=720。，

ZB+ZC+ZD+ZE+ZENM+ZNMB=720°,

：.ZENM+ZNMB=720°-4xl20°=240°,

J3+ZENM+a+ZNMB=lS00x2=360°,

.•.&+£=360°-240°=120°,

故选：B.

【变式1-2］（2024•宁夏•中考真题）如图，在正五边形N3CDE的内部，以。。边为边作正方形,连

接BH,PIOABHC=°.

【分析】本题考查正多边形的内角问题，正方形的性质，等腰三角形的性质等.先根据正多边形内角公式

求出/BCD,进而求出NBC〃，最后根据8C=HC求解.

【详解】解：：正五边形/3CQE中，ZBCD=1x(5-2)xl80°=108°,BC=DC,

正方形CDW中，ZHCD=90°,HC=DC,

NBCH=NBCD-NHCD=108°-90°=18°,HC=BC,

NBHC=NHBC,

Z5/7C=1(180o-Z5CH)=1x(180°-18o)=81°,

故答案为：81.

5.(2024・山东日照•中考真题)一个多边形的内角和是1080。，则这个多边形是边形.

【答案】八

【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为(〃-2)x180。是解答本题的关键.根

据多边形内角和公式求解即可.

【详解】设这个多边形是〃边形,

由题意得(-2)180。=1080。,

解得»=8,

,这个多边形是八边形.

故答案为：A.

【变式1-3](2024・四川广元•中考真题)点厂是正五边形/5CAE边DE的中点，连接8尸并延长与CD延长

线交于点G,则N3GC的度数为.

【分析】连接B。，8E,根据正多边形的性质可证/BE也ACBD(SAS),得至1」8£=加，进而得到BG是。E

的垂直平分线，即/D尸G=90。，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到/EDG=72。,

再根据三角形的内角和定理即可解答.

【详解】解：连接8。，BE,

五边形ABCDE是正五边形，

:.AB=BC=CD=AE,N4=NC

：.AABE%CBD(SAS),

/.BE=BD,

:点尸是DE的中点，

/.BG是DE的垂直平分线，

NDFG=90°,

在正五边形ABCDE中，ZCDE=(5-2卜180=趣不，

5

ZFDG=180°-ZCDE=72°,

ZG=180°-ZDFG-ZFDG=180°-90°-72°=18°.

故答案为：18。

【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角

和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键.

【变式1-4］（2024•甘肃临夏•中考真题）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏根.”图1窗根的外边框为正六

边形（如图2）,则该正六边形的每个内角为。.

【答案】120

【分析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质.掌握〃边形内角和为（"-2）x180。和正多边形的每个内

角都相等是解题关键.根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为720。，再除以6即可.

【详解】解：：正六边形的内角和为（6-2卜180。=720。，

正六边形的每个内角为720°+6=120。.

故答案为：120.

【变式1-5］（2024•山东威海•中考真题）如图，在正六边形48cDE/中，AH//FG,BI1AH,垂足为

点/.ZEFG=20°,贝.

【答案】50。/50度

【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角

为120。，即/£/弘=/E43=120。，则可求得NGE4的度数，根据平行线的性质可求得NE48的度数，进而

可求出AHAB的度数，再根据三角形内角和定理即可求出AABI的度数.

【详解】解：•••正六边形的内角和=（6-2）x180=720。，

每个内角为：720。+6=120。，

NEFA=NFAB=120°,

ZEFG=20°,

ZGK4=120°-20°=100°,

AH//FG,

ZFAH+ZGFA=^0°,

ZFAH=180°-AGFA=180°-100°-80°,

AHAB=ZFAB-ZFAH=120°-80°=40°,

BIVAH,

ABIA=90°,

.,.43/=90°-40°=50°.

故答案为：50°.

