2025年中考数学一轮复习专项训练：与圆相关的问题（含解析）

与圆相关的问题一轮复习专项训练-2025年中考数学

一、单选题

1.如图，A3是。。直径，ZAOC=130°,则一。的度数是（）

C.35°D.65°

2.下列命题中真命题的是（）

A.长度相等的弧是等弧B.相等的圆心角所对的弦相等

C.任意三点确定一个圆D.等边三角形的外心和内心互相重合

3.如图，点A,B,C是0。上的三个点，若4403=76。，则NC的度数为（）

33°C.38°D.76°

4.如图，边长为4的正方形。RC的顶点2在。。上，顶点A,C在0。内，Q4的延长线交。。于

点。，则图中阴影部分的面积为（）

B.4万一8C.4万一4D.2万-4夜

5.如图，在扇形AOB中，NAQ3=80。，半径。4=3,。是AB上一点，连接OC，。是OC上一点,

且。D=DC,连接BD.若则AC的长为（）

A,

C

二

兀一兀一兀一

A.-B.-C.-D.兀

632

6.如图，在。O的内接四边形ABCD中，ZB=62°,NACD=39。.若。。的半径为5,则弧CD的

长为（）

7.某学习小组开展测量太阳高度角的数学活动.太阳高度角是指某时刻太阳光线和地平面所成的

角.测量时，假设太阳光线均为平行的直线，地面为水平平面.如图，两竖直墙面所成的二面角为120。，

墙的高度均为3米.在时刻t,实地测量得在太阳光线照射下的两面墙在地面的阴影宽度分别为1米、

1.5米.在线查阅天文资料，当天的太阳高度角和对应时间的部分数据如表所示，则时刻t最可能为

()

太阳高度角时间太阳高度角时间

43.13°08:3068.53°10:30

49.53°09:0074.49°11:00

55.93°09:3079.60°11:30

62.29°10:0082.00°12:00

(参考数据：V21«4.583,tan49.53°«1.17,tan62.29°«1.96tan74.49°«3.60,tan82°«7.12)

A.09:00B.10:00C.11:00D.12:00

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0,3）,点3（2,1）,点C（2,-3）,则经画图操作可知：VABC

的外心坐标应是（）

A.(—2,—2)B.(—2,-1)C.(-1,-2)D.(-1,-1)

二、填空题

9.将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为47rcmz,圆心角。为90。，圆锥的底面圆

的半径为.

10.如图，是。。的半径，弦3CLQ4于点。，连接08,若。。的半径为5cm,的长为8cm,

则AD的长是cm.

11.如图，已知。。的直径AB=2jm,点尸是弦上一点，连接OP,NOPB=45°,PC=1,则

弦2C的长为.

12.在VABC中，AB=AC,O。是VA3C的外接圆，点。是AC上一动点（不与A、C重合），过

点。作AC的垂线，交直线于点E,若N3OC=100。，则NCED的度数是.

A

13.如图，四边形ABCD内接于。。，延长CO交。。于点E,连接BE,若NA=100。，4=60。,

则/OCZ）的大小为'

14.如图，RtZXABC中，ZC=90°,ZCAB=30°,AB=2,□△ABC在直角坐标系尤Oy中运动，其

中，点A,8分别在尤轴负半轴和y轴正半轴上运动，求点C到点。距离的最大值

15.如图，为半圆。的直径，AC=1,BC=6,。为BC的中点，则阴影部分的面积为

16.如图，点C在0O上，直径AB=25,CDLAB,垂足为。，点E是△BCD的内心，AC=15,

点尸在其上，AF=2FC,则斯=.

三、解答题

17.如图，在以点。为圆心的两个同心圆中，大圆的弦A£＞交小圆于点8、C.

(1)求证：AB=CD

⑵当=6时，求大圆与小圆的面积之差.

18.已知锐角VABC内接于0O,点/是VABC的内心，连接卸交。。于点O,过点。作BC的平行

线/.

(1)求证：直线/与。。相切;

(2)若。。半径为5,BC=8.

①连接BOB。，求证：DI=DB；

②直接写出/。的最小值.

19.已知VABC中，ZA=68°.以A3为直径的。。与AC,3c的交点分别为。，E.

图①图②

(1)如图①，求NCED的大小:

(2)如图②，当=时，求/C的大小.

20.如图，VABC中，4=/。=30。，点。是2c边上一点，以点。为圆心、OB为半径的圆经过点

A,与BC交于点D

⑴试说明AC与。。相切；

(2)若。。的半径为2,求图中阴影部分的面积.

