2025年中考数学几何模型综合训练：最值模型之胡不归模型解读与提分训练

专题33最值模型之胡不归模型

胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟

考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析,

方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。

目录导航

模型1.胡不归模型（最值模型）........................................................1

习题练模型

13

模型1.胡不归模型（最值模型）

从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽

然从他此刻位置/到家8之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙

子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”

看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的

一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

一动点尸在直线MV外的运动速度为匕，在直线上运动的速度为匕，且匕＜%,N、5为定点,

点C在直线初V上，确定点C的位置使土+色的值最小.（注意与阿氏圆模型的区分）。

丫2匕

B

B

1）—fsc+-^^cI,记左=x，即求8C+双C的最小值.

匕匕八匕J匕

2）构造射线4D使得sinNZMAM;,—=k,C〃=fc4C,将问题转化为求3C+CH最小值.

/C

3）过8点作跳L4D交〃N于点C,交4D于H点，此时3C+CH取到最小值，即2C+叔C最小.

【解题关键】在求形如“a+权好’的式子的最值问题中，关键是构造与柱5相等的线段，将“以+止B”型问题

转化为“我+尸。’型.（若启＞1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。

【最值原理】垂线段最短。

例1.（24-25九年级上•安徽合肥•阶段练习）如图，在VNBC中，ZA=15°,AB=10,尸为NC边上的一个

动点（不与4、C重合），连接AP,则交4P+P5的最小值是（）

A.5A/2B.5百C.yV3D.8

【答案】B

【分析】以NP为斜边在/C下方作等腰直角△NDP,过2作BE，/。于E,通过解直角三角形可得BE的长,

再根据。P=/Psin45°=^/P,可得在+=+据此即可解答.

22

【详解】解：如图，以"为斜边在/C下方作等腰直角八4。尸，过8作于E,连接5。

B

•・•/PAD=45。,/B4c=15。,：.ABAD=60°,:.BE=AB-sin60Q=5^^

■.■DP=AP-sin45°=—AP,—AP+PB=DP+PB>BE,.•.且AP+P8的最小值为5®.故选：B.

222

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键.

例2.（23-24九年级上•湖南娄底•阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,E,P分别是边4D和对角线

4

NC上的动点，连接EP,记/氏4C=a,若tana=§,则PE+尸Ceosc的最小值为（）

A.3B.4C.5D.2.4

【答案】A

【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质.过点尸作GHLBC于点X,交/。于点G,求得

尸。<0$&=尸7/,根据垂线段最短，知当点£与点G重合时，PE+PC-cosa有最小值，据此求解即可.

【详解】解：过点尸作GHL3C于点〃，交4D于点G,

四边形ABCD是矩形，N8=/BAG=90P，二四边形ABHG是矩形，，PH//AB,ZHPC=ABAC=a,

4BC4,--------------

AB=3,tana=-,/.——=-,/.SC=4,AC=dAB?+BC?=5，

3AB3

4B3

cosa==—=cosZ.HPC,PC-cosa=PH,

AC5

当点£与点G重合时，PE+尸C-cosa有最小值，最小值为GH的长，

VGH=AB=3,.•.尸£+尸。851的最小值为3,故选：A.

例3.（2024•陕西渭南•二模）如图，在菱形48co中，对角线/C、5。相交于点O,AC=8,BD=6,尸是

3

对角线ZC上的动点，则5尸+5/尸的最小值为.

BC

【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点尸作尸E1N。，连接3E,由菱形的

性质可得。4=」NC=4,OD=-BD=3,AC±BD,则由勾股定理可得4。=5,解直角三角形得到

22

333

sinZO^£>=|,则依=/Psin/E4£=]NP,进而得到当3、P、E三点共线，且小，/。时，BP+^AP最

小，最小值为3E的长，据此利用等面积法求出5E的长即可得到答案.

