2025年中考数学二次函数压轴题：线段问题（含解析）

专题03线段问题

y\

228

1.勾股转化：AB=-xB)+(yA-yB)

lo\

y

2.特殊角转化：：NOBC=45。k

•*-PD=^PE=-^-\y-y^1

PIOpA

y

3.相似三角形转化：：。/〃oc,

：./\DEP^/\OEC,

.DPDEA

99—

~OC~~OE

一、横竖线段

例1.（2024秋•绥中县期中）

1.如图，二次函数y=f-4尤的图象与无轴的正半轴交于点A,经过点A的直线与该函数

图象交于点3(1,-3),与y轴交于点C.

(1)求直线AB的函数表达式及点C的坐标；

⑵点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点尸作直线轴于点区与直线A3

交于点。，设点尸的横坐标为根.当尸。=；0c时，求相的值.

对应练习：

2.如图，抛物线y=*+fot+c与无轴交于点A(-l,0),8(5,0)两点，直线y=-3+3与y

轴交于点C,与x轴交于点。.点尸是第一象限内抛物线上一动点，过点尸作比轴于

(1)求抛物线的解析式；

(2)写出线段CE的长(用含有机的代数式表示)；

(3)若尸E=5EF,求m的值；

(2024•咸丰县模拟)

3.综合与探究

如图，抛物线y=--3尤-4与尤轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,

连接3C.若点P在线段BC上运动(点P不与点8,C重合)，过点P作x轴的垂线，交抛

物线于点E,交x轴于点尺设点尸的横坐标为江

(1)求点A,B,C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式.

Q)若PF=2PE,求相的值.

4.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于点A,B(点A在点8的左侧)，与，轴交于

点C,尸是抛物线在第四象限上一个动点，设点P的横坐标为，〃，过点尸作x轴的垂线，交

(1)用含m的代数式表示线段PF的长度，并求出其最大值；

(2)若E尸：EP=2:3,求点尸的坐标.

(2024秋•西岗区校级月考)

11,

5.如图，二次函数y=5无+bx+c的图象与x轴交于A、8两点，与y轴交于点C,点A的

坐标为(-1,0),点C的坐标为(0,-3),连接BC.

(1)求该二次函数和直线BC的解析式；

(2)点尸是抛物线在第四象限图象上的任意一点，作尸轴于点Q,交BC于点H,当PH

的长度最大时，求点尸的坐标

例2.(2024•重庆模拟)

6.如图，抛物线y=V+/zx+c交x轴于点A(-3,0)、点3(1,0),交y轴于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，连接AC、3c，点尸为线段AC下方抛物线上一动点，过点尸作PQ〃y轴交AC于

3

点Q,过点。作轴交于点〃，求尸。+二。反的最大值以及点P的坐标.

4

对应练习：

2

7.如图，抛物线>=-§尤'bx+c与无轴交于A,3两点，与>轴交于点C,点A坐标为(TO),

点B坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点尸是直线3c上方抛物线上一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线3c于点。，过点尸作

y轴的垂线，垂足为点E,请探究2尸。+尸石是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此

时尸点的坐标；若没有最大值，请说明理由.

二、斜线段

例3.(2024•江汉区校级模拟)

12

8.已知抛物线y=-(xT)--根(租＞0)与x轴交于两点，与y轴交于C点，且AB=8.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，点。为抛物线在第四象限的一点，连交线段3C于点E,且AE=6ED,求点

D的坐标；

对应练习:

(2024•绥化三模)

9.如图，在平面直角坐标系中，二次函数、=62+a-3的图象与x轴交于A(-l,0),3两

点，顶点坐标为(L-4).

y

（1）求二次函数的解析式；

DF2

⑵直线BC与。。相交于点E,当。为抛物线上第四象限内一点且而=§时，求点。的坐

标.

（2024•达州模拟）

10.如图，抛物线>=3炉+〃吠+“（机为常数）与x轴交于点AB（点A在点B的左侧），

OA=1,经过点A的一次函数>=丘+6（左=0）的图象与>轴正半轴交于点C,且与抛物线的

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求“8面积的最大值，并求出此时点E的

坐标；

⑶若点P为x轴上任意一点；在⑵的结论下，当PE+半PA的值最小时，请直接写出点P的

坐标和此时P£+@PA的最小值.

5

参考答案与解析

参考答案：

1.⑴直线A3的函数表达式为、=x-4,点C的坐标为(0,4)；

(2)机的值为§一J万或2或3.

2

【分析】本题考查了二次函数综合，熟练掌握求二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一

次函数解析式，解一元二次方程是解题的关键.

(1)先求得点A的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式，进而可得点C的坐

标；

(2)由题意得，点尸的坐标为(“7/-4〃2)(0<〃7<4),可得。分两种情况：①

点P在点。上方时；②点P在点。下方时，结合尸D=；OC列出方程求解机的值即可.