21.如图，在VA3c中，NACB=90。，点。是A3边的中点，点。在AC边上，以点。为圆心，OC

为半径画。。，。。与A3边相切于点E,过点A作A/〃CD.

⑴求证：AF是。。的切线；

4

（2）若3c=6,sinB=-,求。O的半径及。。的长.

22.我们在八年级上册曾经探索：把一个直立的火柴盒放倒（如图1）,通过对梯形A8C,。面积的不

同方法计算，来验证勾股定理.a&c分别是RtZVIBE和Rt^CDE的边长，易知怎，这时我

们把关于x的形如a?+05+6=0的一元二次方程称为“勾氏方程”.

图1图2

请解决下列问题:

⑴方程f+2无+1=0（填"是"或'不是"）“勾氏方程”;

⑵求证：关于x的“勾氏方程"ax?+y[2cx+b=0必有实数根；

⑶如图2,0。的半径为10,A&CD是位于圆心。异侧的两条平行弦，AB=2m,CD=2n,m丰n.若

关于x的方程md+lO&x+〃=0是“勾氏方程"，连接ODOB,求的度数.

参考答案:

题号12345678

答案BDCBBCBB

1.B

【分析】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握直径所对的圆周角为90度，同弧所对的圆周角

是圆心角的一半.

连接A£),得出N3/M=90。，ZADC=-ZAOC=65°,即可解答.

2

【详解】解：连接AD,

：A3是。。直径，

ZBZM=90°,

•?ZAOC=130°,

ZADC=-ZAOC=65°,

2

，ZBDC=ZBDA-ZADC=90°-65°=25°,

故选：B.

2.D

【分析】本题考查了真命题以及圆心角，弧，弦等概念，根据圆的相关定义和性质进行判断即可.

【详解】A.能够完全重合的弧是等弧，故本选项不符合题意；

B.在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弦相等，故本选项不符合题意；

C.不在同一直线上任意三点确定一个圆，故本选项不符合题意；

D.等边三角形的外心和内心互相重合，故本选项符合题意，

故选：D.

3.C

【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧

所对的圆心角的一半.直接根据圆周角定理即可得到结论.

【详解】解：=ZAOB=76。，

：.NC=38°,

故选：C.

4.B

【分析】本题主要考查求不规则图形的面积，掌握扇形的面积公式，是解题的关键.根据正方形的性

质和勾股定理得。。的半径为4点，结合扇形与三角形的面积公式，即可得到答案.

【详解】解：连接03,如图所示：

:四边形O4BC是正方形,

N3OD=45°,

:正方形Q4BC的边长为4,

OA=AB=4,

OB=yJo^+AB2=40，

即：。。的半径为40,

.45x%x(4⑸1

..S阴影=S扇形OBD-SQB=]x4x4=47一8，

故选：B.

5.B

【分析】本题考查了垂直平分线的性质，弧长公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键.

连接3C,根据垂直平分线的性质得BC=QB,可得△Q3C是等边三角形，求出NAOC=20。，再根

据弧长公式计算即可.

【详解】解：如图，连接5C,

♦：OD=DC,BDLOC,

BC=OB,

：OB=OC,

s.^OBC是等边三角形,

:.ZBOC=60°,

・・・NAQB=80。，

:.ZAOC=20°,

,,,,、r20TIX3兀

FC的长为E=g，

故选：B.

6.C

【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接AO,CO,。。，根据圆周角定理可知

ZAOC,ZAOD,即可求出NCOD,再根据/=誓得出答案.

180

【详解】连接AO,CO,。。，

,.・ZB=62°,ZACD=39°9

：.ZAOC=2ZB=124°,ZAOD=2ZACD=78°,

・・・ZCOD=ZAOC-ZAOD=46°,

,-Qi,,n兀R467rx523%

・,•弧CD的长为/=——=------=——

18018018

故选：C.

7.B

【分析】设两竖直墙面的交线为点E被太阳照射在地面上的影子为点8,点A、。分别是点B

在两条墙角线上的射影，连接AC、BD、BE,过点C作CF,四于点R由题意可知ND5E就是

太阳的高度角，解直角三角形求出5分=5Cxcos60o=lx[=0.5（米），CF=BCxsin60°=lx^=^

222

（米），根据勾股定理求出AC=J。△+人心=（米），证明A、B、C、。四点共

圆，且3。为中点，取3。的中点。过点。作OGLAC于点G,连接Q4,OC,解直角三角形得

也r)F33721

AG4tanNDBE=—1.96

出。A=（米），求出BD7217得出=62.29。,

sin6005/36

3

2

即可得出答案.

