2025年中考数学专项复习：相似三角形（解析版）

专题16相似三角形

考情聚焦

课标要求考点考向

1.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形

考向一相似三角形的判定

相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例

的两个三角形相似。*了解相似三角形判定定理的证明。相似考向二相似三角形的判定与综合

2.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等三角

考向三相似三角形的性质

于相似比;面积比等于相似比的平方。形

3.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩

考向四相似三角形的实际应用

小。

4.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。考向一位似图形

5.利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数(sinA,位似

cosA,tanA),知道30°,45°,60°角的三角函数值。考向二坐标系与位似图形

,真题透视,

考点一相似三角形

A考向一相似三角形的判定

解题技巧/易错易混

相似三角形的判定：①平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角

形相似；②三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；③两边及其夹角法：两组对应边的比相等且

夹角对应相等的两个三角形相似；④两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似.

1.(2024・广西中考真题)如图1,VN2C中，D2=90。，/5=6.的垂直平分线分别交NC,于

点。，CO平分入4C8.

ccc

A'

图2

⑴求证：△ABCs^CBO;

（2）如图2,将△/OC绕点。逆时针旋转得到△HOC,旋转角为研0。＜。＜360。）.连接4M,C'M

①求△4MU面积的最大值及此时旋转角a的度数，并说明理由；

②当是直角三角形时，请直接写出旋转角。的度数.

【答案】⑴见解析

⑵①86,a=180°;②120°或240°

【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出OA=OC,利用等边对等角得出乙I=ZACO,结合角平分

线定义可得出乙（=4CO=NOC8,最后根据相似三角形的判定即可得证；

（2）先求出乙=4。。=/0。8=30°,然后利用含30°的直角三角开乡，雌求出2。=2,AO=4,MO=2,

利用勾股定理求出闻1=26，AC=4拒，取HC'中点"，连接,作于N,由旋转

的性质知A/OC咨A©。。'，W为。”旋转。所得线段，则。加」©a,A'C'=AC=4^3,OM，=OM=2,

根据点到直线的距离，垂线段最短知MNVMAT,三角形三边关系得出"VVQW+QVT,故当〃、0、M'三

点共线，且点。在线段W时，龙W取最大值，最大值为2+2=4,此时a=180。，最后根据三角形面积

公式求解即可；

②先利用三角形三边关系判断出MCZHU,M4'＜4C',则当为直角三角形时，只有“胚7=90。，

然后分/和C，重合，H和C重合，两种情况讨论即可.

【详解】（1）证明：：MO垂直平分/C,

OA=OC,

：.AA=AACO,

・.・co平分N4C5

AZACO=ZOCB,

:・/A=/OCB,

又/B=/B；

:•△ABCsXCBO;

(2)解：①・・・DB=90。，

.・・ZS4+ZACO+ZOCB=90°,

N4=ZACO=ZOCB=30°,

BO=-CO=-AO

22'

又4B=4O+BO=6,

：.BO=2,AO=4,

・.・MO垂直平分4。，

：.OM=-AO=2,AC=2AM,

2

AM=y/AO2-MO1=273,

/./C=4百,

取4c中点AT,连接OAT,MM',作MV_L4。于N,

由旋转的性质知A/OC也A/'OC',W为OW旋转a所得线段，

OM'1A'C',A'C'=AC=4^l3,OM'=OM=2,

根据垂线段最短知MN<MM',

又MM'&OM+OM',

当M、。、M'三点共线,且点。在线段W时，MN取最大值,最大值为2+2=4,

此时。=180。，

△4MC'面积的最大值为gx4百x4=8百；

@\*MC,<MO+OC,=2+4=6,46-

C.MC^AC,

同理MTcWC

为直角三角形时，只有NHMC=90。，

当4和C重合时，如图,

丁^AOC^A'OA

：.ZAf=ZCAO=30°,ZOAAf=ZOCA=30°,

：.ZAfOA=120°,

VZAMO=90°,

ZAOM=60°,

AZAfOA+ZAOM=1S00,

・•・/、。、河三点共线，

・•・△HMC为直角三角形，

此时旋转角。=44'。4=120。;

当4和C重合时，如图，

r

AZCOC=120°f

VAO=CO,ZAOM=60°

：.ZCOM=ZAOM=60°,

AZCOM+ZCOC=1SO°,

・・・c、。、M三点共线，

又N4Mo=90。

・・・△HMC为直角三角形，

此时旋转角a=360°-4'CM=240°;

综上,旋转角e的度数为120。或240。时，△HMC为直角三角形.

