2025年中考数学总复习《圆-垂径定理的应用》专项检测卷（附答案）

2025年中考数学总复习《圆的专题-垂径定理的应用》专项检测卷(附

答案)

学校:班级：姓名：考号：

1.(本题满分10分)

己知：如图，CD是。。的直径，AC.AB.5。是。。的弦，AB//CD.

(1)求证：AC=BD；

(2)如果弦A5长为8,它与劣弧A5组成的弓形高为2,求CD的长.

第1题图

第1页共28页

2.(本题满分10分)

如图，。。|和。。2相交于点A、B,联结A3、。02、A°2＞已知AB=48,

01a=50,A(92=30.

(1)求。。的半径长；

(2)试判断以GO2为直径的。尸是否经过点8,并说明理由.

(第2题图)

第2页共28页

3.(本题满分10分，每小题满分各5分)

如图，四是。。的直径，麴与切相交于点反弦助与弦切相等,

且於=^D.

(1)求乙处的度数；

(2)如果OE=\,求助的长.

第3题图

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4.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）

3_

如图6,在AABC中，AC=AB,sinA=-,圆。经过A、B两点,圆心。

在线段AC上，点。在圆。内，且OC=3.

（1）求圆。的半径长；

（2）求3C的长.

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5.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，已知△回外接圆的圆心。在高助上，点£在勿延长线上，及右伤.

（1）求证：52/AEC；

（2）当味2,cos/BAO。时，求应1的长.

（第5题图）

第5页共28页

6.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）

如图5,已知。。是△放的外接圆，俏8,OA=5.

（1）求N胡。的正弦值；

（2）求弦比的长.

第6页共28页

7.(本题满分10分，第⑴小题5分，第⑵小题5分)

如图，已知在△■中，AC=42i,BC=6,。0经过△板的顶点4C,

交四边于点〃4)=4后，点。是仞的中点.

(1)求。0的半径长；

(2)联结。C,求sinZBCD的值.

(7题图)

第7页共28页

8.(本题满分10分，每小题各5分)

如图，已知在△核中，AB=AC=9,cosB=S，点G是△放的重心，延长4G

交边8C于点〃，以G为圆心，的为半径的圆分别交边四、4。于点反F.

(1)求4G的长；

(2)求班'的长.

第8题图

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9.(本题满分10分，每小题各5分)

已知：如图6,是△力回的外接圆，丝平分△破的外角N物GOMLAB,

ONLAC,垂足分别是点欣儿且OM-ON.

(1)求/以£的度数；

a

(2)如果反:6,cosB=-9求。。的半径长.

第9页共28页

10.(本题满分10分，每小题各5分)

如图5,已知△上中，ZACB=90°,4俏4,BC=8.点。在边■上，以0

为圆心，如为半径的弧经过点4

(1)求。0的半径长；

(2)户是前上一点，PO1BC,交相于点〃联结4K求N小8的正切值.

（图10）

第10页共28页

11.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，。。经过平行四边形被力的顶点反C、D,点。在边4〃上，433,奶5.

（1）求平行四边形侬刀的面积；

（2）求N〃的正弦值.

第11题图

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12.（本题满分10分）

已知，如图3,。〃的半径为2,半径8被弦回垂直平分，交点为Q,点。

在圆上，且52=5?

（1）求弦"的长；

（2）求图中阴影部分面积（结果保留万）.

第12页共28页

13.（本题满分10分）

如图5,已知在半圆。中，A6是直径，CD是弦，点E、歹在直径A6上,

且四边形CDbE是直角梯形，ZC=ZZ）=90°,45=34,CD=30.

求梯形CDFE的面积.

（图13）

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14.如图，已知。。中，弦/后8,点尸是弦Z8上一点，0—0,/0P*45".

(1)求阳的长.

(2)过点尸作弦切与弦2夕垂直，求证：止CD.

(第14题图)

参考答案

L(本题满分10分)

已知：如图，CD是。。的直径，AC.AB.5。是。。的弦，A5〃CD.

(1)求证：AC=BD；

(2)如果弦A5长为8,它与劣弧A5组成的弓形高为2,求CD的长.

