2025年中考数学专项复习：四边形（解析版）

专题15四边形

考情聚焦

课标要求考点考向

①了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对

多边形考向一多边形的内角和

角线;探索并掌握多边形内角和与外角和公式。

及其内

②理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以

角和考向二多边形的外角和

及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。

③探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相考向一平行四边形的性质

等、对角相等、对角线互相平分。探索并证明平行四边形的

考向二平行四边形的判定

判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;两组平行四

考向三平行四边形的性质好判

对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形

定综合

边形是平行四边形。

④探究并证明三角形中位线定理。考向四三角形的中位线

⑤探索并证明矩形、菱形的性质定理:矩形的四个角都是直

角，对角线相等;菱形的四条边相等，对角线互相垂直。探考向一矩形

特殊的

索并证明矩形、菱形的判定定理:三个角是直角的四边形是

平行四

矩形，对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形考向二菱形

边形

是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形既是

考向三正方形

矩形，又是菱形;理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系。

真题透视/

考点一多边形及其内角和

A考向一多边形的内角和

1.（2024・河北•中考真题）直线/与正六边形跖的边/瓦跖分别相交于点如图所示，则〃+£=

)

A.115°B,120°C,135°D,144°

【答案】B

【分析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题的关键.

先求出正六边形的每个内角为120。，再根据六边形"2CDEN的内角和为720。即可求解/ENM+NMI四的

度数，最后根据邻补角的意义即可求解.

【详解】解：正六边形每个内角为：、-2rSO。/。。,

而六边形A/5CZ出N的内角和也为（6-2卜180。=720。，

:./B+/C+/D+NE+/ENM+NNMB=T22。I

：.ZENM+ZNMB=720°-4x120°=240°,

・・・，+/EW+a+/WB=180°x2=360。，

.-.«+/?=360°-240°=120°,

故选：B.

2.（2024•云南・中考真题）一个七边形的内角和等于（）

A.540°B,900°C,980°D,10800

【答案】B

【分析】本题考查多边形的内角和，根据”边形的内角和为（"-2>180。求解，即可解题.

【详解】解：一个七边形的内角和等于（7-2），180。=900。，

故选：B.

3.（2024•吉林长春•中考真题）在剪纸活动中，小花同学想用一张矩形纸片剪出一个正五边形，其中正五

边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的大小为（）

A.54°B.60°C.70°D.72°

【答案】D

【分析】本题考查了多边形内角与外角，正多边形的内角和，熟练掌握正多边形的内角和公式是解题的关

键.

根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论.

【详解】解：Za=180°-（5~2^X180°=72°,

故选：D.

4.（2024•山东青岛•中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形/BCDE和正方

形CDPG中，CF,QG的延长线分别交/£,于点M,N,则ZFME的度数是（）

A

45

CD

A.90°B,99°C.108°D.135°

【答案】B

【分析】本题考查的是正多边形内角和问题熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键.

根据正五边形的内角的计算方法求出NCDE、/E,根据正方形的性质分别求出ZCFD,根据四

边形内角和等于360。计算即可.

【详解】解：：五边形43CDE是正五边形，

•.•四边形CDFG为正方形,

ZCDF=90°,ZCFD=45°,

/FDE=108°-90°=18。，ZZJW=180°-45°-135°,

"Affi=360°-18°-135°-108°=99°,

故选：B.

5.（2024•山西・中考真题）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形/BCDE,其中

48=NE=102°,ZC=ZD=110°，则这个五边形的内角//的度数为。.

【答案】116

【分析】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握知识点是解题的关键.

先求出五边形的内角和，即可求解.

【详解】解：五边形内角和为：（5-2）xl80°=540°,

AZA+ZB+ZC+ZD+ZE=540°,

•：ZB=ZE=102°,ZC=ZD=110°,

：./E=540°-102°-102°-110°-110°=116°,

故答案为：116.

A考向二多边形的外角和

6.（2024•西藏・中考真题）已知正多边形的一个外角为60°,则这个正多边形的内角和为（）

A.900°B,720°C,540°D.360°

【答案】B

【分析】本题考查了多边形的内角和外角，先求出正多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可

得解，根据多边形的外角求出边数是解此题的关键.

