2025年中考数学总复习：代数式、整式与因式分解

微专题03代数式、整式与因式分解

考点精讲

构建知识体系

考点梳理

1.代数式(6年6考)

用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而成

代数式的概念

的式子叫做代数式

找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的式

列代数式

子表示

(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序

计算求值

代数式求值(2)整体代入法(整体思想)：①观察已知条件和所求代数式的关系；

②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系，一般会用到提公

因式法、平方差公式、完全平方公式

2.整式的有关概念(6年2考)

(1)整式有关概念

...T次数为2+3=5

系数7-也2/

概念：由数字与字母或字母的①_______所组成的代数式叫做单项式.单

单项

独一个数字或字母也是单项式；

式

单项式的系数：单项式中的数字因数；

单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和

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多项概念：几个单项式的和叫做多项式；

式多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如+的次数是②____

(2)同类项：所含字母相同，并且相同字母的③_____也相同的项.所有常数项都

是同类项

3.整式的运算(6年4考)

(1)幕的运算

、~~Zr-Zr-

运舁文字表达符号表示

同底数幕相乘底数不变，指数相加am-an=am+n(rn,“都是正整数)

am^an=am~n（a^O,m,〃都是正整数,且加

同底数塞相除底数不变，指数相减

>n）

幕的乘方底数不变，指数相乘(am)n=amn(rn,n都是正整数)

积的每个因式分别乘

积的乘方(ab)n=anbn(n为正整数)

方，再把所得的哥相乘

⑵整式的运算

①整式的加减，可归结为去括号与合并同类项

②单项式的乘法运算：把系数、同底数幕分别相乘作为积的因式，单独出现的字

母连同它的指数作为积的因式

③多项式的乘法运算法则：加(a+b+c)=ma+加6+加c；

一、(平方差公式：(a+b)(a—b)=@

(3)乘法△式完全平方公式±的2;⑤

4.因式分解(6年2考)

(1)概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式

(2)方法：①提取公因式法：ma-\-mb=m(a+by,

②公式法：序一b2=(q+b)(a—%)，a2±2ab+Z?2=(a±b)2

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5.非负数(6年2考)

(1)常见的非负数类型有。2,\b\,V^(C>0)

(2)若几个非负数的和为0,则每个非负数的值均为0,如：若层十心|十8=0,

2

则有a=0,IbI=0,W=0,即a=b=c=0

练考点

1.下列对代数式一3x的意义表述正确的是()

A.—3与x的和

B.—3与x的差

C.—3与x的积

D.一3与％的商

2.(1)已知x=—1,则x2+2x=；

(2)已知2a-b=l,则代数式8a—46+2的值为.

3.已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是()

A.3x2B.2m3n

C.—2x2yD.2a3

4.孑372是次单项式.

5.计算：

(1)_2x-\-x=________；

2x3-x3=

3

(2)x-x=________________9

；

(3)(—2x2)3=；

(4)2x2,(%—1)=；

(5)(x-l)(2x+1)=

(6)(x+2)2=；

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(x+2)(%-2)=.

6.分解因式：

(l)x2—xy=;

(2)2x2~8=；

(3)x2+4x+4=.

7.(1)若Ix-1I+Jy-l=O,则x+2y的值为；

(2)若N+i+Jy+2=l,则肛的值为；

(3)^2-%+J%-2=0,则%的值为.

高频考点

考点1列代数式及求值(6年6考)

例1(人教七上习题改编)根据题意列代数式：

⑴原量a增加10%为;比原量a的“倍多m为;

(2)原价。的8折为；

(3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为元；

(4)每天完成的工作量为a,则要完成m的工作量所需天数为;

(5)一月份的产值为a万元，二月份的产值比一月份减少了根％，三月份的产值比

二月份增加了〃％，则三月份的产值为万元.

例2求下列代数式的值：

(1)已矢口2=0,贝1J2N+2X的值________；

(2)已知x+y=3,盯=2,则(%—y)2的值为;

(3)(2024成都)若m,n为实数,且(加+4>+=0,贝I](加+的值为.

