2025年中考数学复习专练：二次函数（解析版）

专题12二次函数

考情聚焦

课标要求考点考向

1.会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函考向一二次函数的图象和性质

数的性质；用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y考向二二次函数的图象与系数

=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点的关系

二次函

坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决

数考向三二次函数的最值

简单实际问题；

考向四待定系数法求二次函数

2.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.结合

的解析式

具体情况体会二次函数的意义，能根据已知条件确定二次函

考向五二次函数图象的平移

数的表达式；会利用待定系数法确定二次函数的表达式.

3.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义；会用配考向一二次函数与一元二次方

方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k二次函程

的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，说出图象数的应考向二二次函数与不等式

的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决实际问题.用

考向三实际问题与二次函数

4.能运用二次函数的知识解决综合型问题.

真题透视/

考点一二次函数

A考向一二次函数的图象和性质

廨题技I句易错易温一

1.二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不

等于零.

2.一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化.

3.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与

抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

4.二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与

抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

1.（2024・广东・中考真题）若点（0,%）,（1,%）,（2,%）都在二次函数7=/的图象上，则（）

必B.V2>M>%c.y1>y3>y2D.%>%>%

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解

析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线X=0）,图象的开口向上，在对称轴的右侧/随X的增大而增大,

再比较即可.

【详解】解：二次函数了=V的对称轴为y轴，开口向上，

.•.当x>0时，y随x的增大而增大，

:点（0,%）«，%），（2,玛）都在二次函数了=人的图象上,且0<1<2,

；•

故选：A.

2.（2024・西藏・中考真题）如图，已知二次函数了=加+云+4"0）的图象与》轴相交于点/（-3,0）,5（1,0）,

则下列结论正确的个数是（）

①abc<0

②36+2c>0

③对任意实数m,am2+bm>a-b均成立

④若点（一4,乂），在抛物线上，贝4弘<%

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：抛物线

开口向上，对称轴在>轴左侧，交>轴于负半轴，即可得出。>o,x=-A<o,c<o,从而求出6>o,即

可判断①；根据二次函数与无轴的交点得出二次函数的对称轴为直线工=二万一=T,a+6+c=0①，

9a~3b+c=0®,计算即可判断②；根据当x=-l时，二次函数有最小值。-6+C,即可判断③；根据

卜4-卜1）|>'-曰即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键.

【详解】解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在>轴左侧，交『轴于负半轴，

:・Q>0,x=-----<0,c<0,

2a

：.b>0,

abc<0,故①正确;

;二次函数尸"2+6x+4"0）的图象与x轴相交于点N（-3,0）,5（1,0）,

-3+1

•••二次函数的对称轴为直线工='=-1,a+b+c=0®,9a-3b+c=0@,

由①+②得：10a-2b+2c=0,

2a

b=2a,

5b-2b+2c=0,即%+2c=0,故②错误；

当x=T时，二次函数有最小值a-6+c,

由图象可得，对任意实数加，am2+bm+c>a—b+c,

二对任意实数a,am1+bm>a-6均成立，故③正确；

•••点（-4,必）,在抛物线上，且卜"卜1）|>卜』

必>力，故④错误；

综上所述，正确的有①③，共2个，

故选：B.

3.（2024•四川・中考真题）二次函数了=研2+服+。（。>0）的图象如图所示，给出下列结论：①c<0；

②-2>。；③当T<x<3时，y<0.其中所有正确结论的序号是（）

4

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的

关键.根据图象与y轴交点（0©在了轴负半轴，可得c<o,故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为

尤=T=i，由于对称轴为无=-上，可得一上，故②正确；当-1<工<3时，二次函数图象位于x轴

22a2a

下方，即当-l<x<3,所对应的"0,故③正确.

【详解】解：①当x=o时，kc,根据图象可知，二次函数了="2+区+。（。>0）的图象与y轴交点（0,c）

在了轴负半轴，即c<0,故①正确，符合题意；

②根据图象可知，二次函数〉="2+反+跳。>0）的对称轴是直线x==O=l,即-?=1>0，故②正确，

22a

符合题意；

③根据图象可知，当-l<x<3时，图象位于x轴下方，即当-l<x<3,所对应的"0,故③正确，符合

题意；

综上所述，①②③结论正确，符合题意.

故选：D.