第1题图

1,已知：如图，CD是。。的直径，AC、AB,3。是。。的弦，AB//CD.

(1)求证：AC=BD；

(2)如果弦A3长为8,弧A3的拱高为2,求CD的长.

解：(1)作直径MN,CD交A3于点E,交。。于点M、N,

,/AB//CD,：.ZMEB=ZMOD=90°,BPMNLAB,......(2分)

nnnn

：.MA=MB,MC=MD,.......................................（2分）

nn

/.AC=BD,：.AC=BD........................................（1分）

（2）联结AO,ME=2,AB长为8,设圆的半径为r,

OE=r-2...............................................（1分）

RtZVIOE中，•.,直径MNLAB于点E,：.AE=4

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21

,?(9A=AE+OK?,即/=42+(厂—2)2,解得r=5,（3分）

：.CD=2r=\Q.（1分）

2.（本题满分10分）

如图，。。和。。2相交于点A、B,联结A3、002、A。？，已知A3=48,

O]Q=50,AO2=30.

（1）求。。1的半径长;

（2）试判断以ad为直径的。「是否经过点8,并说明理由.

2.解：（1）联结A0「设502与AB的交点为C.

•••%和叱相交于点A、B,

1

.-.AC=jAB=24,0t02±AB;

在RtaACOz中，ZACO2=90°,

2222

.-.C02=JAO2-AC=J3O-24=18;

_

.*.C01=O1O2CO2=50-18=32;

在RtZkACOi中，NACO1二90。,

••.AOi=JcOj+AC2=J322+242=40

即回。1的半径长为40.'

(2)以。1。2为直径的回P经过点B.

・・AO2_30_3CO2_18_3

・O1O2505'AO2305’

A

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C

,A02_C02

。1。2AO2

又NAO2c=N0I（）2A

.-.△AO1O2~AACO2

：.ZO1kO2=ZACO2=90°;

取O1O2的中点P,联结AP、BP.

.•.AP=POi

又。1。2垂直平分AB,BP=AP=POi;

.以。1。2为直径的团P经过点B.

3.（本题满分10分，每小题满分各5分）

如图，A3是。。的直径，A3与CD相交于点E,弦AD与弦CD相等,

且余与B.

（1）求NADC的度数；

（2）如果OE=1,求AD的长.

3.解：（1）联结AC.

•••0为圆心，BC=BD,（2分）

.-.AB±CD,CE=DE.（1分）

.•.AC=AD.

又•••AD=CD,

.-.AC=AD=CD.（1分）

...△ACD是等边三角形（1分）

.-.ZADC=60°

（2）联结0D.（1分）

vZADC=60°,

••.NA=30°（1分）

•1•OD=AO,

.-.ZA=ZAD0=30°（1分）

.-.ZED0=30°

第16页共28页

在RtZSOED中，

t.,DE=cot30°,OE,OE=1,.'.DE=V3（1分）

.-.AD=CD=2DE=2V3（1分）

4.（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）

3

如图6,在△A3C中，AC=AB,sinA=-,圆。经过A、5两点，圆心。

在线段AC上，点C在圆。内，且OC=3.

（3）求圆。的半径长；

（4）求BC的长.

4、解：（1）作垂足为点

由垂径定理，得AH=BH......................（1分）

3

,.•夫/△AOH中，ZOAH=90°,sinA=-,

设OH=3k,OA=5k,则AH=」O4-OH?=4k.…（1分）

/.AB=2AH=3k................................（1分）

VAC=AB,OC=3,：.5k+3=8k,k=l......（1分）

・•.。4=5,即圆。的半径长为5....................（1分）

（2）作CAfLAB,垂足为点V.

由（1）可知：AC=AB=8....................（1分）

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3CM324

,.,欣△AGVf中，ZCW=90°,sinA=—,/.——=—,CM=—.…（1分）

5AC55

VAM2+CM2=AC2,：.AM=­............................（1分）

Q

/.BM=AB-AM=-....................................（1分）

5

中，/CMB=90。，CM2+BM2=BC2,：.BC=^^~.(1分)

5

5.(本题满分10分，其中第(1)小题5分，第(2)小题5分)

如图，已知比'外接圆的圆心。在高4〃上，点£在a1延长线上，EOAB.