【中考模拟即学即练】

1.（2024•山西•模拟预测）如图，将正五边形纸片/3CDE沿BP折叠，得到△3。'尸，点C的对应点为点C，,

8C'的延长线交。£■于点尸，若DF=EF,则/APC的度数为（）

【答案】B

【分析】本题考查了正多边形的内角和，折叠的性质，三角形内角和定理等知识.熟练掌握正多边形的内

角和，折叠的性质，三角形内角和定理是解题的关键.由正五边形纸片ABCDE,可得

ZABC=ZC=I'。*（5-2）=10S>,由。下=斯，可得ZFBC=-ZABC=54°,由折叠的性质可知，

52

ZBC'P=ZC=108°,NC'BP=ZCBP=-ZFBC=27,根据NBPC'=18。。-ZBC'P-ZC'BP,求解作答即

2

可.

【详解】解：：正五边形纸片/8CDE,

.・"C=/C『x（5一2）“

5

•/DF=EF,

NFBC=L/ABC=54°,

2

由折叠的性质可知，ZSCP=ZC=108°,2CBP=2CBP=L/FBC=2T,

2

ZBPC=180°-ZBC'P-ACBP=45°,

故选：B.

2.（2024・吉林长春•模拟预测）如图，三个正方形一些顶点已标出了角的度数，则x的值为（）

30。/V/124^^

1______________________c

A.30B.39C.40D.41

【答案】D

【分析】本题考查多边形的内角和公式，多边形的内角和等于（边数-2）xl80°,先根据多边形的内角和公

式计算出内角和，再根据各个角的度数建立方程，解方程即可求得答案

【详解】解：根据题意得，三个正方形与下面的图像构成一个九边形，

九边形的内角和为：（9-2）x180°=1260°,

30°+124°+75°+x°+2x90°+3x270°=1260c,

解得x=41,

故选：D.

3.（2024・湖南・二模）如图，在四边形4BC7）内部，若NC=78。，5=66。,Z£=40°,贝!J/l+N2=

（）

D

-----------

A.36°B.76°C.140°D.176°

【答案】B

【分析】此题考查了三角形和四边形内角和，解题的关键是掌握以上知识点.

首先根据三角形内角和定理得到/£/3+/6以=180。-/£=140。，然后根据四边形内角和求解即可.

【详解】•；/£=40。

ZEAB+ZEBA=180°-/£=140°

ZC=78°,ZZ）=66°,

Zl+Z2=360°-ZD-ZC-ZEAB-ZEBA=76°.

故选：B.

4.（2024・湖南•模拟预测）如图，将任意四边形纸片剪掉一角得五边形，设四边形纸片与五边形纸片的内角

和的度数分别为。和£,则下列关系正确的是（）

A.B—a=0B.a=180°

C.Z?-a=270°D.£-a=360。

【答案】B

【分析】本题考查了多边形内角和问题，掌握多边形内角和公式是解题关键.先求出四边形纸片与五边形

纸片的内角和的度数，再求解即可.

【详解】解：•.•四边形的内角和a=（4-2）x180=360。,五边形的内角和尸=（5-2*180。=540。，

.-.^-«=540P-360°=180°,

故选：B.

5.（2024•湖南长沙•模拟预测）小强用一些完全相同的等腰三角形纸片（图中VN3C）拼接图案，已知AC=BC,

NB=72。.若按照如图所示的方法拼接下去，则得到的图案的外轮廓是（）

A.正四边形B.正五边形C.正六边形D.正七边形

【答案】B

【分析】本题主要考查了多边形的外角的性质与内角的性质等知识点，先求出/C4B的度数，再求出图中

正多边形的每一个内角的度数，进而求出答案，熟记正多边形的性质是解题的关键.

【详解】解：,；/C=JBC,4=72°,

NA=NB=72°,

：.4cs=180°-72°-72°=36°,

多边形的每一个内角的度数为：72。+36。=108。，

:多变形的每一条边相等，

,多变形为正多边形，

.•.正多边形的边数等于：360。+（180。-108。）=5,

故选：B.

6.（2024•江苏南京•模拟预测）如图，在正六边形48cZ）跖中，48=6,点M在边/尸上，且4W=2,若

经过点W的直线/将正六边形面积平分，则直线/被正六边形所截的线段长是.

CD

【答案】4&

【分析】本题考查的是勾股定理，等边三角形的性质和判定，正多边形的知识，掌握“正六边形既是轴对称

图形也是中心对称图形”是解本题的关键.