4.（2024福建•中考真题）已知二次函数了=/一2办+〃（"0）的图象经过彳|,了］,8（3。,％）两点，则

下列判断正确的是（）

A.可以找到一个实数。，使得％>«B.无论实数“取什么值，都有%>a

C.可以找到一个实数。，使得<0D.无论实数。取什么值，都有％<。

【答案】C

【分析】本题考查二次函数的图象和性质,根据题意得到二次函数开口向上，且对称轴为尤，顶

点坐标为（〃,“-/）,再分情况讨论，当。>0时，当。<0时，M,%的大小情况，即可解题.

【详解】解：••,二次函数解析式为>=/-2QX+Q（QW0）,

二二次函数开口向上，且对称轴为x=-^^=a，顶点坐标为（。,。一/）,

22

a22

当X=|■时，yl=^--a+a=a--a,

当a>0时，0<|<a,

2

:.a>yx>a-a,

当"0时，a<^<0,

2

a-a<yx<az

故A、B错误，不符合题意；

,当a>0时，0<a<2。<3a,

由二次函数对称性可知，%>。>0,

当a<0时，3a<2“<a<0,由二次函数对称性可知，%>。，不一定大于0,

故C正确符合题意；D错误，不符合题意；

故选：C.

5.（2024新疆•中考真题）如图，抛物线>=一射+6与了轴交于点/,与x轴交于点2,线段CD在抛物

线的对称轴上移动（点C在点。下方），且8=3.当陋+BC的值最小时，点C的坐标为.

【答案】（4」）

【分析】在了轴上取点£（0,3），证明四边形/灰刀是平行四边形，得出4D=CE,利用抛物线的对称性得

iHBC=CF，贝[]4D+3C=CE+CF±EF，当反C尸三点共线时，ND+8C最小，利用待定系数法求出直

线所解析式，然后把x=4代入，即可求出C的坐标.

117

【详解】解：y=-x2-4x+6=-(x-4)-2,

二对称轴为x=4,

如图，设抛物线与x轴另一个交点为F,

当x=0时，y=6,

1,

当>=0时，0=y2_4工+6,

解得玉=2,x2=6,

.•.8（2,0）,尸（6,0）,

在了轴上取点£（0,3）,连接CE,CF,EF,

:.AE=3=CD,

'：CD//AE,

；•四边形/EC。是平行四边形，

:.AD=CE,

••.抛物线对称轴为x=4,

BC=CF,

：.AD+BC=CE+CF>EF,

当E、C、尸三点共线时，ND+8c最小，

设直线跖解析式为了=履+。，

6k+b=0

解得

••y——x+3

2

.•.当/O+3C最小时，C的坐标为（4,1）,

故答案为:（4,1）.

【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之

间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键.

6.（2024・上海・中考真题）对于一个二次函数y=a（x-加）,左（）中存在一点尸廿,），使得

x'-m=y'-k^0,则称2|»-可为该抛物线的“开口大小"，那么抛物线了=一；/+夫+3“开口大小”

为.

【答案】4

【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理

1_1

解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到一5=二1,按照定义求

X—

解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键.

【详解】解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知”左=W-加）2中存在一点P（x'j'），使得

*.*y——xH—x+3

23

.—=一卜2+卜+3中存在_点打刈力，有一厂L，解得x'W=-2，则2,一4=4,

23x--3I3|

•'•抛物线尸-g，+；x+3"开口大小”为4,

故答案为：4.

7.（2024安徽•中考真题）已知抛物线y=-X2+&（b为常数）的顶点横坐标比抛物线v=-x2+2x的顶点

横坐标大1.

⑴求b的值；

⑵点/（%,乂）在抛物线＞=-f+2x上，点3（%+/,%+〃）在抛物线y=-x2+bx.

（i）若h=3t,且%20/＞0，求h的值；

（止）若不="1,求八的最大值.

【答案】（皿=4

⑵（i）3；（ii）?

【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的

性质是解题关键.

（1）根据题意求出J=-%2+2x的顶点为（LI）,确定抛物线y=-x2+bx（b为常数）的顶点横坐标为2,

即可求解；

22

（2＞艮据题意得出必=fj+2x,,yx+h=一（再+0+4（项+0然后整理化简h=-t-2x/+2占+At;

（i）将〃=%代入求解即可；（ii）将西=/-1代入整理为顶点式，即可得出结果.

