2025年中考数学总复习学案：正方形（含答案）

微专题27正方形

考点精讲

构建知识体系

一边

一角

d平行四边形了‘殊化|正方形卜中画—

-对角线

对称性

［四边形卜I

「边

「概念［判定）——角

i中点四边形-

I形状I对角线

4®^

考点梳理

1.正方形的性质与判定（6年8考）

（1）定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

（2）正方形的性质

边四条边都相等，对边平行

角四个角都是直角

对角线相等且互相①；

对角线

每一条对角线平分一组对角

既是轴对称图形，又是中心对称图形，有4条对称轴，对

对称性

称中心是两条②的交点

⑶正方形的判定

有一组邻边相等，并且有一个角是③的平行四边形是正方形（定

边义）；

有一组邻边④的矩形是正方形

角有二个角是⑥的菱形是正方舷

对角线⑥的矩形是正方形;

对角线

对角线⑦的菱形是正方形;

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对角线互相⑧_________的四边形是正方形

2.正方形面积

面积计算公式：5=〃=驷3表示边长，/表示对角线长)

3.平行四边形与四边形、特殊四边形之间的关系

4.中点四边形

概念依次连接任意二个四边形各边中点所得的四边形

任意四对角线相等的对角线垂直的对角线垂直且

原图形矩形菱形正方形

边形四边形四边形相等的四边形

中点四平行四

菱形矩形正方形菱形矩形正方形

边形形状边形

【温馨提示】连接任意四边形各边中点得到的四边形面积是原图形面积的一半

练考点

1.如图，在正方形ABC。中，对角线AC与5。交于点0,且4VLE是

对角线AC上一点，连接5E

第1题图

(l)ZACB的度数为

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(2)A0的长为；

(3)正方形A5C。的周长为,面积为；

(4)若NABE=15°,则5E的长为.

2.下列说法中，正确的是()

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

D.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

3.如图，E,F,G,"分别是四边形A5co四条边的中点，则四边形E/G”一

定是.(填“平行四边形”“矩形”“菱形”或“正方形”)

UD

二

HFC.

第3题图

高频考点

考点1与正方形有关的证明及计算(6年8考)

例1已知四边形ABCO为正方形，边长为4,点加为5。上一点，连接4V.

⑴如图①，过点M分别作A5,5。的垂线，垂足分别为E,F,求证：四边形

BEMF是正方形;

例1题图①

(2)如图②，若5M=3。〃，求AM的长；

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例1题图②

(3)如图③，连接AC交友)于点0,若AM平分ND4C,延长AM交于点N,

例1题图③

(4)如图④，过点5作于点E,分别延长5E,AM交于点尸，交CD

于点N,连接。E,若N是CD的中点，求NDEN的度数.

E7<Z

例1题图④

考点2中点四边形

例2如图，在四边形AJ5CD中，E,F,G,"分别是边ABBC,CD,D4的

中点.请你添加一个条件，使四边形瓦6”为菱形，应添加的条件是()

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例2题图

A.AB=CDB.AC±BDC.CD^BCD.AC=BD

变式1（2024山西）在四边形ABC。中，点E,F,G,"分别是边AS,BC,CD,

D4的中点，EG,FH交于点O.若四边形45CD的对角线相等，则线段EG与FH

一定满足的关系为（）

A.互相垂直平分B.互相平分且相等

C.互相垂直且相等D.互相垂直平分且相等

真题及变式

命题点与正方形性质有关的计算（6年8考）

1.（2024广东7题3分）完全相同的4个正方形面积之和是100,则正方形的边长

是（）

A.2B.5C.10D.20

2.（2019广东10题3分）如图，正方形A5CD的边长为4,延长C3至点E使防

=2,以防为边在上方作正方形EFGR延长尸G交。。于点V,连接4V,AF,

”为的中点，连接分别与45,AM交于点N,K.则下列结论：

①&ANH咨AGNF；②/AFN=/HFG；③FN=2NK；④8AFN:5AADM—1:4.

其中正确的结论有（）

第2题图

变式

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2.1变条件——增加线段DF

如图，正方形ABC。的边长为4,延长。5至点E使E5=2,以EB为边在上方

作正方形E/G5,连接。F,“是。尸的中点，连接5”,则5"的长为.

EB（

变式2.1题图

3.（2023广东15题3分）边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的

底边在同一直线上（如图），则图中阴影部分的面积为.

第3题图

变式

3.1变条件——增加线段改变阴影区域的位置

如图，边长分别为5,3,2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上,

图中阴影部分的面积分别为Si,S2,则的值为?

变式3.1题图

新考法

4.［数学文化］（人教八下习题改编）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽

取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正

方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13,小正方形的面积为

1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b,那么3+初2的值为（）

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第4题图

A.13B.19C.25D.169

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考点精讲

①垂直平分②对角线③直角(90°)④相等

⑤直角(90°)⑥互相垂直⑦相等⑧垂直平分且相等

练考点

1.(1)45°；(2)272；(3)16,16；(4)呼

2.C

3.平行四边形

高频考点

例1(1)证明：二•四边形A5CZ)是正方形，

ZABC=90°,/ABD=/CBD=45°.