【详解】(1)解：对于y=Y-4x,令y=0,贝U0=%2—4%,

解得：芭=0,%2=4,

点A的坐标为(4,0),

设直线AB的函数表达式为y=kx+b,

4k+b=0

代入4(4,0)和3(1,-3)得,

k+b=—3'

k=l

解得:

b=-4'

•••直线的函数表达式为y=x-4,

对于丁=%—4,令y=。，贝|。二%一4,

解得：x=4,

•・•点C的坐标为(0,4),

・••综上所述，直线A3的函数表达式为y=x-4,点。的坐标为(0,4).

(2)由题意得，点P的坐标为(人/-4时(0VMV4),

直线尸石，了轴于点区与直线交于点，

•••点。的坐标和点P的横坐标相同，即无二加,

由(1)得，直线A3的函数表达式为丁=尤-4,

.点。的坐标为(0,4),

:.OC=4,

:.PD=-OC=2；

2

.'.m1—5m+4=2,

解得：叫=8手，桃="普，

0<m<4,

二机的值为牝Y7；

2

②当点尸在点。下方时，

则P£)=m-4—(^m2—4m)=—m2+5m—4,

-m2+5加一4=2,

解得：叫=2,1nl=3,

・二根的值为2或3；

综上所述，加的值为匕叵或2或3.

2

2.⑴y=-f+4x+5

（2）CE=^m（0<m<5）

（3）2或巨遮

2

【分析】（1）利用交点式求抛物线解析式；

（2）先根据坐标轴上点的坐标特征确定C（0,3）,£>（4,0）,则8=5,设尸（见一加2+4〃?+5）,

则根厂:根+3）尸（租,0）,根据平行线分线段成比例定理，由EF〃OC得到CE:相=5:4,

可得结论；

io3

（3）先用加表示尸£、尸方得到尸E=—机2+一根+2,EF=--m+3,再利用PE=5£F得

44

193

,m2+_„7+2=--m+3,然后讨论得到两个关于，"的一元二次方程，再解方程求出满足

条件的加的值.

【详解】（1）解：：抛物线〉=-/+施+0与x轴交于点A（-LO）,3（5，。）两点，

A抛物线解析式为y=—（x+l）（x-5）,即y=+4x+5；

3

（2）,・,直线y=—/%+3与丁轴交于点C,与％轴交于点。，

3

当％=0时，y=——x0+3=3,则C（0,3）,

当y=0时，--x+3=0,解得％=4,则。（4,0）,

OC=3,OD=4,

•*-CD=y/0C2+0D2=732+42=

设尸（北―川+4机+5）,

•・・尸产_Lx轴，

...E。/-：根+3）,F（m,o）,EF//OC,

：.CE:OF=CD:OD,即CE:租=5:4,

CE=q〃7（O<wi<5）；

（3）存在.

<3i193

*/PE=-m2+4m+5-——m+3=-m2H----m+2,EF=——m+3,

I4J44

XVPE=5EF,

■219c厂3c

・・-1TIH根+2=5+3,

44

当-/J?+£m+2=5（-；m+3],解得：叫=6.5（舍去），咫=2；

当一根2+[■m+2=-5（-1■根+3]，解得：叫=匕手B（舍去），m2,

综上所述，加的值为2或小便.

2

【点睛】本题是一次函数与二次函数的综合题，考查了待定系数法求抛物线解析式，坐标与

图形，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，平行线分线段成比例定理，函数图象上点的坐

标特征，一元二次方程的应用等知识点.利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题

的关键.

3.（1）A（-1,O）,8（4,0）,C（0,-4）,直线BC的解析式为y=*-4

⑵租=：

【分析】本题考查二次函数的图象及性质.

（1）根据函数图象的特点求A、B、C的坐标，用待定系数法求直线的解析式即可；

（2）由题可知P。小加一4）,则£（血,小-3机一4）,F（717,0）,再由尸尸=2尸E,得到方程

4-〃Z=2（T"2+4”，，求出,"的值即可.

【详解】（1）解：当>=。时，X2-3X-4=0,

解得x=4或x=—1,

AA（-l,0）,3（4,0）,

当x=0时，y=-4,

••.C（0,-4）,

设直线BC的解析式为y=kx-4,

将点3（4,0）代入可得公-4=0,

解得人=1,

直线BC的解析式为y=尤-4；

（2）解：：点尸的横坐标为加，

,则网八疗-3根-4),F(m,O),

***PF=4—m,PE=—m2+4m,

,:PF=2PE,

4—m=2(—m2+4m),

解得m=4或机=!,

2

・.・PF=4-m>0,

••in<4,

...m=—1.