【详解】解：：正多边形的一个外角为60°,

•••正多边形的边数为360°+60°=6,

这个正多边形的内角和为180。x（6-2）=720°,

故选：B.

7.（2024・山东・中考真题）如图，已知,BC,CD是正〃边形的三条边，在同一平面内，以8c为边在

该正«边形的外部作正方形BCMN.若ZABN=120°,则"的值为（）

A.12B.10C.8D,6

【答案】A

【分析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多

边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.

【详解】解：：正方形5口小,

ZNBC=90°,

,/ZABN=120°,

AZ^5C=360°-90°-120°=150°,

二正”边形的一个外角为180。-150。=30°,

故选A

8.（2024・湖南・中考真题）下列命题中，正确的是（）

A.两点之间，线段最短B.菱形的对角线相等

C.正五边形的外角和为720°D.直角三角形是轴对称图形

【答案】A

【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是

掌握这些基础知识点.

【详解】解：A、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；

B、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；

C、正五边形的外角和为360。，选项错误，是假命题，不符合题意；

D、直角三角形不一定是轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题

意；

故选：A.

9.（2024•青海・中考真题）正十边形一个外角的度数是________.

【答案】36。/36度

360°

【分析】本题考查正多边形的外角.根据正"多边形的外角公式一求解即可.

n

【详解】解：正十边形的一个外角的大小是360苛°=36。，

故答案为：36。.

10.（2010•江苏徐州•中考真题）若正多边形的一个外角是45。，则该正多边形的边数是_________.

【答案】8

【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360。+45。可求

得边数.

【详解】解：.••多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°,

360°+45°=8

即该正多边形的边数是8,

故答案为：8.

【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，

各个外角也相等.

考点二平行四边形

A考向一平行四边形的性质

11.（2024海南中考真题）如图，在口NBCD中，48=8,以点。为圆心作弧，交AB于点、M、N,分别

以点KN为圆心，大于:〃乂为半径作弧，两弧交于点尸，作直线。尸交N3于点E,若

ZBCE=ZDCE,DE=4,则四边形8cAE的周长是（）

【答案】A

【分析】本题考杳了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理利

用勾股定理求得CE的长，再证明=,作3GLCE于点G,求得CG=EG=2右,利用

tanZDCE=tanZBCE,求得=,再利用勾股定理求得BE=3C=5,据此求解即可.

【详解】解：：uABCD,AB=S,

：.CD=AB=8,

由作图知。E[45,

■:口ABCD,

・•・AB//CD,

：.DE1CD,

•：DE=4,

•*-CE=A/42+82=475,

•・・AB//CD,

J/DCE=/BEC,

NBCE=ZDCE,

・•・/BCE=/BEC,

：.BE=BC,

作于点G,

贝（JCG=EG=；CE=26，

・.,ZDCE=/BCE,

tan/DCE=tan/BCE,

.DEBG口口4_BG

..布，即支充，

/.BG=45,

:.BE=BC=Q（有j+R用=5,

二四边形8CDE的周长是4+8+5+5=22,

故选：A.

12.（2024•贵州・中考真题）如图，口ABCD的对角线NC与BD相交于点。，则下列结论一定正确的是（）

A.AB=BCB.AD=BCC.OA=OBD.AC1BD

【答案】B

【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的

关键.

【详解】解：：23。是平行四边形，

:.AB=CD,AD=BC,AO=OC,BO=OD,

故选B.

13.（2024河南•中考真题）如图，在口/BC。中，对角线4C,助相交于点。，点E为OC的中点,EF//AB

交8C于点产.若，8=4,则跖的长为（）

14

A-iB.1c-iD.2

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段

中点定义可得出CE=；/C，证明，利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：,・,四边形/BCD是平行四边形，

OC=-AC,

2

・・•点E为。。的中点，

Z.CE=-OC^-AC,

24

VEF//AB,

：.Z\CEF^Z\CAB,

EFCEEF1

---=---/即Q-n---二-

ABAC44

：.EF=\,

故选：B.

