2025年中考数学几何模型综合训练：三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型

专题06三角形中的倒角模型之平行线+拐点模型

近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和

定理、外角定理等）。平行线+拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的

一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线+拐点模型（猪蹄模型（加

型）、铅笔头模型、牛角模型、羊角模型、“5”字模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，

这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。

通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化。

目录^航］

...........................................................................................................................................................................1

模型1.猪蹄模型（M型与锯齿型）............................................................1

模型2.铅笔头模型............................................................................8

模型3.牛角模型.............................................................................13

模型4.羊角模型.............................................................................19

模型5.蛇形模型（“5”字模型）..............................................................24

习题练模型］

.......................................................................................................................................................29

模型L猪蹄模型（M型与锯齿型）

模型解读

先说说这个名字的由来，为什么叫猪蹄模型呢？因为它长得像猪蹄，也有叫M模型或锯齿模型的，都是根

据外形来取的，只要你喜欢，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才是关键。。

①注意：拐角为左右依次排列；②若出现不是依次排列的，应进行拆分。

条件:如图1,①己知：AM//BN,结论：ZAPB=ZA+ZB；②条件：ZAPB=ZA+ZB,结论：AM//BN.

证明：如图1,过点尸作尸。〃AM,

'：PQ//AM,AM//BN,：.PQ//AM//BN,：.ZA=ZAPQ,ZB=ZBPQ,

：.ZA+ZB=ZAPQ+ZBPQ=ZAPB,即：ZAPB=ZA+ZB.

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：ZPI+ZP3=ZA+ZB+ZP2.

证明：根据图1中结论可得，ZA+ZB+ZP^ZPx+ZPi,

条件：如图3,已知：AM//BN,结论：ZPl+ZPi+...+ZP2n+i=ZA+ZB+ZP2+...+ZP2n.

,

证明：由图2的规律得，ZA+ZB+ZP2+...+/2,!=ZPi+ZP3+ZP5+...+ZP2n+i

模型运用

例1.（2024•山西・二模）如图是一种卫星接收天线的轴截面示意图，卫星波束A3与DC平行射入接收天线,

经反射聚集到焦点。处，若NABO=38°,ZDCO=45°,则的度数为（）

A.90°B.83°C.76°D.73°

【答案】B

【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，作OE〃四，则/BOE=NABO=38。，结合得出

AB//CD,推出NCOE="CO=45。，最后由=,即可得解.

【详解】解：如图，作OE〃孙则/BOE=/ASO=38。，

VAB//CD,OE\\CD,ZCOE=NDCO=45°,

ZBOC=NBOE+ZCOE=38°+45°=83°,故选：B.

例2.（2024九年级下•辽宁•学业考试）如图，CD,钻=所,44=25。,/跳。=130。，则/C的度

【答案】80。/80度

【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角等知识点，作GP〃C。可得A3〃GP〃CD；根据

ZAFC=ZAFG+ZCFG=NA+NC即可求解.

【详解】解：作G/〃CD,如图所示：,.,A3〃CD,A2〃G/〃CD

,/AE=EF,：.ZEFA=ZA=25°：.ZAFC=ZEFC-ZEFA=130°-25°=105°

：ZAFC=ZAFG+ZCFG=ZA+ZC：.NC=NAFC-NA=80。故答案为：80°

例3.（2023春・河南驻马店•九年级专题练习）已知AB〃CD,ZEAF=^ZEAB,NEC尸=g/ECD,若

ZE=66°,则/尸为（）

B

C.44°D.46°

【答案】C

【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得?EAB2ECD1AEC660,同样的方法

22

可得NF=NFAB+NFCD,再根据角的倍分可得ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,由此即可得出答案.

【详解】如图，过点E作则

?AEG征42,CEG=?ECD,\?EAB7ECD?AEG?CEG1AEC66°,

同理可得：ZF=ZFAB+ZFCD,ZEAF=-ZEAB,ZECF=-ZECD,

33

22

ZFAB=-ZEAB,ZFCD=-ZECD,

33

2222

\?F?FABIFCD一？EAB-7ECD—QEAB?ECD）一？66鞍44,故选：C.