如图，连接/2。尸，交于点O,作直线交CO于a,过。作。尸，/尸于P,由正六边形是轴对称图形

可得：S四边"BCO=S四边形3EFO,由正六边形是中心对称图形可得：S.AOM=SADOH，S*M0F=S.CHOQM=OH,可

得直线平分正六边形的面积，。为正六边形的中心，再利用直角三角形的性质可得答案.

【详解】解：如图，连接CF,交于点。，作直线MO交于打，过。作。尸，/尸于尸，

4PF

由正六边形是轴对称图形可得：S四边形Z6C。=S四边形DEEO，

由正六边形是中心对称图形可得：S.AOM=S.DOH，S.MOF=S.CH。，0M=0H,

•・.直线MZ平分正六边形的面积，O为正六边形的中心.

由正六边形的性质可得：ZXOF=360°4-6=60°,

**•^AOF为等边三角形，

：.ZAFO=60°,AF=OF=OA,

•：AB=6,OPLAF,

：.AB=AF=OF=OA=6,AP=FP=3,

「・OP=762-32=373，

•.*AM=2,贝1J依=1,

/.OM=+0仆『=277,

：.MH=2OM=^H.

故答案为：4近.

7.（2023•山东济南・三模）将正六边形与正方形按如图所示摆放，且正六边形的边N8与正方形的边CQ在

同一条直线上，则/80C的度数是.

【答案】30。/30度

【分析】本题考查了正多边形的内角问题，先根据多边形的内角和公式求出正六边形的内角，然后根据正

多边形内角与外角的互补，求得正六边形和正方形的外角，最后根据三角形的内角和即可求得/80C的度

数.

【详解】解：•.・图中五边形为正六边形，

Z^SO=1x（6-2）xl80o=120°,

ZOSC=180°-120°=60°,

•.•正方形中。CLCD,

ZOC5=90°,

..ZBOC=180°-90°-60°=30°,

故答案为：30°.

8.（2024•陕西•模拟预测）如图，在正五边形4BCDE中，相交于点尸，连接8尸，则NC77的度数

是.

【分析】根据五边形48CDE是正五边形，求出NCDE=/DE/=108。，再根据等腰三角形的定义及三角形内

角和定理求出/瓦%=/£>/£=36。，同理得NDEC=36。，再求出/DFE=108。，证明"FE■会ACFD,得到

AF=CF,再证明△NB尸出△CAP,推出NCFB=N/FB=L/AFC=L/OFE,即可解答.

22

【详解】解：：五边形488E是正五边形,

・•.N8E="EN=I^2LIO3,

•：DE=AE,

ZEDA=ZDAE=1(180°-NDEA)=36°,

同理ZDEC=36。，

/.ZDFE=180°-/DEF-ZEDF=180-36°-36°=108°,

•・•ZDEF=/EDF,ZEDF=/EAD,

/./DEF=ZEAD,

・；/DEF=/DCE,

ZDCE=NEAD,

•・•ZAFE=/CFD,CD=AE,

:.^AFE^CFD,

AF=CF,

/BAE=/BCD,/DAE=ZDCE,

:./BAE-/DAE=/BCD-ZDCE,即/BAF=/BCF,

,;BF=BF,

:.^ABF=^CBF,

/./CFB=ZAFB=-ZAFC=-ZDFE=54°,

22

故答案为：54°.

【点睛】本题考查正多边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，

熟练掌握正多边形的性质是解题的关键.

9.（2024・山西大同・二模）推光漆器是山西省著名的传统手工艺品.如图是小明妈妈的一个平遥推光漆器的

首饰盒，其俯视图是正八边形，小明好奇它的一个内角的度数，但他没有量角器，请你帮他计算这个正八

边形的一个内角度数为_____.

【答案】135°/135度

【分析】本题考查了正多边形的内角和定理.根据多边形内角和定理：（«-2）-180°（"23且〃为正整数）

求出内角和，然后再计算一个内角的度数即可.

【详解】解：正八边形的内角和为：（«-2）180°=1080°,

每一个内角的度数为：1080。+8=135。，

故答案为：135。.