14.（2024・山东・中考真题）如图，点£为口，的对角线4C上一点，AC=5,CE=1,连接并延长

至点尸，使彳导EF=DE,连接昉,则3尸为（）

A-iB.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助

线是解题关键.

CEDEDC

解法一：延长。尸和，交于G点，先证aECsqAE，得到-=次="，再证ABG尸S4/G£，得

AEGEAG

到B年F=券FG=93,即可求得结果；

AEEG4

解法二：作也〃/3交/C于点X,证明出ACDE段"/FE(AAS),得到/殂=。£=1,FH=CD,然后证明

出四边形ABFH是平行四边形，得到BF=AH=AC-CH=3.

【详解】解：解法一：延长。尸和48，交于G点，

•.•四边形N8CD是平行四边形，

DC//AB,DC=ABgpDC//AG,

JADECS八GAE

.CEDE_DC

^~AE~~GE~~AG，

VAC=5,CE=\,

：.AE=AC-CE=5-1=4,

.CEDEDC_1

…布一速一而一a

DEDE£

又•：EF=DE,—

(_rnEF+FG4

.EF_1

*FG-3

..DC_DC1

DC=AB,

■~AG~AB+BG4''

DC

^G~3,

EFDC_1

FG-3

BGFG_3

AG~EG~A

AE//BF,

△BGFs小AGE,

BF_FG_3

~AE~~EG~1

AE=4,

BF=3.

解法二：作FH〃4B交AC于点H

又"：EF=DE,

A^CDE^HFE（AAS）,

：.HE=CE=1,FH=CD,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

JCD//AB,CD=AB,

：.HF//AB,HF=AB,

・•・四边形/BF"是平行四边形，

：.BF=AH=AC-CH=3.

故选：B.

15.（2024•浙江中考真题）如图，在口力BCD中，4。，助相交于点。，4。=2］。=2点.过点/作

的垂线交于点记成长为x,长为九当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

BEC

A.x+yB.x-yc.砂D.x2+y2

【答案】c

【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点。作。尸1BC

交的延长线于点/，证明会AOCF(AAS),得至！］/£=。尸,8£=<?尸=》，由勾股定理可得，

N炉=4-(y-x)2,DF2=12-(y+x)2,贝心-口-疗=i2-(y+x>，整理后即可得到答案.

【详解】解：过点。作±BC交8C的延长线于点/，

；4E1BC的垂线交BC于点E,

：.ZAEB=ZDFC=9(T,

・・,四边形4BCQ是平行四边形，

AAB=DC,AB//CD,

・・・ZABE=ZDCF,

；.△45E也△OCF(AAS)

AE=DF,BE=CF=x,

由勾股定理可得，AE2=AC2-CE2=AC2-(BC-BE^=4-(v-x)2,

DF2=BD2-BF2=BD2-(BC+CF)2=BD2-{BC+BE)2=l2-(y+x)2,

4-(>>-x)2=12-(j+x)2,

(y+x)2-(j-x)2=8

•*.+2,xy+—y~+2,xy—x~=8

即4中=8,解得xy=2,

,当x,V的值发生变化时，代数式的值不变的是刈，

故选：C

A考向二平行四边形的判定

16.（2024・广西•中考真题）如图，两张宽度均为3cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为60。，则

重合部分构成的四边形/BCD的周长为cm.

【答案】8囱

【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点A作⑷3c于M,ANLCD

于N,由题意易得四边形/BCD是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得=,即可得到四边形

/BCD是菱形，再解Rt^/DV可得26cm,即可求解，得出四边形N2C。是菱形是解题的

sin60°

关键.

【详解】解：过点A作/MLBC于M,ANLCD于N,则4沏=90。，

•••两张纸条的对边平行，

AB//CD,AD//BC,

四边形ABCD是平行四边形，

又：两张纸条的宽度相等，

AMAN,

'：SaABCD=BC-AM=CD-AN,

：.BC=CD,

四边形NBCZ»是菱形，

在RtZX/ZW中，ZADN=60°,AN=3cm,

3磊弓=2瓜m

2

；・四边形的周长为2Gx4=86cm,

故答案为：8M.