3333

【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

例4.（2023・广东深圳•校联考模拟预测）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们

青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进

滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺

直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB//CD,当人脚与地面的夹角

NCDE=60°时,求出此时上身A3与水平线的夹角/&LF的度数为（）

A.60°B.45°C.50°D.55°

【答案】A

【分析】延长AB交直线即于点a,利用平行线的性质得出NCZ）E=/DH4=60。，再由两直线平行，内错

角相等即可得出结果.

【详解】解：延长AB交直线ED于点H,VAH//CD,ZCDE=ZDHA=60°,

・••根据题意得AF〃硝，:.AFAB=ADHA=(^°,故选：A.

【点睛】题目考查平行线的性质，理解题意，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键.

例5.（23-24七年级下•广东云浮・期末）小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，

对角之间的关系进行了拓展探究.如图，直线AB〃C£>,直线AC是直线AB,CO的第三条截线，AK,CK

分别是NBAC,ND6的平分线，并且相交于点K.

问题解决:

图3

（1）/BAC,NDC4的平分线AK,CK所夹的NK的度数为:

问题探究：（2）如图2,ZBAK,NDCK的平分线相交于点号,请写出NA&C与NAKC之间的等量关系，

并说明理由；

拓展延伸：（3）在图3中作/胡&,NOC&的平分线相交于点K,作/曲（，/DCK?的平分线相交于点

K},依此类推，作/区46侬，/。。（⑵的平分线相交于点（⑼，求出/（侬的度数.

2024

【答案】（1）90°；（2）ZAKlC=^ZAKC,理由见解析；（3）Z^2024=（1）x90°

【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系（拐点问题），角平分线的相关计算等知

识，掌握平行线的性质是解题的关键.（1）证明过点K作则KM〃A5〃CE）,利用平行线的性

质推出NA4C+ZACD=180°,继而推出N2AK+NOCK=）/&4C+；ZACD=g（/a4C+ZAC£>）=90°,从

而得到NAXC=NAKM+NCKM=N54K+NDCK=90。；（2）与（1）同理可得：

ZAK.C-ZBAKt+ZDCK1={ABAC+ZDCA）=45°,继而得解；（3）由（2）得同理得

3

Ng=；N&=；NK,ZK3=^ZK2=^ZK,继而总结规律得NK“=（1）”NK,从而得解.

【详解】解：(1)如图，过点K作用则KV/〃

ZAKM=ZBAK,ZCKM=ZCDK,ABAC+ZACD=180°

VAK,CK分别是一&IC,NDC4的平分线，并且相交于点K,/BAK=!/84C,/DCK=《NAC£),

22

NBAK+ZDCK=|NBAC+1ZACD=1(ABAC+ZACD)=90°,

：.ZAKC=ZAKM+ZCKM^ZBAK+ZDCK=90°,故答案为：90°.

(2)ZAKlC=^ZAKC.理由：如图，过点K[作KJ〃42.

■.■AB\\CD,K.J//AB,KXJ//CD,ZAKtJ=ZBAKt,NJ&C=ND%.

QZBAK,/OCK的平分线相交于点Kj,:.ZBAKt=^ZBAK,ZDCKt=^ZDCK,

111

/./AKC=/BAK】+NDCK]=-(/BAK+/DCK)=-(ZBAC+ZDCA)=-xl80°=45°.

由(1),知ZA®r=90。，:.ZAK}C=^ZAKC.

(3)由(2),可知N&=gNK.同理，可得=；NK,

ZK3=^ZK2=5/K,……/&=§)"NK.

20242024

当"=2024时，Z^2024=(1)NK=(1)x90°.

例6.(2024・上海•八年级校考期中)已知，直线AB〃C。。(1)如图(1),点、G为AB、CD间的一点,

联结AG、CG.若/A=140。，ZC=150°,则/AGC的度数是多少？

(2)如图(2),点G为AB、CD间的一点，联结AG、CG.ZA=x°,ZC=y°,则NAGC的度数是多少？

(3)如图(3),写出NBAE、NAEF、ZEFG.NFGC、NGCD之间有何关系？直接写出结论.

B

B

【分析】（1）过点G作GE"48,利用平行线的性质即可进行转化求解.（2）过点G作G尸，42,利用

平行线的性质即可进行转化求解.（3）过点E作过点产作过点G作GQ〃CO,利用

平行线的性质即可进行转化找到角的关系.

【详解】解：（1）如图，过点G作GE/幺2,

VZA=140°,AZAGE=40°.•:AB〃GE,AB//CD,：.GE//CD.

