2025年中考数学一轮复习知识清单：由“一点”引发的思考（解析版）

由“一点”引发的思考

内容概览

题型一：一题多解

题型二：分类讨论

题型三：面积相等问题

、务法清单

题型一：一题多解

a。

【例1】在平面直角坐标系中，点尸的坐标为(0,2),点M的坐标为(冽一1,一［加一/(其中冽为实数).当的长

最小时，冽的值为.

法1：利用两点间的距离公式可得尸”=(冽-1/+(—3冽—9—2)2="(阴+，2+16,故当冽=—Z时，PA/2有最小值

441655

7

16..•・当加=一M寸，9有最小值4.

QQQ

法2：由点M的坐标(冽一1,可得点M在直线产一3一3上，如图所示，分别交x轴，y轴于点4-4,

0),B(0,—3).过点。作交于点此时尸M最短.

43

在RZXBAO中，BP=5,sinZABO=^f:.PM=4.在此"MC中，PM=4,cosZPMC=cosZABO=^f

17177

：.CM=~,=...当加=一(时，PM有最小值4.

【变式工已知点。与点/(8,0),5(0,6),C(a,—a)是一平行四边形的四个顶点，求CA长的最小值.

答案：①若48为边，则CD=N8=10.如图①；

②若N3为对角线，如图②,

CD=2CM=2AAJ-2。+25=2yJ2^z-^j2+y,

法1：利用两点间距离公式,当。=1时，CO取得最小值7股.

2

法2：由题知，点C在直线y=-x上，若CD=2CM最小，则CM最小，只需过点初作直线夕=一x的垂线段即可.联

立y=x—1,y=-x,可得eg，—小，此时CD=7也.

题型二：分类讨论

【例2】已知：在平面直角坐标系中，四边形O/3C的顶点分别。(0,0),A(5,0),B(m,2),C(m-5,2).

⑴问：是否存在这样的〃?，使得在3c边上总存在点尸，使/。以=90。?若存在，求出机的取值范围；若不存在,

请说明理由.

⑵当/NOC与/O/8的平分线的交点。在5c边上时，求加的值.

答案：(1)存在.

,:B,C两点的纵坐标都是2,...B,C两点都在直线y=2上.

取CM的中点以M为圆心，04=5为直径作圆，交直线y=2于乃(1,2),P2(4,2)两点，如图①，

当8与尸1重合时，机=1；当C与尸2重合时，〃?-5=4,777=9.1^777^9.

⑵由于04幺BC,所以四边形ON8C为平形四边形，N/OC与/CU8的平分线的交点。在8C边上，如图②，有

两层意思：

①满足/。。/=90。，即。与尸重合(第(1)题)；

②。为8C的中点(&^三，2),...斗或篙二=4,即加=：或葭.

【变式1].(2023春•滨海新区期末)如图，在平面直角坐标系中，己知/Q0),2(6,0),其中口，6满足

V^+T+(Z?-3)2=0.

(2)若在第三象限内有一点河(-2,%)，用含加的式子表示AA8A/的面积；

o3

(3)在(2)条件下，线段W与y轴相交于C(0,-记)，当时，点P是y轴上的动点，当满足AP2M的面

积是AA8M的面积的2倍时，求点尸的坐标.

【分析】(1)根据绝对值和算术平方根的非负性质得。+1=0,且6-3=0,即可得出结论；

(2)根据三角形面积公式求解即可；

(3)根据三角形面积公式求出尸C的长，再分类讨论即可.

【解答】解：(1)•.•0、b满足7^71+3-3)2=0,

。+1=0,且6-3=0,

/.a=—1J6=3,

故答案为：-1,3；

(2)a=—1,6=3,

.•.4(-1,0),5(3,0),

AB=4,

・・・M(—2,加),且M在第三象限,

m<0,

\ABM的面积=%x4x(—加)=一2冽；

(3)当冽=一己时，

2

贝I」M(-2,-1),SMBM=-2m=-2x(-|)=3,

VAPBM的面积=AABM的面积的2倍=6,

VNPBM的面积=\MPC的面积+ABPC的面积=-PCx2+-PCx3=6,

22

17

解得：PC=—,

5

当点P在点C的下方时，P(0,-y-^y),即尸(0,-胃)；

当点P在点C的上方时，玖0,?-\),即尸(0§);

综上所述，点P的坐标为(0,-盖)或(0：).