'：ME±AB,MFLBC,

，四边形尸是矩形.

VZABD=45°,ZMEB=90°,

：./EBM=/EMB=45°,

：.BE=EM,

：.四边形BEMF是正方形；

(2)解：如解图①，连接AC交友)于点O,

•.•四边形是正方形，

：.AC=BD,AC±BD,OA=OD.

,/正方形ABCD的边长为4,

OA=OD=—AD=2V2.

2

・：BM=3DM,

•••点M是0。的中点，

：.OM=42,

在RtAAOM中，

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由勾股定理得A〃=OA2+OM2=V10；

例1解图①

(3)解：如解图②，过点N作NGL4C于点G,

AD

例1题解图②

•••四边形A5CZ)是正方形，

.*.ZDAC=45°,

,.NV平分NZMC,

：.DN=GN.

设DN=x,则GN=x,CN=4—x.

VZNCG=45°,

•\△NGC是等腰直角三角形，

：.CN=42CG,即4—%=缶，解得％=4&一4,

(4)解：如解图③，过点。作。GLOE交AN的延长线于点G,

\'BF±AN,

：.ZABF+ZAFB=ZDAN+ZAFB=90°,即NA5/=NZMN.

又・；AB=DA,ZBAF=ZADN=90°,

.,.AABF^^DAN,

:.AF=DN,ZAFB=ZDNA,

：.ZDFE=ZDNG.

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TN是CD的中点,

11

DN=-CD=-AD=AF,

22

尸为A。的中点，

:.DF=DN.

'：DE±DG,

：.ZEDF+ZEDN=ZGDN+ZEDN,即NEDF=ZGDN,

...ADEFQADGN,

:.DE=DG,

ADEG是等腰直角三角形，

.,.NDEN的度数为45°.

R

例1题解图③

例2D【解析】应添加的条件是TE,F,G,"分别为A5BC,

1111

CD,0A的中点，且：.EH=-BD,FG=-BD,HG=-AC,EF=-AC,

2222

:.EH=HG=GF=EF,则四边形EFG”为菱形.

变式1A【解析】•..在四边形ABC。中，点E,F,G,"分别是边AbBC,

CD,D4的中点，如解图，连接ERFG,GH,EH,BD,AC,：.EF=kxC,FG

=1BD,GH=^AC,石”=舞）.•.•四边形A5CD的对角线相等，n\iAC=BD,：.EF

=尸6=6"=石"，•••四边形E/GH为菱形，与下”互相垂直平分.

真题及变式

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1.B【解析】由题意得每个正方形的面积为100+4=25,.♦.正方形的边长为

5.

2.C【解析】•.•四边形石尸G5是正方形，仍=2,.•.尸G=5E=2,ZFGB=90°,

•.•四边形是正方形，”为的中点，：.AD=4,AH=2,ZBAD=90°,

ZHAN=ZFGN,AH=FG,'：ZANH=ZGNF,:.bANHQ△GNF〈KAS),

故①正确；ZAHN=ZHFG,,:AG=FG=2=AH,：.AF=V2FG=V2AH,

：./AFH于/AHF,'."AD//FG,：.ZAHF=ZHFG,:./AFN力/HFG,故②

错误；•:kANH"MGNF,：.AN=-AG=1,\"GM=BC=4,：.—=—=2,

VZHAN=ZAGM^9Q°,：.AAHN^^GMA,：.ZAHN=ZAMG,ZMAG=

/HNA,：.AK=NK,\"AD//GM,：.ZHAK=ZAMG,：.ZAHK=ZHAK,：.AK

=HK,：.AK=HK=NK,•:FN=HN,：.FN=2NK；故③正确；易知四边形ADMG

111

是矩形，：.DM^AG=2,•:SAAFN=：AN-FG=：XIX2=T,S^ADM=^ADDM=

=

|X4X2=4,：.SAAFN:5AADM1:4,故④正确，.••选c.

变式2.1V10【解析】如解图，连接5。，BF,在正方形A5CD和正方形瓦65

中，/ABD=NGBF=45°,：.ZDBF=90°.由题意，得EB=2,BC=4,：.BF

=V2EB=242,BD=aBC=Aa,在R305尸中，由勾股定理，得DF=

22

JBF+BD=2VTO,又:”是。下的中点，；.BH=TDF=E.

AD

变式2.1题解图

3.15【解析】如解图，•.•四边形ABC。，ECGF,/G"K均为正方形，

AD=10,CE=FG=CG=EF=6,ZCEF=ZF=90°,GH=IK=4,：.CH=CG

+GH=10,：.CH=AD,VZD=ZDCH=90°,ZAJD=ZHJC,

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，△ADJ^AHCJ(AAS),CJ=DJ=5,，EJ=1，丁GL//CJ,：.△HGLs^HCJ,

,

：.GL=2,：.FL=4,：.S阴影=S梯形EJ£F=；(EJ+F£).£F=-X(1+4)X6

CJCH522

A10D