2025年中考数学总复习《圆与函数综合》专项检测卷（附答案）

2025年中考数学总复习《圆与函数综合》专项检测卷附答案

学校:姓名：班级：考号：

9

1.如图，抛物线y="2+1X+c经过点A(-1,0)和点C(0,3)与x轴的另一交点为点

8,点/是直线8C上一动点，过点M作MP〃y轴，交抛物线于点尸.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在抛物线上是否存在一点。，使得AQC。是等边三角形？若存在，求出点。的坐标;

若不存在，请说明理由；

(3)以M为圆心，为半径作。当。M与坐标轴相切时，求出。M的半径.

2.如图，抛物线y=0-2ax+c与无轴分别交于点A、2(点8在点A的右侧)，与y轴交于点

C,连接BC,点(J,3)在抛物线上.

/4

(1)求C的值；

(2)已知点。与C关于原点。对称，作射线8。交抛物线于点E,若BD=DE,①求抛物

线所对应的函数表达式；②过点2作8FLBC交抛物线的对称轴于点P,以点C为圆心,

以6的长为半径作0C,点T为。C上的一个动点，求5ZB+7F的最小值.

3.己知如图，二次函数y=a/+bx+2的图象经过A(3,3),与x轴正半轴交于B点，与y

轴交于C点，△ABC的外接圆恰好经过原点。.

（1）求8点的坐标及二次函数的解析式；

（2）抛物线上一点Q（加，机+3）,（机为整数），点M为AABC的外接圆上一动点，求线段

长度的范围；

（3）将AAOC绕平面内一点P旋转180。至△4077（点。，与。为对应点），使得该三角形

的对应点中的两个点落在丫=泼+法+2的图象上，求出旋转中心尸的坐标.

4.在平面直角坐标系xOy中，。。的半径为r（r>l）,点尸是圆内与圆心C不重合的点，©C

的“完美点”的定义如下：过圆心C的任意直线CP与。C交于点A,B,若满足|B4-P2|=2,

则称点尸为。C的“完美点”，如图点P为。C的一个“完美点

（1）当。。的半径为2时

①点,0）_____Q0的“完美点”，点（-也，-1）_____QO的“完美点”；（填“是”或者“不

22

是"）

②若。。的“完美点”P在直线y=:x上，求PO的长及点P的坐标；

⑵设圆心C的坐标为（s,。，且在直线y=-2x+l上，OC半径为r,若y轴上存在。C的“完

美点”，求f的取值范围.

备用图

12

5.如图，抛物线y=7(x-3)--l与X轴交于A,2两点(点A在点2的左侧)，与V轴交于

点C,顶点为D

(1)求点A,B,。的坐标；

(2)连接CD过原点。作OELCZ),垂足为X,。£交抛物线的对称轴于点E,连接AE、

AD.求证：ZOEA=ZADC；

(3)以(2)中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点

P作。E的切线，切点为Q,当尸。的长最小时，求点尸的坐标，并直接写出点。的坐标.

6.如图，在平面直角坐标系中,顶点为(4,-1)的抛物线交y轴于A点，交x轴于B,C两点(点B

在点C的左侧)，已知A点坐标为(0,3).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：当点P运动到什么位

置时，△PAC的面积最大?并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积；

(3)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,

请判断抛物线的对称轴/与有怎样的位置关系，并给出证明.

V

7.如图所示，在△ABC中，AB=AC=2,NA=90。，0为BC的中点，动点E在BA边上

移动，动点F在AC边上移动.

(1)当点E,F分别为边BA,AC的中点时，求线段EF的长；

⑵当/EOF=45°时，

①设BE=x,CF=y,求y与x之间的函数解析式；

②若以O为圆心的圆与AB相切(如图)，试探究直线EF与。O的位置关系，并证明你的结

论.

(1)求抛物线的解析式；

⑵点M是抛物线上位于直线2C下方的一个动点，过点M作轴交BC于点N,计算

线段"N的最大值；

(3)若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P,使NPAB=ZACB.若不存在，请说明理由；

若存在，请求出点P的坐标.

