2025年中考数学一轮复习学案：尺规作图（解析版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第六章图形的变化

6.1尺规作图

备考指南＞

考点分布考查频率命题趋势

考点1基本尺规作图及相几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的

☆☆

应判断热点内容，更是全国中考的必考内容。每年都有一些

考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范

等原因导致失分。

从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高

考点2无刻度直尺作图☆频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，而无刻度

作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题

型。从题型角度看，以解答题为主，分值8分左右，

着实不少！但选择题、填空题考查几何作图题也不少。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。

yI知识清单〉

考点1.基本尺规作图及相应判断

1.由作角平分线过程求解。这类作图主要考查了角平分线的性质定理和尺规作图,勾股定理、菱形

判定等知识。

2.由作垂直平分线过程求解。这类作图主要考查了垂直平分线的作法和性质,等腰三角形的性质和

三角形内角和定理，掌根据垂直平分线的性质等。

考点2.无刻度直尺作图

1.网格中有一线的无刻度作图。这类作图主要考查作图-对称变换，等腰三角形的性质，勾股定理等

知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题。

2.网格中有一三角形的无刻度作图。这类作图主要考查格点作图，平行四边形的判定及性质，勾

股定理，全等三角形、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相关图芨的性质是解决问题的关键。

3.网格中有四边形的无刻度作图。这类作图主要考查了复杂作图、位似图形、勾股定理、平行四边

形的性质等知识，熟练掌握尺规作图的常见作法是解题关键。

4.特殊图形中的无刻度作图。这类作图主要考查了作图一复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基

本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图捱解成基本作图，逐步操作，也考查了全等

三角形的判定与性质和线段垂直平分线的性质等。

5.平行四边形中的无刻度作图。这类作图主要考查作图-复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟

练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关。

6.矩形、菱形、正方形中的无刻度作图。这类作图主要考查了复杂作图，掌握特殊平行四边形的性

质是解题的关键。

【提示】几何作图题分尺规作图和无刻度作图，是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1.从考点频率看，尺规作图是几何作图的基础，也是高频考点、必考点，所以必须熟练尺规作图，

而无刻度作图是近几年的新考法，有几个省市着重考查此类题型。

2.从题型角度看，以解答题形式出现的情况成为常态，分值8分左右。

K考点梳理I）

考点1.基本尺规作图及相应判断

【例题1】（2024深圳）在如图的三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分/B4c

的是（）

A

B

【答案】B

【解析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，解决问题的关键是理解作法、掌握角平分

线的定义.利用基本作图对三个图形的作法进行判断即可.在图①中，利用基本作图可判断A。平分

NBAC；在图③中，利用作法得AE=AR=,可证明_ARWgoAEN,有

ZAMD^ZAND,可得ME=NF,进一步证明式ZW）尸，得DM=DN,继而可证明

△ADM咨AADN,得/MAD=NNAD,得到AD是/B4c的平分线；在图②中，利用基本作

图得到。点为的中点，则AD为边上的中线.

【详解】在图①中，利用基本作图可判断A。平分NB4C；

在图③中，利用作法得A£=ARAM=AN,

在AAFM和AAEN中，

AE=AF

<ABAC=ABAC,

AM=AN

.ARW乌AETV(SAS),

ZAMD=ZAND,

AM-AE=AN-AF

:.ME=NF

在，"DE和..NDF中

ZAMD=ZAND

<ZMDE=ZNDF,

ME=NF

.•.MDE^NDF(AAS),

DM=DN,

"AD=AD,AM=AN,

ADM^ADN(SSS),

ZMAD^ZNAD,

；•A。是的平分线；

在图②中，利用基本作图得到。点为的中点，则A。为边上的中线.

则①③可得出射线A。平分NB4C.故选：B.

【变式练1］（2024长春一模）如图，在ABC中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确

A.AF=BFB.AE=-AC

2

C.ZDBF+ZDFB=90°D.ZBAF=ZEBC

【答案】B

【解析】根据尺规作图痕迹，可得。E垂直平分AB,BE是NA3C的角平分线，根据垂直平分线的

性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可.