A.Z1=Z3,AASB.Z1=Z3,ASA

C./2=/3,AASD./2=/3,ASA

【答案】D

【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得=,根据三

角形外角的性质及角平分线的定义可得22=/3,证明名ZWCB，得到MD=MB,再结合中点的

定义得出他4=,即可得证.解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

【详解】证明：：AB=AC，:.AABC=Z3.

VZCAN=ZABC+Z3,ZCAN=Zl+Z2,Zl=Z2,

@Z2=Z3.

又：Z4=Z5,MA=MC,

:.AMADmAMCB（（2）ASA）.

：.MD=MB.二四边形ABCD是平行四边形.

故选：D.

18.（2024・四J11乐山・中考真题）下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AB=CD,AD=BC

C.OA=OC,OB=ODD.AB//CD,AD=BC

【答案】D

【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可.

【详解】解：A：AB//CD,AD//BC,

；・四边形/BCD是平行四边形，故此选项不合题意；

B、VAB=CD,AD=BC,

二四边形N3CD是平行四边形，故此选项不合题意；

C、VOA=OC,OB=OD,

四边形N8CD是平行四边形，故此选项不合题意；

D、；AB//CD,AD=BC,不能得出四边形NBCA是平行四边形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理.

19.（2024湖南•中考真题）如图，在四边形NBCZ）中，48〃CD，点£在边N5上，一.请从"①NB=NAED；

@AE=BE,/£=CO"这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：

⑴求证：四边形8CAE为平行四边形；

⑵若4D，AB,AD=S,SC=10,求线段/£的长.

【答案】⑴①或②，证明见解析；

(2)6

【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的

判定和性质是解题关键.

(1)选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；

(2)根据平行四边形的性质得出DE=BC=10,再由勾股定理即可求解.

【详解】(1)解：选择①,

证明：：NB=ZAED,

ADE//CB,

AB//CD,

四边形BCDE为平行四边形；

选择②，

证明:；AE=BE,AE=CD,

CD=BE,

-：AB//CD,

•••四边形BCDE为平行四边形；

(2)解：由(1)得。石=8。=10,

AD1AB,/D=8,

•*-AE=ylDE2-AD2=6-

A考向三平行四边形的性质好判定综合

20.（2024浙江中考真题）如图，在正方形/BCD中，E,H,F,G分别是边NABC,CD,N上的点,

2

且N8=2,EF=底G,“分别在边4D，BC上，且G8与所交于点。，记/GOF=a，若tane=§，则

“3^/65D2765,3而、2765

5577

【答案】D

【分析】如图，过点B作BP〃EF交DC于点P，作BM〃HG交AD于点M,延长3尸、4。交于点M,

MN2

过点M作MS取，根据平行线的性质得出NG'=NMQ产=4©尸”，从而得出tana=—=；,设

BN3

MN=2x,BN=3x,贝!每，证明四边形3跖尸是平行四边形，得出8尸=£尸=右，在比ABCP中,

MN1

勾股定理算出。尸=1,得出。尸=1,证明AA®尸名ABC尸，得出。犬=8。=2,/《=4，根据诉=宝，得

M&73

出心=2#x,AM=4-2氐,在Rt^ABM中，列方程求解即可.

【详解】解：如图，过点8作8P〃即交DC于点尸，作即/〃HG交于点M，延长瓦\4。交于点K,

过点M作跖V，5尸,

：.NGOF=ZMQF=ZMBP=a,

MN2

・・tancc=---

BN3

22

设MN=2x,BN=3x,贝（］BM=^MN+BN=VBX,

•.•四边形NBC。是正方形，

Z.AB//DC,AD//BC,BC=CD=AD=AB=2,

VBP//EF,BE//FP,

二四边形8EFP是平行四边形，

：.BP=EF=45,

:.在R^BCP中,CP=ylBP2-BC2=^（V5）2-f=1,

：.DP=DC-CP^\,即。P=C尸,

*/AK||BC,

:.ZK=ZPBC,ZKDP=ZC,

:.AKDP/BCP（AAS）,

：.DK=BC=2,AK=4,

PC

•/sinZK=—=sinZPBC=

MKBP

:.MK=2亚x,AM=4-20,

在小A/BM中，（4-2氐『+22=（底j,

二解得：x=2近或无=2",

7

当x=26时，4-2A/5X<0,

.2石

・・X=------

7

2^/65

**•BM=V13x=

7

故选：D.