2

9

4.(1)PF=-m2+3m(0<m<3),Pb取最大值］

⑵点p的坐标为［m，-2

【分析】(1)由抛物线的解析式结合二次函数图象上点的坐标特征得出点A、8、C的坐标，

再利用待定系数法求出直线3c的解析式，根据点尸的横坐标，找出点尸、P的坐标，由

此即可得出尸尸关于，"的函数关系式，利用配方法即可得出最值；

(2)根据尸、尸的坐标即可得出£F、PF的长度，结合EF:尸尸=2:3即可得出机的值，将

其代入点P的坐标中即可得出结论.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质，

解题的关键是：(1)找出点P、尸的坐标；(2)根据跖:EP=2:3求出机的值.本题属于

中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据二次函数图象上点的坐标特征找出点的坐标

是关键.

【详解】(1)解：依题意，当x=。时，>=一3,

C(0,-3);

当>=。时，有Y-2X-3=0，

解得：%=一1,%=3,

.•.A(-1,O),8(3,0).

设直线BC的解析式为y^kx+b,

一3=6

0=3%+6

・・・直线5C的解析式为y=%-3.

点尸的横坐标为加，

P(m,m2-2m-3).

当%=根时，y=m-3(0<m<3),

/.F(m,m—3).

PF=m—3—(m2—2m—3)=—m2+3m.

39

PF=—m2+3m=—(m——)2+—,—1<0,

24

/.PF=-m2+3m(0<m<3),

3Q

当机=7时，尸厂取最大值了.

24

(2)解：F(m,m-3),轴，

/.EF=—(m—3)=3—m,

EF3—m_1_2

FP3m—m2m3'

3

:.m=—,

2

315

此时点尸的坐标为U，-7).

24

5.⑴二次函数的解析式为丁=卜2_鼻_3,直线BC的解析式为片1-3

⑵P(3,-6)

【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与图形的面积，掌握待定系数法是解

题的关键.

(1)直接利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)由(1)知直线2C的解析式，得到“(孙；机-31，利用二次

函数的性质求解即可得

【详解】(1)解：将A(TO),C(0,-3)代入、=；尤2+反+。中得：

--/7+c=0

<2,

c=-3

b———

解得：｛一2,

c=-3

二二次函数的解析式y=-gx_3；

令y=0,贝!)0=：无2_|彳_3,

解得：无1=-1,x2=6,

；•点8的坐标为(6,0),

设直线BC的解析式为y^mx+n,

n=-3

代入得:

6m+n=0

1

2,m=—

解得2,

n=-3

直线BC的解析式为y=；x-3,

(2)由(1)知直线BC的解析式为y=gx-3,

设点尸(加，3疗一1■加一31，

PQLx轴于点。交BC于点H,

H\m,—m-3,

I2)

1151129

/.PH=—m-3——m2+—m+3=——m2+3m=——(m-3)+—,

22222V72

当机=3时，PH的长度最大,

将m=3代入■川得P(3,-6).

6.(1)y=x2+2x-3

⑵最大值为4,点P的坐标为(-2,-3)

【分析】(1)利用待定系数法解答即可;

(2)求出点C坐标，即可得直线AC的解析式为y=-x-3,直线BC的解析式为＞=3x-3,

设产+2—3),则Q&T-3),进而可得PQ+：Q8=_(r+2)2+4,利

用二次函数的性质解答即可求解；

本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，掌握二次函数的图象和性

质是解题的关键.

【详解】(1)解：：抛物线y=+c交》轴于点4(-3,0)、点8(1,0),

j9-36+c=0

[l+b+c=0

a=2

解得

b=-3

：.抛物线的解析式为y=f+2尤-3；

(2)解::抛物线y=V+2x-3交y轴于点C,

；.C(0,-3),

设直线AC的解析式为、=履+1，把A(-3,0)、C(0,—3)代入得,

[0=-3%+4

|-3=c/

[k=—l

解得，父

[a=-3

直线AC的解析式为y=-X-3,

同理可得直线BC的解析式为y=3尤-3,

设尸卜,»+2/-3),

：PQ〃y轴，

3),

/.P2=-r-3-(?+2r-3)=-？-3r,

轴，

•••点〃的纵坐标为v-3,代入y=3尤-3得，

—t—3=3x—3,

解得％=——t,

H[T-3),

14

：.QH

33

尸；4

Q+Q"=_/_3%+|'x]_gd=-?-4/=-(Z+2)2+4,

3

V-l<0,

3

.•.当7=-2时，PQ+^QH取最大值4,此时，点尸的坐标为(-2,-3).

24

7.(1)y=——x2+—X+2

33

(2)最大值375，P色竺]

loI8'32J

【分析】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛

物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

(1)直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；

(2)先求解C(0,2),及直线3c为y=-§x+2,设尸(x,_；d+]x+2),可得O(x,-：x+2),

再建立二次函数求解即可.