9.如图1,在平面直径坐标系中，抛物线y=o?+bx-2与x轴交于点A(-3,0).B(1,

0),与y轴交于点C.

(1)直接写出抛物线的函数解析式；

(2)以OC为半径的。。与y轴的正半轴交于点E,若弦CD过48的中点试求出。C

的长；

(3)将抛物线向上平移!•个单位长度(如图2)若动点P(x,y)在平移后的抛物线上，且

点P在第三象限，请求出APDE的面积关于x的函数关系式，并写出△2£>£面积的最大值.

10.已知抛物线%=6?+笈-4("0)与x轴交于点A(-1,0)和点2(4,0).

(1)求抛物线％的函数解析式；

(2)如图①，将抛物线为沿x轴翻折得到抛物线内，抛物线内与y轴交于点C,点。是线

段上的一个动点，过点。作。E〃y轴交抛物线％于点E,求线段。E的长度的最大值；

(3)在(2)的条件下，当线段。E处于长度最大值位置时，作线段BC的垂直平分线交。E

于点尸，垂足为H,点P是抛物线为上一动点，OP与直线8C相切，S.SOP：SADFH=2TI,

求满足条件的所有点P的坐标.

11.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（2,-1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于2、

C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0,3）,连接A8.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点2作线段AB的垂线交抛物线于点。，如果以点C为圆心的圆与直线2。相切，

请判断抛物线的对称轴/与。C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点尸是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间，问：当点P运动到什么位

置时，Aaic的面积最大？并求出此时P点的坐标和AB4c的最大面积.

12.如图，二次函数>=内2-2以-3a（a<0）的图象与x轴交于A,8两点（点8在点A的

右侧），与y轴的正半轴交于点C,顶点为D若以30为直径的经过点C.

⑴请直接写出C,。的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)求抛物线的函数表达式；

(3)M上是否存在点E,使得N£D3=NCaD?若存在，请求出所满足的条件的E的坐标;

若不存在，请说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于B,C

两点(点B在点C的左侧)，已知C点坐标为(6,0).

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A,C两点之间.问：当点P运动到什么位

置时，△PAC的面积最大？求出△PAC的最大面积；

(3)连接AB,过点B作AB的垂线交抛物线于点D,以点C为圆心的圆与抛物线的对称

轴1相切，先补全图形，再判断直线BD与。C的位置关系并加以证明.

14.如图，抛物线y=办?+bx+c的顶点为C(0,—6)，与x轴交于点A、B,连接AC、

BC,得等边△ABC.T点从B点出发，以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点S从

点C出发，以每秒指个单位的速度向y轴负方向运动，TS交射线BC于点D,当点T到达

A点时，点S停止运动.设运动时间为t秒.

(1)求二次函数的解析式；

(2)设ATSC的面积为S,求S关于t的函数解析式；

(3)以点T为圆心，TB为半径的圆与射线BC交于点E,试说明：在点T运动的过程中,

线段ED的长是一定值，并求出该定值.

15.已知二次函数;心的图像经过点P(0,-：)、A(5,0)、B(1,0).

(1)求该二次函数的解析式；

(2)点C在该二次函数的图像上，当△ABC的面积为12时，求点C坐标；

(3)在(2)的条件下，求△ABC外接圆圆心点D的坐标.

参考答案

1.(1)y=-入+{+3；⑵不存在，理由见解析；⑶OM的半径为，5，与，匕

444343

9一

【分析】(1)已知抛物线y=ax2+jx+c经过点A(-1,0)和点C(0,3),利用待定系数法即可

求得抛物线解析式；

(2)在抛物线上找到一点Q,使得AQC。是等边三角形，过点Q作OMLOB于点M,过

点Q作QNLOC于点N,根据AQC。是等边三角形，求得Q点坐标，再验证Q点是否在抛

物线上；

(3)分四种情况①当。M与y轴相切，如图所示，令M点横坐标为t,PM=t,将PM用t

表示出来，列出关于t的一元二次方程，求得t,进而求得半径；②。M与x轴相切，过点

M作MNLOB于N,如图所示，令M点横坐标为m,因为PN=2MN,列出关于m的一元

二次方程，即可求出m,同理③④种情况，进而求得。M的半径.