【点评】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性质、三角形的面积、坐标与图形性质等知识，本题综合性强，熟

练掌握绝对值和算术平方根的非负性质，进行分类讨论是解题的关键.

【变式2].(2023春•海门市期末)在平面直角坐标系xQy中，对于不同的两点M,N,若点M到x轴，y轴的距

离的较大值等于点N到x轴，y轴的距离的较大值，则称点M,N互为“方格点”.

例如：点(3,-4),(4,-2)互为“方格点”；点(2,-2),(-2,0)互为“方格点”.

已知点P(l,-4).

(1)在点。1(4,-6),。式-4,4),0(-3,5)中，是点尸的“方格点”的是；

(2)若点0(加-1,3)与点P互为“方格点”，求〃7的值；

(3)若点。("+1,2〃-3)与点P互为“方格点”，求”的值.

【分析】(1)根据“方格点”的定义解答即可；

（2）根据“方格点”的定义，解阿-1|=4即可.

（3）分情况讨论，进而求得符合条件的〃的值.

【解答】解：（1）•.•点外1,-4）至IJx轴，y轴的距离的较大值为4.

点0(4,-6)到x轴，y轴的距离的较大值为6,

点&(-4,4)到x轴，y轴的距离的较大值为4,

点。3(-3,5)到x轴，y轴的距离的较大值为5.

.•.点£(-4,4)与点P(l,-4)互为“方格点

故答案为：2(-4,4).

(2)若点00-1,3)与点尸互为“方格点”,则有|加-1|=4.

当〃7-1品)时，“7-1=4,解得“2=5；

当—1<0时，m-1=-4,解得m=-3.

综上，"7=—3或m=5.

(3)若点0(”+1,2〃-3)与点尸互为“方格点”，则

®|«+1|=4,|2/7-3|<4.

〃+1=±4,«=—1±4,

；.〃=—5或72=3.

当〃=-5时，|2〃一3|=|—5x2—3|=13>4(舍去)；

当〃=3时，|2〃-3H2x3-3|=3<4.

n=3.

®|2»-3|=4,177.+11<4.

.•.2〃一3=±4,〃=；(3±4),

1-7

n=—取〃=一•

22

当〃二一工时，+J_+h=J_<4；

222

77Q

当〃二,时，++(舍去).

222

1

n——>

2

③|〃+1|=4,|2〃-3|=4.

「.〃=-5或〃=3,且〃=——或〃=工.

22

:.n无解.

综上，n=­或几=3.

2

【点评】本题考查坐标与图形的性质，分情况讨论的过程较复杂，一定要认真、细心.

题型三：面积相等问题

【例3】如图，直线AS与y轴交于点/,与x轴交于点8,点N的纵坐标、点8的横坐标如图所示.

(1)求直线的解析式；

(2)过原点0的直线把△N3O分成面积相等的两部分，直接写出这条直线的解析式.

答案：⑴〃B：y=-^x+2；(2)y=^x.

提示：经过三角形的顶点且平分这个三角形的面积的直线，必过对边的中点.

归纳三角形中线所在的直线平分三角形的面积.

【变式1】已知平面上点。(0,0),A(3,2),3(4,0),直线3机+2将△CM3分成面积相等的两部分，求机

的值.

答案：：直线了=加了-3加+2过点4(3,2),...该直线必过对边03的中点M(2,0),:.m=2.

【变式2】如图，在平面直角坐标系中，/(I,4),5(3,2),C(m,-4^+20),若0c恰好平分四边形O4C5的面

积，求点。的坐标.

答案：：。(加，-4〃?+20),；.C在直线y=-4x+20上.又：OC平分四边形。/C8的面积,

直线。C还经过的中点M2,3),：.loc：,=3,联立y=4x+20,，。(北，»

归纳若四边形一条对角线平分四边形的面积，则这条对角线必经过另一条对角线的中点.

【变式3】如图，已知在平面直角坐标系中，匚Z42C。的顶点/(0,0),C(10,4),直线＞="一2。一1将分

成面积相等的两部分，求。的值.

答案：(7=1.

归纳平分中心对称图形面积的直线必经过对称中心.

