2025年中考数学二轮复习：二次函数中的线段及线段和差倍分最值问题（含答案）

2025年中考数学二轮复习专题：二次函数中的线段及线段和差倍分最值问题

1.如图，抛物线尸-■|x2+bx+c与无轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A坐标为(-

1,0),点B坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点尸是直线BC上方抛物线上一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线3c于点

过点尸作y轴的垂线，垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此时尸点的坐标；若没有最大值，请说明理由.

(3)点M为该抛物线上的点，当NMCB=45°时，请直接写出所有满足条件的点M的

坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx-5(a#0)交x轴于A,C两点，交y

轴于点3,50A=02=0C.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)已知抛物线的对称轴上存在一点M,使得的周长最小，请求出点M的坐标；

(3)连接BC,点P是线段8c上一点，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点Q,求当

四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标.

3.已知抛物线y=-/+6尤+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,点尸为线段0C上一点(不与端点重合)，直线

S,

PA,分别交抛物线于点E,D,设△B4D面积为Si,APBE面积为S2,求一L的值.

(3)如图2,点K是抛物线对称轴与无轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与

抛物线交于点M,N,过抛物线顶点G作直线l//x轴，点。是直线I上一动点.求QM+QN

的最小值.

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+6x+c(°#0)的图象经过原点和点A(4,

0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点8(1,3),与y轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点尸在直线A2上方时，过点P作尸

轴于点E,与直线48交于点。，设点尸的横坐标为机.

①相为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P，使得△2尸。与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请

说明理由.

5.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数y=-2(x-1)2+4的图象与x

9

轴交于A、8两点（点A在点8的左侧），顶点为C.

（1）求A、B、C三点的坐标;

（2）一个二次函数的图象经过8、C、M（r,4）三点，其中该函数图象与x轴交

于另一点。，点。在线段0B上（与点0、B不重合）.

①若。点的坐标为（3,0）,贝!]/=

②求f的取值范围;

③求OD・DB的最大值.

6.已知平面直角坐标系中，。为坐标原点，抛物线y=->1■，+6x+c与无轴交于A,8两点，

与y轴的正半轴交于C点，且8（4,0）,BC=4七

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC,过点P作尸轴于

点。，交BC于点K.记△P8C,△BOK的面积分别为Si,&,求Si-S2的最大值；

（3）如图2,连接AC,点E为线段AC的中点，过点E作斯_LAC交x轴于点尸.抛物

线上是否存在点。，使/QFE=2/OCA?若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理

由.

7.如图1,抛物线y=a（x-h）2+4交》轴于。，A（4,0）两点，顶点为8（2,273）,

点C为。2的中点.

（1）求抛物线y=a（x-h）2+左的表达式；

（2）过点C作C”，OA,垂足为“，交抛物线于点E.求线段CE的长.

（3）点。为线段上一动点（。点除外），在0C右侧作平行四边形OCBD.

①如图2,当点尸落在抛物线上时，求点尸的坐标；

8.如图，抛物线y=/-x+c与x轴交于点A（-1,0）和点3,与y轴交于点C.

（1）求抛物线的解析式;

（2）当0<xW2时，求y=/-尤+c的函数值的取值范围；

（3）将抛物线的顶点向下平移旦个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,

求PA+^PM的最小值.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x-3与x轴交于A（-1,0）,B两点，交

y轴于点C,抛物线的对称轴是直线苫=擀.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作尸。〃尤轴交抛物线于

点、D,作PEL8C于点E,求的最大值及此时点尸的坐标；

2

(3)将抛物线沿射线BC方向平移找个单位，在尸。+匹尸石取得最大值的条件下，点

2

E为点尸平移后的对应点，连接AF交y轴于点点N为平移后的抛物线上一点，若

/NMF-/ABC=45°,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

备用图

10.如图，抛物线y=-/+6x+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点8,

点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求”的最小值;

(3)若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点。，使得以。，M,P,Q为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，直线/与无轴交于点A(6,0),与y轴交于点8(0,-6),

抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

(1)求直线/的解析式；

(2)求抛物线的解析式；

(3)点尸是直线/下方抛物线上的一动点，过点尸作PCLx轴，垂足为C,交直线1

于点。，过点P作尸垂足为求PM的最大值及此时尸点的坐标.

