2025年中考数学复习巩固练习：分式（含解析）

2025年中考数学一轮复习专项巩固练习03-分式

一、单选题

X-1

1.当X为何值时，分式"有意义（）

A.V<-1B.x>-lc.x*-1D.1.*1

3

y=

2.在函数Jk+4中，自变量x的取值范围是（）

A.v*»-2B.i>一2C.xK-2D.V>-2

3.下列各式，是最简分式的是（）

(a+b)(a-b)2a3

A.B.(a+hC.abD.6K

42a

4.计算a-2a-2的结果是（）

4-2a

A.a—2B.-2C.2D.4

5.若把'J的值同时扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是（）

xy(x+J)，x+3x-3

A.3.r+3rB.X2C.J+3D.r-3

11

6.已知a+b♦工曲=?,贝Uab的值是（）

2_3_£

A.2B.2C.3D.3

7.某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的。倍，乙队独做所需天数是甲、丙两队合做

111

+-+,

所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的C倍，则4+1b+1C+1的值是

()

A.1B.2C.3D.4

XX

8.已知代数式K+1,第一次操作将1+1作为新的元代入K+1中化简后得到新的式子记为2.V+1,第

XX

二次操作将幼+1作为新的x代入F中化简后得到新的式子记为"

4x+l,第三次操作将4K+1作为新

的X代入竹中化简后得到新的式子月…以此类推重复上述操作，以下结论中正确的有（）

5=

①

^<x<l87<：+g+：<90

②若2,贝i]E久月

③不存在整数X使得E的值为负整数.

A.。个B.1个C.2个D.3个

二、填空题

V■+1X

9.函数"1-'中，自变量X的取值范围是—.

10.若a和6互为倒数，贝八刃1刀的值为—.

1+1_33x-2x),+3j

ii.已知三F-，则分式一币一的值为—.

d21

，41c3力-1一加+---

12.已知加--6加-1=0,那么加一的值是—.

13.已知犬-31+1=0,则[+/—-的值为.

14.某工厂供暖房有煤260吨，原计划可用加天.采取节能措施后，这些煤可比原来多用九天.那么，相

比节能以前，节能后每天少用煤吨.

x+5乂_B

15.已知(x+l)(x-3)x+1x-3,则月=—,B=—.

„tiir-i_rr~1~~r,ii

16.设Vr2-v2-3-V3-4-V2024-2025",则与S最接近的整数是—.

三、解答题

17.先化简，再求值：

(1)0-1a-\,其中1.2；

2r:-x(x+1+]]

⑵厂-4G--),其中x=-3.

18.我市地处“世界三大黄金玉米带”之一的核心种植区，为了提高玉米收割效率，计划引进甲、乙两种类

型收割机.

(1)若相同时间内，1台甲型收割机能收割100公顷地，1台乙型收割机比1台甲型收割机能多收割20公顷

地.1台乙型收割机比1台甲型收割机每天多收割08公顷地，求甲、乙两种类型收割机每台每天收割的

玉米地各是多少公顷.

(2)1台甲型收割机每天可以收割a公顷地，1台乙型收割机每天可以收割。公顷地，(其中awA).现在

要收割一块面积为S公顷的玉米试验田，有两种收割方案：

方案一：一半的面积由1台甲型收割机收割，另一半的面积由1台乙型收割机收割；

方案二：完成整个收割工作的前一半时间由1台甲型收割机收割，后一半时间由1台乙型收割机收割.

①方案一所用时间是天；

方案二所用时间是天(用含。、5、s的式子表示)

②请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由.

19.阅读材料：

小明在做分式运算时发现如下几个等式,

x+2x+111

x+3r+2x+2x+3；①

r+3r+211

K+4r+3r+3x+4；②

x+4x+311

r+5x+4r+4x+5；③

小明经过思考写出了第①个等式的证明过程：

x+2x+1x+3-1r+2-11111

——■[—■[+—

x+3x+2x+3x+2x+3x+2x+2x+3；

解答下列问题：

(1)第⑤个等式是；

⑵第九个等式是；

⑶请你证明第"个等式成立.

20.阅读下列解题过程：

X_1x'

已知丁+1=1,求广+1的值.

X1xz+1,1.

，,，■一c"3x+—■3

解：由：V-+13,知X**。，所以x，即X.

/1

.•.、'+1的值为7的倒数,即7.

以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒

数法“，请你利用"倒数法''解决下面问题：

X11

⑴已知十一K+l2,贝丁K.

[)m=3

I3加+2n

I)m=5

⑵解分式方程组：l2m+3〃

9i『二一3K,R

,■I■—-----------=J

⑶已知K+J,J+二8,二+X,求V+J：+G的值.

参考答案

1.C

【分析】本题考查了分式有意义的条件：分母不等于零.直接利用分式有意义的条件解答即可.

X-1

【详解】解：要使分式E有意义，

解得：

故选：C.

2.B

【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件等知识点，掌握分式和二次根式有意

义的条件是解题的关键.根据分式和二次根式有意义的条件列不等式求解即可.