【详解】根据尺规作图痕迹，可得。/垂直平分AB,BE是NA3C的角平分线，

AF=BF,ZBDF=90°,ZABF=ZCBE,

ZABF=ZBAF,/DBF+ZDFB=90°,

ZBAF=ZEBC,

综上，正确的是A、C、D选项，故选：B.

【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角

形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

【变式练2］（2024江苏连云港一模）如图，在中，ZABC=150°.利用尺规在BC、BA

上分别截取鹿、BF，使BE=BE；分别以E、R为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在

2

NC6A内交于点G；作射线BG交。。于点〃.若AZ>=g+l,则3H的长为.

【答案】桓

【解析】如图所示，过点〃作于由作图方法可知,平分443C,即可证明NC38=NCH2,

得到3=50=6+1，从而求出HM,CM的长，进而求出的长，即可利用勾股定理求出

的长.

【详解】如图所示，过点H作即W_LBC于

由作图方法可知，BH平分乙4BC,

•.•四边形ABCD是平行四边形，

•*.5C=AD=V3+1,AB//CD，

：.ZCHB=ZABH,ZC=18O°-ZABC=3O°,

ZCBH=ZCHB,

:.CH=BC=6+L

:•HM=-CH

22

：.CM=《CH?-CM?=,

2

J3-I

：.BM=BC-CM=——,

2

•*-BH=^HM2+BM2=72,

故答案为：日

DC

4^-------------------------------

FB

【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质,

勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键.

【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，。。是AABC的外接圆，ZABC=45°.

（1）请用尺规作出。。的切线AQ（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）的条件下，若反与切线AD所夹的锐角为75。，。。的半径为2,求BC的长.

【答案】（1）见解析（2）273

【解析】【分析】（1）连接。A,过点4作AQLAO即可；

（2）连接OC.先证明NACB=75。，再利用三角形内角和定理求出NCAB,推出N80C=120。,

求出C”可得结论.

【详解】（D解：如图，切线即为所求；

'.'AD是切线，

：.OA±AD,

：.ZOAD=90°,

'：/DAB=75°,

：.ZOAB=15°f

u

：OA=OBf

：.ZOAB=ZOBA=15°f

：.N8O4=150。，

・•・ZBCA=|ZAOB=75°f

ZABC=45°,

JZBAC=180°-45°-750=60。,

・・・ZBOC=2ZBAC=120°,

*.*O3=OC=2,

JZBCO=ZCBO=30°,

OHLBC,

CH=BH=OC,cos30°=6,

：.BC=2^/3.

【点睛】本题主要考查了作圆的、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，

解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

考点2.无刻度直尺作图

【例题2】(2024武汉市)如图是由小正方形组成的3x4网格，每个小正方形的顶点叫做格点.一ABC

三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三

(1)(2)

(1)在图(1)中，画射线A。交于点。，使A。平分A5C的面积;

(2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E,使NECB=NAC5；

(3)在图(2)中，先画点E使点A绕点厂顺时针旋转90。到点C,再画射线A尸交于点G；

(4)在(3)基础上，将线段AB绕点G旋转180°,画对应线段(点A与点M对应，点B

与点N对应).

【答案】(1)作图见解析

(2)作图见解析(3)作图见解析

(4)作图见解析

【解析】【分析】本题考查了网格作图.熟练掌握全等三角形性质，平行四边形性质，等腰三角形性

质，等腰直角三角形性质，是解题的关键.

(1)作矩形对角线印交于点D,做射线AD,即可；

(2)作OP〃3C,射线尸于点。，连接CQ交A。于点E,即可；

(3)在AC下方取点凡使AF=CF=逐，△ACF是等腰直角三角形，连接b,AF>AF

交BC于点G,即可；

(4)作OP〃3C,交AG于点作ST〃AG,交BC于点、N,连接肱V,即可.

【小问1详解】

如图，作线段包，使四边形是矩形，印交BC于点、D,做射线A。，点。即为所求作；

【小问2详解】

如图，作OP〃3C,作ARLO尸于点。，连接CQ交A。于点E,点E即为作求作;

【小问3详解】

如图，在AC下方取点尸，使AR=CE=J?,连接。下，连接并延长A尸，A尸交于点G,

点、F,G即为所求作;

A

【小问4详解】

如图，作OP〃3C,交射线AG于点M,作ST〃AG,交BC于点、N,连接MN,线段即为

所求作.