...NC+NCGE=180。(两直线平行，同旁内角互补).

VZC=150°,Z.ZCGE=30°.：.ZAGC=ZAGE+ZCGE=40o+30°^0°.

(2)如图，过点G作GF〃AB

,:AB〃GF,(两直线平行，内错角相等).

VABz/GF,AB〃CD,:.GF〃CD.：.ZC=ZCGF.

：.ZAGC=ZAGF+ZCGF=ZA+ZC.'：ZA=x°,ZC=y°,：.ZAGC=(x+y)0.

(3)如图所示，过点E作过点尸作两入IB,过点G作GQ〃C£),

'JAB/7CD,:.AB〃EM〃FN〃GQ〃CD.

ZBAE=ZAEM,/MEF=NEFN,ZNFG=ZFGQ,ZQGC=ZGCD（两直线平行，内错角相等）.

NAEF=/BAE+NEFN,ZFGC=ZNFG+GCD.

,：ZEFN+ZNFG=ZEFG,：.ZBAE+ZEFG+ZGCD=ZAEF+ZFGC.

【点睛】本题考查平行线的判定与性质，本题构造辅助线利用平行线的传递性结合平行线性质是解题关键.

模型2.铅笔头模型（子弹模型）

模型解读

因为它长得像铅笔头或，也有叫子弹模型的，都是根据外形来取的，叫什么都无所谓，掌握其中的核心才

是关键。

①注意拐角朝同一方向②若出现拐角不朝同一方向的，应进行拆分.

图1图2图3

条件：如图1,已知：AM//BN,结论：Z7+Z2+Z3=360°；（该结论和条件互换结果任然成立）。

证明：在图2中，过尸作AM的平行线尸尸，：.PF//CD,

.\Z1+ZAPF=18O°,Z3+ZCPF=180°,Nl+N2+N3=360°；

条件：如图2,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+Z3+Z4=540°

证明：在图2中，过Pi作AM的平行线PiE,过点2作AM的平行线PR

,JAB//CD,：.PxE//BN//P?F,/.Zl+ZAPiE=180°,ZP2PI£+ZPIP2F=180°,ZFP2B+Z4=180°,

AZl+Z2+Z3+Z4=540°；

条件：如图3,已知：AM//BN,结论：Zl+Z2+...+Zn=（〃一1）180°.

证明：在图3中，过各角的顶点依次作的平行线，

根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：Zl+Z2+Z3+...+Zn=(n-1)180°.

模型运用

例1.(2024.辽宁•模拟预测)如图，平行于主光轴的光线A3和经过凸透镜的折射后，折射光线BE

和折射光线。尸交主光轴于点P,若/ABE=155°,ZCDF=160°,则/">E=°.

【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质即可得到结论.此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟

练掌握平行线的性质是解决问题的关键.

【详解】解：■■AB\\MN\\CD,.-.ZABE+ZBPM=18O°,CDF+ZDPM=180°,

又•.•NABE=155°,ZCDF=160°,

ZBPM=180°-ZABE=180°-155°=25°,ZDPM=180°-NCDF=180°-160°=20°,

ZBPD=Z.BPM+ZDPM=250+20°=45°,ZEPF=ZBPD=45°.故答案为：45.

例2.（2024・陕西咸阳・模拟预测）如图，直线4〃/2〃/3,4=25°,乙4氏7=73。，则/2的度数为（）

A.142°B.140°C.138°D.132°

【答案】D

【分析】本题考查了平行线的性质，根据4〃/2〃4/l=25°,ZABC=73。，得出N4=/4BC-25。=48。，结

合N2+N4=180。，代入数值进行计算，即可作答.

【详解】解：如图：•.“〃4〃4/1=25°,/ABC=73°

Z1=Z3=25°,N2+N4=180°则N4=ZABC-25°=73°-25°=48°

•..N2+N4=180°，/2=132°故选：D

例3.（2023下•江苏南通・七年级统考期末）如图，直线AB〃C£>,点E,P分别是直线AB,8上的两点,

点尸在直线和8之间，连接瓦^依/尸仍和/2阳的平分线交于点。，下列等式正确的是（）

A.ZP+2/0=360°B.2NP+NQ=360°C.NQ=2NPD./P+NQ=180°

【答案】A

【分析】过点P作尸过点Q作QN〃A3,可得PM〃AB〃CD〃QN,从而得到

ZEPM=ZAEP,ZFPM=ZCFP,Nl=ZEQN,Z2=ZFQN,NPEB+ZEPM=180°,ZPFD+ZFPM=180°,

进而得到NEQ/=N1+N2,再由角平分线的定义可得NP£B+NPFD=2（/1+N2）=2N£QB,即可求解.