【详解】解：如图所示，过点尸作连接8E,

•••在菱形/3CD中，对角线/C、8。相交于点O,/C=8,BD=6,P

2

：.OA=-AC=4,0D=-BD=3,ACLBD,：.AD=y/o^+OD=5-sinZOAD=-=-,

22J4,D5

33

・••在RM4尸£中，PE=AP.sin/PAE=?AP,：.BP+-AP=BP+PE,

3

・・・当从尸、E三点共线，且BE，/。时，+尸最小，最小值为BE的长，

1124

此时有S四边形Z6CZ）=4D'BE=—AC,BD,5BE=,x6x8,BE=,

.•.82+；3/9的最小值为（24，故答案为：y24.

例4.（2023・云南昆明•统考二模）如图，正方形48CD边长为4,点E是。边上一点，且N/3E=75。.P

是对角线8D上一动点，则+的最小值为（）

A.4B.472C.也+6D.V2+V6

2

【答案】D

【分析】连接/C,作PGLBE,证明当4P+，8P取最小值时，A,P,G三点共线，且/GLBE,此时最

2

小值为NG,再利用勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果.

【详解】解：连接/C,作尸GL8E

•.•48CD是正方形且边长为4,/.ZABO=45°,AC1BD,AO=2枝,

VAABE=75°,ZPBG=30°,PG=-BP,

2

.•.当+取最小值时，A,P,G三点共线，且/GL5E,此时最小值为/G,

,/AABE=75°,AG1BE,；.N"G=15°,VZBAO^45°,：.ZPAO^30°,

设OP=b,贝1」/尸=26,；.〃+（2行『=（26）2,解得：6=半，

设尸G=a,则3P=2。，•：B0=26,，2。+6=2也，解得：a=V2-—

3

:.AG=AP+PG=2b+a=®+&，故选：D

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，30。所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是

证明当/尸+；2尸取最小值时，A,P,G三点共线，且/GL3E,此时最小值为/G.

例5.（23-24九年级上•江苏南通•阶段练习）如图，N8是。。的直径，CE切。。于点C交A8的延长线于

点£.设点。是弦/C上任意一点（不含端点），若NC及4=30。，BE=4,则CD+2。。的最小值为（）

c

A.2A/3B.V3C.4D.473

【答案】D

【分析】作O尸平分//oc,交00于尸，连接/尸、CF、DF,过点。作。于根据切线的性

质和三角形内角和定理可得/COE=60。，求得4。。=120。，根据角平分线的性质可得

乙4OF=/CO尸=60。，根据含30。角的直角三角形的性质可得OE=2OC,求得0c=4,根据等边三角形

的判定和性质可得/尸=AO=OC=FC,根据菱形的判定和性质可得AC平分ZFAO,根据角平分线的性质

和全等三角形的判定和性质可得分=。。，根据等边对等角和三角形内角和定理求得/OC4=/CMC=30。,

根据特殊角的锐角三角函数可求得CD=2D”，推得C。+2O。=2（。H+ED）,根据垂线段最短可得，当下、

D、H三点共线时，DH+ED的值最小，即以，/C时，CD+2OD的值最小，根据特殊角的锐角三角函数

可求得万H=2内，即可求解.

【详解】解：作//OC的角平分线。尸，交。。于尸，连接NF、CF、DF,过点。作D〃_LOC于“，如

图：

OCVCE,：.NOCE=90。，又ZCEA=30°,/.NCOE=180°-90°-30°=60°，,ZAOC=180°-60°=120°,

,/平分//OC,贝IJN/OF=NCOF=1N/OC=!X120O=60°,

22

VACEO=3Q°,ZOCE=90°,：.OC=-OE,即OE=2OC,

2

XVOE=OB+BE=OC+BE,BE=4,：.WC=OC+4,：.OC=4,即圆的半径为4,

OA=OF=OC,NAOF=NCOF=60°,"OF、ACOF是等边三角形，

AF=AO=OC=FC,四边形NOC尸是菱形，NC平分/E4O,AZFAC=ZOAC,

又；4尸=40,AD=AD,也AGMD(SAS),:.DF=DO,

180。—//。。180。—120。

,：OA=OCZOCA=ZOAC=

f22

Z.DH=DC-sinZDCH=DC-sin30°=-DC,BPCD=2DH,：,

2

CD+2OD=2DH+2OD=2{DH+OD)=2(DH+FD).若使CD+20。的值最小，即DH+ED的值最小,

当尸、D、H三点共线时，DH+FD=FH,此时。8+FD的值最小，即切_L4C时，C0+2O。的值最小，

此时，FH=OF-sinZFOH=OF-sin60°=^-OF=2y[3,CD+2OD=2（DH+FD）=2FH=46,故选：D.