9

【详解】(1)..,抛物线y=ax2+—x+c经过点A(-1,0)和点C(0,3)

9

Cl-----FC=0

：.\4

c=3

’__3

解得＜4

c=3

39

・••该抛物线的解析式为：y=-4X2+4X+3

44

3Q

故答案为：y=-4X2+4X+3

44

(2)在抛物线上找到一点Q,使得AQC。是等边三角形，过点Q作QMLOB于点M,过

点Q作QNLOC于点N

•「△QCO是等边三角形，OC=3

3

：.CN=-

2

•••NQ=^CQ2-CN2=J一/=乎

即Q(更

22

*3右叶33A/3QQ粗心277333,3

当x二——时，y=——x(—2—)2+—X—2—+3=——--------丰一

24v2428162

•••Q(隹1)不在抛物线上

22

39

y=x2+—x+3

J44

故答案为：不存在，理由见解析

(3)①。M与y轴相切，如图所示

39

Vy=x2+—x+3

’44

39

当y=0时，--x2+-x+3=o

解得xi=-l,X2=4

AB(4,0)

令直线BC的解析式为y=kx+b

/4左+/?=0

[b=3

\=_l

解得|-4

b=3

3

・,・直线BC的解析式为y=-片+3

令M点横坐标为t

\・MP〃y轴,(DM与y轴相切

393

：.t=--t2+-t+3-(一一r+3)

444

Q

解得t=]

②。M与x轴相切，过点M作MNLOB于N,如图所示

令M点横坐标为m

VPN=2MN

393

'・——m2+—m+3=2(——m+3)

444

339

——m+3=一一+3=-

444

③当"与x轴相切时，如图3：

图3

点夕与点A重合时

x=-l

半径r=?

4

④当“与y轴相切时如图4：

图4

设「3亨+++3),小-1+3)

393

贝|]9=_彳2__x-3,Affi»=_x_3因==x

444

解得占=§,x2=0(舍去)

综上所述：M的半径为%|,y,y

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是二次函数的综合题，涉及了二次函数

与几何问题，二次函数与圆的问题，其中考查了圆切线的性质.

2.(1)c=—3；(2)①抛物线的解析式为y=-?x-3；②弧

o4

【分析】（1）将（：一：。一3:弋入y=aY-2ax+c中即可求得c的值;

（2）①根据题意，设点3（祖,0）,则点E（-〃?,6）,将两点坐标代入、=内2_2以-3中即可求

得a的值，进而即可求得函数解析式;

②根据题意，令y=0求出05=4,再由AFQB三ABOC及勾股定理求得的=3C=5,接着

由AGCTSATCB得到7G=@TB,再根据当点RT,G三点共线时，@7B+TF的值最

55

小，最小值为线段G尸的长进而即可求得最小值.

【详解】解：（1）\•点在抛物线上

（2）①如图，由题意，得点。（0,-3）

点。与点C关于原点。对称

点。（0,3）

BD=DE

设点则点石（一加,6）

将B（m,0）,石（一加,6）代入抛物线y=ax2-2ax-3

am2-2am—3=0

得（2o

[am+2am-3=6

3

解得。=：

o

a3

二抛物线的解析式为y=-=x-3；

84

②：抛物线产/一%—3=|（xT）2一1

，抛物线的对称轴为直线X=1

3,?7

令y=o,贝匕（无一1）一彳=0

88

解得玉=-2或々=4

..03=4

如图，设直线1=1与％轴的交点为。，则“。5=90。

/.ZQFB+ZQBF=90°

BF±BC

.,.NFBC=90。

ZOBC+ZQBF=90°

：.ZQFB=ZOBC

50=4-1=3,OC=3

/.BQ=OC

又ZFQB=ZBOC=90°

：.\FQB=\BOC

:.BF=BC

在MABOC中，03=4,0C=3,由勾股定理得3C=5

..BF=BC=5

在CB上截取，CG=1,取G5=5—1=4

CG_1y/5CTA/5

CT~y/5~5'~CB~~5

.CGCT

又二ZGCT=ZTCB

..AGCT^ATCB

CGCTTG_45

§PTG=—TB

5

\—TB+TF=TG+TF

5

点尸（1,4）为定点

「•当点RT,G三点共线时，好T8+犷的值最小，最小值为线段G厂的长

5

在RfAGBF中,GB=4,BF=5,由勾股定理得：GF=V42+52=A/41.