【点睛】该题主要考查了解直角三角形，勾股定理，二次根式的性质，正方形的性质，平行四边形的性质

和判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，解一元二次方程等知识点，解题的关键是掌握以上知

识点，正确做出辅助线.

21.（2024辽宁•中考真题）如图，口/BCD的对角线/C,8。相交于点。,DE//AC,CE//BD，若NC=3,

5D=5,则四边开乡OCED的周长为（）

C.8D.16

【答案】C

【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

由四边形NBCD是平行四边形得到。0=2.5,（9C=1.5,再证明四边形。。即是平行四边形，贝!]

DE=OC=T5,CE=OD=2.5,即可求角单周长.

【详解】解：：四边形是平行四边形，

:.DO=LDB=25,OC^-AC^1.5,

22

•；DE//AC,CE//BD,

•••四边形。CEA是平行四边形，

：.DE=0C=15,CE=0D=25,

.••周长为：2X（1.5+2.5）=8,

故选：C.

22.（2024新疆•中考真题）如图，抛物线＞=；/一©+6与），轴交于点N,与x轴交于点8,线段CD在抛

物线的对称轴上移动（点C在点。下方），且CD=3当4D+3C的值最小时，点C的坐标为.

【答案】（4」）

【分析】在y轴上取点£（0,3），证明四边形/ECD是平行四边形，得出“D=CE,利用抛物线的对称性得

出BC=CF，贝[]/O+BC=CE+CF2EF，当£、C、下三点共线时，4D+8C最小，利用待定系数法求出直

线斯解析式,然后把x=4代入，即可求出C的坐标.

117

【详解】解：y=-x2-4x+6=-（x-4y~2,

,对称轴为x=4,

如图，设抛物线与x轴另一个交点为F,

当x=0时，y=6,

.•・/（0,6）,

1,

当y=0时，0=]/_4尤+6,

解得再=2,x2=6,

.*.5（2,0）,F（6,0）,

在y轴上取点E（0,3）,连接CE.CF,EF,

：.AE=3=CD,

'：CD//AE,

四边形/EC。是平行四边形，

:.AD=CE,

:抛物线对称轴为x=4,

BC=CF,

：.AD+BC=CE+CF>EF,

当E、C、尸三点共线时，4D+BC最小，

设直线即解析式为,

.j6k+b=0

F=3'

k=--

解得2,

6=3

y——x+3.

2

当x=4时，y=-1x4+3=l,

.•.当ND+BC最小时，。的坐标为(4,1),

故答案为：(4,1).

【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之

间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键.

23.(2024•浙江•中考真题)尺规作图问题：

图1图2

如图1，点£是口/BCD边力。上一点(不包含/,。)，连接CE.用尺规作/尸//CE,尸是边8c上一点.

小明：如图2.以。为圆心，/E长为半径作弧，交3c于点下，连接AF，贝小尸〃CE.

小丽：以点/为圆心，长为半径作弧，交BC于点F,连接/尸，贝！］/尸〃CE.

小明：小丽，你的作法有问题，小丽：哦……我明白了！

(1)证明/尸〃CE;

(2脂出小丽作法中存在的问题.

【答案】⑴见详解

(2)以点/为圆心，CE长为半径作弧，与2c可能有两个交点，故存在问题

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，

(1)根据小明的作图方法证明即可；

(2)以点/为圆心，CE长为半径作弧，与8c可能有两个交点，据此作答即可.

【详解】（1）CJABCD,

：.AD//BC,

又根据作图可知：ZE=CV，

•••四边形AECF是平行四边形，

AAF\\EC;

（2）原因：以点/为圆心，CE长为半径作弧，与3C可能有两个交点，

故无法确定厂的位置，

故小丽的作法存在问题.