【详解】解：如图，过点P作过点。作QN〃A8,

,/AB//CD,：.PM//AB//CD//QN,

：.ZEPM=NAEP,ZFPM=ZCFP,Z1=ZEQN,Z2=ZFQN,

NPEB+ZEPM=180°,ZPFD+ZFPM=180°,/.ZEQF=Z1+Z2,

,/ZPEB和NPFO的平分线交于点Q,：.4EB=2/1/PFD=2Z2,

ZPEB+ZPFD=2（Z1+Z2）=2（ZEQN+ZFQN）=2ZEQF,

•：ZPEB+ZEPM=180°,NPFD+ZFPM=180°,

NEPF+2ZEQF=ZAEP+ZCFP+NPEB+ZPFD=360°.故选：A.

【点睛】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键.

例4.（2023上•广东广州•八年级校考开学考试）如图①所示，四边形肱VBD为一张长方形纸片.如图②所

示,将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（NBAE、ZAEC,ZECD）,则ZBAE+ZAEC+ZECD=（度）；

（1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角JBAE、NAEF、NEF、NFCD）,则

ZBAE+ZAEF+ZEFC+ZFCD=（度）；

（2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（/BAE、NAEF、/EFG、/FGC、/GCD）,

贝I]/BAE+/A£F+/EFG+NTGC+«CD=（度）；

（3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪〃刀，剪出〃+1个角，那么这”+1个角的和是（度）.

【答案】360540720180〃

【分析】过点E作即〃AB,再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180。的2倍；

（1）分别过E、尸分别作A3的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180。的

三倍；（2）分别过E、F、G分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和

等于180。的四倍；（3）根据前三问个的剪法，剪〃刀，剪出"+1个角，那么这"+1个角的和是180〃度.

【详解】过E作田〃AB（如图②）.

•.•原四边形是长方形，CD,

又,：：.CD//EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）.

-：EH//AB,^1=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

•/CD//EH,：.Z2+ZDCE=180°（两直线平行，同旁内角互补）.

NBAE+N1+/2+NECD=360°,

又：/I+N2=ZAEC,NBAE+ZAEC+NECD=360°；

图③

（1）分别过E、尸分别作A3的平行线，如图③所示，

用上面的方法可得N54E+/A£F+/EFC+/FCD=540。；

（2）分别过E、F、G分别作A3的平行线，如图④所示，

用上面的方法可得NBAE+ZAEF+NEFG+NFGC+NGCD=720°；

（3）由此可得一般规律：剪”刀，剪出〃+1个角，那么这〃+1个角的和是180〃度.

故答案为：360；540；720；180”.

【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键,

总结规律求解是本题的难点.

例5.（2023下•江苏南京•七年级统考期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律,

探索问题的解.

(1)如图1,45〃CD,点E为A3、8之间的一点.求证：Zl+ZAffiZV+Z2=360°.

(2)如图2,AB//CD,点、E、F、G、H为AB、8之间的四点.贝UNl+N2+N3+N4+N5+N6=

(3)如图3,AB//CD,贝IJ/1+N2+/3+…+/〃=

【答案】（1）证明见详解；（2）900°；（3）180°（«-1）;

【分析】（1）过点E作可得OE〃钙〃8,根据平行线的性质可得N1+NMEO=180。,

ZO£7V+Z2=180°,再计算角度和即可证明；⑵分别过点E、F、G、〃作A2的平行线，在两相邻平行

线间利用两直线平行同旁内角互补求得两角度和后，再将所有角度相加即可解答；（3）由（2）解答可知

在A3、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和，结合图3找出w和线段条数的关系便可解答；

【详解】（1）证明：如下图，过点E作OE〃居，

o

o

o1

o3

4

VAB//CD,OE^AB,：.OE\\CD,

根据两直线平行同旁内角互补可得：Z1+ZMEO=180°,ZO£2V+Z2=180°,

Z1+Z.MEO+ZOEN+N2=360°,Z1+/MEN+N2=360°；

(2)解：如下图，分别过点E、F、G、H作O】E〃AB,O2F//AB,O3G//AB,O.H//AB,

结合（1）解答在两相邻平行线间可得：NAME+NMEQ=180。,

NQ斯+NE/。2=180°,ZO2FG+ZFGO3=180°,ZO3GH+ZGHO4=180°,

ZO4HN+ZHNC=180°,将所有角度相力口可得：Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=180°x5=900°；