12.在平面直角坐标系中，已知抛物线y=o?+bx+c与无轴交于点A(-3,0),B(1,0)

两点，与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点.

备用图

（2）当点尸在直线AC上方的抛物线上时，连接交AC于点。，如图1,当理的值

DB

最大时，求点尸的坐标及里的最大值；

DB

（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点连结尸C,将△PCM沿直线PC翻折，当

点M的对应点恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标.

参考答案

1.如图，抛物线y=-尤+c与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,点A坐标为（-

3

1,0),点8坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点尸是直线BC上方抛物线上一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线于点

过点尸作y轴的垂线，垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此时尸点的坐标；若没有最大值，请说明理由.

(3)点M为该抛物线上的点，当NMCB=45°时，请直接写出所有满足条件的点M的

坐标.

【解答】解：(1)：抛物线y=-^x2+bx+c与x轴交于A,8两点，与y轴交于点C,点

3

2

A坐标为(-1,点8坐标为(3，0),y=—(x-3)=-1-X+^-X4-2-

ooo

(2)当x=0时，y二—+^x+2=2':•CO2)，

oo

设直线2。为了=乙+2,二3左+2=0,解得k=-|，•••直线BC为y=-1x+2,

设P(x,-^|-x2+yx+2)>D(x,-^-x+2')>

ooo

:・2PD+PE=2(―|-x2-Hyx+2-H|-x-2)+x=-^-x2+5x,当x=7~=-o-^,

33332X(3)可

o

有最大值正，此时p(」2,黑).

16832

(3)如图，以C8为对角线作正方形CTBK,

；・NBCK=/BCT=45°,:・CK,CT与抛物线的另一个交点即为M,

如图，过T作x轴的平行线交y轴于。，过8作BGLTQ于G,贝！JO3=GQ=3,

：.ZCTB=90°=ZCQT=ZQGB,

：.ZQCT+ZCTQ=90°=/CTQ+/BTG,

：.ZQCT=NBTG,9：CT=BT,

:•丛CQT空丛TGB(A4S),：.QT=GB,CQ=TG,

设TQ=GB=m,贝！］CQ=TG=3-m,

.'.Q0—3-m-2—1-m,TCm,m-1),

22

由TC=TB可得加2+(机-3)2=(m_3)+(m-1),

解得1・T仔，设CT为>=加+2，

19

x=

y=+2x=0_p.~2~

解得"=-5,.•.直线CT为y=-5x+2,x,解得或《

y=291

y=-5x+2

1991、丁,」)，C(0,

lir2),B(3,0),正方形CTBK.

M(T'HT2'

224c17

y=^rx々x+2Y=----

K（—,—）«同理可得直线CK为y」10T

x+2)1,解得•117或

225

y=7-x+2

DF

x=0

y=2'

17U7x

，Mu(r10'50)'

综上，点M的坐标为（」工，再）或（」包,

4o50J12

2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x-5QW0）交x轴于A,C两点，交y

轴于点B,5OA=OB=OC.

（1）求此抛物线的表达式;

（2）已知抛物线的对称轴上存在一点M,使得的周长最小，请求出点M的坐标；

（3）连接2C,点P是线段8c上一点，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点。，求当

四边形OBQP为平行四边形时点尸的坐标.