3

y=

【详解】解：•••’A+4,

.-.2.v+4>0,解得：x>-2.

故选：B.

3.A

【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没

有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式.根据最简分式的定义逐项分析即可.

【详解】解：A.9是最简分式；

(a+d)(a-d)_a-b

B.(a+匕)：a+b,故不是最简分式；

也=2.

C.~ab=b,故不是最简分式；

3_1

D.6?=27,故不是最简分式；

故选A.

4.B

【分析】本题主要考查了同分母分式加减法.根据同分母分式加减法法则进行计算即可.

42a

【详解】解：口一口

4-2。

=a-2

-2(a-2)

-a-2

=-2.

故选：B.

5.B

【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，逐项判断即可求解.

3、$生P_09

【详解】解：A.3x3.v+3x3r9x+9yx+y3x+3j,故该选项不符合题意；

(3r+3j)29x2+18xr+9r9(x+j>(x+j)2

B.9x'9r*,故该选项符合题意；

3K+3*K+3

c.3r+3r+3,故该选项不符合题意；

3K-3r-3

D.3y-37^3,故该选项不符合题意；

故选：B.

6.A

11=。+。

【分析】本题主要考查了分式的求值.根据一而,然后整体代值计算即可.

【详解】解:•.•a+b=3,ab=2,

_1+1—・a+d,■3_

：.abab2,

故选：A.

7.A

【分析】本题考查了分式方程在工程问题中的应用及分式的加法运算，分别设出甲、乙、丙单独做完成工

程所需天数，利用工作时间-工作总量+工作效率解答即可.

【详解】解：设甲、乙、丙单独完成这项工程各需X天、y天、Z天,

•••甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的。倍，

x)'+xz,+rr+x:

a=-----,a+l=---------

由此得出J二y=,

1

■■.yz

1_u1甲’

____=___=_________

同理可得b+l1T+J-+XS,C+19+1二+二；

111yzxzrpxr+rz+xz,

所以a+1b+1c+1xr+rz+nri'++XT+rz+rzw+rz+xz

故选：A.

8.C

【分析】本题主要考查了分式的加减法，除法运算，依据题意，根据所给信息逐个求出耳‘月’见理,

然后按照分式的加减法法则进行计算，即可判断得解.

F'.-L-

【详解】解：由题意，•••-4X+1,

4x+lx

4x8r+l

—2—4-1

4X+1，故①错误.

F=-2—F=—2—

7M532x+l,'64.V+1.

111

一+一+—汕+—吧=々=84+」

XXXXX

1,

-<X<1

87<S4+l<9087<—+-1-+2.<90

x，即也@5,故②正确.

32x+lS(4x+l)-7

-明-=-京----，-=------=----------

式x4r+l4r+l"El

32x+l

耳

又若整数尤使得网为整数,

.•.4K+1=-7.

;此时,再为15.

K

・•.不存在整数X使得工的值为负整数，故③正确.

综上，正确的有②③共2个.

故选：C.

9.X＜1

【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据被开方数大于或等于0,分母不等于0,可以求出X的范

围.

【详解】解：在函数17中，

解得工＜1,

故答案为：工＜1.

10.2

【分析】由。，b互为倒数得到面=1,分式计算整理后将面=1整体代入求值即可.

此题考查分式的化简求值、倒数的概念，正确计算分式的加法是解题的关键

【详解】解：x和b互为倒数，

.-.ab-1,

(a+^^-^j=2ad-l+2--=2-1+2-1=2

故答案为2.

7

11.3

【分析】本题考查的是分式基本性质运用.分式的求值，熟练运用分式基本性质是关键.把条件化为

T+J=八丁，再整体代入计算即可.

11,

—+—=3

【详解】解：尸F，

...K+J=3XT;

3x-2xj'+3r3(x+j)-2xy9x)'-2x)'7x)'7

・•・x+jx+r3v3xy3.

7

故答案为：3

12.40

【分析】本题考查了代数式求值，熟练掌握等式性质及完全平方公式是解题的关键.

刑2+1_3S

先根据题意得出疝-6切=1,'方=,再代入代数式计算即可.

【详解】解：

-6-,0

3加-12m+L

・•・力

-)n2+--+2(m2-6)»)

nr

-38+2x1

-40,

故答案为：40.

13.6

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，通过对完全平方公式变形求值，求一个数的算术平方根等知识

x+!=3

点，将犬-3x+l=0变形为.x是解题的关键.

,x+—=3fx+—1-9%*—2+—=5

先将丁-3x+l=0变形为x,进而可得IV,然后展开，得到V,再两边求算术

平方根即可.

【详解】解：-.-x-3.V+1-0,

x-3+—=0

•••x,

X

故答案为：6.

<260_260)

14.【-"»+nJ

【分析】本题考查了分式的加减运算，难度不大，正确理解题意、熟练掌握分式的加减运算法则是关

键.用原来每天的用煤量减去节能后每天的用煤量即可.

