2025年中考数学几何专项复习：轨迹、路径类综合练习（提优）原卷版+解析

轨迹、路径类综合练习（提优）

选择题

1.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm,在容器内壁离容器底部4c相的点B

处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4c机的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行

的最短路径为20”“，则该圆柱底面周长为（）

A.12cmB.14cmC.20cmD.24cm

2.半圆柱底面直径8c是高AB的两倍，甲虫在半圆柱表面匀速爬行，若沿着最短路径从8经E到。（E

是上底面半圆中点），则甲虫爬行过程中离下底面的高度h与爬行t之间的关系用图象表示最准确的是

3.棱长分别为8aw,6c机的两个正方体如图放置，点A,B,E在同一直线上，顶点G在棱8C上，点P是

棱以人的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点尸，它爬行的最短距离是（）

BE

A.（3V5+10）cmB.5V13cmC.V277cmD.（2A/58+3）cm

4.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中BC=4cm,BF=6cm,点M在棱AB上，且AM

=2cm,点N是FG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最

短路程为（）

A.10cmB.44cmC.6立cmD.2V13<?m

5.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点8,需要爬行的最短距离是（）

C.30D.32

6.如图，在矩形ABC。中，AB=3V3,AO=9,点P是边上的一个动点，连接8P,将矩形A8C。沿

折叠，得到△4PB,连接4C,取4c的三等分点Q（C0<4。），当点尸从点A出发，沿边运

动到点D时停止运动，点。的运动路径长为（）

4V32V3

A.nB.2V3;rC.71D.n

33

7.如图，是。。的直径，弦〃跖V,点C是直径MN上方半圆上的动点（包括端点M,N）,ZACB

=60°,/ACB和/CAB的平分线相交于点E,当点C从点M运动到点N时，则C,E两点的运动路径

长的比值是（）

L3V5

A.迎B.-C.2D.—

22

8.如图，正方形ABC。的边长为3,将长为2百的线段。尸的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如

果点。从点A出发，在A8上滑动，同时点/在BC上滑动，当点尸到达点C时，运动停止，那么在这

个过程中，线段。尸的中点M所经过的路线长为（）

3V2-V6C.三D,与

A,更B.-----------

2263

二.填空题

9.如图，长方体的棱AB长为3,棱2C长为4,棱长为2,尸为CG中点，一只蚂蚁从点A出发，在长

方体表面爬到点P处吃食物，那么它爬行的路程是

10.如图.长方体的底面是边长2cMi的正方形，高为6cwi.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达8,

那么所用细线最短需要cm.

11.如图所示，ABCD是长方形地面，长A8=20〃3宽AO=10机.中间竖有一堵砖墙高MN=2MI.一只蚂

蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走机的路程.

12.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为15c机的圆盘，如图所示，AB与CD

是水平的，8c与水平面的夹角为60°,其中AB=60aw,CD=40cm,BC=40cm,那么该小朋友将圆盘

从A点滚动到D点，其圆心所经过的路线长为cm.

13.如图，平面直角坐标系中，一个点从原点O出发，按向右一向上一向右一向下的顺序依次不断移动,

每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点A1,第二次移到点A2,第三次移到点A3,…,

14.如图，的半径为5,弦AB=6,弦AC,弦3。，点尸为CD的中点，若点。在圆上逆时针运动的

路径长为jit,则点尸运动的路径长为.

15.如图，在矩形428中，AB=®A£>=3,点P是AD边上的一个动点，连接2尸，作点A关于直线

的对称点4,连接4C,设A1C的中点为°,当点尸从点A出发，沿边运动到点。时停止运动，

点Q的运动路径长为.

16.如图，长方体的长AB=5CMI,宽BC=4cm,高A£=6cm,三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度

从点A出发到点G处.蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处（即A-P-G）,蚂蚁乙的行

走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处（即A-M-G）,蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G

处（即A-N-G）.

（1）求三只蚂蚁的行走路径S甲，S丙的最小值分别是多少？

（2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？

17.（1）根据所给的条件，求图1中2C边的长度.

（2）如图2所示，圆柱形玻璃容器，高18c%,底面周长为60cm,在外侧距下底lew,点S处有一蜘蛛，

与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点尸处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛,

所走的最短路线的长度.（画出相应图形，并解答）

图1图2

18.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，一个蚂蚁在图1中的A点,

围成图2后，蚂蚁从A点开始沿正方体的棱爬行，求爬到B点的最短距离是多少？

图2

图1

19.如图，一只杯子的上下底面分别是直径为5c机和7.5cm的圆，母线A8的长为15cm.