(3)解：由(2)解答可知在A2、8之间每有一条线段便可求得一个180。角度和，

由图3可知：当AB、CO之间有2条线段时，〃=3,当A3、8之间有3条线段时，”=4,

当A3、CO之间有4条线段时，n=5,当AB、CD之间有5条线段时，n=6,

当A3、8之间有("-1)条线段时，"=N1+N2+N3+…+/〃=180。(〃一1)；

【点睛】本题考查了平行线公理的推论，平行线的性质，归纳总结的解题思路，通过作辅助线将角度按组

计算是解题关键.

模型3.牛角模型

模型解读

因为它长得像犀牛角，故取名牛角模型。

F

条件：如图1,已知：AB//CD,且NE=a,ZABE=/3,Z.CDE=y,结论：/3=a+y.

证明：如图，延长AB交。E于点F'：AB//CD,：.ZBFE=ZCDF=y,

•.,/ABE=/8/E+/E（外角定理），AZABE=ZCDF+ZE,尸=。+7；

条件：如图2,已知：AB//CD,且/K=a,/ABE=0,/CDE=y,结论：/?=«+1800-/.

证明：如图，延长交DE于点R

'：AB//CD,:.NBFD=/CDF=y,：.ZBF£=1800-ZBFD=1800-7,

（外角定理），AZABE=ZE+180°-ZBFD,尸=£+180°—/；

模型运用

例1.（2024・山西・模拟预测）抖空竹是一种传统杂技节目，是国家级非物质文化遗产之一.如图1是某同

学“抖空竹”的一个瞬间，若将其抽象成图2的数学问题：在平面内，已知AB〃C£>,ZEBA=80°,ZE=25°,

则的度数为（）

C.105°D.95°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，延长CD交BE于E根据两直线平行，同位

角相等得到NEFC=NEBA=80。，再由三角形外角的性质即可得到答案.

【详解】解：如图所示，延长8交班于凡

VAB//CD,ZEBA=80°,

：.ZEFC=ZEBA80°,

,/NEDC=ZE+/EFC,/E=25°,

Z£DC=105°,

例2.（2023•安徽滁州•校联考二模）如图，若AB"CD,贝|（）

A.Z1=Z2+Z3B.Nl+/3=/2C.Zl+Z2+Z3=180°D.Zl-Z2+Z3=180°

【答案】A

【分析】如图所示，过点E作则四〃CD〃防，由平行线的性质得到

Z3+ZCEF=180°,Zl+ZAEF=180°,进一步推出/I=N2+N3.

【详解】解：如图所示，过点E作

,/AB//CD,：,AB//CD//EF,：.Z3+ZCEF=180°,Zl+ZAEF=180°,

ZAEF=180°-ZLN3=180°—NCaF=180°—N2—NAEP,

/.Z3=180°-Z2-180°+Z1,/.Z1=Z2+Z3,故选A.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

例3.（2022・湖北洪山•七年级期中）如图，已知AB〃C。，P为直线A3,C。外一点，BP平分NABP,DE

平分NCDP,8尸的反向延长线交。E于点E,若/FED=a,试用。表示/尸为.

【分析】根据角平分线的性质得出/1=N2,Z3=Z4,平行线的性质得出N1=N5,N6=NPOC=2N3,

进而根据三角形内角和得出/5、ZFED,再得到々和。的关系，然后即可用。表示4.

【详解】解：延长AB交PD于点G,延长FE交CD于点H,

•.,BP平分/ABP,DE平分/CDP,：.Z1=Z2,Z3=Z4,

'：AB//CD,：.Z1=Z5,N6=NPDC=2/3,

VZPBG=180°-2Z1,.,.ZPBG=180°-2Z5,.,.Z5=90°-ZPBG,

'：ZFED=iS0°-ZHED,Z5=180°-ZEHD,ZEHD+ZHED+Z3=180°,

A1800-Z5+1800-ZF£D+Z3=180°,：.ZFED=180°-Z5+Z3,

：.ZFED^180°-(90°--ZPBG)+1z6=90°+1(ZPBG+Z6)=90°+?(180°-ZP)=180°-；

/P,,：ZFED=a,.*.fl=180°-1ZPAZP=360°-2a.故答案为：ZP=360°-2a.