【详解】解：如图，设两竖直墙面的交线为。E,点E被太阳照射在地面上的影子为点8,点A、C

分别是点B在两条墙角线上的射影,连接AC、BD、BE,过点C作C5_LAB于点尸，由题意可知ZDBE

就是太阳的高度角，

E

ZABC=360°-90°-90°-120°=60°,

VCF1AB,

ZCFB=90°,

：.BF=BCXCOS60°=1XA=O.5（米），

2

CF=BCxsin60°=lx^=—（米）,

22

：.AF=AB-BF=1.5-0.5=l（米），

.•公斤许=周==1（米），

NBAD=NBCD=90P,

.♦.A、B、C、。四点共圆，且为中点，

取3。的中点。，过点。作OGLAC于点G,连接。4,OC,

则=AG=CG=，AC=也米，ZAOC=2ZABC=120%

24

u：OA=OC,OG.LAC,

：.ZAOG=-ZAOC=60°,

2

'-OA=1^=^I

O

2

：.BD=20A=—^,

3

.tanZ£>5£=—=«1.96

••BD屈】

亍

Vtan62.29°«1.96,

NDBE=62.29°,

根据表格中的数据可知：时刻/最可能为10:00,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，四点共圆，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题

的关键是作出辅助线，熟练掌握三角函数的定义和圆的性质.

8.B

【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由VA3C的外心即是三角形

三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与8C的垂直平分线，两垂线的交点即为

VABC的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点.

【详解】解：如图，

：VMC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点,

•••分别作AB与BC的垂直平分线，两垂线的交点O'即为VABC的外心,

根据坐标可得：O'(-2,-1),

故选：B.

9.1cm

【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键.先根据扇形面

积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可.

【详解】解：设扇形的半径为Rem,弧长为/cm,

2

百日有上〃曰90KxR

由题忌得：-------=4兀，

360

解得：R=4(负值舍去)，

则LX4=4I,

2

解得：I=21,

・・・圆锥的底面圆的半径为：2i+(2i)=l(cm),

故答案为：1cm.

10.2

【分析】此题主要考查了垂径定理和勾股定理.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的

两条弧.根据垂径定理可得3。的长，根据勾股定理可得8,再进一步可得答案.

【详解】解：・・・Q4是。。的半径，弦于点。，

BD=-BC=-x8=4cm,

22

/.OD=yjOB'-BD1=V52-42=3(cm),

AD=（M-OD=5-3=2（cm）；

故答案为：2.

11.6

【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是

解此题的关键.过。作OD,3c于。，求出NPOD=NOP3=45。，根据等腰三角形的判定得出

PD=OD,设PD=8=x,则根据垂径定理得出BD=CD=x+l,然后根据勾股定理求出了即可.

【详解】解：过。作QD1BC于D,则NODP=NOD3=90。，

ZPOD=ZOPB=45°,

PD=OD,

^PD=OD=x,

,：直径AB=2^/13，

OB=OA=>/i3,

vODLBC,QD过圆心O,

•.BD=CD,

・•.PC=1,

BD=CD=x+lf

在RtAOL■中，由勾股定理得：BD2+OD2=OB2,即（元+1）2+/=13,

解得：％=2或%=-3（不符合题意，舍去），

BD=CD=2+1=3,

..BC=BD+CD=3+3=6,

故答案为：6.

12.250/25度

【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆

中，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键.由圆周角定理可知/54C=50。，再由等边

对等角的性质，得到NABC=NACB=65。，然后结合三角形内角和定理求解即可.

【详解】解：■.■ZBOC=im°,

ZBAC=-ZBOC=50°,

2

\AB=AC,

•.•DE±AC,

\?CDE90?,

/.ZCED=180°-ZCDE-ZECD=25°,

故答案为：25°.

13.50

【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关

键.根据圆周角定理得到N£BC=90。，求出NBCE,根据圆内接四边形的性质得到

ZBCD=180°-ZA=80°,计算即可.

【详解】解：•・,EC是。。的直径，

・•・Z£BC=90°,

又NE=60。，

：.ZBCE=90°-ZE=30°,

•・•四边形A5C。内接于。O,ZA=100°,

ZBCD=1SO°-ZA=80°,

・・・ZOCD=/BCD-/BCE=50°,

故答案为：50.

14.2

【分析】本题考查隐圆问题，直角三角形斜边中线的性质.取A3的中点O,连接C。、OD,由直角

三角形斜边中线等于斜边的一半可得CD=AD=BD^OD=\AB=\,进而可得点A、。、8、C在以A3

为直径的。。上，可知当OC为O。的直径时取最大值.