(1)求杯子的侧面积.

(2)从点B出发，绕着杯子两圈画一条装饰线，终点为4求装饰线的最短长度.

20.如图，四边形是边长为6的正方形，点C,。在边AB上，且AC=O8=1,点P是线段CD上

的动点，分别以AP,为边在线段的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,E,尸分别为MN,QR

的中点，连接ER设防的中点为G,求当点尸从点C运动到点。时，点G移动的路径长.

21.如图，△ABC是一块直角三角板，且/C=90°,ZA=30°,现将圆心为点。的圆形纸片放置在三角

板内部.

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、BC都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与

证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若8c=9,圆形纸

片的半径为2,求圆心。运动的路径长.

AA

图①图②

22.如图，4B是。。的直径，M,N是噩（异于点A,B）上的两点，点C是而上的一动点，NACB的平

分线交O。于点。，N2AC的平分线交于点E.

（1）试探究QE与A8的数量关系，证明你的结论；

（2）设。。的半径为广，当点C在从点M运动到点N时，点C的运动路径长为/1,点E的运动路

径长为/2,求3的值.

23.如图，把RtZXABC的斜边AB放在直线L上，按顺时针方向在L上转动两次使它转到△。所的位置，

设BC=g,AC=1,则点A运动到点。的位置时，点A经过的路线长是多少？点A经过的路线与直线

乙所围成的面积是多少？

£

24.如图，AB为。。的直径，且AB=4,点C在半圆上，OCLA8,垂足为点。，P为半圆上任意一点(不

与点C重合)，过尸点作PEL0C于点E,设△OPE的内心为连接。M、PM.

(1)求/OMP的度数；

(2)当点尸在半圆上从点B运动到点A时，求内心M所经过的路径长.

25.如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZB=60°,AB=6cm,点K在AB上，AK=2cm,点。、E分别

从点K、点A同时出发，都以lcm/s的速度沿△ABC的边按顺时针方向运动，当D点到达A处时，D,

E两点同时停止运动，设运动时间为窗.

(1)已知点歹在A8边上，点G在8C边上，且BF=BG=lc机，求证：当4cf<5时，在。，E两点的

运动过程中，线段。E始终被线段尸G平分；

(2)求Z),E两点从出发到停止时，线段。E的中点R所经过的路径长.

轨迹、路径类综合练习（提优）

选择题

1.如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16%在容器内壁离容器底部4c机的点8

处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4c机的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行

的最短路径为20cm,则该圆柱底面周长为（）

A.12cmB.14。"C.20cmD.24cm

【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A',根据两点之间线段最短可知4'8的长度即为

所求.

【解答】解：如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，

作A关于E的对称点A,连接交EG于F,则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+8F的长，即

延长8G,过4作AO_L8G于。，

AE—A'E=DG=4cm,

RtZWDB中，由勾股定理得：A'D=V202-162=\2cm,

则该圆柱底面周长为24a”.

故选：D.

【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计

算是解题的关键.同时也考查了同学们的创造性思维能力.

2.半圆柱底面直径8C是高A8的两倍，甲虫在半圆柱表面匀速爬行，若沿着最短路径从8经E到。（E

是上底面半圆中点），则甲虫爬行过程中离下底面的高度h与爬行f之间的关系用图象表示最准确的是

【分析】平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是BfE,然后在圆柱的上

底面上，沿线段DE行走即可，此时甲虫离下底面的高度〃不变.由此即可判断.

【解答】解：平面展开图如图所示，根据两点之间线段最短可知，甲虫的最短路线是B-E,然后在圆柱

的上底面上，沿线段。E行走即可，此时甲虫离下底面的高度〃不变.

ED

B

由题意所以在甲虫到达E之前，离下底面的高度场是逐渐升高，图形比较缓,

故选：D.

【点评】本题考查平面展开-最短路径问题，函数图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学

知识解决问题.

3.棱长分别为8c7九，6c机的两个正方体如图放置，点A,B,E在同一直线上，顶点G在棱8c上，点P是

棱£1人的中点.一只蚂蚁要沿着正方体的表面从点A爬到点P,它爬行的最短距离是（）

A.(3V5+10)cmB.5V13cmC.7271cmD.(2V58+3)cm

【分析】求出两种展开图外的值，比较即可判断.