【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含30。的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，

明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键.

2.（2024.广东广州.中考真题）如图，点E,尸分别在正方形的边8C,CD上，BE=3,EC=6,

【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键.根据正

ABBE

方形的性质，得出ZB=ZC=90°AB=CB=9，进而得出"=7^,根据两边成比例且夹角相等的两个三角

fACCr

形相似即可证明.

【详解】解：■.-BE=3,EC=6,

四边形是正方形，

AB=CB=9,Z5=ZC=90°,

AS93BE_3

'EC~1>~2'CF一2"

.ABBE

"~EC~~CF

又；/B=/C=90。，

“ABESAECF.

A考向二相似三角形的判定与性质综合

相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；②相似三角形的周长的比等于相似比;

相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的

面积的比等于相似比的平方.由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三

角形面积的比等于相似比的平方.

3.（2024浙江中考真题）如图，已知菱形/BCD的面积是24,E,尸分别是菱形/蛇。的边3C,CD的中

点，连结NE，BF,AE与BF交于点G,贝！］ABEG的面积为（）

AD

【答案】A

【分析】此题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键

是正确的作出辅助线，技巧性较强.

延长8尸交40延长线于点W，则/，证明VBEGsVM4G，即可得出BE:/M=GE:/G=1:4,

根据菱形ABCD的面积，求出dBE的面积，然后可得出BEG的面积.

【详解】解：如图，延长抄"交4D延长线于点W,

••,点尸是边CD的中点，

:.DF=CF,

;四边形438是菱形，

AD//BC,

：.ZFBC=ZM,ZC=ZFDM,

:.“DMF知CBF(AAS),

：.DM=BC=AD,

AD//BC,

：.VBEG^fMAG,

又.•.点E是BC中点，

:.BE:AM=GE:AG=1:4,

:.S、BGE：S-AB£=EG:AE=1:5,

•.•菱形/BCD的面积为24,

AABE的面积为6,

.♦.△BGE的面积为1,

故选：A.

4.（2024河南中考真题）如图,在口48C。中，对角线/C,5。相交于点O，点E为OC的中点,EF//AB

交8c于点尸.若/2=4,则跖的长为（）

A.-B.1C,-D.2

23

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段

中点定义可得出C£="/C，证明尸s4c/B，利用相似三角形的性质求解即可.

【详解】解：:四边形是平行四边形，

OC=-AC,

2

:点E为。C的中点，

CE=-OC=-AC,

24

EF//AB,

・•・ACEFs^CAB,

.EFCE口押1

..方=就，即=

：.EF=\,

故选：B.

5.（2024・湖南•中考真题）如图，在VN2C中,点D,E分别为边NC的中点.下列结论中，错误的是

（）

A.DE//BCB.£\ADE^/\ABCC.BC=2DED.S△./IXD/jCE*=2~SA.BC

【答案】D

【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A、C;

由相似三角形的判定和性质可判断B、D，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关

键.

【详解】解:•点DE分别为边NA/C的中点，

DE//BC,BC=2DE,故A、C正确；

DE//BC,

:.AADEsAABC,故B正确；

•；A4DES^ABC,

f组1缶11

"SAABC[BC)UJ4'

,"S"ADE=1S.ABC,故D错误；

故选：D.

6.（2024•陕西中考真题）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形N8CD的边CD上,4F与DC交于点H,

若/5=6,CE=2,则的长为（）

58

D

3

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.证明△尸G”,利用相似三角形的

性质列式计算即可求解.

【详解】解：：正方形/2C。,AB=6,

：.AB=AD=CD=6,

:正方形CE尸G,CE=2,

:.CE=GF=CG=2,

/.DG=CD-CG=4,

由题意得ND〃GF,

AADHS^FGH,

.ADPH6PH

,,GF-GF，p即n4-ZW，

解得。H=3,

故选：B.