2

【详解】(1)解：抛物线＞=-§/+桁+。与X轴交于A,8两点，与y轴交于点C,

点A坐标为(-1,0),点B坐标为(3,0),

22c4

y=-—(x+l)(x-3)=--x2+—x+2；

24

(2)解：当x=0时，y=——x2+—x+2=2,

AC(0,2),

设直线5C为y=辰+2,

3k+2=0,

解得％=_§2,

2

「•直线BC为y=——x+2,

设，卜‘-§”2+耳%+2)，

2424

2PD+PE=2(—-x2+—x+2+—x-2)+%=—-+5x,

4

Q--<0,

⑵点D的坐标为（1，T或（4,-5

1

【分析】（1）令一（尤-1）9--加=0,用含根的式子表示出A、B两点坐标，根据A5=8求出

m

加的值，即可求解；

（2）过点。作£（尸〃尤轴交直线于点R根据（1）中结论求出抛物线与坐标轴的交点坐

标，进而求出直线3C的解析式，设。和含f的式子表示出。尸，再根据

I424）

DF//AB,推出SOEFSJV£B,根据相似三角形对应边长度成比例列式求出/的值，即可

得出点。的坐标.

1

【详解】（I）解：令一（％—1）9—相=0,

m

化简得：（尤―1）2=相2,

解得：%=1一帆，x2=l+m,

:.A(l-m,0),B(l+m,0),

AB=(l+m)-(l-m)=2m=8,

解得：m=4,

，抛物线的解析式为y=*2-卜-半

（2）解：如图1,过点。作Q尸〃x轴交直线3C于点R

y

\1L

)w

图1

在y=，一9中，令尤=。，雀

...c(o,一*

令尸。，得*-*/。,

解得：%=一3,%=5,

/.A(-3,0),5(5,0),

AB=5—(-3)=8,

设直线5c的解析式为>=区+。，将B、C的坐标代入得:

5k+b=0

jq'

14

口

解得：[5,

b=-----

[4

315

，直线BC的解析式为广片-1,

设。(《W，

。尸〃X轴，

.•.点厂的纵坐标为

则工产」上=二-更，

42444

解得：X=

121115

-t2——t-t2

33424

)+3,

DF=t

33

•・•DF//AB,

：・ZDFE=ZABE,ZFDE=ZBAE,

；・DEFS,.AEB,

•：AE=6ED,

.DFDE1

**AB-AE-6?

DF=-AB,

6

即_1〃+9/=48,

336

解得：%=1，/2=4,

¥1151115

当，=1时,—t-4,

24424

15

当（时，

=4~4

•••点。的坐标为（IT）或（4,1

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程

的关系，相似三角形的判定的性质，正确作出辅助线，综合应用上述知识点是解题的关键.

9.（1）二次函数的解析式为y=f-2x-3

⑵。（1,一4）或（2,-3）

【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及待定系数求解析式，相似的判定和性质，掌握

相似三角形的判定是解题的关键.

（1）利用待定系数法求解即可；

（2）过点。作DRLx轴，垂足为尸，交CB于点尸，设。（9?-3卜）表示出点尸坐标，再

利用aEPs_O£c列式求解.

【详解】（1）把A（-L,。）,。,一4）代入y=ax2+bx-3,

0=。—Z?—3a—\

,解得

-4=a+b-3b=-2

；•二次函数的解析式为、=/一2尤-3；

（2）解：如图，过点。作轴，垂足为尸，交CB于点P,

解得占=3,々=-1,

.••3(3,0),

当久=0时，得y=x2-2x-3=-3,

.--C(0,-3),

设直线3C解析式为：y=m久+几，代入3（3,0）,C（0,-3）,

3m+n=0m=l

得公，解得

n--3n=-3

直线3C解析式为>=》-3,

设。（4一2"3）,则P（r,r-3）,

DP=t—3—P+2r+3=—广+3t，

DFOC,

DEPs.OEC,

oc能即-t2+3t2

33'

解得f=1或t=2,

.•.0(1,—4)或(2,-3).

12311

10.(l)y=—x-x——y=—x+—x；

2222

（、

⑵ACE最大面积为：㊂25，£315；

16o）

（3）尸偿,0],产£+好弘最小值为：也

【分析】（1）根据待定系数法求解即可；

（2）利用图形面积和差，转化为二次函数求最值即可；

（3）先过点尸作垂线段，当三点共线时，再根据垂线段最短，最后用等面积法求解即可.

【详解】（1）04=1,

・・・A(-l,0)

抛物线y=g%2+mx+篦和一次函数y=Ax+b的图象都经过点A

、D

0=—x(-l)2-m+n-k+b=0

・-5]//