【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含30。角的直角三角形的性质，等

边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角

函数，垂线段最短，解题的关键是明确当尸、D、H三点共线时，DH+FD的值最小，即。+2OD的值

最小.

例7.（2023・四川自贡•统考中考真题）如图，直线y=-；x+2与x轴，y轴分别交于/,3两点，点。是线

段上一动点，点〃是直线y=-gx+2上的一动点，动点0）,F（m+3X））,连接BE,DF,HD.当

8E+D尸取最小值时，38H+5D”的最小值是

【分析】作出点C（3,-2）,作于点。，交x轴于点R此时8E+。尸的最小值为的长，利用解

直角三角形求得尸利用待定系数法求得直线8的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作

OGLy轴于点G,此时+的最小值是5DG的长，据此求解即可.

【详解】解：：直线>=-；》+2与x轴，y轴分别交于4,3两点，，以。©,/（6,0）,

作点2关于x轴的对称点夕（0,-2）,把点"向右平移3个单位得到C（3,-2）,

作。，于点。，交x轴于点尸，过点"作〃。口交x轴于点E,则四边形EFC8'是平行四边形,

此时，BE=B'E=CF,二8£+。b=。尸+。尸=。。有最小值，作CP_Lx轴于点P,

则CP=2,OP=3,VZCFP=ZAFD,：.ZFCP=ZFAD,：.tanZFCP=tanZFAD,

看需哼"*”尸pok设直线。的解析式为y=h+b,

3k+b=-2k=3

则11,,c，解得-•直线c。的解析式为-11,

——左+6=0

13

39

y=3x-11x=——

;,即。397

联立，1「解得;过点。作。轴于点G,

y=——x+2

3y——

10

3

直线y=-*+2与x轴的交点为。任，o],则50=后齐而=:,sinZOS2=^=|=|,

3）2£5

2

HG=BHsinZGBH=[BH,：.3BH+5DH=5113〃+DH^=5（HG+DH）=5DG,

3939泪

即38〃+50〃的最小值是5AG=5*m=万，故答案为：y.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所

学知识解决问题.

例8.（2024•山东济南•一模）实践与探究

【问题情境】（1）①如图1，Rt△4BC,DB=90°,N/=60。，D,E分别为边/C上的点，DE//BC,

AJ~）

且3C=2OE,则一=；②如图2,将①中的V/DE绕点A顺时针旋转30。，则DE,8c所在直线较

AB

小夹角的度数为.

【探究实践】（2）如图3,矩形48=2,4。=26，E为边/。上的动点，尸为边BC上的动点，BF=2AE,

连接E尸，作BH1EF于H点,连接8.当C"的长度最小时，求8〃的长.

【拓展应用】（3）如图4,RtAABC,ZACB^90°,ZCAB=60°,AC=。,。为48中点，连接CD,E,F

分别为线段助，CD上的动点，且DF=2BE,请直接写出/尸+拽斯的最小值.

3

图1图2图3图4

【答案】(1)①上;②30。；(2)2；(3)V13

【分析】(1)①由。E〃3c得出△4D£sa4gc,再由相似三角形的性质即可得解；②延长DE交8C于下，

令4B交DE于G,由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；

(2)延长34FE,相交于点G,连接AC.由矩形的性质可得/E〃BF,BC=AD=243,证明

AGAESAGBF,由相似三角形的性质得出点A为G8中点，由直角三角形的性质得出==2,当

A,H,C,三点共线时S取得最小值，证明出瓦/为等边三角形，即可得解；

(3)分别过点。和3作垂线，两线相交于点P,连接PE、PF、PA,贝"CO尸=/尸"=9QP,证明

APBES^PDF,得出NPEB=NPFD,再证明出尸、E、D、尸四点共圆，得出/尸尸£=/尸。8=30°,

ZPEF=ZPDF=90°,解直角三角形得出尸尸=述跖，即可得出/尸+拽斯=/尸+尸尸2/尸，最后由

33

勾股定理计算即可得出答案.