【变式4】如图，在平面直角坐标系xoy中，多边形O4BCDE的顶点坐标分别是。(0,0),/(0,6),3(4,6),C(4,

4),。(6,4),E(6,0).若直线/经过点频2,3),且将多边形O4BCDE分割成面积相等的两部分，求直线/的函数

解析式.

【变式5](2023春•米东区校级期末)如图(1),在平面直角坐标系中，A(a,0),C(b,2),过C作轴，且

:两足(<7+b)2+[a—b+4=0.

(1)求三角形4BC的面积.

(2)若过B作8D///C交y轴于D,且/E,分别平分NC/8,NODB,如图2,求/义助的度数.

(3)在y轴上是否存在点尸，使得三角形N8C和三角形/。尸的面积相等？若存在，求出尸点坐标；若不存在，请

说明理由.

【分析】(1)根据非负数的性质得到。=-6,"6+4=0,解得。=-2,6=2,则4-2,0),5(2,0),C(2,2),即

可计算出三角形/8C的面积=4；

(2)由于CB//y轴，BD/IAC,则ACAB=ZABD,即N3+N4+N5+N6=90。，过E作E尸///C,则8D///C//E尸,

然后利用角平分线的定义可得到N3=N4=N1,N5=N6=N2,所以N/ED=N1+N2=、90。=45。；

2

(3)分两种情形，利用面积法求解即可.

【解答】解：(1)•・•(。+6)2-0,Ja-b+VO,

a=-b，a—6+4=0,

a=—2,6=2,

•・•CB_LAB

.•.4(-2,0),5(2,0),C(2,2)

1.三角形N5C的面积=」x4义2=4；

2

(2)•••C5//y轴，BD//AC,

ACAB=ZABD,

Z3+Z4+Z5+Z6=90°,

过E作E产///C,

•・•BD!!AC,

BD//AC//EF,

•・•AE,DE分别平分/CAB,ZODB,

?.Z3=Z4=Z1,Z5=Z6=Z2,

NAED=Zl+Z2=-x90°=45°；

2

(3)存在.理由如下：

设尸点坐标为(0/),

*1

当点尸在直线AC的上方时,则有SMPO+S梯形opes-S^BC=

—x2xZ+—x(2+%)x2-4=4,

t=3

当点尸在直线/C的下方时，同法可得:-1,

,尸点坐标为(0,3)或(0,-1).

【点评】本题考查了平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行,

内错角相等.也考查了非负数的性质.

、著斌清单

一.选择题（共18小题）

1.（2023•太平区二模）如图，在左面4BCD上建立平面直角坐标系，每个小正方形边长为一个单位长度，小球从

点尸（-4,0）出发，撞击桌面的边缘发生反弹，反射角等于入射角，若小球以每秒收个单位的速度沿图中箭头方向运

动，则第2023秒时小球所在位置的纵坐标为（）

??

C.-1D.-2

【分析】根据小球的运动方向可得出小球运动一周所走的路程4亚x4=16亚，再由运动速度得出运动一周所用的

时间，从而得出第2023秒的小球所在位置

【解答】解：根据题意得：

小球运动一周所走的路程4后x4=16亚,

V小球以每秒收个单位长度的速度运动，

.1小球运动一周所用的时间为16后+后=16(秒)，

­■•2023-16=126...7(秒)，

.•.第2023秒的小球所在位置为(3,-1)

纵坐标为-1,

故选：C.

【点评】本题考查了规律型：点的坐标，坐标确定位置，掌握勾股定理以及坐标的表示方法是解题的关键.

2.(2023•裕安区校级二模)在平面直角坐标系X0F中，对于点尸(x,y),如果点。(阳,)的纵坐标满足

y=(2.V-X,(g),那么称点。为点尸的，，友好点”.如果点p(x,y)的友好点。坐标为(-3,-5),则点尸的坐标为(

[2x-y,(x<y)

)

A.(-3,-1)B.(-3,-4)

C.(-3,-1)或(-3,-4)D.(-3,-1)或(-3,-11)

【分析】根据“友好点”的定义，可得答案.

【解答】解：当代号，即-女子时，2j-(-3)=-5,

解得y=-4,

：.P(-3,-4)；

当x<y,即-3<y时，2x(-3)-_y=-5,

解得y=-1,

P(—3,-1),

综上所述，点尸的坐标为(-3,-1)或(-3,-4).