【变式练1］（2024湖南长沙一模）如图是7x6的正方形网格，已知格点△ABC（顶点在小正方形顶

点处的三角形称为格点三角形），请仅用无刻度直尺完成下列作图（要求保留作图痕迹，不要求写作

⑴图1中，在边上找一点作线段使得“一?行

3

（2）图2中，在AB边上找一点E,作线段CE,使得SACE=WSM-

【答案】（1）见解析⑵见解析

【分析】本题考查作图一应用与设计作图、三角形的面积、相似三角形的判定与性质，解题的关键是

理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

（1）取线段的中点。，连接°,则点。即为所求.

（2）取格点/，N,使AM:3N=3:2,且AM〃3N,连接MN,交AB于点E,连接区，则点E即

为所求.

【详解】（1）

解：如图1,取线段A3的中点D,连接

则点。即为所求;

(2)

N,使4W:8N=3:2,且AM〃氏V,

连接例N,交AB于点E,连接CE,

则△AME-ABNE,

AEAM3

贝ljBEBN2,

S^ACE'SgcE=3.2

••-5MC£=|sMfiC

则点E即为所求.

【变式练2](2024广州一模)如图是由小正方形组成的网格，四边形.8的顶点都在格点上，仅

用无刻度的直尺在所给定的网格中按要求完成下列画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.

(1)在图1中，先以点A为位似中心，将四边形缩小为原来的万，画出缩小后的四边形AAG2,

再在AB上画点E,使得平分四边形ABC。的周长；

(2)在图2中，先在AS上画点/，使得CF=BC,再分别在AD,AB上画点M,N,使得四边形BCMN

是平行四边形.

【答案】（1）见详解（2）见详解

【分析】（1）取钻、A。、AD的中点瓦、6、2,然后顺次连接即可；根据勾股定理可得旗=5,

AD=CD=242,结合图形可知3c=3,故AB+BC=8,取格点尸，使得P3=AB=5,则有

ZBAP=NBPA,连接AP,再取点°,连接CQ,此时可有AC=P8=4,AC//PB,即四边形人尸℃

为平行四边形，则有CQ〃4尸，易得NBQE=NBPA,NBEQ=NBAP,所以NBEQ=/BQE,易得

BE=BQ=l连接OE,则。E平分四边形ABCD的周长；

⑵取格点G,H,J,使得CG=3,GH=4,HJ=3,连接GJ交A2于尸，易证明ABC”GJH,

所以/"GJ=/C4B,结合NB+NC4B=90。，可得NG+/B=90。，即BGF为直角三角形，因为

CG=BC=3,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，可得CF=3C；在网格中取点K,

连接CK交AD于点则CK〃AB,过点/作MN〃3C,交AB为点、N,即可获得答案.

【详解】（1）解：如下图，四边形A4G2,线段OE即为所求；

（2）如下图，CF,四边形3QWN即为所求.

【变式练3】（2024深圳一模）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD的中点，仅用无刻度的直

尺作图:

⑴在上取点M,使四边形为平行四边形;

（2）在CD的延长线上取一点F,使四边形及）外为平行四边形.

【答案】（1）见详解（2）见详解

【分析】（1）连接4C,交BD于点0,连接E0并延长交BC于点旭则点M即为所求，因为四边形

ABCD为平行四边形，则/场〃又因为E为的中点，0为8。的中点，所以BA,即

EM//AB,所以四边形"ME为平行四边形；

（2）连接班并延长交。的延长线于点F,连接AF,则点F即为所求，因为四边形人台⑦为平行四

边形，则用〃回，所以=又因为E为A。的中点，所以AE=DE,且ZAEB=NDEF,

所以△MEgADbE（AAS）,即45=。尸，所以四边形83/弘为平行四边形.

1.（2024河北省）观察图中尺规作图的痕迹，可得线段加＞一定是,ABC的（）

C.中位线D.中线

【答案】B

【解析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得5。，AC,从而可得

答案.