【详解】解：取A3的中点。，连接C。、OD,

■■ZC=ZAOB=90°,AB=2,

CD=AD=BD=OD=-AB=1,

2

.,•点A、0、B、C在以A3为直径的。。上，

OC为。。的一条弦，

・•・当OC为0。的直径时取最大值，最大值为2,

即点C到点。距离的最大值为2,

【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角的性质，等腰三边角形的判定与性质，勾股定理，扇形

的面积公式，解答本题的关键要明确求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面

积.

连接。C,得出SAACD=，从而可知阴影部分的面积为S扇形AOC.

【详解】解：・.,至为半圆。的直径，

..ZACB=90°f

VAC=1,BC=6，

=,俨+(⑹2=2,

,\AO=CO=AC=lf

.•.△AOC是等边三角形,

.*.ZAOC=60°,

连接oc,

•・・。为5c的中点,

__60%xl2_

、阴影=3扇形AOC=一痛°一=%'

JT

故答案为：—.

6

16.765

【分析】连接E4、EB、EC、ED,作EM_LCD于M,EHLAB于H,EG_LBC于G,ENLAC

于N,由圆周角定理得出NACB=90。，由勾股定理得出3C=20,由等面积法得出CZ)=12,由勾股

定理得出8Q=16,由角平分线的性质定理得出==结合凡比。=$加郎+S/CE+S#CE，

求出GE=EH=4,由题意得出FC=；AC=5,证明四边形GENC为矩形，得出CN=GE=4,推出

NF=\,再由S/XABC=+SAACE得出NE=8,再由勾股定理计算即可得解.

【详解】解：如图，连接后4、EB、EC、ED,作石MJ_CD于M,EH_LAB于H,EG上BC于G,

：.ZACB=90°,

・•・BC=VAB2-AC2=7252-152=20，

SARC=—BC-AC=—x20x15=150z,5=—AB-CD,

△ADC22ZA-A/IDC2

BD=ylBC2-CD2=V202-122=16，

•1•SR=ggCD=；xl6xl2=96,

:点E是ABCD的内心，

:•ED平分NCDB,EB平分2C54,EC平分/DCB,

EHrAB,EGIBC,

：.EH=EG,

同理可得EM=EG,

EM=EG=EH,

=

,SABCDSADBE+S&BCE+SGCE，

：.-BD-EH+-BCEG+-CDME=96,

222

.,.-xl6EH+-x20EH+-xl2EH=96,

222

:.EH=4,

：.GE=EH=4,

9

：AF=2FCf

：.FC=-AC=5

3f

'：EG±BCfENLAC,ZACB=90°,

・•・四边形GENC为矩形，

:.CN=GE=4f

：.NF=CF-CN=5-4=1,

•S2XASC=S^ABE+S/XBCE+^AACE，

：.-xABxEH+-xBCxEG+-xACxNE=15Q

222f

A-x25x4+-x20x4+-xl5x^E=150,

222

:・NE=8,

•*-EF=dNF?+N必=6+82=屈,

故答案为：^65.

【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、

等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

17.(1)见解析

⑵67r

【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键.

(1)过点。作于点E,利用垂径定理可得钻=DE,BE=CE,即可证明Afi=Cr＞；

(2)连接。4、OB,作OELAD于点E,根据垂径定理得3E=CE,AE=DE,再根据圆的面积公

式，勾股定理和平方差公式计算即可.

【详解】(1)证明：如下图，过点。作OELAB于点E,

则=BE=CE,

：.AE-BE=DE-CE,

即AB=CD；

(2)解：如图，连接。4、OB,作OEJ_AD于点E,则3E=CE,AE=DE,

大圆与小圆的面积之差为：7TOA2-7TOB2

=7T(OE2+AE2)-7T(OE2+BE2)

=7T(OE2+AE2-OE2-BE2)

=TT(AE2-BE2)

=TT(AE+BE)(AE—BE)

=TT(DE+BE\AE-BE)

=兀.AB•BD

=671.

18.(1)证明见解析

(2)①证明见解析；②/0的最小值为5-26

【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，垂径定理，三角形内心的性质，

三角形的外角，即可.

(1)连接根据题意，三角形外心的性质，则AD平分-3AC,根据圆的基本性质，则2〃=。。，

根据垂径定理，则根据平行线的性质，则QD，/,即可；

(2)①连接皿，根据题意，三角形外心的性质，则由平分/ABC,贝|ZAJ5/=NCB/,根据三角

形外角和，则=+ZIBD=ZCBI+ZCBD,根据圆的基本性质，即可；②设OD

与BC交于点E,连接08,根据勾股定理，求出0E,BD,以点。为圆心，5D为半径画。。，连

接。。交。。于点厂，在AOD/中，0/>0D-D/,①，根据/则/点的运动轨迹为。。，当/

点在「时，存在最小值，OF=OD-DI',②,联立①②，即可.