【详解】解：由题意可得，

(260260]

节能后每天少用煤：嬴

(260_260)

故答案为：[市冶

15.—1—2

【分析】根据分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出A与8的值.

本题考查分式的加减运算则、二元一次方程组的应用等知识点，解题的关键是正确求出A与8的值.

A____B_

［详解］解:3一

_2(i-3)-B(x+l)

(r+l)(x-3)

_Ax-3A-Bx-B

=(x+lg3)

~~(x+l)(x-3)-

A—B=1=—1

令5解得：

故答案为：-1,-2.

16.2025

【分析】此题是数字规律题，主要考查了二次根式的加减法，解答此类题目要探寻数列规律：认真观察、

仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法.

li-L—L-1+i1

由Y+"+m+i)可化为+^~«77,即可求解.

【详解】解:“为任意正整数，

O-

J*m+ir

(M+ir»2

I,+',+

p*(M+1)*M*(M+1)'M*(M+1)

J?i'+n+l

W〃m+i)_

1+^?7T)

=C

nzi+1.

1______1_

2024~2025

-2025-—i—

2025

2024

2024

2025.

:•与S最接近的数是2025.

故答案为：2025.

2

17.(1)a+1；2

⑵x+2；3

【分析】此题考查了分式的化简求值；

(1)根据同分母的分式减法进行计算，最后代入求值，即可.

(2)先通分，再算分式减法和除法，进行化简，最后代入求值，即可.

■]

【详解】(1)解:a^T~a^T

a:-l

"a-1

(a+l)d

a-1

=a+1

11,3

a=—=-+1=-

当2时，原式22；

2x2-x[x+1+]]

⑵解：丁-lx-2)

x(2x-l)x+l+x-2

(x+2)(x-2)"-r^2i

x(2x-l)x-2

(x+2)(x-2)2x-l

x+2；

当X-一3时，原式-3+2

18.(1)甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和4.8公顷

S(a+2>)2S

⑵①2ab,a+b；②方案二所用时间少，理由见解析

【分析】本题考查了分式方程的应用，分式的加减.

(1)设甲型收割机每台每天收割的玉米地是1公顷，根据时间相同列方程求解即可;

(2)①设共用了f天，然后根据玉米试验田的面积为S公顷列方程求解；

②用作差法比较即可.

【详解】(1)解：设甲型收割机每台每天收割的玉米地是X公顷

100_100+20

则有：xx+0.8

解得x=4.

检验，当x=4时，中+。8)。0

•••原分式方程的解为x=4

乙型收割机：4+0S-4S(公顷)

答：甲、乙两种类型收割机每台每天收割的玉米地分别是4公顷和4.8公顷.

SSS(a+b)

--+--=-------

(2)解：①方案一所用时间是：2a2b2ab

方案二：设共用了r天，由题意得，

巴

——，

解得a+b.

S(a+b)2S

故答案为：2m,a+b

②方案二所用时间少

S(a+»)2SS(a+b?-4SabS(a-bf

-———=---------------=---------

理由.2aba+b2ab(a+b)2ab(a+b)

-a丰b

.(a-b「w0

S(a+b)2S

・•・2aba+b

S(a+叭2s

2aba+b

方案二所用时间少

x+6r+5I_____1_

19.(l)x+7r+6x+6x+7

X+M+1x+n11

(2)x+n+2x+n+1x+n+1X+M+2

(3)见解析

【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式总结归纳出第“个等式.

(1)根据已知等式进行类比，即可得出答案；

(2)根据已知等式进行总结归纳，即可得出答案；

X+H+l(X+M+2)-1X+Zl(X+Z1+1)-1

(3)将X+H+2变形为x+?i+2,x+zi+1变形为x+n+1再根据分式的运算法则进行计算,

即可证明.

x+2_x+l_11

【详解】⑴解：•••x+3r+2K+2K+3；①

x+3r+211

x+4r+3x+3x+4；②

r+4r+311

x+5x+4r+4x+5；③

r+5x+411

x+6x+5x+6,r+5；④

x+6x+511

二第⑤个等式是x+7x+6x+6K+7,

x+6x+511

故答案为：v+7x+6K+6r+7；

x+2r+l_11

(2)解：：x+3x+2x+2x+3；①

x+3x+211

r+4x+3r+3x+4；②

r+4x+311

r+5r+4r+4x+5；③

x+5_r+411

x+6x+5x+6x+5；⑷

x+6r+511

'x+6

x+7x+6x+7；⑤

-r-+--M-+-1------x-+-n---—1------1---

••・第〃个等式是K+片+2x+n+1X+M+1x+n+2,

x+n+1x+n11

故答案为：x+n+2x+n+1x+n+1x+n+2-

x+M+1x+n

(3)证明：r+n+2x+n+1

_(x+〃+2)-l(x+〃+l)-l

x+n+2x+M+1

IX+M+2JIX+H+

=____1___-____1___

r+zi+1X+M+2.

x+71+lx+n11

.­.x+n+2K+%+1x+n+1X+M+2

即第W个等式成立.

20.(1)3；