由作图可得：BD±AC,

.,•线段3D一定是_ABC的高线；故选B

2.（2024四川成都市）如图，在YABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径

作弧，分别交B4,于点N；②分别以M,N为圆心，以大于的长为半径作弧，

2

两弧在NA5C内交于点。；③作射线80,交A。于点E，交CD延长线于点若CD=3,

DE=2,下列结论错误的是（）

F

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

BE5

C.DE=DFD.-=-

EF3

【答案】D

【解析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定

的综合.先由作图得到所为/A3C的角平分，利用平行线证明NAEB=NABE,从而得到

AE=AB=CD=3,再利用平行四边形的性质得到5C=A£>=AE+团=3+2=5,再证明

BE3

A/A7?7?°°ADF.F,分别求出=—,DF=2>则各选项可以判定.

EF2

【详解】由作图可知，g分为/A5C的角平分，

AZABE=ZCBE,故A正确；

1/四边形A3CD为平行四边形,

AD=BC,AB=CD,ADBC,

,：AD/7BC

/•ZAEB=ZCBE,

ZAEB=ZABE，

AE=AB—CD=3,

BC=AD=AE+ED=3+2=5,故B正确;

•：AB=CD,

/.ZABE=ZF,

'：ZAEB=ZDEF,

AAEB^ADEF,

.BEABAE

'~EF~~DF~~ED'

•BE33

,EF-DF-2)

BF3

:.——=-,DF=2,故D错误;

EF2

,/DE=2,

:•DE=DF,故C正确，故选：D.

3.（2024武汉市）小美同学按如下步骤作四边形A3CD：①画NWW；②以点A为圆心，1个单

位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D；③分别以点3,。为圆心，1个单位长为半径画弧，

两弧交于点C；④连接BC,CD,BD.若Z4=44。，则NCBD的大小是（）

【答案】C

【解析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形A3CD是菱形，进而根据

菱形的性质，即可求解.

【详解】解：作图可得A5=AT>=5C=£>C

四边形A3CD是菱形，

ADBC,NABD=NCBD

VZA=44°,

ZMBC=ZA=44°,

：.ZCBD=1（180°-ZMBC）=1（180°-44°）=68°,故选：C.

4.（2024湖南省）如图，在锐角三角形ABC中，A。是边上的高，在胡，上分别截取线

段BE,BF，使BE=BF；分别以点E,P为圆心，大于工ER的长为半径画弧，在/ABC内，

2

两弧交于点尸，作射线成，交AD于点M,过点M作肱V1AB于点N.若MN=2,AD=4MD,

贝U=.

c

p

ANEB

【答案】6

【解析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知3尸平分/A5C,根据角平

分线的性质可知八做=MN=2,结合AZ）=4M。求出AD,AM.

详解】作图可知成平分/A5C，

；A。是边上的高，MN±AB,MN=2,

：.MD=MN=2,

AD=AMD,

••AD—8,

AM=AD-MD=6,故答案为：6.

5.（2024黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，以点。为圆心，适当长为半径画弧，交x

轴正半轴于点交y轴正半轴于点N,再分别以点M,N为圆心，大于的长为半径画弧，两

弧在第一象限交于点X,画射线OH,若〃（2a—则。=.

【解析】此题主要考查了角平分线的尺规作图和性质，坐标与图形的性质，根据作图方法可得点H

在第一象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第一象限内点的坐标符号可得答案.

【详解】根据作图方法可得点H在第一象限角平分线上；点〃横纵坐标相等且为正数；

"2d—1=a+1,

解得：。=2.

6.（2024贵州省）如图，在〃15c中，以点A为圆心，线段的长为半径画弧，交BC于点D,

连接AD.若AB=5,则AD的长为.

A

【答案】5

【解析】本题考查了尺规作图，根据作一条线段等于已知线段的作法可得出AZ）=A3,即可求解.

由作图可知：AD=AB,

•：AB=5,

：.AD=5.

7.（2024河南省）如图，在中，CD是斜边A5上的中线，BE//加交AC的延长线

于点E.

（1）请用无刻度的直尺和圆规作NECM,使NECM=NA,且射线CM交班于点尸（保留作图

痕迹，不写作法）.