7.（2024•安徽中考真题）如图，在RtA4BC中，N/BC=90°,AB=4,BC=2,3。是边4C上的高.点

E,尸分别在边NB,2。上（不与端点重合），且应,。P.设/E=x,四边形。班厂的面积为了,贝打

【分析】本题主要考查了函数图象的识别，相似三角形的判定以及性质，勾股定理的应用，过点E作而L/C

于点”，由勾股定理求出NC，根据等面积法求出AD，先证明A/BCSA/切，由相似三角形的性质可得出

噜,即可求出，再证明A/EDSAB即，由相似三角形的性质可得出2=（己］,即可得出

4DABS.BFDVBD）

S"ED=4S、BFD1根据S四边形0EBF=S^ABC~^AAED~~^e,BDF），代入可得出一次函数的解析式，最后根据自

变量的大小求出对应的函数值.

【详解】解：过点E作EHL/C于点X,如下图：

•*-AC=YJAB2+BC2=2V5,

・・・班是边4。上的高.

：.-ABBC=-ACBD,

22

:.BD=-4^,

5

*.•ABAC=ZCAB,ZABC=ZADB=90°,

：.八ABCs△力。5,

.AB_AC

''AD~AB

解得：3,

oR

DC=AC-AD=2V5--=

5

•:/BDF+/BDE=/BDE+/EDA=90：ZCBD+ZDBA=ZDBA+ZA=90°,

：./DBC=乙4,ABDF=ZEDA,

"EDs^BFD,

•c—4c

,•2"ED2ABFD/

,,S四边形DE8F=S^ABC-S&AED-(S^BOC-i^BDF)

=-AB-BC--AE-ADsmZA--DC-DB+-S

2224

V0<x<4,

・••当x=0时，S四边形OE时-1/

4

当X=4时,S四边形OEBF=—.

故选：A.

8.（2024・海南・中考真题）如图是跷跷板示意图,支柱。河经过45的中点O,OM与地面C。垂直于点M,

OM=40cm,当跷跷板的一端/着地时,另一端5离地面的高度为cm.

【答案】80

【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质.过点8作交4C的延长线于N,求得OM〃BNI

得到△/（Ws4/gN,根据相似三角形的性质解答即可.

【详解】解：过点8作交4C的延长线于N,

OM//BN,

AAOMS^ABN,

OMAO

~^N~AB，

AO=OB,OM=40cm,

40_1

BN~2,

BN=80cm,

另一端/离地面的高度为80cm.

故答案为：80.

9.（2024•辽宁・中考真题）如图,AB〃CD,NO与BC相交于点。,且V/08与△DOC的面积比是1:4,

【答案】12

【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，把握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键.

可得△/OBsaooc,再根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解.

【详解】解：---AB//CD,

/\AOB^Z^DOC,

：.CD=12,

故答案为：12.

10.（2024・吉林・中考真题）如图，正方形/BCD的对角线NG8。相交于点。,点£是。4的中点，点F

FF

是。。上一点.连接斯.若/b£0=45°，则）的值为.

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，正方形的性质，先由正方形的性质得到/。/。=45°,

EFOE1

AD=BC,再证明所〃4。,进而可证明△。即，由相似三角形的性质可得，即

ADOA2

EF_1

而一5,

【详解】解：:正方形/BCD的对角线m相交于点O,

：.ZOAD=45°.AD=BC.

丁点E是。4的中点，

,OE

9,OA~2，

•.*/FEO=45"

：.EF//AD,

:,XOEFsMOAD,

.EFOE1—EF1

••==—/即——I

ADOA2BC2

故答案为：I.

A考向三相似三角形的性质

11.（2024・重庆・中考真题）若两个相似三角形的相似比是1：3,则这两个相似三角形的面积比是（）

A.1:3B,1:4C,1:6D,1:9

【答案】D

【分析】此题考查了相似三角形的性质，根据”相似三角形的面积比等于相似比的平方”解答即可.

【详解】解：两个相似三角形的相似比是1：3,则这两个相似三角形的面积比是1：9,

故选：D.