［详解］（1）解：y=-x2+2x=-（x2-2x+l）+l=-（^-l）2+1,

.•.y=—x2+2x的顶点为（U）,

V抛物线y=f2+云（b为常数）的顶点横坐标比抛物线j=-x2+2x的顶点横坐标大1,

；・抛物线『=*+&（b为常数）的顶点横坐标为2,

..........-=2

"2x（-1）-，

/.h=4;

(2)由(1)得,=-x2+bx=-x2+4r

,・,点在抛物线y=—Y+2%上，点3(再+“1+〃)在抛物线y=――十公上.

必=—'J+2芭，必+为=一(玉+/)2+%项+/),

整理彳导：h——/2—2x,+2修+4t

(i)h=3t,

•*•3t——/—2x/+2再+4，,

整理得：%(%+2再)=%+2%，

V^>0，/>o,

t=1,

h=3;

(ii)>各石=，一1代入/z=—/一2x"+2演+4，,

410

整理得h=—3t9+8z—2=—3(/—y)?+—,

-3<0,

.•.当r=1,即为4时，/,取得最大值为1.

A考向二二次函数的图象与系数的关系

解题技巧/易错易混

二次函数图象的特征与a,b,c的关系

字母的符号图象的特征

a>0开口向上

a

a<0开口向下

b=0对称轴为y轴

bab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧

ab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧

cc=0经过原点

1

c>0与y布正辛蓊相交

c<0与y轴负半轴相交

-----------------------------J

8.（2024・湖北・中考真题）抛物线y=62+旅+。的顶点为（-1,-2）,抛物线与〕，轴的交点位于x轴上方.以

下结论正确的是（）

A.a<0B.c<0C.a-b+c=-2D.b2-4ac=0

【答案】c

【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系.根据二次函数的解析式结合二次函

数的性质，画出草图，逐一分析即可得出结论.

【详解】解：根据题意画出函数y=ax2+bx+c的图像，如图所示：

•••开口向上，与y轴的交点位于无轴上方，

a>0,c>0,

:抛物线与X轴有两个交点，

***A=b2-Aac>0,

:抛物线了="2+加+6：的顶点为（一|,一2）,

・・a—6+c=—2,

观察四个选项，选项C符合题意，

故选：C.

9.（2024•陕西中考真题）已知一个二次函数y=ax1+bx+c的自变量x与函数），的几组对应值如下表，

则下列关于这个二次函数的结论正确的是（

A.图象的开口向上B.当x>0时，y的值随x的值增大而增大

C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x=

【答案】D

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质,先利用待定系数法求得二次函数解

析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可.

4。一26+。=-8

【详解】解：由题意得。=0，解得，

9。+36+c=—3

二次函数的解析式为y=-x2+2x=-（x-l）2+l,

=-1<0,

图象的开口向下，故选项A不符合题意；

图象的对称轴是直线x=1,故选项D符合题意；

当0<x<1时，.］，的值随x的值增大而增大，当久>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符合题意；

•••顶点坐标为（1』）且经过原点，图象的开口向下，

,图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；

故选：D.

10.（2024・四川广元・中考真题）如图，已知抛物线尸a/+6x+c过点C（0,-2）与x轴交点的横坐标分别为

工1,x?,且-1<占<0,2<x2<3,则下列结论：

①。-6+c〈0;

2

②方程ax+bx+c+2=0有两个不相等的实数根；

③a+6>0;

④；

®b2-4ac>4a2.其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】c

【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当尸-1时，

y=a-b+c>0,可判断①,由函数的最小值了<-2,可判断②，由抛物线的对称轴为直线x=-g,且

2a

，可判断③，由尤=1时，y=a-b+c>o,当x=3时，y=9a+3b+c>0,可判断④,由根与

22a2

系数的关系可判断⑤;

【详解】解：①•••抛物线开口向上，一1<再<0,2</<3,

...当尤=-1时，y=a-b+c>0，故①不符合题意；

②；抛物线y=a/+bx+c过点C(0,-2),

二函数的最小值丁<-2,

ax2+bx+c=-2有两个不相等的实数根；

•­•方程。/++c+2=0有两个不相等的实数根；故②符合题意；

③・:一1<西<0,2<x2<3,

,抛物线的对称轴为直线x=,且,

2a22a2

「•1<—<3,而Q〉0.