故选：C.

【点评】本题主要考查了点的坐标，理清“友好点”的定义是解答本题的关键.

3.(2023•嵩县一模)如图，在平面直角坐标系中,4(1,-2),4(2,0),4(3,2),4(4,。)，…根据这个规律，点&(23

的坐标是()

A.(2022,0)B.(2023,0)C.(2023,2)D.(2023,-2)

【分析】由图形得出点的横坐标依次是1、2、3、4、…、〃，纵坐标依次是-2、0、2、0、-2、0、2、…，四个

一循环，继而求得答案.

【解答】解：观察图形可知，

点的横坐标依次是1、2、3、4、…、n,纵坐标依次是-2、0、2、0、-2、0、2、…，四个一循环，

2023+4=505.......3,

所以点4023坐标是(2。23,2).

故选：C.

【点评】本题考查了规律型：点的坐标，学生的观察图形的能力和理解能力，解题的关键是根据图形得出规律.

4.(2023•桥东区模拟)在平面直角坐标系X/中，若某个点横、纵坐标均为整数，则称这个点为坐标平面内的整

点.若点尸(xj)是第一象限的整点，且P点的坐标满足x+2y=5,则满足条件的整点P的个数()

A.3B.2C.1D.0

【分析】根据第一象限内的点横坐标大于零，纵坐标小大于零，可得答案.

【解答】解：点尸(x,y)是第一象限的整点，且P点的坐标满足x+2y=5,

5—x

：.x=5-2y>0,y=--—>0,

解得x<5,><［且x、y均为整数，

.•.x=l或2或3或4,y=l或2,

当x=l时，y=2,尸(1,2)满足条件；

当x=2时，=2f尸(2,2)不满足条件；

当x=3时，y=l,P(3,1)满足条件；

当x=4时，7尸(4,；)不满足条件；

.•.满足条件的整点P的个数为2,

故选：B.

【点评】本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零，纵坐标大于零得出x的值是解题关键.

5.(2023•清苑区二模)在平面直角坐标系中，点N(l,2),8(-3,6),当线段A8最短时，b的值为()

A.2B.3C.4D.0

【分析】根据垂线段最短可得答案.

【解答】解：由题意知，点3在直线x=-3上运动，

.•.48垂直直线x=-3时，4B最短,

:.b=2,

故选：A.

【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，垂线段最短等知识，熟练掌握垂线段最短是解题的关键.

6.(2023•沈河区校级模拟)在平面直角坐标系中，对于点P(x,y),我们把点P(-y+l,x+1)叫做点P伴随点，已知

点4的伴随点为4，点4的伴随点为4，点4的伴随点为4，…，这样依次得到点4，4，4，…，4，…若

点4的坐标为(2,4),则点4(123的坐标为()

A.(3,-1)B.(-2,-2)C.(-3,3)D.(2,4)

【分析】根据“伴随点”的定义依次求出各点，不难发现，每4个点为一个循环组依次循环，用2023除以4,根据

商和余数的情况确定点4023的坐标即可.

【解答】解：的坐标为(2,4),

.•.4(一3,3),4(-2,-2),4(3,T),4(2,4)，

依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，

•.•2023+4=505...3,

，点的坐标与4的坐标相同，为(-2,-2).

故选：B.

【点评】本题是对点的变化规律的考查，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次

循环是解题的关键.

7.(2023•方城县模拟)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点。出发，按向上、向右、向下、向右的方向不

断地移动，每次移动一个单位，得到点4(0,1)、4(1,1)、4(1,0)、4(2,0)，那么点4必的坐标为()

A.(1011,0)B.(1011,1)C.(2022,0)D.(2022,1)

【分析】观察图形结合点的坐标的变化，可得出点4“+2(〃为自然数)的坐标为(2〃+1,1)，依此规律即可得出结论.

【解答】解：•.•点4(0/)、4(1,1)、4(1,0)、4(2,0)、4(2,1)、4(3,1)、4(3,0)、4(4,0)、4(4,1)、……，

.•.点4“+3(〃为自然数)的坐标为(2〃+1,0),

.,.点4。23的坐标为.