(1)求证：/方2NAEC；

(2)当614=2,cosZBAO=无时，求庞的长.

2

5、(1)证明：•.•直线/。，灰；垂足为〃且。为圆心,

・•.劭W即/。垂直且平分8C，...............（1分）

：.AB=AC,：.ZB=ZACB................（2分）

又•：EOAB,：.E（=AC,庐/区................（1分）

:./ACB=/CAE+/E皂/E,即N庐2N£................（1分）

(2)联结0C,

垂直且平分8C,:./BA伉/DAC,

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百

VcosZBAO=—,：.ZBA0-3Q0,ZDA(=30°,NACD=60°,（1分）

2

'：0(=OA,ZOCA=ZOA(=30°,ZD0(=Z0CA+Z0A(=6Qo,Z00^30°,

'：0（=0A=2,，Rt△如。中，OD=1,屐砂―F=石,（2分）

：.CE=AC=2DC=273,.•.脂3诲3VL...............(2分)

6.（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分5分）

如图5,已知是△板的外接圆，AB=AC=8,04=5.

（1）求N物0的正弦值；

（2）求弦充的长.

6.解：(1)过点。作出，力8,垂足为点〃

,：ODVAB,AB=8,

：.AD=-AB=4：,

2

"：OA=5,

：.OD=3,

在Rt△/如中，

sin/BAO=-

5

(2)过点。作OFVAC,垂足为点£

'：AB=AC,

J.OD=OF

:./BA*/CAO

延长力。交以于点E.

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：.AO±BC,BC=2BE,

在Rt△力庞中，

"：AB=8,sinZBAO=-

5

24

：.B^—

5

・Y

7.（本题满分10分，第⑴小题5分，第⑵小题5分）

如图，已知在优中，AC=历,BC=6,。。经过△胸的顶点2、C,

_C

交四边于点〃，AD=4A/3,点。是AD的中点.

（1）求O0的半径长；（

（2）联结刀C,求sin々CD的值.f%厂B

Aj（7题图）

7.（本题满分10分，第（1）小题5分，第⑵小题5分）

解：（1）联结OC交AB于点H..........................................................（1分）

•••OC过圆心，点。是AD的中点八。=4有

:.HA=DH=26,OCXAB...........................................................................（1分）

：.ZCHB=ZCHA=90°

：.HC2+AH2AC2,又,：AC=后

：.CH=3...........................................................................................................（1分）

联结OA,设。4=x,则OC=x,OH=x-3,

VOCXAB：.ZOHA=90°,

/.AH2+OH1=AO2,**-12+（x-3）-=%2.....................................................（1分）

7

解得%=-,...................................................（1分）

2

77

/.OA=-,即：。。的半径长为不

22

（2）过点D作DMLBC,垂足为M

RtABCH中,BH=^BC2-CH-=373.............................................................（1分）

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.\BD=3A/3-2A/3sinB=1......................................................................................（1分）

R/MDM中，DM=BD.sinB=—...................................................................（1分）

2

・••点C是AD的中点

CD=CA=后,..................................................................................................（1分）

••.sin"CD=也=%=立(1分)

CDV2114

8.(本题满分10分，每小题各5分)

如图，已知在△上中，心4>9,cos庐好，点G是△人比的重心，延长4G

3

交边况1于点。，以G为圆心，必为半径的圆分别交边四、NC于点£、F.

(1)求4G的长；

(2)求应'的长.

8廨：

(1)•点G是AABC的重心,

...AD是BC的中线，且AG=|AD（1分+1分）第8题图

又AB=AC=9

/.AD±BC（1分）

RtAADB中，AB=9,cosB=—

/.BD=3V5,（1分）

/.AD=6,

AG=4（1分）

（2）过G作GHLAE,垂足为点H.

VGHXAE,点G为圆心，AH二EH（1分）

又在Rt^AGH中，GA=4,cosZGAH=sinZABC=|

.AATHT=8-(2分)

3

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.AE=-

3

，BE=9万（2分）

第22页共28页

9.（本题满分10分，每小题各5分）

已知：如图6,是比的外接圆，四平分△被7的外角N物GOMVAB,

ONVAC,垂足分别是点〃,从且OM=ON.