ADr)rr)r11

【详解】解：⑴①；DE〃BC,.•.吗=-=上幺=上，故答案为：

ABBC^JDE2~

图3

由①可得ND=ZABC=90。，由旋转的性质可得：ND4B=30。,

ZAGD=90P-ZDAG=60°,/.ZBGF=ZAGD=6CP,ZBFG=90°-ZBGF=30°,

DE,3C所在直线较小夹角的度数为30。，故答案为：30°；

(2)延长34FE,相交于点G,连接/〃，AC.

■:四边形/BCD是矩形，AE//BF,BC=AD=2拒,:.NGAE=NGBF,

G4AEAE1

•r/G=/G,：.AGAESAGBF,：.—=—=——=-,二点A为G3中点，:.BG=2AB=4,

GBBF2AE2

,:BHLEF于点、H,...在RSBHG中，AH=-=AB=2,

2

:在中，CH>AC-AH,且/C,为定值，，当4H,C,三点共线时取得最小值，

DZ~»

VtanZCAB=--=73,/.ZCAB=60°,此时为等边三角形，二58=48=2.

AB

(3)如图，分别过点。和8作垂线，两线相交于点尸，连接PE、PF、PA,则/C。尸=/尸8E=90P,

RtA^5C,ZACB=90°,ZCAB=60°,AC=43,。为N8中点，

CD=AD=BD=^AB,ZABC=90°-ZCAB=30°,AB=2AC=2

:.^ACD为等边三角形,NADC=60。，BD=AD=ACZ，

12

ZPDB=180°-AADC-ACDP=30°,PB=-PD,-；PB2+BD2=DP~>/.PB2+(73)=(2P5)2,:.PB=\,

-：DF=2BE,FPBESAPDF,ZPEB=ZPFD,/.ZPED+ZPFD=18(F,尸、£、。、尸四点共圆，

ZPFE=ZPDB=3(F,ZPEF=ZPDF=90°,在Rt△尸£尸中，cosZPFE=cos30°=—=—,

PF2

:.PF=^-EF,AF+^-EF=AF+PF>AP,

33

在RMPB中，AP=AB2+PB2+仔，,AF+^EF的最小值为V13.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定

与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加

适当的辅助线是解此题的关键.

例9.(24-25九年级上•江苏苏州•阶段练习)如图，二次函数了=6/-6瓜+5。的图象交x轴于/、B两

点，交y轴于点C,连接8C.(1)直接写出点8、。的坐标，B；C.

(2)点尸是y轴右侧抛物线上的一点，连接PB、PC.若△尸的面积15百，求点尸的坐标.

(3)设E为线段8c上任意一点(不含端点)，连接一动点M从点/出发，沿线段/E以每秒1个单位

速度运动到E点，再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值.