a

••-3a<b<—ut

二。+6〈0,故③不符合题意；

④：抛物线V=a，+6x+c过点。(0,-2),

c=—2/

时，y=a-b^c>0,

即3〃一3b+3c>0,

当x=3时，y=9q+36+c>0,

「・12。+4c>0,

12a>8,

2

••”>§，故④符合题意；

（5）*.*-1<Xj<0,2<x2<3,

x2-xl>2,

bc

由根与系数的关系可得：X|+X2=—-,xx=—,

ax2a

.b2-Aac_1（bVc

••4〃4义［"a

=：（玉+%2）2一为％2

2

=^［（^+^2）-4.^2］

：.b2-4ac>4a2,故⑤符合题意;

故选：C.

A考向三二次函数的最值

11.(2024.山东日照.中考真题)已知二次函数>+bx+c(aH0)图象的一部分如图所示，该函数图象经

过点(TO),对称轴为直线x=2.对于下列结论：①人<0;②a+c=6;③多项式尔+bx+c可因式

分解为(x+D(x-5)；④当加>-9。时，关于x的方程♦+法+C=加无实数根.其中正确的个数有()

【答案】C

【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，熟练掌握

二次函数图象与系数的关系是解题的关键.①根据图像分别判断。，b,。的符号即可；②将点(1,0)代入

函数即可得到答案；③根据题意可得该函数与x轴的另一个交点的横坐标为5,即可得到

&+fot+c=a(x+l)(%-5)；④由一*=2,a+c=6得至=,c=-5a,将x=2代入函数得y=—9a,

从而推出当〃，＞-9。时,该抛物线与直线了=加的图象无交点，即可判断.

【详解】解：由题图可知。＜0,O0，-:＞0

2a

:.b＞0

abc＜0,故①正确；

当x=ll时，a-b+c=Q，即a+c=6,故②正确；

••二次函数与无轴的一个交点的横坐标为-1,对称轴为直线x=2,

，二次函数与x轴的另一个交点的横坐标为5,

二多项式加+fot+c=4z(x+l)(x-5),故③错误；

.2=2

2a

b=-4a

a+c=b

c=-5a

•・・当x=2时，＞有最大值，即y=4Q+2b+c=4〃-8。-5。=-9a,

当＞-9a时，抛物线y=ax2+bx+c与直线＞=机的图象无交点，

即关于X的方程办2+bx+c=m无实数根，故④正确.

综上，①②④正确.

故选：C.

12.（2024・四川眉山・中考真题）定义运算：a®b=[a+2b）[a-b），例如4③3=（4+2x3）（4-3），则函数

y=（x+1）③2的最小值为（）

A.-21B.-9C.-7D.-5

【答案】B

【分析】本题考查二次函数求最值，根据新定义，得到二次函数关系式，进而利用二次函数的性质，求最

值即可.

【详解】解：由题意得，y=（x+l）02=（x+l+2x2）（x+l-2）=（x+5）（x-l）,

即y=X?+4x-5=（x+2）2-9,

,当x=-2时，函数>=（彳+1）@2的最小值为-9.

故选：B.

13.（2024・四川乐山・中考真题）已知二次函数/=/-2x（74X4FT）,当--1时,函数取得最大值；当

x=1时，函数取得最小值，则:的取值范围是（）

A.0<Z<2B,0</<4C,2</<4D.t>2

【答案】c

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识.熟练掌握二次函数的图象与性质是

解题的关键.

由y=x2-2x=（x-l『-l,可知图象开口向上，对称轴为直线x=l,顶点坐标为，当X=T时，y=3,

即（T，3）关于对称轴对称的点坐标为（3,3），由当产-1时，函数取得最大值；当工=1时，函数取得最小值，

可得1V”1V3,计算求解，然后作答即可.

【详解】解："=x2-2x=（x-l）2一1,

•••图象开口向上，对称轴为直线尤=1，顶点坐标为（1，-1）,

当x=T时，P=3,

（T，3）关于对称轴对称的点坐标为（3,3）,

•••当尤=-1时，函数取得最大值；当》=1时，函数取得最小值,

解得，2<t<4,

故选：C.