【解答】解：如图，有两种展开方法：

方法一：PA=V142+92=727rlem,

方法二：PA=V172+62=V325cm.

故需要爬行的最短距离是^Cffl.

故选：C.

【点评】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

4.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中AB=8c机，BC=4cm,BF=6cm,点M在棱AB上，且AM

=2cm,点N是BG的中点，一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最

短路程为()

A.lOc/wB.4衣cmC.6y[2cmD.2413cm

【分析】利用平面展开图有3种情况，画出图形利用勾股定理求出MN的长即可.

【解答】解：如图1中，MN=^JFN2+FM2=V122+22=2府(cm),

如图2中，MN=y/MB2+BN2=V62+82=10(cm),

如图3中，MN-7PM2+PN2=V82+62=10(cm),

V10<2V37

一只蚂蚁要沿着长方形盒子的外表面从点M爬行到点N,它需要爬行的最短路程为10cm,

故选：A.

图2

图3

【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有3种情况分析得

出是解题关键.

5.一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点8,需要爬行的最短距离是（）

C.30D.32

【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之

间线段最短解答.

【解答】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：

:长方体的宽为10,高为20,点8离点C的距离是5,

/.BD=CD+BC=10+5=15,AD=20,

在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：

：.AB^y/BD2+AD2=25；

只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图:

:长方体的宽为10,高为20,点8离点C的距离是5,

/.BD=CD+BC=20+5=25,A£>=10,

在直角三角形A3。中，根据勾股定理得：

：.AB=<BD2+AD2=V102+252=5回；

只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图:

20Z)10C

图3

;长方体的宽为10,高为20,点8离点C的距离是5,

.•.AC=C0+AO=2O+1O=3O,

在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：

：.AB=yjAC2+BC2=V302+52=5737;

V25<5V29<5V37.

蚂蚁爬行的最短距离是25,

故选：B.

【点评】本题考查的是平面展开-最短路径问题，勾股定理，根据勾股定理求解是解答此题的关键.

6.如图，在矩形48C。中，AB=3V3,AO=9,点尸是边上的一个动点，连接3P,将矩形ABC。沿

BP折叠，得到△A1PB,连接AC,取4C的三等分点。当点尸从点A出发，沿边运

动到点D时停止运动，点。的运动路径长为（）

【分析】如图，连接A41,在BC取一点0,使得。C=^BC,连接O。，BD.利用三角形的中位线定理

证明。。=百=定值，推出点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为120°,即可

解决问题.

1

【解答】解：如图，连接A4i,在取一点O,使得OC=*C,连接。。，BD.

・・•四边形ABC0是矩形,

：.ZBAD=90°,

9

tanZABD==V3,

373

AZABD=60°,

9：A\Q=2QC,BO=2OC,

..CQCO1

・CAr~CB~3

：.OQ//BA1,

.,.△COQ^ACBAi,

.OQ_CQ_1

A1B~CAr~3'

0Q=%B=V3,

点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为180°-2ZCOQ=120°,

；•点Q的运动路径长=I2寓＞=孥底.

故选：D.

【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，

属于中考常考题型.

7.如图，是O。的直径，弦点C是直径上方半圆上的动点（包括端点N）,ZACB

=60°,/AC8和NCAB的平分线相交于点E,当点C从点M运动到点N时，则C,E两点的运动路径

长的比值是（）

l3V5

A.V2B.-C.2D.—

22

【分析】如图，连接ObEB.设OM=r.证明NAEB=120。，利用弧长公式计算即可解决问题.

【解答】解：如图，连接。3,EB.设。M=r,

VZACB=60°,

作△AEB的外接圆。/,连接JA,JB,“交AB于"

当点C在点M的位置时，ZAMB=60°,点E在点E的位置处，而点E在如上，

当点C到点N的位置时，NAN2=60°,点E在点的位置处，而点E在N7上，

而MG=NJ,OM=ON=OJ,

：.NMJN=90°

.•.点E在G）J上运动，运动路径的长=能需=*tr,

loUZ

..•点C的运动路径的长=nr,

,-1

AC,E两点的运动路径长的比值=冗七丁r=2：1,

故选：C.

【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点

的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.