（2）证明（1）中得到的四边形CD3F是菱形

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关

键是：

（1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可；

（2）先证明四边形CD3F是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出

CD=BD=-AB,最后根据菱形的判定即可得证.

2

【小问1详解】

解：如图，

证明：，：NECM=ZA,

：.CM//AB,

•：BE//DC,

，四边形CDBF是平行四边形，

•.•在RtZvlBC中，CD是斜边A3上的中线，

CD=BD=-AB,

2

：.平行四边形CDBF是菱形.

8.（2024四川达州）如图，线段AC、相交于点。.且AB〃CD,4石_1_班）于点£.

（1）尺规作图：过点。作3D的垂线，垂足为点尸、连接"、CE；（不写作法，保留作图痕迹，

并标明相应的字母）

（2）若AB=CD,请判断四边形AEB的形状，并说明理由.（若前问未完成，可画草图完成此

问）

【答案】（1）见解析（2）四边形是平行四边形，理由见解析

【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定:

（1）先根据垂线的尺规作图方法作出点居再连接钎、CE即可；

⑵先证明ABO—CDO（ASA）,得到Q4=OC,再证明AE〃CF,ZAEO=ZCFO=90°,

进而证明，AOE%COF（AAS）,得到AE=C尸，即可证明四边形AEB是平行四边形.

【小问1详解】

解：如图所示，即为所求;

【小问2详解】

解：四边形AECE是平行四边形，理由如下：

AB//CD,

：.ZB=ZD,NOAB=NOCD,

又,：AB=CD,

：.-CDO（ASA）,

OA=OC,

VAE1BD,CFLBD,

：.AE//CF,ZAEO=ZCFO=90°,

又：ZAOE=ZCOF,

.AOE^COF（AAS）,

：.AE=CF,

四边形AEB是平行四边形.

9.（2024广西）如图，在一ABC中，ZA=45°,AOBC.

（1）尺规作图：作线段A5的垂直平分线/,分别交A3,AC于点DE：（要求：保留作图痕迹,

不写作法，标明字母）

（2）在（1）所作的图中，连接BE,若AB=8,求班的长.

【答案】（1）见详解（2）40

【解析】（1）分别以42为圆心，大于'A3为半径画弧，分别交A3,AC于点E,作直线DE，

2

则直线/即为所求.

⑵连接5E,由线段垂直平分线的性质可得出=由等边对等角可得出NEBA=NA=45°,

由三角形内角和得出N3E4=90°,则得出,ABE为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出

施;的长.

【小问1详解】

解：如下直线/即为所求.

【小问2详解】

VOE为线段A5的垂直平分线,

；♦BE=AE，

ZEBA=ZA=45°,

NBE4=90。，

,ABE为等腰直角三角形,

・••sinA*=g

AB2

BE=AB--=8x—=4^

22

【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角

形内角和定理以及正弦的定义.掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键.

10.（2024广州）如图，Rt^ABC中，ZABC^90°.

（1）尺规作图：作AC边上的中线30（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）在（1）所作的图中，将中线30绕点。逆时针旋转180°得到。0,连接A。，CD.求证:

四边形A3CD是矩形.

【答案】（1）作图见解析（2）证明见解析

【解析】（1）解：如图，线段3。即为所求；

•••由作图可得：AO=CO,由旋转可得：BO=DO,

.••四边形ABCD为平行四边形，

:ZABC=9Q°,

.••四边形A3CD为矩形.

11.（2024福建省）如图，已知直线4/2.

______________________________A

______________________________11

（I）在所在的平面内求作直线/,使得/,412,且/与乙间的距离恰好等于/与4间的距离；

（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，若与，2间的距离为2,点A5c分别在上，且）45。为等腰直角三

角形，求的面积.

（2）ABC的面积为1或』.