题型二：多边形的外角和

【中考母题学方法】

【典例1】（2024・山东・中考真题）如图，已知48,BC,CD是正〃边形的三条边，在同一平面内，以BC

为边在该正〃边形的外部作正方形5cMN.若N/5N=120。，则〃的值为（）

A.12B.10C.8D.6

【答案】A

【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多

边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.

【详解】解：：正方形3cAW,

ZNBC=90°,

,/ZABN=110°,

：.ZABC=360°-90°-120°=150°,

正n边形的一个外角为180。-150。=30。，

〃的值为36器0°=12；

故选A

【变式2-1]（2024•西藏・中考真题）已知正多边形的一个外角为60。，则这个正多边形的内角和为（）

A.900°B.720°C.540°D.360°

【答案】B

【分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可

得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键.

【详解】解：•••正多边形的一个外角为60。，

正多边形的边数为360。+60。=6,

...这个正多边形的内角和为180。*（6-2）=720。，

故选：B.

【变式2-2]（2024•内蒙古赤峰•中考真题）如图，是正〃边形纸片的一部分，其中/,根是正〃边形两条边

的一部分，若/，机所在的直线相交形成的锐角为60。，则〃的值是（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和360。除以外角度数即可求解,

掌握正多边形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，直线/、机相交于点A,则N/=60。，

•.•正多边形的每个内角相等,

.•.正多边形的每个外角也相等,

.・/，2=丁=6。。，

••.”="6,

60°

故选：B.

【变式2-3］（2024•四川遂宁•中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了一个内角和为1080。

的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为"，先根据内角和求出正多边形的边数，再

用外角和360。除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键.

【详解】解：设这个正多边形的边数为“，

则（〃一2）x180。=1080。,

〃=8,

，这个正多边形的每个外角为360。+8=45。，

故选：C.

【变式2-4］（2024•江苏徐州•中考真题）正十二边形的每一个外角等于度.

【答案】30

【分析】主要考查了多边形的外角和定理.根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到

每一个外角的度数.

【详解】解：：多边形的外角和为360度，

正十二边形的每个外角度数为：360°4-12=30°.

故答案为：30.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・广东•模拟预测）若一个多边形的内角和是它的外角和的8倍，则该多边形的边数为（

A.19B.18C.17D.16

【答案】B

【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的综合，先设多边形的边数为〃条，因为一个多边形的内角和

是它的外角和的8倍，所以（"-2）x180=8x360,解出“值，即可作答.

【详解】解：设该多边形的边数为〃条，

则列方程为（"-2）x180=8x360,

解得：〃=18,

故选B.

2.（2024・湖北•模拟预测）已知一个正多边形的一个内角是与它相邻外角的3倍，则这个正多边形的边数是

（）

A.8B.10C.15D.18

【答案】A

【分析】设这个正多边的外角为为x,则内角为3x,根据内角和外角互补可得x+3x=180,解可得尤的

值，再利用外角和360。+外角度数可得边数；

此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数.

【详解】解：设这个正多边的外角为x,则内角为3x,

根据内角和外角互补可得x+3x=180,

解得：x=45°

360°+45°=8

故选：A.

3.（2024•广东清远•模拟预测）若一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的工，则这个正多边形的

6

边数为（）

A.六边形B.八边形C.十边形D.十二边形

【答案】D

【分析】本题考查了多边形内角和外角及三角形内角和定理，设多边形的边数为"，则根据“一个正多边形

的每一个外角都等于三角形内角和的，”可知多边形各外角相等，然后根据多边形外角和为360。进行解答即

可解答本题的关键在于熟练掌握多边形内角和外角的概念以及多边形外角和等于360。.

【详解】解：三角形内角和为180。，

•..一个正多边形的每一个外角都等于三角形内角和的，，

6

.••多边形各外角都为180。、5=30。,

6

设多边形的边数为"，

30〃=360,

解得：n=12.

故多边形的边数为12,

故选：D.

4.（2024・云南•模拟预测）一个多边形的外角和是内角和的一半，这个多边形的边数是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据题意并结合多边形的外角和是360。，求得这个多边形的内角和是720。，再利用多边形的内角

和公式求解即可.