8.如图，正方形ABC。的边长为3,将长为2遥的线段。尸的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如

果点。从点A出发，在A8上滑动，同时点尸在8c上滑动，当点P到达点C时，运动停止，那么在这

个过程中，线段。尸的中点〃所经过的路线长为（）

3V2-V6

A.更B.-----------c.三D.三

2263

【分析】求出两种特殊位置时，ZABM,ZCBM1的值，利用弧长公式求解即可.

【解答】解：如图，连接

当点。与A重合时，在RtAABF中,

../D4C,AB3V3

.♦.NR4P=30°,

•；AM=MF,

：.BM=AM=MF=V3,

AZABM=ZBAM=30°,

当为与C重合时，同法可得NMi8C=NMiC3=30°,

VZABC=90°,

：.ZMBMi=90°-30°-30°=30°,

♦：BM=BMi=也,

线段QF的中点M所经过的路线长=当祟=容,

【点评】本题考查轨迹，正方形的性质，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识

解决问题.

二.填空题

9.如图，长方体的棱A8长为3,棱长为4,棱BE长为2,尸为CG中点，一只蚂蚁从点A出发，在长

方体表面爬到点P处吃食物，那么它爬行的路程是」鱼

【分析】画出图形，利用勾股定理求出AP的长即可.

【解答】解：如图尸+

1,AP='AC?+CP2=J(3+4(2+2)2=5A/2,

AB

图1

故它爬行的路程是5V2.

故答案为：5V2.

【点评】此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，画出图形是解题关键.

10.如图.长方体的底面是边长2cm的正方形，高为6cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达8,

那么所用细线最短需要2gcm.

【分析】如果从点如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B,相当于直角三角形的两条直角边分

别是8和3,再根据勾股定理求出斜边长即可.

【解答】解：将长方体的侧面沿展开，取A'B'的中点C,取的中点C',连接/C,AC,

则AC+B'C为所求的最短细线长，

'：AC2=AA'2+1C2,AC=473cm,

：.B'C2=BB?2=73,

：.B'C=V73(cm),

：.AC+B'C=2V73(cm),

答：所用细线最短长度是

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用

了数形结合思想.

11.如图所示，48c。是长方形地面，长AB=20相，宽AO=10根.中间竖有一堵成墙高A/N=2nj.一只蚂

蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走26m的路程.

【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度

不变，求出新矩形的对角线长即可.

【解答】解：如图所示，将图展开，图形长度增加2WN,

原图长度增加4米，则48=20+4=24%,

连接AC,

:四边形ABC£＞是长方形，AB=24m,宽AQ=10m,

：.AC=7AB2+BC2=V242+102=V676=26%,

蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走26m的路程.

【点评】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键.

12.一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为15cm的圆盘，如图所示，AB与CD

是水平的，BC与水平面的夹角为60°,其中AB=60c〃z,CD^40cm,BC^40cm,那么该小朋友将圆盘

从A点滚动到D点，其圆心所经过的路线长为(140-10百+5TT)cm.

【分析】根据题意，知圆心所经过的路线的长度为线段。。1的长度+线段0102的长度+圆弧碎的长度

+线段。3。4的长度.

【解答】解：如下图，画出圆盘滚动过程中圆心移动路线的分解图象.

可以得出圆盘滚动过程中圆心走过的路线由线段OO1,线段。1。2,圆弧碎，线段。3。4四部分构成.

其中OiE_LAB,0}F±BC,O2CLBC,03c_LC£),OAD±CD.

由(1)知00i=AE=(60-5V3)cm,

易得RtZXOiBE和RtZXOiB尸全等，

BF=BE=5y/3cm,

：.OIO2=BC-BF=(40-5V3)cm.

'JAB//CD,BC与水平夹角为60°,

.\ZBCD=120°.

又；NO2CB=NO3CD=90°,

.•.NO2co3=60°.

则圆盘在C点处滚动，其圆心所经过的路线为圆心角为60°且半径为的圆弧伙.

/.的长=，附5—5ftcm.

.四边形。3O4DC是矩形，

。304=CD=40cm.

综上所述，圆盘从A点滚动到D点，其圆心经过的路线长度是(60-5V3)+(40-5A/3)+5n+40=(140

-10V3+5n)cm.

故答案为(140-10V3+5TC).

【点评】本题考查了弧长公式，切线的性质，切线长定理，解直角三角形等知识，综合性较强.解题的

关键是画圆心的轨迹图，进而理解圆心所走的路线是由哪几段组成的.