【答案】（1）见解析;

2

【解析】本题主要考查基本作图，平行线的性质，全等三角形的判定，勾股定理以及分类讨论思想:

(1)先作出与的垂线，再作出夹在4,4间垂线段的垂直平分线即可；

(2)分/加。=90°,45=4。；ZABC=9Q°,BA^BC■,ZACB=90。,C4=三种情况，结

合三角形面积公式求解即可

【小问2详解】

①当ABAC=90°,AB=AC时，

r

I.k.l2,直线4与6间的距离为2,且/与乙间的距离等于/与4间的距离，根据图形的对称性可

知：BC-2，

:.AB=AC=yfl^

分别过点AC作直线4的垂线，垂足为

:.ZAMB^ZBNC=90°.

ik,ik，直线4与4间的距离为2,且/与4间的距离等于I与z2间的距离,

:.CN=2,AM=1.

ZMAB+ZABM=90°,ZNBC+ZABM=9Q°,

:.ZMAB=ZNBC,:.AAMB%ABNC,

:.BM=CN=2.

在Rt.ABH中，由勾股定理得AB?=4欣2+加欣2,

:.AB=y/5■

③当44。8=90。,。4=。8时，同理可得，5ABe=1•

12.（2024甘肃临夏）根据背景素材，探索解决问题.

平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形A3CDEF

背

六等分圆原理，也称为圆周六等分问题,是一个古老而经典的几何问题,

景

旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题.这个问题由

素

欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述.

材

a

知

点c与坐标原点。重合，点。在x轴正半轴上且坐标为（2,0）

条

件

操①分别以点C,。为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P；

作②以点P为圆心，PC长为半径作圆；

步③以CD的长为半径，在0尸上顺次截取DE=EF=FA=AB；

0(C)Dx

骤④顺次连接。石，EF,FA,AB,BC,得到正六边形A3CDEF.

问题解决

任

根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写

务

作法）

任

务将正六边形A3CDEF绕点。顺时针旋转60°,直接写出此时点E所在位置的坐标：______.

【答案】任务一：见解析；任务二：（4,0）

【解析】本题考查尺规作图，弧、弦、圆心角的关系，旋转的性质.利用数形结合的思想是解题关键.

任务一:根据操作步骤作出P，再根据弧、弦、圆心角的关系，分别作出DE=EF=AF=AB=CD,

即得出DE=EF=FA=AB，最后顺次连接即可；

任务二：由旋转的性质可知DE'=OD=2,即得出OE=DE'+OD=4,即此时点E所在位置的

坐标为（4,0）.

【详解】解：任务一：如图，正六边形A3CDEF即为所作；

任务二：如图,

OE'=DE'+OD=4,

：.E'（4,0）.

13.（2024甘肃威武）马家窑文化以发达的彩陶著称于世，其陶质坚固，器表细腻，红、黑、白彩共

用，彩绘线条流畅细致，图案繁缗多变，形成了绚丽典雅的艺术风格，创造了一大批令人惊叹的彩陶

艺术精品，体现了古代劳动人民的智慧.如图1的彩陶纹样呈现的是三等分圆周，古人用等边三角形

三点定位的方法确定圆周的三等分点，这种方法和下面三等分圆周的方法相通.如图2,已知；。和

圆上一点作法如下：

①以点M为圆心，O河长为半径，作弧交（。于A,8两点；

②延长交C0于点C；

即点A,B,C将。的圆周三等分.

彩陶纹样三点定位法三等分圆周

图1图2

（1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图2中将I。的圆周三等分（保留作图痕迹，

不写作法）；

（2）根据（1）画出的图形，连接A5,AC,BC,若，:，。的半径为2cm,则一ABC的周长为

cm.

【答案】（1）见解析（2）66

【解析】【分析】（1）根据尺规作图的基本步骤解答即可；

（2）连接40,设A3,。加的交点为2得到的＞，0W，根据10的半径为2cm,是直径，

ABC是等边三角形，计算即可.

本题考查了尺规作图，圆的性质，等边三角形的性质，熟练掌握尺规作图的方法和圆的性质是解题的

关键.

【小问1详解】

根据基本作图的步骤，作图如下:

则点A,B,C是求作的（：。的圆周三等分点.

【小问2详解】

连接40,设AB,O河的交点为，

根据垂径定理得到ADLOM,

的半径为2cm,MC是直径，是等边三角形,

NC4M=90°,ZCMA=ZB=60°,MC=4cm,

AC=MCsinZCMA=sin60°x4=2石(cm),

(ABC的周长为AB+BC+AC=6y/3(cm),

故答案为：673.