（1）求的度数；

（2）如果5G6,cosB=|,求。。的半径长.

9.解：(1)VOMXAB,ON±AC,垂足分别是M、N,且OM=ON,

••.AO平分NBAC.......................................................................................1分

/.ZBAO=ZCAO........................................................................................1分

：AE平分NDAC,AZDAE=ZCAE....................................................1分

VZBAO+ZCAO+ZDAE+ZCAE=180°...............................................1分

AZCAO+ZCAE=90°,即NOAE=90°...............................................］分

(2)延长AO交3C于

'：OM±AB,ON±AC,垂足分别是M、N,

：.OM、ON分别是A3、AC的弦心距.

OM=ON,

.AB=AC....................1分

NO平分NA4C,

.BH=CH,AH±BC.1分

'BC=6,

•BH=3.

在RtZXABH中，cosB=-=-,

AB5

：.AB=5.

AH=4.cosZBAH=—=-.........................................1分

AB5

过圆心且0MLA3,

/.AM=BM^~..............1分

2

在RtZVIOM中，cosZBA//=理=3,

AO5

AAO=-,即圆。的半径长为生..........................1分

88

第23页共28页

10.(本题满分10分，每小题各5分)

如图5,已知△上中，N4办90°,BC=8.点0在边比上，以0

为圆心，如为半径的弧经过点4

(1)求。。的半径长；

(2)户是前上一点，POLBC,交班于点〃联结求N9的正切值.

（图10）

10.（1）联结A。，设AO=BO=r

'：BC=8,：.CO=8-r

VZC=90°,AC=4

：.42+（8-r）=r:

OB

（图10）

r=5

：.QO的半径长是5.

（2）过点P作垂足为H.

••ODAC1

OBBC2

・535r-

・・OD=-,PD=-,BD=-45.

222

又Zl+N4=N2+N4=90°Z3=Z4

AZ1=Z2

•."DH.八OD45

•,sin/2==sinZl==—.

PDBD5

HD=—,PH=y/5,AH=y/5

2

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11.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）

如图，。。经过平行四边形极力的顶点8、C、D,点0在边4〃上，433,OD=5.

（1）求平行四边形/颇的面积;

（2）求的正弦值.

11.解：(1)作OHJ_BC,垂足为点H,联结OC.

,/平行四边形ABCD中，AO=3,0D=5

ABC=AD=8....................1分

•.,在。。中，0H过圆心0,OH±BC

ABH=CH=4....................1分

AOH2+CH2=0C2....................1分

RtAOCH中，ZOHC=90°

VOC=0D=5

AOH=V52-42=3....................1分

...平行四边形面积为BC•0H=8X3=24...................1分

(2)作CGLAD,垂足为点G

平行四边形ABCD中,AD//BC,

ZGCH+Z0GC=180°

VCG±AD

.,.Z0GC=90°

.,.ZGCH=90°

VZ0HC=90o

四边形OGCH为矩形1分

AOH=CG=3,0G=CH=4

.\DG=5-4=12分

VRtADCG中，NCGD=90°

ACD=JcG2+DG2=V10

1分

..._CG_3_3V10

・・sinNDn=——------1分

DGV1010

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12.（本题满分10分）

已知，如图3,。。的半径为2,半径8被弦四垂直平分，交点为Q,点、C

在圆上，且52=5?

（1）求弦"的长；

（2）求图中阴影部分面积（结果保留万）.

\O/\

P

12、解：（1）联结如，则08=2...............................................................（1分）

•.•弦N8垂直平分0P,

：.OQ=^OP=1....................................................................................（1分）

在Rt△质中，BQ=^OB2-OQ2=A/3............................................（1分）

半径冰垂直N8,

AQ^BQ,..........................................................................................（1分）

:.AB=20..........................................................................................（1分）

（2）在Rt△质中，cos/POB」,:./P0B=6G°.

2

联结8C,VnC=SP,ZBOOZFOB=60°........................................（1分）

又,：OC=OB,I.△阪1是等边三角形.

：.ZBC0=60o,...............................................................................（1分）

Z.BCO+ZPOC=180°,BC//0P,