A考向四三角形的中位线

24.（2024・湖南•中考真题）如图，在V/3C中，点DE分别为边NC的中点.下列结论中，错误的

是（）

A.DE//BCB./\ADE^AABCC.BC=2DED.S^ADE=^S^ABC

【答案】D

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质,由三角形中位线性质可判断A、C;

由相似三角形的判定和性质可判断B、D，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关

键.

【详解】解：；点DE分别为边/A/C的中点，

DE//BC,BC=2DE,故A、C正确；

DE//BC,

:.AADEsAABC,故B正确；

:,AADEs^ABC,

・,俏d，

，S“0E=；S/BC，故D错误；

故选：D.

25.（2024.甘肃兰州.中考真题）如图，小张想估测被池塘隔开的4,3两处景观之间的距离，他先在4B外

取一点C,然后步测出AC,BC的中点D,E,并步测出DE的长约为18m,由此估测A,B之间的距离约为

()

【答案】c

【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得。£为V/5C的中位线，根据三角形的中位线

定理，即可得出结果.

【详解】解：：点。，E,分别为NC,3C的中点，

为V/5C的中位线，

AB=2DE=36m;

故选：C.

26.（2024浙江中考真题）如图，，£分别是V/8C边NB,/C的中点,连接BE,DE.若

NAED=NBEC,DE=2，贝[]BE的长为

A

【答案】4

【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得

DE//BC,BC=2DE=4,得出ZC=ZAED=ZBEC,得出BE=BC=4

【详解】解：,•,£),£分别是V/3C边N3,NC的中点,

是V/BC的中位线，

DE//BC,BC=2DE=4,

ZAED=ZC,

•：ZAED=NBEC,

：.ZC=ZBEC,

：.BE=BC=4,

故答案为：4

27.(2024・天津・中考真题)如图，正方形/BCD的边长为3丘,对角线相交于点。，点£在C4的

延长线上，。£=5,连接。£.

(1)线段NE的长为；

(2)若F为DE的中点，则线段/尸的长为

【答案】2中收回

【分析】本题考查正方形的性质，中位线定理，正确添加辅助线、熟练运用中位线定理是解题的关键;

(1)运用正方形性质对角线互相平分、相等且垂直，即可求解，

(2)作辅助线，构造中位线求解即可.

【详解】(1).••四边形是正方形，

OA=OC=OD=OB,ZDOC=90°

..在RLDOC中，OD-+OC1DC1,

-：DC=342,

OD=OC=OA=OB=3z

OE=5

AE=OE-OA=5-3=2;

(2)延长ZM到点G，使=，连接EG

由£点向NG作垂线，垂足为H

F为DE的中点，A为GD的中点,

/尸为△OGE的中位线，

在RtAEAH中,NEAH=ADAC=45°

AH=EH

AH2+EH2=AE2,

AH=EH=42

:.GH=AG-AH=3y[2-V2=272

在Rt/XEHG中，；.EG1=EH2+GH2=2+8=10,

EG=A

AF为△OGE的中位线，

1”一旧.

..AF——EG-I

22

故答案为：2；坐.

2

28.(2024・青海・中考真题)综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

求证：中点四边形EFGH是平行四边形.

证明：•"、F、G、X分别是4氏BC、CD、。/的中点，

EF、GH分别是VABC和4CD的中位线，

：.EF=^AC,GH=^AC(①)

EF=GH.

同理可得：EH=FG.

中点四边形EFGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

(1)请你补全上述过程中的证明依据①

【探究二】

原四边形对角线关系中点四边形形状A

\i/XJ!

不相等、不垂直平行四边形

AC=BD菱形

从作图、测量结果得出猜想I:原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形.

(2)下面我们结合图2来证明猜想I,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状A

/

不相等、不垂直平行四边形

B1D

G\

F11

AC1BD②_________

图3

(3)从作图、测量结果得出猜想II：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②

(4)下面我们结合图3来证明猜想II,请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程.