【点睛】本题主要考查了二次函数及圆的几何综合，熟练掌握函数解析式的求解方法，三角

形全等及相似的性质与判定，几何最值问题的求解方法等相关内容是解决本题的关键.

(1328、(35、

3.(1)(4,0)；y=--x2+—x+2；(2)-7?<QM<V10+75；(3)—

66)

【分析】(1)过点A作AD，y轴于点D,AELx轴于点E,求证△ACD0AABE,进而求

得点B坐标，再将A、B两点坐标代入二次函数解析式，即可解答；

(2)将点Q(m,/M+3)代入二次函数解析式，求得m的值，进而且得点Q坐标，根据圆

的性质得到BC是圆N的直径，利用勾股定理即可求得BC,进而求得N的坐标，再利用勾

股定理求得QN的长，确定取值范围即可；

(3)分两种情况：当点A的对称点4,点。的对称点。'在抛物线上时，利用旋转180。可

知，O'C〃OC,设点。'的横坐标为m,则点4的横坐标为m-3,利用y。-3=%列出式

子，即可求得m的值，利用旋转中心和线段中点的特点，即可求得旋转中心尸的坐标；当

点A的对称点4,点C的对称点。在抛物线上时，设点。的横坐标为m,则点4的横坐

标为m-3,同理可求得m的值以及旋转中心尸的坐标.

【详解】(1)解：如图，过点A作ADLy轴于点D,AELx轴于点E,

ZADC=ZAEB=90°

•.,二次函数y=o?+灰+2与y轴交于点C,

点C坐标为(0,2)

•・•点A坐标(3,3)

.*.DA=AE=3

ZDAC+ZCAE=90°

ZEAB+ZCAE=90°

・•・NDAC=NEAB

AAACD^AABE

.\EB=CD=3-2=1

OB=3+1=4

・••点B的坐标为(4,0)

将A(3,3)B(4,0)代入二次函数y=o?+区+2中

f3=9a+36+2

得・1

10=16。+40+2

f5

a=——

解得：f

b=—

I6

517

二次函数的解析式为：＞=x+2

66

S17

(2)将点Q(m,m+3)代入二次函数解析式得：m+3=--m2+--m+2

66

6

mi=l；m2=-(舍)

m=l

・••点Q坐标为(1,4)

由勾股定理得：BC=20

设圆的圆心为N

:圆经过点O,且NCOB=90。

；.BC是圆N的直径，

圆N的半径为百，N的坐标为(2,1)

由勾股定理得，QN=V10

半径r=«，则石WQMWJHJ+6

(3)当点A的对称点4,点O的对称点0,在抛物线上时，如图

设点0'的横坐标为m,则点4的横坐标为m-3

%-3=匕

517S17

得：——m2H----m+2—3=——(m—3)2-\(m—3)+2

6666

13

解得：m=-

一211

的坐标为（—1百）

（11型）

・•・旋转中心P的坐标为[10,15）

当点A的对称点4,点C的对称点。在抛物线上时，如图

设点。的横坐标为m,则点4的横坐标为m-3

517517

得：——m2H----m+2-l=——（m-3）2H-----（m-3）+2

6666

解得：m=3

・・・4的坐标为（0,3）

旋转中心P的坐标为［，|）

综上所述，旋转中心P的坐标为之,或及高

【点睛】本题为二次函数综合题，难度大，属于中考必考压轴题，考点涉及了全等三角形的

判定及性质、待定系数法求函数解析式、圆的性质、动点问题等，熟练掌握各个知识点是解

题关键.

4343—

4.（1）①不是，是；②尸。的长为1,点尸的坐标为（不，M）或（-二，-W）；（2）f的取值范围

为-1</<3.