13.如图，平面直角坐标系中，一个点从原点。出发，按向右一向上一向右一向下的顺序依次不断移动，

每次移动1个单位，其移动路线如图所示，第1次移到点4,第二次移到点A2,第三次移到点A3,…,

【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，可先得下标为4的倍数的点的坐标：A4(2,0),A8

(4,0)…，发现横坐标为下标的一半，从而可得出点A2019的坐标.

【解答】解：Ai(1,0),A2(1,1),A3(2,1),A4(2,0),As(3,0),A6(3,1),…，

20194-1

...A2019的坐标为(------，1),

2

即点42019的坐标为(1010,1),

故答案为：(1010,1).

【点评】本题主要考查点的坐标的变化规律，解题的关键是根据图形得出下标为4的倍数时对应长度即

为下标的一半，据此可得.

14.如图，。。的半径为5,弦AB=6,弦AC,弦8。，点尸为CO的中点，若点。在圆上逆时针运动的

路径长为京，则点尸运动的路径长为」

D

【分析】如图，连接。4,OB,AD,OP,OD,过点。作OHJ_A5于〃.证明△OHAg/XCPO(A4S),

推出。尸=A〃=3,推出点尸的运动轨迹是以。为圆心，。尸为半径的圆，求出点。旋转的角度即可解决

问题.

【解答】解：如图，连接04,OB,AD,OP,OD,过点。作0H_LA3于

VAC±BZ),

：.ZDAC+ZADB=90°,

9：ZDOC=2ZDAC,/A0B=2/ADB,

：.ZDOC+ZAOB=1SO°,

VOHLAB.DP=PC,

1

：.OPLCD,AH=HB=«B=3,

9：OA=OB=OC=OD,

：.ZAOH=/BOH,ZCOP=ZDOP,

：.ZAOH+ZCOP=90°,

VZAOH+ZOAH=90°,

：.ZCOP=ZOAHf

VZAHO=ZCPO=90°,OA=OC,

/.△O/M^ACPO(A4S),

・・・0P=A"=3,

・•・点尸的运动轨迹是以。为圆心，。尸为半径的圆，

丁点。在圆上逆时针运动的路径长为|m设圆心角为〃,

.n-7r-55

/.----=1R,

1803

：.n=60°,

'：OD,OP的旋转角度相等，

点P的运动路径的长=粤需=71.

loU

故答案为：TT.

【点评】本题考查轨迹，垂径定理，全等三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

15.如图，在矩形ABCD中，AB=V3,4D=3,点P是AO边上的一个动点，连接8P,作点A关于直线

BP的对称点4,连接A1C,设4c的中点为。当点尸从点A出发，沿边AD运动到点。时停止运动，

一V3

点Q的运动路径长为日~TT.

【分析】如图，连接541,取使得中点O,连接O。，BD.利用三角形的中位线定理证明。0=苧=定

值，推出点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为120°,即可解决问题.

【解答】解：如图，连接BA1,取BC使得中点。，连接。。BD.

B；C

・・•四边形ABC。是矩形，

：.ZBAD=90°,

An

・・・tanNA3O=器=逐

AZABD=60°,

VAiQ=2C,BO=OC,

***OQ=^BA\=4AB=

・••点。的运动轨迹是以。为圆心，。。为半径的圆弧，圆心角为120°,

点。的运动路径长=―[go2-=y-ir.

故答案为w。

【点评】本题考查轨迹，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,

属于中考常考题型.

三.解答题

16.如图，长方体的长AB=5cm,宽BC=4cm,高AE=6a〃，三只蚂蚁沿长方体的表面同时以相同的速度

从点A出发到点G处.蚂蚁甲的行走路径S甲为：翻过棱EH后到达G处(即A-P-G),蚂蚁乙的行

走路径S乙为：翻过棱EF后到达G处(即A-M-G),蚂蚁丙的行走路径S丙为：翻过棱BF后到达G

处(即A-N-G).

(1)求三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的最小值分别是多少？

(2)三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？

【分析】(1)将长方体展开，根据勾股定理解答即可得到结论；

(2)根据(1)中的结论，比较三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙，S丙的大小，即可得到结论.