【点睛】此题考查了角平分线的性质和平行线的性质及三角形内角和，有一定的综合性，认真找出角的关

系是关键.

例4.（2023春・广东深圳•九年级校校考期中）已知直线CD,点P为直线A3,。所确定的平面内

的一点，（1）问题提出：如图1,ZA=120°,ZC=130°.求NAPC的度数:

（2）问题迁移：如图2,写出NAPC,—A,NC之间的数量关系，并说明理由:

(3)问题应用：如图3,ZEAH,ZHAB=1:3,ZECH=20°,

图1

3

【答案】（1）110°（2）ZAPC=ZA-ZC,理由见解析（3）［

【分析】（1）过点P作易得相〃/^〃8,由平行线的性质可得/”。=60。，ZCPQ=50°,

即可求出/APC；（2）过点尸作尸。〃A3,易得AB〃PQ〃CD,根据平行线的性质可得NAPC=NA-NC；

（3）过点E作过点H作沥〃AB,易得EAf||C£）,HN〃CD,根据平行线的性质可得

ACEA=ZBAE-Z.DCE,ZCHA=ZBAH-ADCH,再由己知等量代换，即可求得久的值.

ZE

【详解】（1）解：如图1所示，过点P作ZA+ZAPQ=180。,

图1

图3

ZA=120°,ZAPQ=180°-ZA=180°-120°=60°,AB//CD,---PQ//CD,r./C+NCPQ=180°.

ZC=130°,ZCPQ=180°-ZC=180°-130°=50°,ZAPC=ZAPQ+ZCPQ=60°+50°=110°；

(2)解：ZAPC=ZA-ZC,理由如下：

如图2,过点P作尸。〃A3,ZAPQ=180°-ZA,AB//CD,PQ//CD,ZCPQ=180°-ZC,

■：ZAPC=ZCPQ-ZAPQ,ZAPC=180°-ZC-(180°-ZA)=ZA-ZC:

(3)解：如图3,过点E作EW〃AB,过点H作HN〃AB,

■AB//CD,:.EM\\CD,HN//CD,

ACEA=NCEM-ZAEM=180。-NDCE-(180°-NBAE)=ZBAE-ZDCE,

ZCHA=ZCHN-ZAHN=180°-ZDCH-(180°-ZBAH)=ZBAH-ZDCH,

•••ZEAH.ZHAB=1:3,ZECH=20°,NDCH=60。,

•••ZCEA=ZBAE-ZDCE=4ZEAH-80°,ZCHA=ZBAH-ZDCH=3ZEAH-60°,

NCHA3/£417-60。3(/£AH-20。)_3

"ZCEA_4ZEAH-800-4(ZE4H-20°)-4'

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，正确构造辅助线是解题的关键.

例5.(2023下•辽宁大连•七年级统考期末)如图，ZABE+ZBED=ZCDE.

(1)如图1,求证AB〃CD；(2)如图2,点尸在AB上，NCDP=NEDP,BF平分NABE,交PD于点F,探

究ZBFP,/血>的数量关系，并证明你的结论；(3)在(2)的条件下，如图3,尸。交ED延长线于点

Q，ZDPQ=2ZAPQ,NPQD=80°,求NC£>E的度数.

【答案】⑴见解析⑵=见解析(3)120°

【分析】(1)证明：延长CD交BE于点H,则NCDE=ZDHE+ZBED,结合已知即可得出NDHE=Z4BE,

据此即可得出结论；⑵设NEBF=a,ZCDP=J3,由角平分线的定义得ZEBB=ZAB尸，NPBE=2a,

由(1)可知A3〃CD,则NDP8=NCr>P=尸，ZAPD=180°-J3,然后由4P0=/4所+々》(得

ZBFP=180°-(a+J3),再四边形的内角和等于360。得NB£D+NEDP+NDPB+NPBE=360。，即

ZBED=360°-2(a+/3),据此可得出加了，N3ED的数量关系；

(3)设44尸。=6»,贝l]NQPQ=2。，ZAPD=36,由AB〃CO得/6»尸=180。一3。，而

NEDP=NPQD+NDPQ=80。+2。,然后根据NCDP=NED尸得180。-3。=80。+2。，据此可求出，=20。，则

ZCDP=ZEDP=120°,最后根据周角的定义可求出NCDE的度数.