考点2.无刻度直尺作图

1.（2024天津市）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点AEG均在格点上.

（2）点E在水平网格线上，过点AE,尸作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与尸

的延长线相交于点中，点M在边上，点N在边A3上，点P在边AC上.请用不

刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M,N,尸，使AMNP的周长最短，并简要说明点尸

的位置是如何找到的（不要求证明）.

【答案】①.72②.图见解析，说明见解析

【解析】【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键.

（1）利用勾股定理即可求解；

（2）根据圆的相关性质和网格特点进行作图即可.

【详解】（1）由勾股定理可知，AG=VF+F=V2，

故答案为：亚

（2）如图，根据题意，切点为M；连接ME并延长，与网格线相交于点/1；取圆与网格线的交点

。和格点//,连接并延长,与网格线相交于点“2；连接MIM2，分别与ABAC相交于点N,P,

D,E,。均在格点上.图①中已画出四边形A3CD,图②中已画出以0E为半径的.0,只用无刻

度的直尺，在给定的网格中按要求画图.

（1）在图①中，面出四边形A3CD的一条对称轴.

（2）在图②中，画出经过点E的:。的切线.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，切线的判定，画对称轴

等等：

（1）如图所示，取格点E、F,作直线石尸，则直线石厂即为所求；

（2）如图所示，取格点G、H,作直线G",则直线G"即为所求.

【小问1详解】

解：如图所示，取格点£、F,作直线麻，则直线所即为所求；

易证明四边形A3CD是矩形，且E、尸分别为ABCD的中点；

【小问2详解】

解：如图所示，取格点G、H,作直线G",则直线G"即为所求；

易证明四边形OG777是正方形，点E为正方形OG7H的中心，则OELGH.

3.（2024江西省）如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保

留作图痕迹）

（1）如图1，过点B作AC的垂线；

（2）如图2,点E为线段A3的中点，过点B作AC的平行线.

【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】【分析】（1）作直线3£＞，由菱形的性质可得比＞，AC,即3D为AC的垂线；

（2）连接CE并延长，与DA的延长线相交于点作直线因为点E为线段AB的中点，

所以=因为A"〃5C,所以NEAM=NEBC,NEMA=NECB,故可得

AAEM学ABEC，得到旌=CE,所以四边形ACW为平行四边形，即5加〃4。；

本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键.

【小问1详解】

解:如图，3D即为AC所求；

【小问2详解】

考点L基本尺规作图及相应判断

1.如图，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点Q,则以下推断

错误的是（）

B.AD=BDC.ZADB=108°D.CD=-AD

2

【答案】D

【解析】根据作图过程可得BD平分NABC,然后根据等腰三角形的性质即可解决问题.

'：AB=AC,ZA=36°,

ZABC=ZACB=-(180°-36°)=72°,

2

根据作图过程可知：8。平分NABC,

ZABD=ZDBC=-ZABC=36°,

2

ZB£）C=180o-36°-72o=72°,ZADB=ZDBC+ZACB=36°+72°=108°,故选项C成立；

ZBDC=ZACB=12°,

：.BD=BC,故选项A成立；

ZABD=ZA=36°,

：.AD=BD,故选项B成立；

没有条件能证明Cr>=LAD,故选项D不成立；故选：D.

2

【点睛】考查了作图-基本作图，等腰三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法.

2.（2021湖北黄石）如图，在RI/XABC中，ZACB=90°,按以下步骤作图：①以B为圆心，任意

长为半径作弧，分别交54、于M、N两点；②分别以M、N为圆心，以大于的长为半径作

2

弧，两弧相交于点尸；③作射线3尸，交边AC于。点.若AB=10,BC=6,则线段CD的长为（）

TD-T

【答案】A

【解析】利用基本作图得2。平分NABC,过D点作。于E,如图，根据角平分线的性质得到

则r>E=DC,再利用勾股定理计算出AC=8,然后利用面积法得到工•r>EX10+LcDX6=<X6><8,

222

最后解方程即可.