【解答】解：(1):长AB=5c%,宽2C=4CMJ,高AE=6的，

；.EF=AB=5cm,CF=BC=EH=4cm,AE=BF=CG=6cm,

22

：.S甲=J(AE+EF)2+CF2=Vil+4=V137(cm)

2222

S乙=yJ(AE+EH)+GH=V10+5=A/125=5立(cm),

22

S丙={(AB+BC)2+CG2=V9+6=V117{cm),

答：三只蚂蚁的行走路径S甲，S乙,S丙的最小值分别是5让cm,小成cm；

(2)由(1)矢口，5甲=旧7(cm),S乙=5或(cm),5丙="17(cm),

VVT37>V125>VT17,

.••蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达.

【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用勾股定理进行计算是解题的关键.

17.(1)根据所给的条件，求图1中BC边的长度.

(2)如图2所示，圆柱形玻璃容器，高180",底面周长为60cm在外侧距下底1cm点S处有一蜘蛛，

与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点尸处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛,

所走的最短路线的长度.(画出相应图形，并解答)

图1图2

【分析】(1)利用勾股定理进行计算，即可得出BC的长；

(2)把立体图形展开为平面图形，根据两点之间线段最短，利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：(1)由题可得，中，BC=y/AB2-AC2=V172-82=15；

(2)如图是圆柱的侧面展开图，线段ST就是苍蝇走的最短路线，

1

在Rt/XS/W中，产=90°,FN=18-2=16,SN=x60=30,

SF=yJSN2+NF2=V302+162=34(cm).

.•.蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm.

【点评】本题考查了平面展开-最短路径问题、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意把立体图形展

开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直

角三角形解决问题.

18.如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，一个蚂蚁在图1中的A点，

围成图2后，蚂蚁从A点开始沿正方体的棱爬行，求爬到2点的最短距离是多少？

【分析】根据正方体的平面展开图与正方形的关系，正确找到点A、8的位置即可解决问题.

【解答】解：将图1中的小正方形围成图2的正方形后，点A、B对应的位置如图,

图1

所以蚂蚁从点A开始沿正方体的棱爬行，爬到B点的最短距离是1.

【点评】本题考查正方体平面展开图，最短问题等知识，把展开图围成正方体是解题的关键，属于中考

常考题型.

19.如图，一只杯子的上下底面分别是直径为5c机和7.5°九的圆，母线A8的长为15cm.

（1）求杯子的侧面积.

（2）从点B出发，绕着杯子两圈画一条装饰线，终点为A,求装饰线的最短长度.

【分析】（1）将纸杯的侧面展开，设N。的度数是小则根据弧长的计算公式，可得7.5兀=与辞，5TT=

loU

血禽竺）,解得。1=45。加”=30°,最后求得纸杯的侧面展开图的面积；

loU

（2）将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，根据两点之间线段最短，并运用勾股定理，求得装饰线的最

短长度即可.

【解答】解：（1）纸杯的侧面展开如图所示：

延长AB,A8交于点0,

设N。的度数是〃，则

__nn-OA_717r<02—15)

7$n=F5-，5n=一访一，

解得：OA=45cmfn=30°,

・•・50=45-15=30cm,

307r452307T-302375

，纸杯的侧面展开图的面积为：——~--——~-=--7T(cmo2)；

3603604

(2)如图所示，将两个纸杯的侧面展开图拼接在一起，连接2。，则2。的长度是装饰线的最短长度.

过8作BE_LOO于E,则RtZXBOE中，08=30,ZBOE=60°,

OE—15cm,BE—15V3cm,

；.DE=45-15=30(cm),

.,.在Rt/XBDE中，BD=<BE2+DE2=J(15V3)2+302=15V7(cm).

故装饰线的最短长度为1577cs.

【点评】本题考查了平面展开-最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的综

合运用，画出平面展开图，作辅助线构造扇形是解答此题的关键.

20.如图，四边形AB"是边长为6的正方形，点C,£>在边上，且点尸是线段C。上

的动点，分别以AP,P8为边在线段A8的同侧作正方形AMNP和正方形BRQP,E,尸分别为MN,QR

的中点，连接EF,设EF的中点为G,求当点P从点C运动到点。时，点G移动的路径长.

【分析】取K”的中点H,连接AE,ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.想办法证明四边形PETF是平行

四边形，推出GP=GT,推出G的运动轨迹是△TCD的中位线，由此即可解决问题.

【解答】解：取K”的中点“，连接AE,ET,AT,PE,PF,PT,BF,TF.