【解答】解：（1）由抛物线的表达式知，。=-5=中,

则O8=5=OA=OC,

则点A、C、8的坐标分别为：(1,0)、(-5,0)、(0,-5),

设抛物线的表达式为：y=a(x-1)(尤+5)=a(/+4尤-5)—ar+bx-5,

则。=1,

故抛物线的表达式为：y=f+4x-5；

(2)点A关于抛物线对称轴得对称点为点C,则8C交抛物线的对称轴于点此时△

的周长最小，理由：

AABMJU=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC为最小,

由点2、C的坐标得，直线BC的表达式为：y=-x-5,

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线尤=-2,

当x=-2时，y=-x-5=-3,

则点M(-2,-3)；

(3)设点P(x,-%-5),则点Q(尤，x2+4x-5),

贝UPQ=(-x-5)-(X2+4X-5)=-x2-5x,

'."PQ//OB,

故当PQ=OB时，满足题设条件,

即PQ=-x2-5x=OB=5,

解得：x=：5土泥,

2___

则点P的坐标为：(心正，圭遮)或(-5《,-5电).

2222

3.已知抛物线y=-/+6x+c与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图1,抛物线与y轴交于点C,点尸为线段OC上一点(不与端点重合)，直线

S,

PA,尸8分别交抛物线于点E,D,设面积为Si,APBE面积为S2,求一L的值.

s2

(3)如图2,点K是抛物线对称轴与无轴的交点，过点K的直线(不与对称轴重合)与

抛物线交于点M,N,过抛物线顶点G作直线l//x轴，点。是直线I上一动点.求QM+QN

的最小值.

【解答】解：(1)把A(-1,0),B(3,0)代入y=-7+bx+c得:

-l-b+c=0解得(b=2,...抛物线的解析式为>=-/+2X+3；

-

k9+3b+c=0Ic=3

(2)设尸(0,p),直线A尸解析式为y=Mx+bi,

-k1+1>1=0fki=p

把A(-1,0),P(0,p)代入得：.,解得：\

,b[=p.b]=p

z

V=DX?，解得卜=-1或产u

直线AP解析式为〉=0尤+0,联立得r"

y=-x'+2x+31y-°[y=-p'+4P

：.E(3-p,-/+4p),同理可得。(Ejl,-鱼生),

93

)=2(-^~+-y--p)=1-(3p-p2)

S=S-S

,,IAABDAABP=2-AB*(yD-yp

2

22=^AABE-^AABP革AB'(yE-yp)=2(--p+4p-p)=2(3p-p2)，

(3)作点N关于直线/的对称点N,连接MN,过M点作于凡如图：

"''y--X2+2X+3=-(x-1)2+4

N1"\、

:'、、'、

，抛物线的对称轴为直线x=l,

y=-7+2x+3i［「：、、、、

：.K(1,0),

,_:二.\Q

设直线MN解析式为y=fcv+d,二

把K(1,0)代入得：k+d=0,

・・d---k,

・,・直线MN解析式为y=fci-k,

设Af(加，-m2+2m+3),N(n,-n2+2n+3),

2

联立‘y=-x=+2x+3,可得/+1-2)x-k-3=0,

y=kx-k

m+n—2-k,mn--k-3,

,：N,N关于直线/：y=4对称，

'.N(n,”2-2“+5),

QM+QN=QM+QNNMN,

■:尸(w,-m2+2m+3),

.".N'F=\m2+n2-2(m+n)+2\,FM—\m-n\,

在RtZkMFN中，

MN'2=MF2+NF2

=Cm-ri')2+[m2+n2-2Qm+n)+2]2

=(m+w)2-4mn+[(m+n)~-2mn-2(.m+n}+2]2

=(2-左)2-4(-k-3)+[(2-E)2-2(-左-3)-2(2-左)+2]2

=/+17后+80,

当人=0时，跖\而最小80,此时MN=4而，

：.QM+QN，4病,

QM+QN的最小值为4、6.

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a/+6x+c(aWO)的图象经过原点和点A(4,

0).经过点A的直线与该二次函数图象交于点2(1,3),与y轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点尸在直线上方时，过点P作PELx

轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m.

①相为何值时线段尸。的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点P，使得△■BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标；若不存在，请

说明理由.