12.（2024•四川内江•中考真题）已知V/3C与与G相似,且相似比为1:3,贝与△4与G的周长

比为（）

A.1:1B.1:3C,1:6D.1:9

【答案】B

【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形周长之比等于相似比是解题的关键.

【详解】解：:V/BC与△48©相似，且相似比为1:3,

VABC与△&4G的周长比为1:3,

故选B.

13.（2024•江苏盐城・中考真题）两个相似多边形的相似比为1：2,则它们的周长的比为.

【答案】1：2/1

【分析】本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形周长之比等于相似比即可求解，掌握相似多边形

的性质是解题的关键.

【详解】解：：两个相似多边形的相似比为1：2,

,它们的周长的比为1：2,

故答案为：1：2.

A考向四相似三角形的实际应用

14.（2024•江苏镇江・中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯

光下的影长8=3米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（）

A

DCB

A.4.5米B.4米C.3.5米D.2.5米

【答案】D

【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为尸〃,连接4尸并延长交于点G,根

据题意得到C-//W，证明力CESADB4AGHFS.GB4，得到肉=而）=瓦，由2内推

出累=粤，即可得出结论■

oL）KJD

【详解】解：设回过程中小杰身高为打?，连接4尸并延长交8c于点G,

根据题意得到CE〃尸〃〃/8,

/,力CEs力BAQGHFs©BA,

.CECDFH_GH

'AB~BD'AB~GB'

•・,CE=FH

.CDGH

"BD~~GB'

•/BD>GB,

CD>GH,

•・,CQ=3米，

GH<3,

••返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米，

故选：D.

15.（2024.江苏扬州.中考真题）物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像

投影的方法.如图,燃烧的蜡烛（竖直放置）48经小孔。在屏幕（竖直放置）上成像40.设4B=36cm,

45=24cm.小孔。到45的距离为30cm,则小孔。到的距离为cm.

前、、、、夕

BI©

|<—30cm—力

【答案】20

【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得,^AOB^^A'OB',过。作OCLN3于

点C,C。交于点C：利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌

握相似三角形的性质是解题关键.

【详解】由题意得：AB//A'B',

：.AAOB^^A'OB',

如图，过。作OC，居于点C,C。交/®于点C,

|<-30cm->|<-?cm^

：.OC'LA'B',OC=30cm,

.A'B'OC24OC

..----=----，即Q—n=-----,

ABOC3630

OC=20（cm）,

即小孔。到4®的距离为20cm,

故答案为：20.

16.（2024・湖北•中考真题）小明为了测量树NB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：

方案一：如图（1）,测得C地与树相距1。米，眼睛。处观测树N8的顶端A的仰角为32°：

方案二：如图（2）,测得C地与树4B相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E,眼睛。在镜子

C中恰好看到树的顶端A.

已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度.（结果保留整数，tan32°«0.64）

【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题.

方案一:作DEJ.AB,在RtA/DE中，解直角三角形即可求解；

方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可.

【详解】解：方案一:作DE1AB,垂足为£,

A

，OE=3C=10米,

在RtA4DE中，NADE=32°,

4E=D£-tan32。a10x0.64=6.4（米）,

树的高度为64+1.6=8米.

方案二：根据题意可得NNC8=NOC£,

；ZB=ZE=90°,

AACBSADCE

ABBCQnAB10

••---=---,即----=一

DECE1.62

解得:45=8米,

答：树的高度为8米.

考点二位似

A考向一位似图形

17.（2024•四J11凉山•中考真题）如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为VN8C）平行于投影面时，

在点光源。的照射下形成的投影是△4与G,若。8：84=2：3,则与G的面积是（）

8

A.90cm2B.135cm2C.150cm2D.375cm2

【答案】D

【详解】解：：一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为V/BC）平行于投影面时，在点光源。的照射下

形成的投影是。反股=2:3,

OB_2

一5，

位似图形由三角形硬纸板与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2:5,

三角形硬纸板的面积为60cm2,

邑,/2J4

"⑴25'

△/4G的面积为375cm2.

故选：D.

A考向二坐标系与位似图形

解题技巧/易错易混

位似图形与坐标：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对

应点的坐标的比等于k或-k.