故选：A.

【点评】本题属于循环类规律探究题，考查了学生归纳猜想的能力，结合图象找准循环节是解决本题的关键.

8.(2023•商水县模拟)如图①，RtAABC中，ZACB=90°,AC=1,BC=2,将AABC放置在平面直角坐标系中,

使点/与原点重合，点。在x轴正半轴上.将A48c按如图②方式顺时针滚动(无滑动)，则滚动2022次后，点5

的横坐标为()

A.2022+67375B.2022+674百C.2023+6740D.2023+67375

【分析】根据三角形滚动规律得出每3次一循环，由已知可得三角形周长为3+百，进而可得滚动2022次后，点8

的横坐标.

【解答】解：•.•N/C8=90。，AC=1,BC=2,

AB=>JAC2+BC2=V5,

.­.A48C的周长为3+0，

根据题意可得，每滚动3次，点8的横坐标增加3+0,

2022+3=674,

滚动2022次后，点B的横坐标增加了674x(3+6),

滚动2022次后，点B的横坐标为1+674x(3+君)=2023+674旨，

故选：c.

【点评】本题主要考查了规律型：点的坐标，勾股定理，根据已知得出点的变化规律是解题关键.

9.(2023•邹城市校级模拟)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆Q,O八。3，…，

组成一条平滑的曲线，点尸从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒七个单位长度，则第2023秒时，点尸

2

的坐标是()

A.(2023,-1)B.(2023,0)C.(2023,2)D.(2023,1)

【分析】两个半圆为一个周期循环出现，奇数在x轴上方，偶数在x轴下方.

【解答】解：2023x工+"=型空=1011.5,

22

1011x2=2022,

2022+1=2023,

故选：A.

【点评】本题考查了点的坐标，找到周期的规律是解题的关键.

10.(2023•东莞市校级二模)如图，在平面直角坐标系中，4(1,1),5(-1,1),C(-l,-2),£>(1,-2),把一条长为2023

个单位长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计)的一端固定在点/处，并按……的规律绕在

四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是()

A.(-1,0)B.(0,2)C.(-1,-2)D.(0,1)

【分析】由点/、B、C的坐标可得出48、8。的长度，从而可得四边形4BCD的周长，再根据12=1x10+2即

可得出细线另一端所在位置的点的坐标.

【解答】解：•.•/点坐标为(1,1),B点坐标为C点坐标为,

AB=1-(-1)=2,SC=2-(-l)=3,

:.从A—BfC—D4A一圈的长度为2(48+5C)=10.

2023+10=202…3,

细线另一端在绕四边形第202圈的第3个单位长度的位置,

即细线另一端所在位置的点的坐标是(-1,0).

故选：A.

【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形48CD一周的长度，从而确定2023个

单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键.

11.(2023•杜尔伯特县二模)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆…成一条

平滑的曲线，点尸从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒二个单位长度，则第2023秒时，点尸的坐标

2

是()

A.(2023,0)B.(2021,-1)C.(2022,1)D.(2023,-1)

【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P的坐标.

【解答】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为」2;rxl=万,

2

・・•点尸从原点。出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2个单位长度,

2

，点尸每秒走工个半圆,

2

当点尸从原点。出发,沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时,点尸的坐标为(1,1),

当点尸从原点。出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点尸的坐标为(2,0),

当点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点尸的坐标为(3,-1),

当点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为(4,0),

当点尸从原点。出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点尸的坐标为(5,1),

当点P从原点。出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点尸的坐标为(6,0),

•••2023+4=505余3,

二尸的坐标是(2023,-1).

故选：D.

【点评】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题.

12.(2023•日照)数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”,据传,他在计算1+2+3+4+-+100

时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到1+2+3+4+…+100=小虫上幽.人们借助于这样的方法,

2

得至IJ1+2+3+4+…+〃=也答("是正整数).有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点4(x,,%),

其中，=1,2,3,…，"，…，且毛,%是整数.记%=%+%,如4(o,o),即q=0,4(1,0),即。2=1，4(1,-1)，

即4=0，…，以此类推.则下列结论正确的是()

八y

2

A7A8A9A1。

十----L--------•---------T

I1

p64bz[A”

<10—J7-■>

U2x

111

4

1-------------4-------------A必12

A5A4A3I

工------------------------・4

A16以15和13

B

-A.•。2023=40-。2024=43

cD.a1二2〃-4

-%”d=2"6(2〃一1)

【分析】利用图形寻找规律/ciyST/T），再利用规律解题即可.