【详解】(1)证明：延长CD交BE于点、H，：.NCDE=ZDHE+ZBED，

ZABE+ZBED=Z.CDE,:.ZDHE=ZABE,：.AB//CD.

(2)解：ZBFP,4BE。的数量关系是：ZBED=2ZBFP,理由如下：

设NEBF=a,NCDP=0,...BF平分/ABE,ZCDP=ZEDP,

ZEBF=ZABF=a,NCDP=NEDP=q，NPBE=2ZEBF=2a,

由(1)可知：AB//CD,：.ZDPB=ZCDP=J3,ZAPD=180°-ZDPB=180°-,

ZAPD=ZABF+ZBFP,：.ISO°-J3=a+ZBFP,ZBFP=180°-(a+/3),

由四边形的内角和等于360°得：ZBED+ZEDP+ZDPB+ZPBE=360P,

即：NBED+p+(3+2a=360°,ABED=360°-2(a+/)，ZBED=2ZBFP.

(3)解：设ZAPQ=6,..ZDPQ=2ZAPQ=20,

ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=30,由(1)可知：AB//CD,

:.ZCDP+ZAPD=1SQ°,ZCDP=180°-ZAPD=180°-36,

APQD=80°,NEDP=ZPQD+ZDPQ=800+20,

•；NCDP=NEDP,.1180。-3。=80。+26,解得：0=20°,

Z.CDP=1800-30=120°,ZEDP=800+20=120°,根据周角的定义得：NCDE+NCDP+ZEDP=360°,

ZCDE=360°-(ZCDP+ZEDP)=360°-(120°+120°)=120°.

【点睛】此题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行

线的判定及性质：两直线平行O同位角相等，两直线平行O内错角相等，两直线平行O同旁内角互补.

模型4.羊角模型

模型解读

因长像酷似山羊角，故取名羊角模型。

条件：如图1,已知：AB//DE,且/C=a,ZB=13,/D=y,结论：y=a+/3.

证明：'JAB//DE,:.NAFC=ND=y,

•.•/APC=/8+/C（外角定理），ZD=ZB+ZC,/.7=«+/7；

条件：如图2,已知：AB//DE,且/C=e,ZB=p,/D=y,结论：180°-/=々+尸.

证明：\'AB//CD,：.ZBFD+ZD^180°ZBFD=180°-ZZ）=180°-/,

•.•/8切=/8+/。（外角定理），.•.180°-ZD=ZB+ZC,180°—7=a+尸；

模型运用

例1.（2024・重庆江津•模拟预测）如图，已知/CDE=110。，如果AC〃DE,AC=BC,那么的度数

为.

【答案】35。/35度

【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

先根据平行线的性质得到NACD=70。，再根据等边对等角以及外角定理即可求解.

【详解】解：,/AC//DE,NCDE+ZACD=180°,

,：ZCDE=110°,：.ZACD=r70°,'：AC=BC,：.ZA=ZB,

,：ZACD=ZA+ZB,：.ZB=1x70°=35°,故答案为：35°.

例2.（2024.山东济南.中考真题）如图，已知/|〃4,VABC是等腰直角三角形，NR4C=90。，顶点A,2分

另！J在4,上，当/1=70。时，Z2=.

【答案】65。/65度

【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，根据平行线的性质，得到/3=/1,等边对等角，得

到ZABC=45°,再根据角的和差关系求出Z2的度数即可.

【详解】解：：VABC是等腰直角三角形，ZBAC^90°,：,ZABC=ZACB=45°,

2AA3

B

'：lA//l2,N3=Nl=70。，Z2=180°-Z3-ZABC=65°；故答案为：65°.

例3.（2023•河南・统考三模）如图，已知ZABC=150°,ZCDE=15°,则NBC。的度数为（）

A.55°B.60°C.45°D.50°

【答案】C

【分析】过点C作CF〃AB,则AB〃DE〃CE,根据平行线的性质可得到N3CF=/ABC=150。,

NDCF=180°-NCDE=105°,即可求得NBCD=ZBCF-ZDCF=45°.