14.(2024•四川・中考真题)在完成劳动课布置的“青裸生长状态观察”的实践作业时，需要测量青棵穗长.同

学们查阅资料得知：由于受仪器精度和观察误差影响,〃次测量会得到〃个数据4,出，…，％,如果。与

各个测量数据的差的平方和最小，就将。作为测量结果的最佳近似值.若5名同学对某株青棵的穗长测量

得到的数据分别是：5.9,6.0,6.0,6.3,6.3(单位：cm),则这株青棵穗长的最佳近似值为cm.

【答案】6.1

【分析】根据题意，这些青棵穗的最佳近似长度可以取使函数V=(“-5.9)2+2X(4_6.0)2+2xg_6.3『为最

小值的“的值，整理上式，并求出青棵穗长的最佳近似长度.

【详解】解：由题意，〃与各个测量数据的差的平方和>=("5.9『+2x(°_6.0『+2x(°-6.3)2

=-11.8。+34.81+2。？—24。+72+24——25.267+79.38

—5ci~—61<2+186.19,

-61

a==6.1时，y有最小值,

2x5

二青棵穗长的最佳近似长度为6.1cm.

故答案为：6.1.

15.(2024・广西・中考真题)课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数v=x?+2办+。-3的最值

问题展开探究.

【经典回顾】二次函数求最值的方法.

(1)老师给出。=-4,求二次函数］，=/+2办+.-3的最小值.

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值.记录结果，并整

理成下表：

a-4-2024

X*20-2-4

y的最小值*-9-3-5-15

注：*为②的计算结果.

【探究发现】老师："请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=-〃，就能得到)，的最小值.”

乙同学：“我发现，7的最小值随«值的变化而变化，当«由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜

想的最小值中存在最大值."

(2)请结合函数解析式y=*+2g+。-3,解释甲同学的说法是否合理？

(3)你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由.

【答案】(1)①y=f-"-7;②当x=4时，＞有最小值为-23(2)见解析(3)正确，-'

【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：

(1)①把。=-4代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；

(2)将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；

(3)将一般式转化为顶点式，表示出N的最大值，再利用二次函数求最值即可.

【详解】解：(1)①把。=-4代入y=x?+2ax+。-3,得：

y=x2+2-(-4)x+(-4)-3=x2-8x-7;

•*.y=—8x-7;

2X2

y=x-Sx-7=(-4)-23,

.♦.当x=4时，V有最小值为-23;

(2)：y=尤2+2ax+«-3=(x+a)~-a2+a-3,

:抛物线的开口向上，

•••当尤=-。时，＞有最小值；

•••甲的说法合理；

(3)正确;

•y—x2+2ux+a—3=(x+0〜—ct~+a—3,

.•.当x=-a时，了有最小值为一片+”3,

2_n

即：Nmin="+"3=-

4

:•当时，Wn有最大值，为一］.

A考向四待定系数法求二次函数的解析式

16.（2024・贵州•中考真题）如图，二次函数>="2+乐+。的部分图象与工轴的一个交点的横坐标是-3,

顶点坐标为（T，4）,则下列说法正确的是（）

A.二次函数图象的对称轴是直线x=l

B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2

C.当x<-1时，夕随x的增大而减小

D.二次函数图象与>轴的交点的纵坐标是3

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增

减性判断选项A、B、C,利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D.

2

【详解】解：：二次函数y=ax+bx+c的顶点坐标为（T4）,

,二次函数图象的对称轴是直线x=-1,故选项A错误；

:二次函数了=。/+乐+屈勺图象与》轴的一个交点的横坐标是-3，对称轴是直线x=-l,

♦••二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1,故选项B错误；

:抛物线开口向下，对称轴是直线x=—,

.•.当x<-1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；

设二次函数解析式为尸“X+1)2+4,

把(TO)代入，得0=a(-3+以+4,

解得a=T,

j=-(x+l)2+4,

当x=0时，^=-(0+1)2+4=3,

二次函数图象与)，轴的交点的纵坐标是3,故选项D正确，

故选D.

17.(2024・辽宁•中考真题)如图,在平面直角坐标系中，抛物线了=ax2+bx+3与X与相交于点A,3,点

3的坐标为⑶。),若点。(2,3)在抛物线上，则的长为.

【分析】本题主要考查了待定系数求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练求解二次函数的解析式是

解题的关键先利用待定系数法求得抛物线＞=-—+2》+3，再令＞=0得0=*+2x+3解得％=-1或x=3,

从而即可得解.