【解答】解：(1)•.,抛二次函数经过。(0,0),A(4,0),B(1,3),

'0=c

，将三点坐标代入解析式得，0=16a+4b+c＞解得：。=-1，b=4,c=0,

3=a+b+c

...二次函数的解析式为：y=-/+4x；•.•直线经过A、B两点，设直线AB解析式为：y

=丘+小.•.将A、8两点代入得4k切，

I3=k+n

解得：k=-\,几=4,・••直线A3解析式为：y=-x+4,

•・•点。是直线与y轴交点，，令兀=0,则y=4,・・・C(0,4).

(2)①,・,点尸在直线A8上方，

・・・0WZ4,

由题知P(m,-m2+4m),D(m,-m+4),

：・PD=yp-yD=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4=-(m-—)2+-,

24

•・•-l<0

当机=5时，PD=2是最大值.

24

②存在，理由如下：

ZPDB=NADE,ZADE=ZACO,

：.ZBDP=ZACO,

「△AOC是直角三角形,

要使△BP。与△AOC相似，只有保证△加£＞是直角三角形就可以.

(I)当△BPDs/vioc时，

VZAOC=90°,

：.ZBPD^90°,

此时8尸〃x轴，B、P关于对称轴对称,

：.P(3,3)；

(II)法一：当△PBDsAAOC时，

01E4\\工

：.ZPBD=ZAOC=90°,

0C=O4=4,

・・・ZBDP=ZADE=ZOAC=45°,

・・・丛BDE为等腰直角三角形，

:・PD=&BD,

由①知PD=-m2+5m-4,

VB(1,3),D(m,-m+4),

BD=V(m-l)2+(-m+4-3)2二加(加一1)

'：PD=y/2BD,

-nr+5m-4=2(m-1),

解得zm=2,”22=1(舍)，

：.P(2,4).

法二：当△P8DS2\AOC时，

：.ZPBD=ZAOC=9Q°,

过B作G//〃y轴，作PG_LG8,作。H_LG;/,

则易证△PGBS^BH。，

.PGBG

••-------二,

BHDH

VPG=m-1,BG=-ir^+Am-3,BH=m-

2

•m-l_m+4m-3

••,

m-1m-l

解得利=2,冽2=1(舍)，

：.P(2,4).

法三：当△尸5Z)S2\AOC时，

：.ZPBD=ZAOC=90°,

：.AB±PB,

VkAC=­L

••RBP~~1,

・,・直线BP的解析式为：y=x+2,

2

联立方程组得y=-x+4x,

,y=x+2

解得：(x=l或卜

\y=3Iy=4

:.p(2,4)

综上，存在点尸使△BPD与△AOC相似，此时尸的坐标为（3,3）或（2,4）.

5.如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，二次函数y=（x-1）2+4的图象与x

轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C.

（1）求A、B、C三点的坐标;

（2）一个二次函数的图象经过8、C、M（34）三点，其中该函数图象与x轴交

于另一点点。在线段上（与点。、8不重合）.

①若D点的坐标为（3,0）,则f=6；

②求f的取值范围；

③求OD,DB的最大值.

【解答】解：⑴•••二次函数y=J(x-1)2+4的图象的顶点为C,

AC(1,4)；

令y=-9(x-1)2+4=0,解得尤=-2或x=4,

9

AA(-2,0),B(4,0)；

(2)①由题知，该函数过点8(4,0),C(1,4),D(3,0),

函数的解析式为：y'=a（x-4）（x-3）,

函数的对称轴为直线x=Z,

2

VC(1,4),M(t,4),

:.点C,〃关于对称轴对称，

•.•-l-+-t_-7,

22

故答案为：6；

②设二次函数的解析式为：y=ax1+bx+c,

将MG,4),C(1,4)两点代入，得at+bt+c=4,

a+b+c=4

.'.a(？-1)+b(r-1)=0,

Wl,

・

••-b--_-t-+-1,

2a2

二次函数图象的对称轴与x轴的交点坐标为(主包，0),

2

,：B,。两点关于对称轴对称，点8(4,0),

:・D(L3,0),

•・,点。在线段03上，且与端点不重合，

t-3>0

，，即3ct<7,

,t-3<4

：t=4时，过点3,C,M三点的二次函数不存在，

：.3<t<l且M4；

③：OD=r-3,DB=Q-t,

：.OD-DB=(/-3)»(7-t).