考点2整式的有关概念(6年2考)

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例3（2024佛山南海区一模）单项式表示球的体积，其中冗表示圆周率，厂表

示球的半径，下列说法正确的是（）

A,系数是芯次数是3B,系数是，，次数是3

C.系数是点次数是4D,系数是）,次数是4

变式1（2024广元）如果单项式一N夕3与单项式2/72r的和仍是一个单项式，则

在平面直角坐标系中点（加，泊在（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

考点3整式的运算（6年4考）

例4（2024烟台）下列计算结果为泊的是（）

A.a2-a3B.an^a2C.a3+«3D,（a2）3

例5（人教七上习题改编）计算：

（1）（1+x）（l—x）+x（x+2）；

（2）已知/一盯一5二0,求（3盯3—盯+x（2x—y）的值.

考点4因式分解（6年2考）

例6（北师七上习题改编）因式分解：

（l）4ax2—ay2=；

（2）4xy2—4x2y~y3=；

（3）07-4）07+1）+32=.

变式2（2024中山模拟）下列因式分解正确的是（）

A.x2-x=x（x+1）B.a2-3a_4=a（a-3）一4

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C.a2~\-b2—2,ab=(a+byD.x2—y2=(x+y)(x—y)

考点5规律探索(2019.16)

例7根据下列数式规律，回答问题：

⑴等差类有一列数1,3,5,7,9,…，依照此规律，则第”(栏1)个数是；

(2)等比类有一列数3,9,27,81,243,…,依照此规律,则第”(佗1)个数是；

⑶递增类有一列数1,2,4,7,11,…，依照此规律，则第九(佗1)个数是；

(4)周期类有一列数一1,1,—1,1,—1,…，依照此规律，则第〃(后1)个数

是;

(5)平方类按一定规律排列的单项式：a2,4/，9/,16/，…，则第九个单项式

是.

例8根据下列图形规律，回答问题：

⑴图形个数固定累加把白色正方形按图①所示的规律拼图案，则第5个图案中白

色正方形的个数是；

193

例8题图①

(2)图形个数递增累加如图②都是由同样大小的圆点按一定规律组成，则第8个图

形中圆点的个数是;

1234

例8题图②

(3)图形个数为两种变化之和如图③都是由同样大小的正三角形按照一定规律组

成，则第〃个图形中正三角形的个数是.

A

A

△△§△△

t1A△△△△△△A

2

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例8题图③

真题及变式

命题点1代数式求值（6年5考）

1.（2021广东5题3分）若Ia-V3I+J9a2-12ab+4b2=0,贝Uab=（）

A.V3B.1C.4V3C.9

2.（2020广东13题4分）若Ja—2+Ib+\I=0,则（4+8）2020=.

3.（2020广东14题4分•人教八上习题改编）已知x=5—y,盯=2.计算3x+3y-4xy

的值为.

4.（2021广东15题4分•北师八下习题改编）若且0<x<h则x2-

变式

4.1变思维方式——直接平方变为化简后整体带入

己知工一工=」一,那么上+'的值为_______.

yxx-yxy

命题点2整式的有关概念（6年2考）

5.（2022广东12题3分）单项式3肛的系数为.

6.（2020广东12题4分）如果单项式3的7与一5%37〃是同类项，那么m+n

命题点3整式的运算（6年4考）

7.（2024广东5题3分）下列计算正确的是（）

A.a2-a5=a10B.as^a2=a4

C.一2a+5a=7aD.（a2）5=a10

8.（2021广东4题3分•人教八上习题改编）已知9m=3,27n=4,则32m+3,7=（）

A.1B.6C,7D.12

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9.（2020广东18题6分•人教八上习题改编）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x—

y）-2x2,其中x=V2,y=V3.

命题点4因式分解（6年2考）

10.（2023广东11题3分）因式分解：x2-l=.

11.（2020广东11题4分）分解因式：肛一%=.

命题点5规律探索（2019.16）

12.（2019广东16题4分）如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直

角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空

隙，那么小明用9个这样的图形（图①）拼出来的图形的总长度是（结果用

含b代数式表示）.

p————q-

Uh--------------总长；--------------H

图①图②

第12题图

拓展训练

13.（2024东莞模拟）如图，已知NM9N=30。，点4,A2,A3,在射线ON上,

点Bi,Bi,B3,在射线（W上，AA1B1A2,MB2A3,△4当出…均为等边

三角形，若。41=1,则△420193201必2020的边长为.