【详解】解：：多边形的外角和是内角和的一半，且多边形的外角和是360。，

.•.这个多边形的内角和是2x360。=720°,

设多边形的边数是小则（"-2）x180。=720。,

解得n=6,

故选：C.

5.（2024・福建福州•模拟预测）正六边形ABCDEF与正五边形BGHIJ按如图方式摆放，点B,G在

一条直线上，则的度数为

【答案】48。/48度

【分析】本题考查了正多边形的内角与外角，据正五边形和正六边形性质得出各外角度数，进而可得答案.

【详解】解：•••在正六边形48co斯和正五边形8G印7中,

360°

ZCBG=——=60°,

6

NABJ==72°,

5

Z.JBC=180°-NABJ-ZCBG=180°-72°-60°=48°,

故答案为：48。.

6.（2024•广东汕头•模拟预测）如图，孔明在驾校练车，他由点A出发向前行驶10米到8处，向左转45。.继

续向前行驶同样的路程到C处，再向左转45。.按这样的行驶方法，第一次回到点A总共行驶了.

【答案】80米

【分析】本意主要考查了多边形的外角和定理，即任意多边形的外角和都是360。.根据题意可知汽车所走

的路程正好是一个外角为45。的多边形的周长，求出多边形的周长即可.

【详解】解：根据题意可知汽车所走的路程正好是一个外角为45。的多边形的周长，

该多边形的边数为：360。+45。=8,

第一次回到点A总共行驶了：8x10=80（米），

故答案为：80米.

7.（2024・福建•模拟预测）如果凸多边形的边数由3增加到〃（〃>3）,那么内角和的度数增加

了,外角和的度数增加了.

【答案】（〃-3）180。0。/0度

【分析】本题考查了多边形内角和与外角和定理，熟记多边形内角和与外角和定理是解题的关键.根据凸

多边形的内角和为（〃-2}180。外角和为360。，即可解决问题.

【详解】解：：凸多边形的内角和为（"-2）-180°（«>3）,外角和为360。,

,凸多边形的边数由3增加到〃（〃>3）时，内角和从180。增加到（〃-2>180。，外角和为360。不变，

内角和的度数增加了（〃-2）-180°-180°=（n-3）180。，外角和的度数增加了360°-360°=0°,

故答案为：（«-3}180°,0°.

8.（2024•山西晋城•三模）小宇阅读了一篇《东方窗禄之美》的文章，文章中有一张如图1所示的图片，图

中有许多不规则的多边形组成，代表一种自然和谐美.如图2是从图1图案中提取的由六条线段组成的图形,

若/1=60。，则Z2+/3+/4+/5+/6的度数是.

【答案】300。/300度

【分析】本题考查了多边形的外角，根据外角和为360。即可求解.

【详解】•••多边形的外角和等于360。

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°

V/I=60°

Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=360°-Zl=300°

故答案为：300°.

题型三：平行四边形的性质

【中考母题学方法】

【典例1】（2024・浙江・中考真题）如图，在口/BCD中，AC,AD相交于点。，AC--2,BD=2y[3.过点/

作4ELBC的垂线交8c于点E,记BE长为x,3c长为必当x,y的值发生变化时,下列代数式的值不变

的是（）

A.x+yB.C.切D.x2+y2

【答案】C

【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点。作与1BC

交8C的延长线于点尸，证明A/8EgADCb（AAS）,得至*4E=DF,BE=CF=x,由勾股定理可得，

AE2=4-(y-x)2,DF2=12-(y+x)2,则4一(y-x)?=12-(y+x『，整理后即可得到答案.

【详解】解：过点。作。尸±BC交8c的延长线于点R

；4E1BC的垂线交BC于点E,

：.ZAEB=ZDFC=90P,

,/四边形ABCD是平行四边形，

AB=DC,AB//CD,

：.ZABE=ZDCF,

：.丝AOC厂(AAS)

AE=DF,BE=CF=x,

由勾股定理可得，AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE^=4-(y-x^,

DF2=BD--BF1=BD2-[BC+CF^=BD2-{BC+BE^=\2-{y+x^,

4-(y-x)2=12-(y+x)2,

•*-Q+x)2-(y-x)2=8

x2+2xy+y2—y2+2xy-x2=8

即4孙=8,解得刈=2,

...当x,y的值发生变化时，代数式的值不变的是孙，

故选：C

【典例2】(2024•新疆•中考真题)(1)解方程：2(x-l)-3=x；

(2)如图，已知平行四边形/8CA.

①尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作//的平分线交C。于点E；(要求：不写作法，保留作图痕迹,

并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

②在①的条件下，求证：A/DE是等腰三角形.

【答案】（1）x=5；（2）①作图见解析；②证明见解析.

【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤解答即可求解；

（2）①按照作角平分线的方法作图即可；②由平行四边形的性质及角平分线的性质可得=

即得=即可求证；

本题考查了解一元一次方程，作角的平分线，角平分线的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，

根据题意正确画出图形是解题的关键.

【详解】（1）解：去括号得，2x-2-3=x,

移项得，2x—x—2+3,

合并同类项得，x=5；

（2）①解：如图，/£即为所求；

②•••四边形/BCD是平行四边形,

AB//CD,

：.NBAE=ZDEA,

AE平分/B4D,

：.NDAE=ZBAE,

.*•NDAE=NDEA,

DA=DE,

；.V4DE是等腰三角形.

【变式3-1］（2024・四川巴中•中考真题）如图，口/8。的对角线/C、8。相交于点O,点£是2C的中点,

AC=4.若n/BCD的周长为12,贝UACOE的周长为（）

ZD

A.4B.5C.6D.8

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质和三角形的中位线的性质.由平行四边形的性质和三角形的中位线

的性质可求得答案.

【详解】解：•••四边形是平行四边形，

二。是NC中点，

又是中点，

二。£是V/8C的中位线，

OE=-AB,CE=-BC,

22

•.•口23。的周长为12,4c=4,

：.AB+BC=-x\2=6,

2

ACOE的周长为OE+CE+OC=；（/5+8C+/C）=；x（6+4）=5.

故选：B.

【变式3-2]（2024•贵州•中考真题）如图，口/BCD的对角线/C与BD相交于点。，则下列结论一定正确

的是（）

A.AB=BCB.AD=BCC.OA=OBD.AC1BD

【答案】B

【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的

关键.

【详解】解：：/BCD是平行四边形，

AB=CD,AD=BC,AO=OC,BO=OD,

故选B.

【变式3-3]（2024•广东广州•中考真题）如图，口/BCD中，8c=2,点E在。/的延长线上，BE=3,若

BA平分ZEBC,则DE=

B

【答案】5

【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题关键.由

平行四边形的性质可知，AD=BC=2,BC//AD,进而得出N8NE=/ER4,再由等角对等边的性质，得

到8£=/£=3,即可求出DE的长.

【详解】解：在口/3CD中，BC=2,

：.AD=BC=2,BC//AD,

ZCBA=ZBAE,

•••BA平分NEBC,

ZCBA=ZEBA,

ZBAE=ZEBA,

BE=AE=3,

:.DE=AD+AE=2+3=5,

故答案为：5.

【变式3-4](2024•吉林・中考真题)如图，在口/BCD中，点。是48的中点，连接CO并延长，交。/的

延长线于点E,求证：AE=BC.

【答案】证明见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出

ZOAE=ZOBC,ZOCB=ZE,再由线段中点的定义得到=08,据此可证明乌△BOC(AAS),

进而可证明/E=5C.

【详解】证明：•.•四边形42C。是平行四边形，

AD//BC,

：.NO4E=NOBC,ZOCB=ZE,

♦.•点。是48的中点,

0A=OB,

ZUOE也△BOC（AAS）,

AE=BC.

【变式3-5］（2024•江西・中考真题）追本溯源：

题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）.

（1）如图1,在V/BC中，BD平分NABC,交/C于点D过点。作BC的平行线，交4B于点、E,请判

断ABDE的形状，并说明理由.

方法应用：

（2）如图2,在口/BCD中，BE平分N4BC,交边4D于点E,过点/作NALBE交DC的延长线于点R

交2C于点G.

①图中一定是等腰三角形的有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

②已知/B=3,BC=5,求C尸的长.

【答案】（1）ABDE是等腰三角形；理由见解析；（2）①B；②CF=2.