【详解】(1)解：连接QD,

:点/是VA3c的内心，

平分NBAC,

/BAD=NCAD,

BD=DC>

工点D是BO的中点，

OD±BC,

:直线/〃BC,

ODLI,

直线/与。。相切.

(2)①连接现，

由(1)得，ZBAD=ZCAD,

所对的圆周角为NCBD,ACAD,

：.2CBD=NCAD,

ZBAD=ZCBD=ZCAD,

:点/是VABC的内心，

，3/平分—ABC,

：.ZABI=ZCBI,

"：ZBID=ZABI+ABAD,NIBD=ZCBI+ZCBD,

:.NBID=NIBD,

:.DI=DB；

②设0。与2C交于点E,连接08,

由（1）得，OD±BC且BE=CE,

半径为5,BC=8,

：.OB=5,BE=4,

OE=^OB2-BE2=3>

，DE=2,

:直线/与。。相切,

BD2=BE2+DE2，

：.BD=2A/5;

以点。为圆心，3D为半径画。。，连接O。交。。于点1,在A。。/中,OI>OD-DI,@,

,:DI=DB,

点的运动轨迹为0。，

当/点在/时，/0存在最小值，OF=OD-DI；②;

联立①②，^OI>OD-DI=5-1^5,

/0的最小值为5-2行.

A

19.(1)68°

(2)56°

【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，“弧，弦，圆周角”之间的关系，直径所对的圆周角是

直角，对于(1),根据圆内接四边形对角互补得出N3石D,进而得出答案；

对于(2),连接根据“弧，弦，圆周角”的关系得出==再根据“直径所

对的圆周角是直角”得出NAEB=90。，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案.

【详解】(1)解：:四边形ABED是圆内接四边形，

・•・ZA+ZDEB=180°.

NA=68。，

:.ZDEB=U2°,

：.ZCED=180。—112。=68。；

(2)解：连接A。

,:DE=BE,

：./BAE=/DAE=-ZBAC=34°.

2

AB是O。的直径，

・•・ZAEB=90°.

在Rt~4CE中，ZC=90°-34°=56°.

20.(1)见解析

(2)2V3-y

【分析】本题主要考查切线的判定、勾股定理、扇形面积的计算等知识点，正确作出辅助线是解题的

关键.

(1)连接Q4,根据题意可得出NC4O=90。，从而可判断出直线C4与。。的位置关系；

(2)根据图中阴影部分的面积等于ACMC的面积-扇形。4。的面积”即可求解.

【详解】(1)证明：连接。4,

在。。中，OA=OB,

：.ZB=ZBAO=30°,

又,:ZB=ZC=30°,

ABAC=180°-30°-30°=120°,

，/CMC=120°-30°=90°,

即。1_LAC,

又：点A在。。上，

AC与。。相切；

(2)解：:。。的半径为2,

04=2,

又：NC=30°,ZOAC=90°,

：.OC=4,AC=2A/3,ZAOC=60°,

160TTX4

2X2A/3-

S阴影=—X=2

2360^-f

21.(1)见解析

(2)r=3,OD=V10

【分析】(1)连接OE,作OGLAF,根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得到CD=AD,进而

得出/ACD=/C4D,再利用平行的性质得到NE4C=NACD,从而得到NCW=Nfi4C,推出AC平

分NFAD,最后利用角平分线的性质得到OE=OG,即可证明结论；

4

(2)根据sin3=g,可设AC=4x,则AB=5x,利用勾股定理求出x=2,得至ljAC=8,AB=10,

设。。的半径为『，贝3=°』,根据A—得到募条即可

求出。。的半径.由勾股定理求出AE长，继而求出。E长，由勾股定理即可求出。。长.

【详解】（1）证明：连接OE,过点。作OGLAF交AF于点G,

•.•NACB=90°,点。是边的中点,

:.ZACD=ZCAD,

■.■AF//CD,

:.ZFAC=ZACD,

:.ZCAD=ZFAC,

.〔AC平分NEW,

•点。在AC边上，OE1AB,OGLAF,

:.OE=OG,

•••OE是。。的半径，

；.OG是0O的半径，

.•.AF是。。的切线；

4

(2)解：,,•sinB=w，ZACB=90°,