18.（2024浙江.市考黄题）如图，在平面置馅坐标系市，V/2C后A/BC是位似图形，位似吊心五点。若

点-3,1）的对应点为/'（-6,2）,则点8（-2,4）的对应点夕的坐标为（）

【答案】A

【分析】本题考查了位似变换，根据点儿⑷的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换

的性质是解题的关键.

【详解】解:me与是位似图形，点4-3,1）的对应点为H（-6,2）,

...AA'BC与AABC的位似比为2,

.♦.点2(-2,4)的对应点夕的坐标为(-2x2,4x2),即(-4,8),

故选：A.

19.(2024•黑龙江绥化•中考真题)如图，矩形0/8C各顶点的坐标分别为。(0,0),/(3,0),5(3,2),C(0,2),

以原点。为位似中心，将这个矩形按相似比g缩小，则顶点5在第一象限对应点的坐标是()

A.(%4)B.(4,9)C.[1,|]D.[1,|]

【答案】D

【分析】本题考查了位似图形的性质，根据题意3横纵的坐标乘以;，即可求解.

【详解】解：依题意，3(3,2),以原点。为位似中心，将这个矩形按相似比;缩小，则顶点3在第一象限

对应点的坐标是1，：)

故选：D.

20.(2024•山西•中考真题)如图，在平面直角坐标系的第一象限内,A/EC与V/5C关于原点。位似，

相似比为2：1,点N的坐标为(1,2),则点H的坐标为.

【答案】(2,4)

【分析】题目主要考查位似图形的性质，根据位似图形相似及相似比即可得出结果，熟练掌握位似图形的

性质是解题关键.

【详解】解：根据题意，与"8C关于原点。位似，且相似比为2：1,

则CM'=2CM,

•，点/的坐标为（L2）,

则/的坐标为（2,4）

故答案为：（2,4）.

,新题特训/

1.（2024・广东•模拟预测）如图，小明探究课本"综合与实践"板块"制作视力表”的相关内容：当测试距离为

5m时，标准视力表中最大的字高度为72.7mm,当测试距离为3m时，最大的"。字高度为（）

C

A.4.36mmB.27.26mmC.43.62mmD.12.17mm

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解.根据

条件可得万s4/BC,根据相似三角形的性质即可求解.

【详解】解：由题意可得：BC//DF,BC=72.7mm,AB=5m,4D=3m,

^XADFsAABC,

BC_AB

"DF~AD'

当测试距离为3m时，最大的"E"字高度为xmm,

5m=5000mm,3m=3000mm,

,72.75000

"3000'

解得：x=43.62,

,当测试距离为3m时，最大的字高度为43.62mm;

故选：C.

2.（2024・重庆・三模）如图，VN8C与△N4G是以点。为位似中心的位似图形，若。q=g。。，

的面积为1,则VABC的面积为（）

A.1B.2C.4D,8

【答案】C

【分析】本题考查位似图形的性质，根据位似图形的位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方列式求

解即可.

【详解】解：与是以点。为位似中心的位似图形，

s.的UcJ4

S、ABC=4s”向G=4x1=4,

故选C.

3.（2024安徽•模拟预测）如图，VNBC中，£是13的中点，过点E炸ED//BC、交AC于点D,则

与四边形BCDE的面积比是（）

【答案】C

【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质,证明△/助sA^BC并且根据相似三角形面积的比等于

相似比的平方求出与V/2C的面积比是解题的关键.设V42C的面积为沉,由四〃BC证明

△NEZ）s"BC，再由£是48的中点证明△4ED与VABC的面积的比为；,再用含m的式子分别表示

△力£。的面积与四边形BCDE的面积，再求出它们的比即可得到问题的答案.

【详解】解：如图，设V45C的面积为加,

,.，E是4B的中点，

AE=BE=-AB,

2

.AE

\4B~2,

VED//BC,

:.公AEDs小4BC,

一S.ABC[AB]I2J4

.c_lc__L

-b"ED一~^^AABC_4m/

,Q_1_3

•.S四边形BCDE一加一彳加一彳加/

1

—m

]_

。△AED4

3

：.^AED与四边形BCDE的面积比是1:3,

故选：C.