：.OD'DB^-r+10f-21=-。-5)2+4,

：3<f<7且阜4,

；1=5时，有最大值，最大值为4.

6.已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=-!x2+6x+c与无轴交于A,8两点，

2

与y轴的正半轴交于C点，且3(4,0),BC=4如.

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线在第一象限内的一点，连接尸8,PC,过点P作尸轴于

点。，交8C于点K.记△PBC,/XBOK的面积分别为Si,S2,求$2的最大值；

(3)如图2,连接AC,点E为线段AC的中点，过点E作EELAC交x轴于点F.抛物

线上是否存在点。，使/QFE=2/OC4?若存在，求出点。的坐标；若不存在，说明理

由.

图1图2

【解答】解：(1)VB(4,0),

，05=4,

VZBOC=90°,BC=4&，

0C=VBC2-0B2=4,

：.C(0,4),

把B(4,0),C(0,4),代入函数解析式得:

‘c=4

*12，

—X4+4b+c=0

解得：卜=4,

lb=l

._12”

•,y=-x+x+4；

(2)9：B(4,0),C(0,4),

・•・设直线5c的解析式为：y=kx+4(ZWO),把3(4,0)代入，得：k=-1,

•'•y=-x+4,

__2y

设P(m，^m+m+4)则K(m,-m+4),D(m,0),

1919

,,PK=-—m+m+4+m-4=^_m^+2n,DK=-m+4,DB=4-m,

91119

S-^PK-OB=-m+4ir-SJDK，DB=(-m+4)(4-m)J(4-m)，

12。

Si-S2=-m^+4m-I-(4-m)