【答案】⑴（5,0）,仅,5旬（2）（2,-3@或（3,-4石）或（6,5码（3）点新的运动时间的最小值为7秒

【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与2C平行直线，找到与抛物

线的交点P;（3）如图，在x轴上取一点G,连接CG,使得NBCG=30。，作ENLCG于M作/NUCG

pr1

于N'交8C于£.由点M的运动时间f=+EN=-EC,推出点M的运动时间/=4E+EN,根据

22

垂线段最短可知，当/,E,N关系，点N与V重合，点£与夕重合时，点M的运动时间最少.由此即可

解决问题；

【详解】（1）解：当x=0时，y=5#）,

2,

当y=。时，y/3x-6y/3x+5sj3-0,解得：玉=1,x2=5,故答案为：（5,0）,（0,56）；

（2）解：设x轴上点。，使得的面积156，.彳&^^二匕百，解得：BD=6,

•••C（0,5A/3）,5（5,0）,则可求直线8C解析式为：＞=-&+5百，故点D坐标为（T。）或（口⑼，

当D坐标为（-1,0）时，过点D平行于BC的直线I与抛物线交点为满足条件的P,

则可求得直线/的解析式为：y=_岛飞,

求直线/与抛物线交点得：屈2-6岳+56=-屈-6，解得：玉=2,%=3,

则P点坐标为（2,-3码或（3,-473）,同理当点。坐标为（11,0）时，直线/的解析式为y=-后+1173,

求直线/与抛物线交点得：、回苫2_6岳+56=_&+11@,解得：西=-1（舍弃），x2=6,

则点尸坐标为上59，综上满足条件P点坐标为：（2,-3右）或（3,-46）或k,59；

(3)解：如图，在x轴上取一点G,连接CG,使得/3CG=30。，作ENLCG于N.作/N」CG于N'交

BC于E'.

AGCO=60°,

OG=V3OC=15，直线CG的解析式为=-—X+5A/3»

3

pc1

,・,点M的运动时间£=+—,EN=-EC，，点M的运动时间+,

22

根据垂线段最短可知，当HE,N关系，点N与N'重合，点E与£重合时，点M的运动时间最少.

由题意/Q,0),，/G=14,.•.NN，=；/G=7,.•.点”的运动时间的最小值为7秒，止匕时£(3,2力).

【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本

题的关键.

习题练模型

1.（2024•山东淄博•校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点/的坐标是（0,2）,点C的坐标是（0,-2）,

点3（x,0）是x轴上的动点，点8在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连

接PC,求得力尸+；尸C的最小值为（）

A.4GB.4C.2A/3D.2

【答案】C

【分析】如图1所示，以为边，向右作等边△/。。，连接PD,过点。作于E,先求出点。的

坐标，然后证明△A4。名△以。得到/尸。/=/3。4=90。，则点尸在经过点。且与/D垂直的直线上运动，

当点尸运动到y轴时，如图2所示，证明此时点尸的坐标为（0,-2）从而求出直线PD的解析式；如图3

所示，作点/关于直线电＞的对称点G,连接PG,过点尸作尸轴于凡设直线尸。与x轴的交点为“,

先求出点〃的坐标，然后证明/"CO=30。，从而得到/尸+gpC=GP+PF,则当G、P、尸三点共线时，

GP+尸尸有最小值，即4P+[PC有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求.

【详解】解：如图1所示，以。/为边，向右作等边A/OD,连接PD,过点。作于E,

:点/的坐标为（0,2）,：.OA=OD=2,：.OE=AE=l,：.DE=^OD2-OE2=V3,.,.点。的坐标为（g，l）；

：△ZAP是等边三角形，A/OD是等边三角形，：.AB=AP,NB4P=60。,AO=AD,ZOAD=60°,

：.ZBAP+ZPAO=ZDAO+ZPAO,即:.ABAO经八PAD（”S）,AZPDA=ZBOA=90°,

.•.点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，

当点尸运动到y轴时，如图2所示，此时点尸与点C重合,

0是等边三角形，BOL4P,：.AO=PO=2,J此时点尸的坐标为（0,-2）,

fy/3k+6=1.女=百

设直线尸。的解析式为歹=履+6,・・・直线PQ的解析式为y=2；

[b=-2「b=-2

如图3所示，作点4关于直线心的对称点G,连接尸G,过点尸作„3；轴于尸，连接CG,设直线尸D

与X轴的交点为〃，.•.点”的坐标为一，0,tan/OC〃=q^=@，.•./。。/=30。，...尸尸=1PC,

I3JOC32

由轴对称的性质可知AP=GP,：.AP+-PC=GP+PF,

2

.•.当G、尸、尸三点共线时，GP+PF有最小值，即4P+」PC有最小值，

2

：/、G两点关于直线PD对称，且NNDC=90。，.•.4）=GD,即点。为/G的中点,

:点/的坐标为（0,2）,点。的坐标为限1）,：.AG=2AD=2OA=4,

"：AC=4,ZCAG=60°,ZUCG是等边三角形,"：OC=OA,：.OGLAC,即点G在x轴上,

，由勾股定理得OG=142-22=26，，当点尸运动到〃点时，GP+P尸有最小值，即/尸+；尸C有最小值,

最小值即为。G的长，4P+；尸C的最小值为26，故选：C.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴

对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点尸的运动轨迹是解题的关键.