四边形AMNP是正方形,

AM=MN,ZAMN=90°

ME=EN,

AM

----=2,

ME

四边形AKH8是正方形,

AK=KH,NK=90°,

KT=TH,

AK

­=2,

KT

AMAK

ME—KT'

AMME

AK-KT'

ZAME=ZK=90°,

△AMES/XAKT,

ZMAE=ZKAT,

A.E.T共线,

同理可证：B,F,T共线，

_AMPQ

・ME-QF-2,

.AMME

PQ~QF'

VZAME=ZPQF=90°,

/.AAMEs/\PQF,

：.ZAEM=ZPFQ,

,：AB//MN//QR,

：.ZPAE=ZMEA,ZBPF=ZQFPf

ZBPF=ZPAE,

：.PF//AT,

同法可证：PE//BT,

...四边形尸E7F是平行四边形，

...EF与PT互相平分，即TG=GP,

；.G的运动轨迹是△TCP的中位线，轨迹的长=知）=立6-2）=2.

【点评】本题考查轨迹，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线定理等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考压轴题.

21.如图，△ABC是一块直角三角板，且/C=90°,ZA=30°,现将圆心为点。的圆形纸片放置在三角

板内部.

（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC、8c都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO；（不写作法与

证明，保留作图痕迹）

（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若2C=9,圆形纸

片的半径为2,求圆心。运动的路径长.

图①图②

【分析】（1）作NACB的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心。，作射线CO即可；

（2）添加如图所示辅助线，圆心0的运动路径长为Cm。人?，先求出△ABC的三边长度，得出其周长,

证四边形。瓦＞。1、四边形013HG、四边形002小均为矩形、四边形OEC尸为正方形，得出/OO1O2

=60°=/ABC、/。1。。2=90°,从而知△OOiO2s/\CA4,利用相似三角形的性质即可得出答案.

【解答】解：（I）如图①所示，射线co即为所求;

A

（2）如图，圆心。的运动路径长为CAO。1。?,

图②

过点O1作。1CBC、OiF±AC.OiG±AB,垂足分别为点。、F、G,

过点。作0EL2C,垂足为点E,连接。23,

过点。2作。OIILAC,垂足分别为点〃、I,

在Rt/XABC中，ZACB=90Q、ZA=30°,

；.AC=*黑。=W=9次,AB=2BC=18,ZABC^6Q°,

cflz7,1-0vJVo

T

CA?IBC=9+9V3+18=27+9后

VOiDlBC.OiG±AB,

；.D、G为切点，

：.BD=BG,

在RtAOiBD和RtAOiBG中,

(BD=BG

(0/=。12

：./\OiBD^AOiBG(HL),

：.ZOiBG=ZOiBD^30°,

在Rt/XOiB。中，ZO\DB=9Q°,Z<9iB£>=30°,

•BD__ta2nI320°_~_BA_-2V33'

T

001=9-2-2V3=7-2V3,

'：O\D=OE=2,OiDLBC,OELBC,

：.OiD//OE,且0iD=0E,

四边形OEDOi为平行四边形，

VZOE£>=90°,

四边形OEDOi为矩形，

同理四边形0102HG、四边形。。2/尸、四边形0ECV为矩形,

又OE=OF,

四边形OECB为正方形,

ZOiGH=ZCDOi=90°,ZABC=60°,

：.ZGO\D=nO°,

又,.•NFOI£)=/O2OIG=90°,

：.ZOOIO2=360°-90°-90°-120°=60°=AABC,

同理，Z(?IOO2=90°,

：./\OOIO2^/\CBA,

C

.AOO1O2。1。2刖心。。1。27-28

••—,即I——,

C&ABCBC27+9遮9

・"AOOQ=15+A/3,即圆心。运动的路径长为15+V3.

【点评】本题主要考查作图-复杂作图、切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形

的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质、矩形和正方形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是

解题的关键.

22.如图，AB是。。的直径，M,N是醺(异于点A,B)上的两点，点C是斜上的一动点，/ACB的平

分线交O。于点。，NA4c的平分线交C。于点E.

(1)试探究。E与AB的数量关系，证明你的结论；

(2)设。。的半径为广，当点C在。。从点M运动到点N时，点C的运动路径长为/1,点E的运动路

径长为/2,求3的值.

【分析】（1）结论：AB=V2D