【归纳总结】

(5)请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

中点四边形形状

原四边形对角线关系

________1________

③_________④_________

图4

结论：原四边形对角线③时，中点四边形是④

【答案】(1)①中位线定理

(2)证明见解析

(3)②矩形

(4)证明见解析

(5)补图见解析；③"18。且/。=助；④正方形

【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性

质等知识

(1)利用三角形中位线定理即可解决问题；

(2)根据三角形中位线定理，菱形判定定理即可解决问题；

(3)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(4)根据三角形中位线定理，矩形判定定理即可解决问题；

(5)根据三角形中位线定理，正方形判定定理即可解决问题.

【详解】(1)①证明依据是：中位线定理；

(2)证明：：E、F、G、〃分别是NABC、CD、DA的中点，

EF、GH分别是VABC和"CD的中位线，

：.EF=-AC,GH=-AC

22

EF=GH.

同理可得:EH=FG.

"AC=BD

：.EF=GH=EH=FG

•••中点四边形所GH是菱形.

(3)②矩形；

故答案为：矩形

(4)证明；£、F、G、〃分别是48、BC、CD、的中点，

EF、GH分别是VABC和4CD的中位线，

・・・EF//AC,GH//AC,

：.EF//GH.

同理可得：EH//FG.

AC1BD

：.ZAOD=ZAIH=90°,ZFEH=ZAIH

：.ZAOD=NEFG=AFEH=NEHG=90°

,中点四边形是矩形.

(5)证明：如图4,•；E、F、G、〃分别是/8、BC、CD、D4的中点，

，EF、GH分别是VABC和4CD的中位线，

：.EF=-AC,GH=-AC

22

:.EF=GH.

同理可得:EH=FG.

•：AC=BD

：.EF=GH=EH=FG

•♦•中点四边形所GX是菱形.

AC1BD

由(4)可知ZAOD=ZEFG=AFEH=NEHG=90°

:.菱形EFGH是正方形.

故答案为•.③4SBD且4C=BD;④正方形

图4

考点三特殊的平行四边形

A考向一矩形

29.(2024•辽宁•中考真题)如图，在矩形/BCD中，点E在/。上，当是等边三角形时，NAEB为

C.60°D.120°

【答案】C

【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键.

由矩形N3CD得到8c，继而得到乙4旗=/匹C,而A£8C是等边三角形,因此得到

AAEB=AEBC=60°.

【详解】解：：四边形是矩形，

AD//BC,

：.ZAEB=Z.EBC,

•；A£3C是等边三角形，

二NEBC=60°,

：.ZAEB=60°,

故选：C.

30.(2024•吉林•中考真题如图在平面直角坐标系中点/的坐标为(-4,0)点C的坐标为(0,2)以04OC

为边作矩形。/8C,若将矩形W8C绕点。顺时针旋转90°,得到矩形CM'8'C',则点Q的坐标为()

A---------1"

-----------C

--------------------------->

AO\cf

A.(-4,-2)B.(-4,2)C.(2,4)D.(4,2)

【答案】c

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到＜％=4,OC=2,再由

矩形的性质可得48=OC=2,N48C=90°,由旋转的性质可得。4=。/=4,A'B'=AB=2,Z0A'B'=9Q°,

据此可得答案.

【详解】解：：点/的坐标为（-4,0），点C的坐标为（0,2）,

OA=4,OC=2,

•.•四边形。43c是矩形，

AB=OC=2,ZABC=90°,

:将矩形048C绕点。顺时针旋转90。，得到矩形，

O4=O/=4,A'B'=AB=2,ZOA'B'^90°,

轴,

•••点8'的坐标为（2,4）,

故选：C.

31.（2024・河北•中考真题）在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的"特

征值”.如图，矩形N3C。位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中"特征值"最小

的是（）

D,-----1c

A1---------'B

Ox

A.点/B.点8C.点CD.点。

【答案】B

【分析】本题考查的是矩形的性质，坐标与图形，分式的值的大小比较，设4（a,b）,AB=m,4D="，可

得。（0力+〃），B（a+m,b）,C（a+m,b+n）,再结合新定义与分式的值的大小比较即可得到答案.

【详解】解：设,AB=m,4D=n,

•.•矩形4BCZ）,

AD=BC=n,AB=CD=m,

:.D（a,b+n）,B（a+m,b）,C^a+m,b+n）,

bbb+n.bb+n

•<一<,而<,

a+maaa+m