2.（2024・四川德阳•二模）如图，已知抛物线y=a/+6x+c与x轴交于41，0），C（-3,0）两点，与y轴交于点

3（0,3）.若P为y轴上一个动点，连接NP,则［BP+NP的最小值为（）

C.2亚D.4

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在

于把求也8P+4P最小值转化为求尸G+N尸的最小值；连接8C,AP,过点P作尸GL3C于点G,连接ZG,

2

过点/作于点〃；由B、C的坐标得08=0。，则有NO3C=45。，从而尸G=*2尸；于是求

2

显BP+AP最小值转化为求PG+AP的最小值；利用勾股定理即可求得最小值.

2

.'.—BP+AP=PG+AP>AG>AH,—BP+AP的最小值为的长，

22

6

・.,/(1,0),C(-3,0),\AC=1-(-3)=4,在RQ4C“中，vDACH=45°,AC=4f\AH=—AC=272,

2

.•.也5P+4尸的最小值为2后.故选：C.

2

3.(2024•山东校考一模)如图，AB=AC,力(0,乖)，C(1,0),。为射线力。上一点，一动点尸从4出

发，运动路径为力-。-。，在4。上的速度为4个单位/秒，在CZ）上的速度为1个单位/秒，则整个运动时

间最少时，。的坐标为

【答案】0,

【分析】如图，作于H,CM_LAB于"，交AO于D.运动时间/=半+半=竺+CZ),由

414

LAHDsAAOB,推出。H=」4D,nJ^-AD+CD=CD+DH,推出当C,D,〃共线且和C"重合时,

44

运动时间最短.

【详解】如图，作DH工4B于H,。/_1/6于/，交/。于。叱

:运动时间，=—+—=—+CD,"AB=AC,AO1BC,：.BO=OC=1,

414

V^(0,V15),C(1,0),AB=AC,AOIBC,：.AB=AC=yjoA1+OB1=715+1=4>

ADAH=ABAO,ZDHA=ZAOB=90°,：.^AHD^AOB,

：.DH=-AD,：.-AD+CD=CD+DH,

ABOB44

...当C,D,"共线且和CW重合时，运动时间最短，

:.^BC-AO=^AB-CM,:.CM=李,；.-CM?=半)=*,

49

VAD,=4MD,,设〃/>=加，则4。'=4加，则有：16加？—冽2=一

4

噜或呼（舍去）,二嗜.••心书

4.（2023•湖南湘西•统考中考真题）如图，。。是等边三角形48c的外接圆，其半径为4.过点8作

于点E,点尸为线段3E上一动点（点尸不与3,E重合），则CP+lgP的最小值为

2

【分析】过点。作尸。连接CO并延长交于点R连接/。，根据等边三角形的性质和圆内接三

角形的性质得到。4=08=4,CF1AB,然后利用含30。角直角三角形的性质得到OE=；CM=2,进而求

出8£=8。+£。=6,然后利用CP+,J8P=C尸+P。VC尸代入求解即可.

2

【详解】如图所示，过点尸作尸3,连接CO并延长交于点尸，连接/O

^ABC是等边三角形，BE1ACZABE=ZCBE=-ZABC=30°

2

：。。是等边三角形4BC的外接圆，其半径为4,CU=O8=4,CF1AB,

：.AOBA=NOAB=3TZOAE=ZOAB=-ZBAC=30°

2

BEVAC：.OE=-OA=2：.BE=BO+EO=6

2

11

,/PD1AB,ZABE=30°；.PD=—PB：,CP+-BP=CP+PD<CF

22

尸的最小值为CF的长度：AA8C是等边三角形，BELAC,CFJ.AB

2

：.CF=BE=6,CP+▲8尸的最小值为6.故答案为：6.

2

【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含30。角直角三角形的性质等知识，解题的

关键是熟练掌握以上知识点.