解：由作法得8。平分NABC,

过。点作于E,如图，则r>E=DC,

=22=

在RtZWBC中，ACI/AB-BC7102-62=8,

sAABD+SABCD=SMBC，

/.A.DEX10+—•C£）X6=AX6X8,

222

即5CD+3CD=24,

:,CD=3.

故选：A.

EM

3.如图，已知直线AB和AB上的一点C,过点C作直线AB的垂线，步骤如下:

第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；

第二步：分别以点D和点E为圆心，以。为半径作弧，两弧交于点F；

第三步：作直线CF,直线CF即为所求.

ACBA'DCE/B

第一步第二步第三步

下列关于。的说法正确的是（）

A.aDEB.aW工DEC.a>—DED.。＜—DE

2222

【答案】C

【解析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的步骤，结合三角形三边关系判断即可.

由作图可知，分别以点。和点E为圆心，以。为半径作弧，两弧交于点此时。>工。后.

2

【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

4.如图，在△ABC中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、AC于点M、N；再分别以M、

N为圆心，大于上的长为半径画弧，两弧交于点P；连结A尸并延长交BC于点。.则下列说法正

2

确的是（）

A.AD+BD<ABB.AD一定经过△ABC的重心

C.ZBAD=ZCADD.AD一定经过△ABC的外心

【答案】C

【解析】根据题意判断是N2AC的角平分线，可知C正确，根据重心和外心定义可知3、£>选项

错误，根据三角形任意两边之和大于第三边可知A错误.

由题可知AD是NR4C的角平分线，

A、在中，AD+BD>AB,故选项A错误，不符合题意；

B、ZVIBC的重心是三条中线的交点，故选项B错误，不符合题意；

C、是/BAC的角平分线，.•./BADn/CAD,故选项C正确，符合题意;

D、ZkABC的外心是三边中垂线的交点，故选项。错误，不符合题意.

5.如图，等腰△A08中，顶角4108=40°,用尺规按①到④的步骤操作：

①以。为圆心，0A为半径画圆；

②在OO上任取一点尸（不与点A,B重合），连接4尸；

③作的垂直平分线与。。交于M,N；

④作A尸的垂直平分线与。。交于E,F.

结论I：顺次连接M,E,N,P四点必能得到矩形；

结论II：。。上只有唯一的点P,使得S扇形FOM=S扇形AO以

对于结论I和II,下列判断正确的是（）

A.I和n都对B.I和n都不对c.I不对n对D.I对II不对

【答案】D

【解析】如图，连接EM,EN,MF.NF.根据矩形的判定证明四边形是矩形，再说明

^ZAOB,可知（II）错误.

解：如图，连接EM,EN,MF.NF.

•：OM=ON,OE=OF,

四边形MENF是平行四边形，

,:EF=MN,

二四边形MENF是矩形，故（I）正确，

观察图象可知NMOF丰ZAOB,

扇形尸扇形AOB，故（II）错误，故选：D.

6.如图，线段A3是半圆。的直径。分别以点A和点。为圆心，大于工人。的长为半径作弧，两弧交

2

于M,N两点，作直线交半圆。于点C,交AB于点、E,连接AC,BC,若AE=1,则

的长是()

A2gB.4C.6D.3拒

【答案】A

【解析】【分析】根据作图知CE垂直平分AC,即可得AC=OC,AE=OE=1,根据圆的半径

得AC=2,AB=4,根据圆周角的推论得NACB=90°,根据勾股定理即可得

BC=ylAB2-AC2=2A/3-

【详解】根据作图知CE垂直平分AC,

/.AC=(9C,AE=OE=1,

：.OC=OB=AO=AE+EO=2,

AC=OC=AO=AE+EO=2,

即=49+30=4,

:线段AB是半圆。的直径，.•.NACB=90°,

在HtACS中，根据勾股定理得，

BC=VAB2-AC2="-a?=2也,故选A・

【点睛】本题考查了圆，勾股定理，圆周角推论，解题的关键是掌握这些知识点.

7.已知线段AB,按如下步骤作图：①作射线AC,使ACLAB；③以点A为圆心，AB长为半径作弧;

④过点E作A3于点尸，则AP：AB=()

c.i：aD.i：V2

【解析】直接利用基本作图方法得出AP=PE,再结合等腰直角三角形的性质表示出AEA