【解答】解：第1圈有1个点，即4（0,0）,这时％=0；

第2圈有8个点，即4到4（1,1），这时。9=1+1=2；

第3圈有16个点，即4。到4S（2,2），这时。25=2+2=4；

依次类推，第"圈，A（2nl）2

由规律可知：&23是在第23圈上,且4。25（22,22）,则4。23（20,22）,BPa202J*=20+22=42,故/选项不正确;

是在第23圈上，且&24（21,22）,即%024=21+22=43,故选项8正确；

M

第〃圈，A2（-l,w-1）,所以*2=2«-2,故C,。选项不正确；

故选：B.

【点评】本题考查了图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键.

13.（2023•南乐县一模）如图，在平面直角坐标系中，点5（3,1）,C（3,3）,。（1,3）,动点尸从点/出发,

以每秒1个单位长度的速度沿48-8。-8-。/-45-...路线运动，当运动到87秒时，点P的坐标为（）

(2,3)C.(2,1)D.(1,2)

【分析】根据坐标可知四边形N8CD为正方形，边长为2,周长为8.点尸速度为1秒/每单位，运动87秒，求出

路程.再求出路程中经过多少个完整的正方形48。，剩下的路程在正方形中运动找出终点即可得出点尸坐标.

【解答】解：•••4(1,1),8(3,1),C(3,3),D(l,3),

:.AB=BC=CD=DA=2,正方形A8C。的周长=2x4=8.

Vp=Is/每单位，

.1*=1x87=87.

87+8=10…7.

2+2+2=6,7-6=1

.•.点P在线段AD上且为线段M中点.

玖1,2).

故选：D.

【点评】本题以点的运动为背景考查了点的坐标规律，考核了学生对于运动的归纳总结能力，解题关键是求出正方

形的边长，确定点P的位置.属于中考常考题型.

14.(2023•莱阳市二模)自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据

斐波那契数1,1,2,3,5,8,13,……画出螺旋曲线.在平面直角坐标系中，依次以这组数为半径作90。的圆弧

而，诵，前…，得到一组螺旋线，连接耳鸟，PAP3P4,■■■,得到一组螺旋折线，如图所示.已知点《，

P2,4的坐标分别为(-1,0),(0,1),(1,0),则点？的坐标为()

A.(6,1)B.(8,0)C.(8,2)D.(9,-2)

【分析】观察图象，找出每个点的运动轨迹与斐波那契数结合推出？的位置，即可解决问题.

【解答】解：观察发现：片(-1,0)先向右平移I个单位，再向上平移1个单位得到己(0,1);

鸟(0,1)先向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到6(1,0)；

7^(1,0)先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得到与(-1,-2)；

2(-1,-2)先向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到公(-4,1)；

^(-4,1)先向右平移5个单位，再向上平移5个单位得到岂(1,6).

根据斐波那契数，累(1,6)应先向右平移8个单位，再向下平移8个单位得到片(9,-2).

故选：D.

【点评】本题考查在平面直角坐标系中的点的坐标规律.考查了学生数形结合的能力，解题的关键是找出每个点的

坐标及运动规律，推出答案即可.在做题时一定要理解题意.

15.(2023•岱岳区一模)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“一”方向排列，如(1,0),

(2,0),(2,1),(3,2),(3,1),(3,0),(4,0),……，根据这个规律探索可得第2023个点的坐标是()

【分析】应先判断出第2023个点在第几行，第几列，再根据分析得到的规律求解.

【解答】解：把第一个点(1,0)作为第一列，(2,0)和(2,1)作为第二列，

依此类推，则第一列有1个点，第二列有2个点，…，

第〃列有〃个点，则〃列共有迎土»个点，并且在奇数列点的顺序是由上到下，偶数列点的顺序由下到上,

2

1+2+3+……+63=2016,

.•.第2023个点一定在第64歹由下到上是第7个点，

因而第2023个点的坐标是(64,6),

故选：D.