4.（2024云南昆明•二模）如图，已知4=/2,添加下列条件后，能判断A/BC^AADE的是（）

ABBCABAE

A-----=-----B.-----=-----

•ADDEADAC

C./B=/DD.N3=N2

【答案】C

【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据Nl=/2求出=,再根据相似三角形的判定方

法解答即可，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法：两角分别对应相等的两个三角形相似；两边

成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似.

【详解】解：VZ1=Z2,

；.NDAE=NBAC,

AD

A、添加「节二六；，不能判定,此选项不符合题意；

ADDE

ARAT

B、添加”;二弁，不能判定△45CS44QE,此选项不符合题意；

ADAC

C、添加=，利用"两角分别对应相等的两个三角形相似"能判定，此选项符合题意；

D、添加/B=N2,不能判定,此选项不符合题意.

故选：C.

5.（2024•河北唐山•二模）将A/3C的各边按如图所示的方式向内等距缩1cm，得到,有以下结论：

IV/2C与9跖是相似三角形；

IIVABC与GEF是位似三角形.下列判断正确的是（）

A

A.i,n都正确都不正确

c.i正确，II不正确D.i不正确，II正确

【答案】A

【分析】本题考查了位似变换：两个位似图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边

互相平行或共线.

先利用平行线的判定方法得到DE〃/3,EF//BC,DF//AC，再根据平行线的性质得到/即尸=4/C,

NDEF=AABC,从而可判断△ABCs△。所；分别延长BE、CF,它们相交于一点，根据位似的

定义可判断V/8C与9斯是位似三角形.

【详解】解：的各边按如图所示的方式向内等距缩1cm得到血节,

DE//AB,EF//BC,DF//AC,

：.Z1=Z2,Z3=Z4,

AEDF=ABAC,

同理可得：NDEF=NABC,

:AABCSADEF,所以I正确；

分别延长工。、BE、CF,它们相交于一点。，如图，

.•.“8C与AZ组厂是位似三角形，所以II正确.

故选：A.

6.(2024・浙江•二模)如图，点光源。射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平

行的屏幕上，形成影像.已知NB=0.3(dm),点光源到胶片的距离OE长为6(dm),CD长为4.3(dm),

【答案】c

【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用相似三角形的性质

AR°F

解决问题.证明，推出—==；，构建方程求出防即可.

CDOF

【详解】解：-AB//CD,

:.AOABs^ocD,

vOF1CD,

/.OF1AB,

AB_OE

~CD~~OF

,0.36

"43"6+EF'

.•.£F=80（dm）,

故选：C.

7.（2024•广西・模拟预测）若两个等边三角形的边长比是1：2,则它们的周长比是（）

A.2:1B,1:2C,1:3D.1:4

【答案】B

【分析】根据两个等边三角形的边长比是1：2,根据相似三角形的性质计算周长之比即可.本题考杳了三角

形相似的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.

【详解】解：：两个等边三角形的边长比是1：2,

.••两个三角形三边对应成比例，

,两个等边三角形相似，

•••它们的周长比是1：2,

故选B.

8.（2024•云南•模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，V/2C与血亦是以坐标原点。为位似中心的位

似图形，若/（-2,0）。（3,0）,且/C=4,则线段。尸的长度为（）

【答案】A

【分析】本题考查坐标与位似，根据两个位似三角形一定相似，且相似比等于位似比，进行求解即可.

【详解】解：•••VN8C与血节是以坐标原点。为位似中心的位似图形，

AQQA

:.AABCsADEF，且——二——

DFOD

・.・4（-2,0）,。（3,0）,

：.OA=2,OD=3,

.ACOA_2

…而一访一H'

故选A.

9.（2024•山西•模拟预测）如图，小明在横格作业纸（横线等距）上画了个〃x〃，与横格线交于A,B,C,

D,。五点，若线段,B=4cm,则线段C。的长等于（）

AB

A.4cmB.6cmC.8cmD.12cm

【答案】B

【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，过点。作于点E,延长石。交C。于点尸,证明

ARCF

△ABOs双DCO,根据相似三角形的相似比等于相似三角形高线的比可得许=，代入计算即可解答.