【详解】解:把点3⑶。)，点。(2,3)代入抛物线＞=渡+法+3得，

JO=9。+36+3

[3=4。+26+3'

解得[a=-.1’

抛物线y=~x2+2%+3,

令V=°，得0=—X2+2%+3,

解得％=-1或%=3,

・・・4—L0),

故答案为：4

18.（2024・西藏・中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线＞="2+乐+3（0*0）与x轴交于,5（3,0）

（2）如图（甲），设点C关于直线/的对称点为点D,在直线I上是否存在一点P,使*PD有最大值？若

存在,求出血-尸。的最大值；若不存在，请说明理由；

2

⑶如图（乙），设点M为抛物线上一点，连接MC，过点M作儿交直线/于点N.若tanNMCN=],

求点M的坐标.

【答案】⑴y=*+2x+3

（2）PA-PD存在最大值；最大值为V10

（3）点A/■的坐标为（TO）或或（"l。）或（3,0）

【分析】（1）把/（-1，。）,8（3,0）代入抛物线求出。、6的值,即可得出抛物线的解析式；

（2）先求出点C的坐标为（0,3），连接尸C、PD、PA，根据轴对称的性质得出尸。=尸。,PA-PC=PA-PD,

得出当尸/-PC最大时，最大，根据当点4、C、P三点在同一直线上时，尸/-尸。最大，即当点P

在点P时,P4-PD最大,求出最大值即可；

（3）过点M作〃了轴，过点C作CD，DE于点。，过点N作NE1DE于点E,设点M的坐标为：

（加，-加2+2加+3），得出=卜/+2加+3-3卜卜加2+2司,NE-\m-]\,证明ACZM/SAMEN,得出

器=寝=5，从而得出3卜加+2加|=2何-1|，分四种情况：当机4°时，当°＜“V1时，当1〈机V2时，

NEMN311

当加＞2时，分别求出点M的坐标即可.

【详解】（1）解：把/（TO），8（3,0）代入了="2+法+3（./0）得：

]〃-6+3=0

19。+36+3=0'

解得4[a=2—\,

二抛物线的解析式为:y-—%2+2x+3;

(2)解：P/-尸。存在最大值；

把x=0代入.v=-x2+2x+3得：y=3,

二点。的坐标为(0,3),

Vy=-x2+2x+3=-(x-l)2+4,

,抛物线的对称轴为直线x=l,

连接尸。、PD、PA，如图所示：

V点C关于直线I的对称点为点D,点P在直线I上,

PC=PD,

：.PA-PC=PA-PD,

.•.当尸/-PC最大时，PA-PD最大,

；•当点/、C、尸三点在同一直线上时，尸/-尸。最大，即当点尸在点尸'时，尸/-9最大，

:.尸/-最大值为：AC=yJl2+32=710.

(3)解：过点“作切〃了轴，过点。作CDLDE于点D,过点N作NELDE于点E,如图所示：

•:CM工MN,

・•・ZCAW=90°z

八…MN2

..tanZ.MCN=----=—.

CM3

设点M的坐标为：(m,-m2+2冽+3),

DM=|-m2+2m+3-3|=|-m2+2m|,NE=\m

・・•ZCMN=ANEM=ZCDM=90°,

JZDCM+ZCMD=ZCMD+ZNME=90°,

・•・ZDCM=/NME,

:,ACDMSAMEN,

.NE_MN_2

**M7-CA7-3，

,帆7_2

|-m2+2m|3

2|-m2+2m|=3|m-l|

当加W0时,-m2+2m<0，冽一l<0,则：

2m2-4m=3-3m,

3

解得：%=T,加2=5(舍去)，

此时点M坐标为：(-1,0);

当0〈加V1时，一加2+2〃？>0,m-1<0，贝(］：

-2m2+4m=3-3m,

解得：叫=3（舍去），m2=1

此时点M坐标为："1

当1<加《2时，-m2+2m>0,m-l>0,贝［］：

-2m2+4m=3m-3,

3

解得：叫=3,加2=-1（舍去），

此时点M坐标为：;

当加>2时，-m2+2m<0,m—1>0，则：

2m2-4m=3m-3,

解得：叫=3,（舍去），

此时点M坐标为：（3,0）；

综上分析可知：点M坐标为：（TO）或CJ或或（3,0）.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，解

直角三角形的相关计算，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握

相关的判定和性质，注意进行分类讨论.