【点评】本题考查了学生的观察图形的能力和理解能力，解此题的关键是根据图形得出规律，题目比较典型，但是

一道比较容易出错的题目.

16.(2023•鄂州)如图，在平面直角坐标系中，。为原点，。4=。8=3囱，点。为平面内一动点，BC=-,连接

2

/C,点M是线段/C上的一点，且满足CM:K4=1:2.当线段。M取最大值时，点河的坐标是()

【分析】由题意可得点C在以点2为圆心为半径的。8上，在X轴的负半轴上取点。（-丁，0）,连接瓦3,分别

过C和“作CRJ_CU,MEVOA,垂足为尸、E,先证ACUA/sAZUC,^―=—=-,从而当CZ）取得最大

CDAD3

值时，取得最大值，结合图形可知当D,B,C三点共线，且点B在线段DC上时，。取得最大值，然后分

别证AADOSACDF,AAEMSMFC,利用相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：・・•点。为平面内一动点，BD=~,

2

.•.点C在以点8为圆心，一为半径的。8上，

2

在x轴的负半轴上取点。（-孚，0）,

连接B。，分别过C、M作CF_LGM,MEVOA,垂足为尸、E,

■：OA=OB=3&

AD=OD+OA=-----

OA_2

~AD~3

CM:MA=l:2,

OA2CM

~AD~3~^C"

/OAM=ZDAC,

...\OAM^\DAC,

OM_OA_2

~CD~^4D~3"

当8取得最大值时，。州取得最大值，结合图形可知当。，B,。三点共线，且点B在线段QC上时，。。取

得最大值，

3氐

•；OA=OB=3追，OD=—,

2

:.BD=yJ(DB2+OD2=—,

2

/.CD=BC+BD=9,

OM_2

t--——f

CD3

...OM=6,

•••^轴_1%轴，W_LCU,

NDOB=ZDFC=90°,

ZBDO=/CDF,

ABDOs'CDF,

15

OBBDnn3-759

CFCDCF9

解得。9=应!，

5

同理可得，\AEM^\AFC,

MEAM2日口膛2

，=---=—,即尸=—，

CFAC3^8V|3

5

解得腔=35,

5

OE=4OM2-ME1=—,

5

二.当线段取最大值时，点M的坐标是yV5),

故选。.

【点评】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角

形的判定及性质是解题的关键.

17.(2023•罗山县模拟)如图，在一单位为1的方格纸上，△444,△44H，△444，都是斜边在x轴上，

斜边长分别为2,4,6,……的等腰直角三角形，若444的顶点坐标分别为4(2,0),4(1,T),4(0,0)，则依

图中所示规律，4o22的坐标为()

A.(2,1010)B.(2,1011)C.(1,-1010)D.(1,-1011)

【分析】根据脚码确定出脚码为偶数时的点的坐标，得到规律当脚码是2、6、10…时，横坐标为1,纵坐标为脚码

的一半的相反数，当脚码是4、8、12…时，横坐标是1,纵坐标为脚码的一半，然后确定出第2022个点的坐标即

可.

【解答】解：•.•各三角形都是等腰直角三角形，

二.直角顶点的纵坐标的长度为斜边的一半，

4(1,一1),4(2,2)，4(1,一3)，4(2,4)，4。(1,-5),&(2,6)，.•・，

V2022+4=505…2,

.•.点413在第四象限，横坐标是1，纵坐标的绝对值是2022+2=1011,

4022的坐标为(L-1011).

故选：D.

【点评】本题是对点的坐标变化规律的考查，根据2020是偶数，求出点的脚码是偶数时的变化规律是解题的关键.

18.(2023•桐柏县一模)如图，在平面直角坐标系中，点4在x轴的正半轴上，司在第一象限，且△。4可是等边

三角形.在射线。耳上取点鸟,员，…，分别以与坊,层员，…为边作等边三角形△片4劣，△层42，…使得

4，4，4，…在同一直线上，该直线交＞轴于点c.若。4=1,NO4c=30。，则点片的横坐标是()

A255空513

A.——B.C.256D.

22~T

【分析】根据题意求出点及，鸟，片的坐标，然后找出5点坐标的变化规律，即可求出名的横坐标.