【详解】如图，过点C作CF〃AB,Z£>CF+ZCDE=180°

,/AB//DE,CF//AB,：.AB//DE//CF.

AZBCF=ZABC=150°,.

•：NCDE=75°,NDCF=180°-75°=105°.

ZBCD=ZBCF-ZDCF=150°-105°=45°.故选C.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线，利用平行线的性质求解是解决问题的关键.

例4.（23-24七年级下•湖北武汉•期末）如图，AB〃CD,的角平分线3尸交的角平分线的反

向延长线于点P,直线PB交CD于点、N,若NHCD-2NBNC=24。,贝°

D

【答案】36

【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的外角定理，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握相关的

性质定理,

根据角平分线的性质和NHCD—2/BNC=24。可得ZDCQ-ZBNC=12°,再根据三角形的外角定理分别求出

ZP,NH,进而可求解

【详解】解：如图所示：PQ交HM于点、E,

由题意可知：HP平分NASA/,CQ平分NHCD,

ZABP=ZMBP=|ZABM,ZHCQ=ZDCQ=|ZHCD,

ZHCD-2NBNC=24°,/.2ZDCQ-2NBNC=24°,即ZDCQ-ZBNC=12°,

ZDCQ^ZBNC+ZP,.•.ZP=12°,­.•AS11CDZBNC=ZABP=ZMBP

ZMBP是ABPE的一个外角，ZBEP=ZMBP-ZP=ZBNC-12°

NHEC=ZBEP=NBNC—12。；ZHCQ是^HCE的一个外角，

NH=NHCQ-ZHEC=ZDCQ-(NBNC-12°)=ZDCQ-NBNC+12°=12°+12°=24°

.•/+///=12。+24。=36。,故答案为：36

例5.(2023七年级下•江苏•专题练习)已知AB〃MV.

⑵若b为直线MN、AB之间的一点，NE=1NEFB,BG平济ZABF交MN于点、G,EF交MN于点、C.

①如图2,若NN=57。，且BG〃EN,求—E的度数；②如图3,若点K在射线BG上，且满足

NKNM=>NENM,若ZNKB=NEFB,ZE=ZFBD,直接写出ZE的度数.

4

【答案】⑴见解析⑵①NE=41。；②22.5。或18°

【分析】（1）过E作团〃MN,然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可；（2）①过尸作EP〃硒，

交.MN于H点、,过点尸作。尸〃则BG〃EN〃FP,MN〃。歹〃AB,根据平行线的性质可得

Z.CHF=Z.CGB=ZABG=57°,根据角平分线的性质结合=,从而得出

ZMHF+NHFB+ZABF=360。,进而得出答案；②过点尸作">〃AD,设/E=a=NFBD,则NPF5=a,

a

/EFP=3a,所以/£7VM=2（z,ZKNM=~,然后分当K在BG上；当K在BG延长线上两种情况进行解

答即可.

【详解】（1）解：如图，过E作EH〃MN,：,NN=NHEN,

XVMN//AB,：.EH//AB//MN,：.ZB^ZHEB,即ZB=ZHEN+ZNEB=ZN+ZBEN；

(2)①如图，过F作FP〃EN,交MN于H点，过点尸作。尸〃AB,则BG〃石N〃FP,MN//QF//AB,

•：NN=57°,：.ZCHF=ZCGB=ZABG=ZBGC=ZN=57°,ZMHF=180°-57°=123°,

•.•86平分/45/，ZABF=2ZABG=114°,,:EN〃PF,：,ZE=ZEFP,

VZE=-ZEFB,即ZEFB=4ZE,：.ZHFB=3ZE,

4

ZMHF+ZHFQ=180°,ZQFB+ZABF=180°,/.ZMHF+ZHFB+ZABF=360°,

即123。+3/石+114。=360。，AZE=41°；

②如图，过点尸作EP〃AD,设NE=a=NFBD,则NPF3=«,NEFP=NEHM=3a,

(y

：.ZEHN=1800-3a=1800-ZE-ZENM：.ZENM=2a,/KNM=一,

f2

7

当K在5G上，ZNKB=ZEFB=4a,：.ZNGB=-a=ZABG=ZGBF,

2