19.（2024湖北中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线了=--+乐+3与x轴交于点/（TO）和点2,与

y轴交于点c.

⑵如图，M是第一象限抛物线上的点，ZMAB=ZACO,求点”的横坐标；

⑶将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L,Z与了轴交于点N.设L的顶点横坐标为〃，NC的

长为d.

①求”关于〃的函数解析式；

②乙与X轴围成的区域记为u,u与A/BC内部重合的区域(不含边界)记为沙.当d随〃的增大而增大，

且印内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围.

【答案】(1)6=2

Q

⑵点”的横坐标为§

⑶①"=]〃[!〃,或":T);②-Id-G或应

[-n+1(-1<H<1)

【分析】(1)用待定系数法求解即可；

(2)设〃(加,--+2加+3)，作轴于点H,构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于

m的方程求解即可；

(3)①由二次函数平移可得出图象L的解析式为y=-(x-疗+4=*+2〃x-〃2+4,从而得到

CN=d=\-n2+4-3\=\-n2+1|,再分类讨论去绝对值即可；

②根据题干条件得出整数点@1),(0,2),(1,1)，再分别两两进行分类讨论，建立二次函数不等式即可解决.

【详解】(1)解：.:二次函数y=-Y+及+3与X轴交于4-1,0),

.­,0=-1-/>+3,

解得：b=2;

(2)Q6=2,

二二次函数表达式为：y=-x2+2^+3=-(x-iy+4,

令y=0,解得X=-1或x=3,令x=0得y=3,

.•一(-1.0),5(3,0),C(0,3),

+2m+3),

作九轴于点“，如图，

AMAB=ZACO,

/.tanZMAB=tanZACO,即---=---,

'闪AHOC'

.—m2+2m+31

m+13

Q

解得加=§或m=-1(舍去),

o

的横坐标为§；

(3)①。•・将二次函数沿水平方向平移，

二.纵坐标不变为4,

,图象L的解析式为.y=-(x-”)2+4=-x2+2nx-n2+4,

.1.N(0,-+4)f

^d=CN=\-n2+4-3^\-n2+\\,

n2-1(n>-1)

…~[-n2+\(-1<«<1)'

^7f«2-1(n>l^n<-1)—「一，

②由①得[=2),nL画出大致图象如下,

[-n+1(-1<«<1)

"随着〃增加而增加,

/.-\<n<0或〃>1,

A45C中含(0,1),(。，2),(1,1)三个整点(不含边界)，

当U内恰有2个整数点(0,1),(。⑵时,

当x=0时，/>2，当x=1时，％V1,

.卜/+4>2

—\/2<W<V2,〃N1+或〃41-\/3,

-y/2,<7?<1-/

v—1<H<0或〃21,

-147241-；

当U内恰有2个整数点(0,1),(1,1)时，

当x=0时，l<yL<2，当x=l时，为>1,

1<-«2+4<2

"-(1-»)2>1，

〃4-V2V2,1—A/3<??<1+V3,

V2<M<A/3,

-1<7?<0或“21,

••-V2<«<73；

当U内恰有2个整数点(。，2),(1,1)时，此种情况不存在，舍去.

综上所述，”的取值范围为-IV”VI-道或亚V”6.

【点睛】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问

题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及数形结

合法是解题关键.

20.(2024•吉林・中考真题)小明利用一次函数和二次函数知识，设计了一个计算程序，其程序框图如图(1)

所示,输入x的值为-2时,输出〕，的值为1；输入x的值为2时,输出y的值为3；输入x的值为3时，输

出J，的值为6.

(图I)（图2）

⑴直接写出左，。，6的值.

(2)小明在平面直角坐标系中画出了关于x的函数图像，如图(2).

I.当J，随X的增大而增大时，求X的取值范围.

H.若关于x的方程尔+a+3-/=0”为实数)，在0<x<4时无解，求』的取值范围.

III,若在函数图像上有点P,Q(P与Q不重合).尸的横坐标为m,Q的横坐标为-优+1.小明对P,Q

之间(含P,0两点)的图像进行研究，当图像对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，直接

写出m的取值范围.

【答案】⑴左=1，。=13=-2

(2)I:x<Opgx>l;II：1<2或，211;III：-l<m<0pgl</M<2

【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图像与性