【解答】解：员是等边三角形，。4=1，

.•.4的横坐标为;，OAX=OBX,

设片（；,y）>则+y2=12，

解答y=g或了=-咚（舍），

OBX所在的直线的解析式为〉=瓜,

・.・。4=1,ZOA.C=30°,是等边三角形,

/g4。=90。，

•・•NOB]A1=NB[B2A2=60°,

/.//B2Al,

/./B]A]C==90°,

Ng44=30。，

BxA2=2/画=2，

a

.•.当的横坐标为（，

”氐=”

2

总结规律：

用的横坐标为;，

员的横坐标为上+1=士，

222

17

员的横坐标为±+1+2=—,

322

为的横坐标为；+1+2+4=5,

...点包的横坐标是:+1+2+4+8+16+32+64+128=二.

故选：B.

【点评】本题考查了点的坐标规律，等边三角形的性质，解决本题的关键是根据等边三角形的性质得到点尾的横坐

标为3.

2

二.填空题（共15小题）

19.（2023•泽州县一模）全世界大约有14000余种蝴蝶，大部分分布在美洲I,尤其在亚马逊河流域品种最多，在世

界其他地区除了南北极寒冷地带以外都有分布.如图是一只蝴蝶标本，将其放在适当的平面直角坐标系中，若翅膀

两端C两点的坐标分别为（-1,3）,（3,0）,则蝴蝶“尾部”点/的坐标为_（0,-2）_.

【分析】直接利用已知点建立平面直角坐标系，进而得出答案.

【解答】解：如图，建立平面直角坐标系.

蝴蝶“尾部”点/的坐标为（0,-2）.

故答案为：（0,-2）.

【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键.

20.（2023•连云港）画一条水平数轴，以原点。为圆心，过数轴上的每一刻度点画同心圆，过原点。按逆时针方向

依次画出与正半轴的角度分别为30。、60。、90。、120。、…、330。的射线，这样就建立了“圆”坐标系.如图，

在建立的“圆”坐标系内，我们可以将点/、B、C的坐标分别表示为/（6,60。）、3（5,180。）、0（4,330。），则点。

的坐标可以表示为_（3,150。）_.

【分析】在该坐标系中，某点的坐标用两个参数来描述：一个是该点与原点的距离，另一个是原点与该点所在的射

线与X轴正半轴之间的夹角.

【解答】解：•.•点。与圆心的距离为3,射线。。与x轴正方向之间的夹角为150。，

‘•.点。的坐标为(3,150°).

故答案为：(3,150°).

【点评】该题较简单，主要考查在不同坐标系中点的表示方法.

21.(2023•齐齐哈尔)如图，在平面直角坐标系中，点/在〉轴上，点8在无轴上，。/=。5=4,连接,过点

O作_L48于点4,过点4作4与x轴于点与；过点与作用4_LN3于点4,过点4作，X轴于点为；

过点当作于点4，过点4作4员工》轴于点名；…；按照如此规律操作下去，则点4o23的坐标为

【分析】根据题意，结合图形依次求出4，4，4的坐标，再根据其规律写出应值的坐标即可•

【解答】解：在平面直角坐标系中，点N在y轴上，点3在x轴上，OA=OB=4,

AOAB是等腰直角三角形，ZOBA=45°,

1AB,

△OAXB是等腰直角三角形，

同理可得：△。4氏，/均为等腰直角三角形，

・•・4(2,2),

根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：4(3,1),4(4-；，；)，4(4-1，f，

由此可推出：点/2023的坐标为(4-1五，，

故答案为：［正)一

【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，

解题的关键是依次求出4，4，4的坐标，找出其坐标的规律.

22.(2023•宣恩县一模)一个质点在第一象限及X轴、V轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到(0,1),然后接着

按图中箭头所示方向运动［即(0,0)-(0,1)-(1,1)-(1,0)->…，且每秒移动一个单位，那么第2023秒时

质点所在位置的坐标是—(1,44)—.

【分析】应先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3,

5,7,9...,此时点在坐标轴上，进而得到规律.

【解答】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为(xj),

到达(1,0)时用了3秒，到达(2,0)时用了4秒，

从(2,0)到(0,2)有四个单位长度，则到达(0,2)时用了4+4=8秒，至I(0,3)时用了9秒；

从(0,3)到(3,0)有六个单位长度，则到(3,0)时用9+6=