【分析】（1）①利用圆的“完美点”的定义直接判断即可得出结论.②先确定出满足圆的“完美

点”的OP的长度，然后分情况讨论计算即可得出结论；（2）先判断出圆的“完美点”的轨迹，

然后确定出取极值时OC与y轴的位置关系即可得出结论.

【详解】解：⑴①：点0）,

...设。。与无轴的交点为A,B,

:。。的半径为2,

.•.取A(-2,0),8(2,0),

33

：.\MA-MB|=|(-+2)-(2-万)|=3先,

点M不是。。的“完美点”，

同理：点(-",-；)是。。的“完美点

22

故答案为不是，是.

②如图1,

：.\OP+2-(2-OP)\=2,

：.OP=1.

若点尸在第一象限内，作尸。，工轴于点

3

•.•点尸在直线y=］X上，OP=1,

43

OQ=~,PQ=-.

43

若点尸在第三象限内，根据对称性可知其坐标为(-彳，--).

综上所述，尸o的长为1,点尸的坐标为(：4］3)或(-］4，-3())•

(2)对于。。的任意一个“完美点”P都有陷-PB\=2,

：.\CP+r-(r-CP)\=2.

：.CP=1.

，对于任意的点P,满足。P=1,都有|。尸+一("。尸)|=2,

AIM-PB\=2,故此时点尸为。C的“完美点”.

因此，0c的“完美点”是以点C为圆心，1为半径的圆.

当。C移动到与y轴相切且切点在点D的上方时，f的值最大.

设切点为E，连接CE,

:。C的圆心在直线y=-2x+l上，

.,.此直线和y轴，x轴的交点。(0,1),0),

：.OF=W，OD=1,

'：CE//OF,

:ADOFS^DEC,

.OPOF

"DE~CE'

.1_1

DE~2，

：.DE=2,

：.OE=3,

r的最大值为3,

当。C移动到与y轴相切且切点在点D的下方时，f的值最小.

同理可得r的最小值为-1.

综上所述，/的取值范围为-1SE3.

【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，相似三角形的性质和判定，直线和圆的位

置关系，解本题的关键是理解新定义的基础上，会用新定义，是一道比中等难度的中考常考

题.

5.(1)A点坐标(3-夜，0),点5坐标(3+行，0)；(2)详见解析；(3)。点坐标为

IQ13

（3,1）或（—^―,

【分析】（1）根据二次函数性质，求出点A、B、D的坐标；

（2）如何证明/AEO=NADC?如答图1所示，我们观察到在小EFH与△ADF中：/EHF=90。,

有一对对顶角相等；因此只需证明NEAD=90。即可，即AADE为直角三角形，由此我们联

想到勾股定理的逆定理.分别求出△ADE三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是

直角三角形，由此问题解决；

（3）依题意画出图形，如答图2所示.由OE的半径为1,根据切线性质及勾股定理，得

PQ2=EP2-1,要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.利用二次函数性质求出

EP2最小时点P的坐标，并进而求出点Q的坐标.

【详解】（1）顶点D的坐标为（3,-1）,

令y=。，得万（x-3）-i=o,

解得=3+A/2,x2=3-A/2,

・・,点A在点B的左侧，

•'A点坐标（3-及，0）,点B坐标（3+血，0）；

（2）过D作DG_Ly轴，垂足为G,

则G(0,-1),GD=3,

7

令x=0,贝Uy=w，

7

・・・C点坐标为(0,—),

2

79

GC=--(-1)=—，

22

设对称轴交x轴于点M.,

VOEXCD,

,ZGCD+ZCOH=90°,

VZEOM+ZCOH=90°,

.•.ZEOM=ZGCD,

又：ZCGD=ZOME=90°,

.'.△DCG^AEOM,

9

.CGDG—,

..——=——，即Hn23,

OMEM-=-----

3EM

；.EM=2,即点E坐标为(3,2),ED=3,

由勾股定理，得AE2=6,AD2=3,

AE2+AD2=6+3=9=ED2.

.♦.△AED是直角三角形，即/DAE=90。.