【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和

等腰三角形的判定是解题的关键；

（1）利用角平分线的定义得到乙43。=/置。，利用平行线的性质得到/助£=/CS£>,推出

ABDE=ZABD,再等角对等边即可证明是等腰三角形；

（2）①同（1）利用等腰三角形的判定和性质可以得到四个等腰三角形；

②由①得DA=DF,利用平行四边形的性质即可求解.

【详解】解：（1）ABDE是等腰三角形；理由如下：

；BD平分/4BC,

：.ZABD=ZCBD,

DE//BC,

・•・/BDE=ZCBD,

：./BDE=ZABD,

:.EB=ED,

・・・△5。石是等腰三角形；

(2)@VuABCD^f

：.AE//BC,AB//CD,

同(1)ZABE=ZCBE=ZAEB,

AB=AE,

VAF.LBE,

・•・ZBAF=ZEAF,

AE//BC,AB//CD,

：.ZBGA=ZEAF,NBAF=ZF,

ZBGA=ZCGF,

・•・ZBGA=/BAG,ZDAF=ZF,ZCGF=ZF,

:・AB=AG,DA=DF,CG=CF,

即△/5E、AABG、AADF、△CG尸是等腰三角形；共有四个，

故选：B.

②・.・口/3。。中，AB=3,BC=5,

:.AB=CD=3,BC=AD=5f

由①得。/尸，

：.CF=DF-CD=5-3=2.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・湖南•模拟预测）如图，在口/BCD中，E是边上一点，若分别是24DC,/BCD的平分

线，若口48CD的周长为18,则48的长为（）

【答案】c

【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，根据平行四边的性质结合角平分线的定义得到

NADE=NAED,NBCE=NCEB,进而得到4D=4E,BE=BC,由平行四边形48。的周长18,即可求

解.

【详解】解：：。石、CE分别是/4DC、/BCD的平分线，

ZADE=ZCDE,ZDCE=ZBCE.

,：四边形ABCD是平行四边形，

AB//CD,AD=BC,

：.ZCDE=NDEA,NDCE=NCEB,

NADE=NAED,NBCE=NCEB,

AD=AE,BE=BC,

AE=BE=AD=BC=-AB,

2

;平行四边形48C£）的周长18.

AB+AD+CD+BC=?>AB=].'i,

AB=6,

故选：c.

2.（2024•陕西・模拟预测）如图，在口/3。中，过点/分别作8C,的垂线段，垂足为£,F,若BC=4,

AE=4,CE=\,则线段/尸的长为（）

A.3B.3.2C.3.6D.4

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，先根据勾股定理求出=5,由平行四边形的性质得

4B=CD=5,然后利用面积法求解即可.

【详解】解：♦••8C=4,CE=\,

：.8E=4—1=3.

*.•AE1BE,AE=4,

•,AB=让??+4?=5-

•.,四边形ABCD是平行四边形,

AB=CD=5.

CDAF=BC-AE,

5/尸=4x4,

/.4F=3.2.

故选B.

3.（2024・河北•模拟预测）如图，已知平行四边形48c0,AB<BC.用尺规作图的方法在8C上取一点尸,

使得尸/+PC=BC,则下列做法正确的是（）

【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，作图-线段垂直平分线等知识，证明则可知点尸在

线段的垂直平分线上，由此求解即可解答.

【详解】解："PA+PC=BC,PB+PC=BC,

：.PA=PB,

：.点P在线段AB的垂直平分线上，

只有选项D中的作图方法符合题意.

故答案为：D.

【中考模拟即学即练】

1.（2024・河北•模拟预测）在平面直角坐标系中，平行四边形N8CD的对角线交点落在原点处，已知点/的

坐标为（T,3）,则点C的坐标为（）

A.(4,3)B.(4,-3)C.(-4,-3)D.(3,-4)

【答案】B

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的关系.要会根据平行四边形的性质得到点A与

点。关于原点对称的特点，是解题的关键.根据平行四边形是中心对称的特点可知，点”和点C关于原点

对称，即可求解.

【详解】解：：在平行四边形/BCD中，点/和点C关于原点对称，点/的坐标为(-4,3),

...点C的坐标为(4,-3).