新考法

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14.［代数推理］（2024珠海模拟）杰杰是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，

有这样一条信息：a~b,x-y,x-\-y,a+b,炉一产，层一〃分别对应下列六个字:

海、爱、我、珠、丽、美，现将（7一＞2）"—@2—y2M2因式分解，结果呈现的密码

信息可能是（）

A.我爱美B,珠海美丽C,爱我珠海D,美我珠海

15.［数形结合K北师七下复习题改编）如图①，有两个正方形4B,现将5放在4

的内部如图②所示，将45并排放置后构造新的正方形如图③所示.若图②和图

A.11B.12C.13D.14

16.［跨信息技术学科］日常生活中我们常使用的数是十进制数，而计算机程序使

用的数是二进制数（只有数码0和1）,它们两者之间可以互相换算，如将二进制

数1001记为（1001）2,换算成十进制数应为：（1001）2=1X23+0X22+0X21+1X2°

=9,按此方式，将二进制（101）2换算成十进制数为.

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考点精讲

①乘积②3③指数④层一〃⑤q2±2ab+b2

练考点

1.C

2.(1)-1；(2)6

3.D

4.5

5.(1)—x；x3；(2)x4；x6；(3)—8x6；(4)2x3—2x2；(5)2x2—%—1；(6)x2+4x+4；x2

—4

6.(l)x(x—y)；(2)2(%—2)(%+2)；(3)(x+2)2

7.(1)3；(2)0；(3)2

高频考点

例1(l)a(l+10%)；an+m-,

(2)0.8a；(3)3+助；(4冷

(5)a(l—m%)(l+1％)

1502(1)4；【角星析】Vx2+x-2=0,.\x2+x=2,.-.2x2+2x=2(x2+x)=2X2

=4.

⑵1;【解析】•.,(x—y)2=%2—2砂+y2=(X+y)2—4孙，.•.当％+y=3,砂=2时,

原式=32—4X2=9—8=1.

(3)1【解析】,/(m+4)2+Jn—5=0,...加+4=0且“一5=0,解得加=—4,n

=5,(m+«)2=(-4+5)2=1.

例3B【解析】•产的系数是%,次数是3.

变式1D【解析】•.•单项式一N勺3与单项式2x472-〃的和仍是一个单项式，

单项式一12"夕3与单项式2短72-"是同类项，.-,2m=4,2—”=3,解得加=2,n=

—1,•••点(加，九)在第四象限.

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例4D【解析】人。2-〃=层+3=/,故A选项不符合题意；B.an^a2=an-2

=〃°,故B选项不符合题意；C.a3+a3^2a3,故C选项不符合题意；D.（层）3=

/右二屋，故D选项符合题意.

例5解：（1）原式=1—x2+x2+2x

=1+2%；

(2)原式=y2-2x2+2x2-xy=y2-xy,

\'y2—xy—5=0,原式=5.

例6(1)a(2x+y)(2x—y)；

(2)-y(2x-yy；

(3)0+2)。—2)

【解析】(1)原式=a(4x2-y2)=a(2x+y)(2x—y)；(2)原式=-y(4x2-4xy+y2)=—

y(2x—y)2；(3)原式=22—32—4+32=22—4=g+2)07—2).

变式2D【解析】A.原式=双%—1),故本选项不符合题意；B.原式=(a—4)(a

+1),故本选项不符合题意；C.原式二(a—bp,故本选项不符合题意；D.原式=

(x+y)-(x—y),故本选项符合题意.

例7(1)2〃-1；(2)3"；(3)|n2—1«+1；(4)(—1)";(5)n2a,1+1

例8(1)18；(2)36；(3)3«+2

真题及变式

1.B【解析】Ia—V3I+9a2—12ab+4b2=Ia—V3I+/(3a—2b)2=0,

{a~y[3=0“rma=y/3叵q

，解得b3W•—V3X-^-=-

(3a—2b=0

2

2.1【解析】Ib+1I=3解得{:[i，.•.(a+b)2

020=(2—1)2020=1

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3.7【解析】".'x=5—y,/.x+y=5,又二•町=2,...原式=3(x+y)—4砂=3X5

-4X2=15-8=7.

4.一||【解析】言+:今.•《一》=(%+3—4=(抨—4=|j,•.・0<x<l,

1.15.1

2*-T(—IT.

二•x——<0,/.x—-2

XX6'%

1-.£ZZ=J_,...)2,x2+y2

变式4.13【解析】=(x

yxx-yxyx-yxyxy

_(%—y)2+2xy_3xy_3

xyxy

5.3

6.4【解析】••,单项式3%"》与一5X37"是同类项，；.m=3,n=l,.,.m+n=3

+1=4.

7.D【解析】逐项分析如下：

选项逐项分析正误

A。2刈5=42+5=/力标。X

Ba84-q2=