设AE交CD于点F,

AZADC+ZAFD=90°,

又ZOEA+ZHFE=90°,ZAFD=ZHFE,

ZOEA=ZADC；

(3)如图:

由。E的半径为1,根据勾股定理可，得切线长PQ?=EP2-1,要使PQ长最小，只需EP长

最小即可

设P坐标为(x,y),

由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)\

Vy=y(x-3)2-l,

(x-3)2=2y+2,

AEP2=2y+2+y2-4y+4=(y-l)2+5,

当y=i时，EP?最小值为5,

11

把y=i代入y=］（x-3）9'i,得万9=

解得X1=1,X2=5,

又・・,点P在对称轴右侧的抛物线上，

・，・X1=1舍去,

・••点P坐标为（5,1）,

一1913

此时Q点坐标为（3,1）或（-丁，-丁）.

【点睛】本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大.第（2）问中，注意观察图形，

将问题转化为证明4ADE为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数

（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求EP2最小值的问题，注

意解答中求EP2最小值的具体方法.

6.（1）y=；/-2x+3；（2）P点的坐标为；（3）相交.证明解解析.

【详解】分析：（1）己知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点

坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；

（2）过尸作y轴的平行线，交AC于Q易求得直线AC的解析式，可设出产点的坐标，进

而可表示出P、。的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得

出关于丛C的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出B4c的最

大面积及对应的P点坐标.

（3）根据抛物线的解析式，易求得对称轴/的方程及8、C的坐标，分别求出直线AB、BD、

CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；

详解：（1）设抛物线为y=a（x-4）2-l,

:抛物线经过点A（0,3）,

3=<7（0—4）2—1,a=—；

11

.,•抛物线为y=一9_］干。2+3；

（2）如图，过点尸作平行于y轴的直线交AC于点。；

设P点的坐标为[丸;苏-2wt+3)

则。点的坐标为根+3)

1(1,、1,3

PQ=——m+3-—m-2m+3=——m+—m.

2(4J42

](]3、3227

,•*SAPACUSVAQ+SMCQMIXI-W机机)x6=一^(根—3)+彳；

27

.**当m=3时，PAC的面积最大为二；

4

此时，尸点的坐标为[3,-』.

国—2,%?=6.

A(0,3)以2,0),。(6,0),

对称轴x=4,

:♦OB=ZAB=M-¥=屈,BC=4，

'：AB±BDf

：.ZOAB+AOBA=90°,AOBA+ZEBC=90°,

2AoBs2BEC,

：."=%即巫=2,解得CE=M1

BCCE4CE13

・.8a一

•--->z

13

・•・抛物线的对称轴/与。C相交.

点睛：属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相

似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识・此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线

的作法，注意数形结合思想的应用.

2

7.(1)72(2)①y=—(l<x<2)②直线EF与。。相切

【详解】试题分析：(1)当E、F分别为BA、AC中点时，EF为三角形ABC中位线，在

直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的长，即可确定出EF的长；

(2)①根据题意利用等式的性质得到一对角相等，再由一对角为45。，利用两对角相等的

三角形相似得到三角形BOE与三角形OCF相似，由相似得比例列出y与x间的函数解析式，

并求出x的范围即可；

②EF与圆O相切，理由为：由①得出的三角形BOE与三角形COF相似，得比例，把CO

换为B0,变形后利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形BEO与三角形

OEF相似，利用相似三角形对应角相等得到/BEO=/FEO,利用角平分线定理得到。到

EB、EF的距离相等，而AB与圆O相切，可得出/OFE=90。，即OF与AC垂直，且OF

为半径，即可确定出EF与圆0相切.

试题解析：

⑴在△ABC中，

AB=AC=2,/A=90°,

根据勾股定理,

得BC=后6=26

:点E,F分别为边BA,AC的中点,

.,.EF是△ABC的中位线.

•'•EF=V2

(2)①在△OEB和4FOC中，

：AB=AC,NA=90°,；./B=45°.

VZEOB+ZFOC=135°,ZEOB+ZOEB=135°,

・・・NFOC=NOEB.

又・・,NB=NC,

.'.△OEB^AFOC.