故选：B.

2.(2024•广东•模拟预测)如图，平行四边形/BCD中以点3为圆心，适当长为半径作弧，交AB、BC于F、

G,分别以点尸、G为圆心，大于1厂G长为半径作弧，两弧交于点〃，连接8〃并延长，与AD交于点E,

2

若4B=5,CE=4,DE=3,则8E的长为.

【答案】475

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行四边形的性质，由题中作图过程得3E是

/N3C的角平分线，由平行四边形的性质得/O〃BC,CD=NB=5,进而由平行线的性质、角平分线的定

义及等量代换得=由等角对等边得/E=/8=5,再由线段的和差得ND=4E+DE=8；由勾

股定理的逆定理判断出△CED是直角三角形，且NCED=90。，由平行四边形的性质得

BC=AD=S,AD//BC,再由平行线的性质得/BC£=NCED=90。，最后在RLBCE中，利用勾股定理算

出3E的长即可.

【详解】解：「BE是//BC的角平分线，

ZABE=ZCBE,

•••四边形/BCO是平行四边形，

AD//BC,CD=AB=5,

ZAEB=ZCBE,

ZABE=ZAEB,

/.AE=AB=5,

/.AD=AE+DE—8,

在△CEO中，・；CD=5,CE=4,DE=3,

:.DE2+CE2^CD2,

是直角三角形，且NCED=90。，

,•・四边形ABCD是平行四边形，

:.BC=AD=?,,AD//BC,

NBCE=NCED=90°,

BE=^BC2+CE2=A/82+42=4退

故答案为：4\[s-

3.（2024・山东济南•一模）如图，口/BCD中，E是4B的中点，连结CE并延长交D4的延长线于点E求证:

AF=AD.

【答案】见解析

【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，根据题意得4D〃BC,=

进而得ZBCF=ZF,证VAFE到2CE即可.

【详解】证明：•••平行四边形/BCD

/.AD//BC,AD=BC

：.ZBCF=NF

•：E为AB中点

/.AE=EB

'：NBAF=ZABC

：.VAFE到BCE

：.AF=BC

：.AF=AD

4.（2024・福建莆田•模拟预测）如图，在平行四边形/BCD中，点E,F在4B,CD边上，且=

求证：ZAED=NCFB.

DFC

【答案】见解析

【分析】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的性质和判定，关键是根据平行四边形的性质得出

==解答.

根据平行四边形的性质得出=8C,乙4=NC,进而利用MS证明VADE和VC8尸全等，利用全等三角形

的性质解答即可.

【详解】证明：•.•四边形是平行四边形，

AD=BC,N4=/C.

在V4DE和VCAF中，

AD=CB

<NA=NC,

AE=CF

：.AADEACBF(SAS),

：.ZAED=NCFB.

5.(2024・广西贵港•模拟预测)如图，在口/BCD中，BE平分NABC,交/。于点E.

(1)实践与操作：过点/作BE的垂线，分别交BE,8C于点尸，G；(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不

写作法，标明字母)

(2)猜想与证明：试猜想线段/£与NB的数量关系，并加以证明.

【答案】(1)见解析

(2)AE=AB,证明见解析

【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定.

(1)根据“过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法”作图；

(2)根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质证明.

【详解】(1)解：如图，ZG即为所求；

(2)解：AE=AB,证明如下：

BE平济NABC,

ZABE=ZEBC,

v四边形ABCD是平行四边形,

.-.AD//BC,

ZAEB=/EBC,

・..ZAEB=NABE,

，AB=AE.

6.（2024•山西・模拟预测）如图，正比例函数V=狈（。=0）与反比例函数》="（左〉0）的图象交于A,8两点,

x

过点A作轴，垂足为C,连接2C,SMBC=2.

（1）求反比例函数＞的表达式.

X

（2）若/（I,。），以NC为边作平行四边形/8DC,点〃在第三象限内，求点。的坐标.

2

【答案】（1）1

x

⑵D（-2,-2）

【分析】（1）联立正比例函数与反比例函数，解方程组可得/（J,。）图形结合分析，再根据

S&ABC=2,由此即可求解；