C1J（Jr

【详解】解：如图，过点。作于点E,延长EO交C。于点尸，

AEB

/।\

~~C~~F~~D

：.AAEO=90°,

・・•作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，

AZDFO=ZAEO=9（T,

：.OFCD,

vAB//CD,

:.AABOS立）CO,

.AB_OE4_2

..---=----.即—=—.

CDOF'1CD3'

解得：CD=6,

经检验，C。=6是原方程的解且符合题意，

CZ）=6（cm）

故选：B.

k

10.（2024广东模拟预测）如图，在等腰V/O8中，,顶点/为反比例函数y=-（其中x>0）

X

图像上的一点，点8在x轴正半轴上，过点8作BC，OB，交反比例函数y=-的图像于点C，连接OC交AB

X

于点。，若=8,04=4&U,则△2CQ的面积为（）

【答案】C

48

【分析】过点/作/〃口轴于点“，/〃交OC于点£进而求出加/=12,而求出反比例函数的解析y=一,

x

根据易证AO/ffisAOBCQ/DEsAmc,由相似三角形的性质求出掰=3,/£=9,设CD=2x,

则。£=3x,CE=0E=5x,0C=10x,进而求出面积即可.

【详解】解：过点N作，无轴于点H,AH交OC于点E,

y

y

QOA=AB,AH±OB

，

qHBx

：.OH=BH=-OB=,

2

・.・OA=4A/10=>JOH2+AH2,

力〃=12,

，4（4,12）,

，A=4x12=48,

48

y--/

X

Q05=8,

，C（8,6）,

・・・ZH_Lx轴,BC_Lx轴,

AH//BC,

:AOHES八（JBCQADES小BDC,

*EH—OH—OE—\DEAE

''BC~OB~OC~2'CDBC1

0E=CE,

DFqA

EH=3,AE=AH—EH=12—3=9

CD62

设CZ）=2x,贝！J0£=3xiCE=OE=3x,0C=\0xi

CD_1

,•,历—

•q_1c_11Q24

••S.BCD=5S.BCO=-X-X8X6=—/

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数系数上的几何意义，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与

性质，熟练识记这些知识是解题的关键.

11.（2024•陕西西安二模）如图，在以A/8C中，ZABC=90°,E、尸分别为/C、BC的中点，连接跖，H

为/£的中点,过点*作物,交3c于点。，连接。E,则与V/2C相似（不含V/3C）的三角形个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.

由三角形中位线定理可得EF///B,可得△CEFsWB,由有两组角对应相等的两个三角形相似可证

◎BSACDH,可得结论.

【详解】解：•••£、下分别为/C、BC的中点，

EF//AB,

:.△CEFSAC4B,

,/HDLAC,

：.ZDHC=ZABC=90°,

又：zc=zc,

:.ACABSACDH,

故选：B.

12.（2024•河北•二模）手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候

常玩的游戏.在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若

在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（）

A.增加1米B.减少1米C.增加2米D.减少2米

【答案】D

【分析】此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对

应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题.根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质

构建方程求解即可.

【详解】解：如图，点。为光源，N2表示小明的手，CA表示小狗手影，贝（,过点。作,

延长交C。于尸，则O尸，。，

C

。•安三二匚旦----F

万、'、、、

'山

：AB//CD,

AOAB=ZOCD,AOBA=ZODC,

"OBs小COD,

.AB_OE

^~CD~~OF'

・・・跖=2米，。区=4米，贝!9=6米，

.ABOE_2

^~CD~~OF~^'

AB=2k,CD=3k,

・・,在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，

c'

4/

7

c，/E口，

O、------------F

即48=2斤，CD'=6k,△AO'Bs^COD,

,ABO'E'1

CD'_O'F'_3，

则。®=2米，

二光源与小明的距离减少。E-O'E'=4-2=2（米），

故选：D.

二、填空题

13.（2024・广东•模拟预测）学习相似三角形后，小红利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如

图，已知小红的身高是L5米，他在路灯下的影长为2米，小红距路灯灯杆的底部4米，则路灯灯泡距地面

的高度是_________米.

【答案】|9

【分析】此题主要考查了相似三角形的应用.根据已知得