.BEBO

**CO-FC'

VBE=x,CF=y,OB=OC=&,

・・・；=1,即y=2,(l<x<2.)(不写范围不扣分).

Y2yx

②直线EF与。O相切，

理由：VAOEB^AFOC,

.OE_BE

••而一石，

.OE_BEOE_FO

••,Rn.

FOBOBEBO

又：/B=NEOF=45。，

.•.ABEO^AOEF.

.•.ZBEO=ZOEF.

...点O到AB和EF的距离相等.

VAB与。O相切，

...点O到EF的距离等于。O的半径.

直线EF与。O相切.

【点睛】圆综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定

理，以及直线与圆相切的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.

8.(1)y=x2-4x+3；

9

(2)MN的最大值为了；

4

⑶点P的坐标为［I，-：］或.

【分析】(1)先求得C(0,3),8(3,0),设抛物线的解析式为y=a(x-D(x-3),利用用待

定系数法求解即可；

(2)设/(加,疗-4〃?+3),N(m,-m+3),用加表示出ACV,再利用二次函数的性质求解

即可;

（3）连接AC,作AH，3c于点求得ABH是等腰直角三角形，利用三角函数再求得

twZACB=—=^=~,设网〃,/一4〃+3）,作PKLx轴于点K,由题意得到

CH2。22

n-l=2bi2-4/1+3,再分别求解即可.

【详解】（1）解：对于直线y=-x+3,

令尤=0,贝!|>=3,令y=0,则x=3,

.-.C（0,3）,3（3,0）,

设抛物线的解析式为y=,

将C（0,3）代入得3=a（0—1）（0—3）,

解得a=l,

；•抛物线的解析式为y=（尤一l）（x-3）=f—4x+3；

（2）解：设/一4〃?+3）,N（m,-m+3）,其中0＜根＜3,

MN=—m+3—（m2—4机+3）=—m2+3m

m-|

,/-l＜0,

39

.•.当他=彳时，MV有最大值，最大值为二;

24

（3）解:连接AC,作A”,3c于点H,

VC（0,3）,3（3，。），

O3=OC=3,

AZOBC=45°,AB=3-1=2,BC=M+k=36，

..「ABH是等腰直角三角形，

AH=BH=AB-sin45。=也,

CH=BC-BH=2y/2，

AtanZACB=—=^=-1,

CH2722

设尸(〃,〃2一4〃+3),作PK_LX轴于点K,

2

.*•AK=n—lJPK=|H—4n+3|

NPAB=ZACB,

PK1

tan/PAK==—,

AK2

：.AK=2PK,

n—1—2/I?—4〃+3

当"-l=2（〃2-4〃+3）时,

整理得2〃2-9"+7=0,

7

解得”=1(舍去)或”=3,

，点P的坐标为ri;

当〃-1=-2仅2一4〃+3）时,

整理得2〃2-7〃+5=0,

解得〃=1(舍去)或〃=g,

点尸的坐标为

5_3

综上,点尸的坐标为2，-4或

【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、锐

角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

222

9.(1)y=-x+-x-2.(2)蛀；(3)SAPDE=--x--x+2(~-^<x<0),且

3351532

△尸。石面积的最大值为三53.

【详解】试题分析：(1)由点A、8的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

(2)令抛物线解析式中％=0求出点C的坐标，根据点A、8的坐标即可求出其中点M的坐

标，由此即可得出CM的长，根据圆中直径对的圆周角为90。即可得出△COMS/XCOE,根

据相似三角形的性质即可得出洽=等，代入数据即可求出0c的长度；

(3)根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y=0,求出平移后的抛物线与x

轴的交点坐标，由此即可得出点尸横坐标的范围，再过点P作尸轴于点P,过点。作

轴于点。，通过分割图形求面积法找出&PDE关于x的函数关系式，利用配方结合

而成函数的性质即可得出△PDE面积的最大值.

0=9a—36—2

试题解析：解：(1)将点A(-3,0)、3(1,0)代入丁=以2+版-2中，得:

0=a+b-2

2

a=­

374

解得：j，抛物线的函数解析式为尸产+1%-2.

b=-

3

24

(2)令>中x=0,贝！|y=-2,：,C(0,-2),：.OC=2,CE=4.