1乙N

呼+8m-8

.•.当m普时，Si-S2的最大值为呈；

33

(3)令y=—^X2+X+4=0，解得：尤1=-2,X2=4,

.,.A(-2,0),

VC(0,4),点E为AC的中点，

：.E(-1,2),

•••FE±AC,AE=CE=V(-1+2)2+22=V5，

C.AF^CF,

：.NAFE=NCFE,

设OF=a,则CF=AF=a+2,

在RtZ\C。尸中，由勾股定理，得：a2+42=(a+2)2

.\a=3,

：.F(3,0),CF=5,

VFE±AC,ZAOC=90°,

AZAFE=ZOCA=90°-ZCAFf

①取点E关于x轴的对称点Ei,连接FEi交抛物线于点。1,则：NQ1FE=2NEFA=2

ZOCA,-2),

设PE1的解析式为：y^kix+b,

k

3k,+b=0i4

贝U：4，解得：＞

-k|+b=-2b=4

13

'_13，3“+l「3泥

V^2X^2x=~2~x=~2~

联立＜,解得：（舍去）或，

12.3V5-5-5-3立

y=—x+x+4Iy=^^

czl-3V5-5-3V5

Qi(—^―，-i

②取E关于CP的对称点£2,连接硬2交CF于点G,连接在12交抛物线于点。2,贝U：

ZQiFE=2ZCFE=2ZOCA,EGLCF,

■:CE=^,CB=5,

EF=VCF2-CE2=W^，

7

SACEF=1<F-EG=|€E-EF-

，5EG=2遥X旗，

：・EG=2,

FG=VEF2-EG2=4,

过点G作GW,无轴，则：GH=FG-sinZCF0=4X言芈，FH=FG-cosZCF0=4X-1-手，

2

・・・OH=OF-FHW，

b

，GC|，S

DO

■:E(-1,2),

XEJ(-I)3yE」2」6

2-5‘2飞

3k2+b1=0

三土），设直线E2尸的解析式为：y^k2x+bi,贝!J：，1122,

5k2+bl=—

k2T

解得：

,33

bl~

y=-y]x2+x+4x

f_府+13f13-V^

x=2x=2

解得：「(舍去)或,

-11V69-77-77+11V69

Iy=4-Iy^4—

•c/13^69-77+11V69、

・Q(^^，一4一)；__

理二八z1-375-5-3遥、前八z13^69-77+11倔、

冰上.Qi(—2—，-4)Q2(~~2'4广

7.如图1,抛物线y=a(x-/?)2+左交x轴于O,A(4,0)两点，顶点为8(2,2\^3),

点C为。2的中点.

(1)求抛物线y=a(x-/?)2+左的表达式；

(2)过点C作CHLOA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长.

(3)点。为线段。4上一动点(。点除外)，在OC右侧作平行四边形OCED.

①如图2,当点尸落在抛物线上时，求点尸的坐标；

【解答】解：(1)由题意得：y—a(x-2)~+2'\[3>

将点A的坐标代入上式得：0=。义(4-2)2+2\(3，

解得：a=-返，

2_

抛物线y—a(x-h)2+k的表达式为y--^^-x2+2y[3x；

2

(2)由(1)矢口，y=-返(x-2)2+2A/3.

2

由中点坐标公式得点C(1,加)，

当x=l时，y=-返(X-2)2+2-/3=^^-,

-22

则CE=^H--、巧=逅；

22

（3）①由（2）知，C（1,日），

当y=\/^时，y=-（%-2）2+2A/3=-,/3-

2

贝|］》=2+、/（不合题意的值已舍去），

即点F（2+&，V3）;

②方法一：

设点。（加，0）,则点/（％+1,V3X

过点B作直线/_Ly轴，作点/关于直线/的对称点〃（m+1,3百），连接。F,

则2£>+8尸=3。+8尸'^DF',当。、8、F'共线时，BD+BF^DF'为最小,

由定点尸、。的坐标得，直线DF'的表达式为：y=3j"§（尤-/〃），

将点8的坐标代入上式得：2a=3如（2-777）,

解得：相=4,

3

则点F1（工，3盯），点。（A,0）,

33

则BO+8尸最小值为：DF'=41+（3«）2=2救;

方法二：作点C关于x轴的对称点E（1,-心）,

E

则ACBF咨△OED(SAS),

则BF=DE,

则BO+8F=BZ)+£)E23E,当。、B、E共线时，BD+BF=BE为最小,

则BE=«1+（3«产=2匹；

8.如图，抛物线y=/-x+c与x轴交于点A(-1,0)和点8,与y轴交于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当0<xW2时，求y=/-尤+c的函数值的取值范围;

(3)将抛物线的顶点向下平移旦个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点,

【解答】解：(1)把A(-1,0)代入y=/-x+c得：0=l+l+c,

解得c=-2,

二抛物线的解析式为y=W-尤-2；

(2)Vy=x2-x-2=(x-—)2--,

24

•••抛物线y=/-x-2开口向上，顶点坐标为(工，-旦)，对称轴为直线x=1；

242

V|O-1|<|2-1|,

22

...在0<xW2时，当x=2,y取最大值2?-2-2=0；当x制时，y取最小值尚

/.当0<xW2时，函数值的取值范围是-■|《yW0；

(3)连接过A作于”，交抛物线对称轴直线于P,设直线■交

22

X轴于N,如图：

在y=~-%-2中，令y=0得0=12-X-2,

解得力=-1或x=2,

：.B(2,0),

:*BN=2-」=旦，

22

..•将抛物线的顶点(工，-9)向下平移2个单位长度得到点

244

：.M(-1,-3),MN=3,

2

3__

sin/BMN=现==逅，

BM3M55

2

.P?H_V5

"P7M

JF

：.P'H=^^P'M,

5

，PA+在P'M=PA+PH=AH,

5_

由垂线段最短可知，当尸与尸重合时，E4+近一最小，最小值为A8的长度,

•/2s&ABM=AB・MN=BM。AH,

.^_AB-MN_3X3_675

••1\11r----------f--------f

BM小5

2

/.PA+^PM的最小值为国运.