5.（2023•辽宁锦州•统考中考真题）如图，在Rt448C中，44c3=90。，ZABC=30°,ZC=4,按下列

步骤作图：①在/C和N8上分别截取/£＞、AE,使②分别以点。和点E为圆心，以大于工。£

2

的长为半径作弧，两弧在/切C内交于点③作射线交BC于点E若点P是线段小上的一个动点,

连接CP,则CP+g"的最小值是.

【答案】2拒

【分析】过点P作尸。工N8于点。，过点C作于点X,先利用角平分线和三角形的内角和定理求

出/切尸=30。，然后利用含30°的直角三角的性质得出尸0=；/尸，则CP+；/尸=CP+P02C〃，当C、

尸、。三点共线，且与垂直时，CP+；/尸最小，CP+；/尸最小值为S,利用含30。的直角三角的性质

和勾股定理求出N8,BC,最后利用等面积法求解即可.

［详解］解：过点尸作P。」AB于点Q,过点C作C"，AB于点H,

由题意知：N/平分/8ZC,•.•44。3=90。，AABC=30°,ABAC=60°,

：.ZBAF=^BAC=30P,PQ=^AP,：.CP+^AP^CP+PQ>CH,

...当C、P、0三点共线，且与垂直时，CP+g/P最小，CP+；/P最小值为CH,

VZACB=90°,ZABC=30°,NC=4,AB=2AC=S,：.BC=>JAB2-AC2=473.

，,y二-=25

S^AC.BC=LAB.CHCH

即CP+；/尸最小值为2VL故答案为：2G.

【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含30。的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用

等积法求三角形的高或点的线的距离的方法.

6.（2022•湖北武汉•九年级期末）如图，口/BCD中乙4=60。，48=6,AD=2,P为边CD上一点,则

43PD+2PB的最小值为.

【答案】6G

【分析】作尸〃_£/。交4。的延长线于“，由直角三角形的性质可得打=且。尸，因此

2

6PD+2PB=2（二~DP+PB）=2（PH+PB）,当H、P、B三点共线时HP+P8有最小值，即百尸。十2p5有最小

2

值，即可求解.

【详解】如图，过点P作尸交/。的延长线于

,•・四边形48co是平行四边形，.•./8//CA,:.ZA=NPDH=60。

1/?

:PH±AD；.ZDPH=30°；.DH=-PD,PH=>J3DH=—PD,

22

/?

/.粗PD+2PB=2yPD+PB）=2（PH+PB）

当点H,点P,点B三点共线时，HP+依有最小值，即由尸。+2尸8有最小值，

此时BH1AH,ZABH=30°,N/=60。，：.AH=^AB=3,BH=CAH=3C

则百尸D+2尸8最小值为6行，故答案为：6百.

【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识.构造直角

三角形是解题的关键.

7.（2023・江苏宿迁・统考二模）已知中，BC=6cm,ZA=60°,则/台+1二1/c的最大值为

2

A

【答案】6&

【分析】过点C作CDL4B,垂足为D,^LDE=AD,即可说明VADE是等腰直角三角形，求出乙4c0=30。，

进一步求出CE=3二/C,继而将/8+避匚/。转化为AD+C。，推出点。在以8C为直径的圆上，从而

22

可知当△BCO为等腰直角二角形时，BD+CD最大,再求解即可.

【详解】解：如图，过点。作CDL48,垂足为。，取DE=AD,

：.VADE是等腰直角三角形，；.NDAE=ZDEA=45°,

•・・/4=60。，AZCAE=15°：.ZACD=ZAED-ZCAE=30°,AD=-AC=DE,

f2

ACD=4AC1-AD1=—AC,CE=CD-DE=-AC--AC=也,

2222

J3-1

AB+-——AC=AB+CE=AD+BD+CE=DE+BD+CE=BD+CL,

2

2222

V(BD+CD)=BD+CD+2BDXCD=BC+4Sabcd=36+4SMCD,而BC一定，

...当△BCD的面积最大时，8。+。最大，：一班)。=90。，；.点。在以3(7为直径的圆上，

二当。平分前时，点。到3C的距离最大，即高最大，则面积最大，

此时8。=CD,则为等腰直角三角形，...30+。。=250=2\存=6逝，故