-3,0),3(1,0),点M为线段AB的中点，-1,0),CM=7(-l-O)2+[0-(-2)]2

=45.

为。。的直径，ZCDE=90°,SCOMs^CDE,：.DC=^~.

DCCE5

2943941

(3)将抛物线向上平移!■个单位长度后的解析式为>=彳无2+々》-2+;=?/+^尤一3,令

'=：x2+：苫_：中y=0,gp|x2+1%-|=0,解得：XL2-近,%=-2+近.

33233222

:点P在第三象限，；•一2-占<尤〈().

2

过点P作PP」y轴于点P,过点。作轴于点。，如图所示.

在R3CDE中，CD=正,CE=4,DE=y]cE2-CD2=—>smZDCE=-=^.在

55CE5

RSCD。'中，C£>=述，ZCD'D=90°,：.DD'=CD-smZDCE=-,CD'=-DDa=—>

555

ARAA9zl19Al

OD,=CDr-OC--9.*./)(—,—。'(0,—).丁P(x,—x2H—x—),Pr(0,—x2H—x—),

5555332332

，SAPDE=SADDE+S梯形DDPP-SAEPP，=gDD'・ED'+g(DD&PP)•D,Pf-^PP^EP^

X2X

__8_--+2(-2--22

<x<0).-：SAPDE=--x--x+2=--(x+-)+—f

~1532153158242

V-，5V0,・••当4-，5时，S.PDE取最大值，最大值为三53.

故：△产/定的面积关于X的函数关系式为S/PnE=q/T+2(-2丁<x<0),且

点睛：本题是二次函数的综合题，解题的关键是：(1)利用待定系数法求出函数解析式；(2)

根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系；(3)利用分割图形求面积法找出&PDE关

于x的函数关系式.本题属于中档题，难度不大，但数据稍显繁琐，本题巧妙的利用了分割

图形法求不规则的图形面积，给解题带来了极大的方便.

10.(1)J7!=x2—3x—4；(2)9；(3)(2+\[6,-A/6),(2—y/6,岳),(2+>/2，4—A/2)，

(2-72，4+0).

【分析】(1)将点A(-1,0)和点8(4,0)代入％=依2+桁-4即可得到结论；

(2)由对称性可知，得到抛物线”的函数解析式为%=-/+3x+4,求得直线BC的解析

式为：y=-x+4,设。(m,-m+4),E(m,m2-3/77-4),其中0S"S4,得到DE=-7"+4

-(m2-3m-4)+9,即可得到结论;

(3)由题意得到ABOC是等腰直角三角形，求得线段8c的垂直平分线为广尤，由(2)知，

直线。E的解析式为x=l,得到五(2,2),根据5。尸：SADFH=2H,得到『四，由于。尸

与直线BC相切，推出点尸在与直线BC平行且距离为0的直线上，于是列方程即可得到

结论.

【详解】解：(1)将点A(-1,0)和点8(4,0)代入％=0?+--4得:

[0=16a+46-4[Z?=—3

，抛物线〃的函数解析式为：％=，—3x-4；

2

(2)由对称性可知，抛物线”的函数解析式为：y2=-x+3x+4,

：.C(0,4),

设直线BC的解析式为：y=kx+q,

把8(4,0),C(0,4)代入得，k=-1,q=4,

...直线BC的解析式为：y=-x+4,设。(m,-m+4),E(m,m2-3m-4),其中

DE=-m+4-(m2-3m-4)=~(m-1)2+9,

0<77?<4,

当m=i时，DEmax=9;

此时，D(1,3),E(1,-6)；

(3)由题意可知，ABOC是等腰直角三角形，

；•线段8C的垂直平分线为：产x,由(2)知，直线QE的解析式为：x=l,

：.F(1,1),

是BC的中点，

：.H(2,2),

:.DH=Q,FH=y/2,

：.SADFH=1,设。尸的半径为厂，

VSQP：SADFH=2H