55

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+6x-3与无轴交于A(-1,0),B两点，交

y轴于点C,抛物线的对称轴是直线彳=

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD//x轴交抛物线于

点。，作PEL8C于点E,求尸。+近的最大值及此时点尸的坐标；

2

(3)将抛物线沿射线BC方向平移遍个单位，在尸。+痣取得最大值的条件下，点

2

尸为点尸平移后的对应点，连接交y轴于点点N为平移后的抛物线上一点，若

ZNMF-ZABC=45°,请直接写出所有符合条件的点N的坐标.

w1

备用图

【解答】解：：抛物线y=a/+6x-3与x轴交于A(-1,0),8两点，交y轴于点C,

抛物线的对称轴是直线尤=$,

2

a-b-3=0

•*,<_b_5_，

2a-2

解得•2,

.,•抛物线的表达式为y=-1?-1x-3；

(2)如图，延长PE交x轴于G,过尸作刊/〃y轴于8,

在y=—%2--x-3中，令y=0得0=—%2-—x-3,

2222

解得：入1=-1,X2=6,

：.B(6,0),

当％=0时，尸-3,

：.C(0,-3),

BC=V32+62=3V5)

轴,

：.ZPHE=ZBCO,

sin/P/ffi=1&=2区,

PH5

:.PE=3豆PH,

5

由8(6,0),C(0,-3)得直线BC为y=^x-3,

设P(x,y^-x-3),则H(x,春x-3)，

19

•'-PH=-yx+3x>

•••抛物线y蒋X2£X-3的对称轴为直线X=1，

：.PD=2(x-9)=2x-5,

2

-2

F'D+^~PE=2x-5+*x_2^5_(蒋+3x)=-^x+5x-5,

：-l<0,

2

:.当x=-------J—=5时，PD+^XPE取得最大值，最大值为生，此时尸（5,-3）；

2X（卷）22

（3）•抛物线沿射线BC方向平移遥个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下

平移1个单位,

新的抛物线为y=2(.t+2)2-9(x+2)-3-1=工？-7,尸的坐标为(3,-4),

2222

如图，当N在y轴的左侧时,过N作NK_Ly轴于K,

得直线AF解析式为＞=-尤-1,

当％=0时，y=-1,

：.M(0,-1),

ZAMO=ZOAM=45°=NFMK,

9：ZNMF-ZABC=45°,

AZNMKU50-ZABC=45°,

・•・/NMK=ZABC,

nrQi

：.tanZNMK=tanZABC=—=—=—,

OB62

设N（n,^n-7）,

.NK=-n=1

=

•*MK1121+7^

-1Tn?+7

解得：或且返（舍去），

22

・••N（月邑5）；

如图，当N在y轴的右侧时，过加作〉轴的垂线MT,过N'作NT_LMT于T,

同理可得NNMT=NA8C,

设N'(x,-^-x2-^-x-7),则T(无，-1)，

1217+1

vxFX-7+11

同理可得：£-------------=±,

X2

-■-x=l+V13或X=1-V13(舍去)，

(1W13.喝7)，

综上所述，N的坐标为(5-后,4-V73)或(1+J女，在二1).

22

10.如图，抛物线y=-/+6x+c经过A(-1,0),C(0,3)两点，并交x轴于另一点8,

点〃是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点。.

(1)求该抛物线的表达式；

(2)若点”是x轴上一动点，分别连接MH,DH,求MH+。”的最小值；

(3)若点尸是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点0,使得以。，M,P,Q为

顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点。的坐标；若不存

在，请说明理由.

【解答】解：(1)•.•抛物线>=-/+bx+c经过A(-1,0),C(0,3)两点,

.f-l-b+c=0

"