2025年中考数学一轮复习学案：三角形（解析版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第四章三角形及四边形

4.2三角形

备考指南

考点分布考查频率命题趋势

考点1三角形的相关概念☆☆数学中考中，有关本专题的部分，每年

考查1~3道题,分值为3~9分，通常以

考点2三角形中的重要线段☆☆☆

选择题、填空题、解答题的形式考查。

考点3等腰三角形以及等边三角形☆☆

在考查其他知识点的综合试题里一定

考点4直角三角形勾股定理及其应用☆☆☆用到本专题知识。

考点5直角三角形的性质及计算☆☆☆

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

|'知识号网

三第开3白勺边二三边关奉走王里

与三角形有Z戋|

关的线匿

中线：手巴三希开3面积平分

篇平分金戋

—开3I人J三口：180°

与三箱形有三角开3夕卜希禾口；360

关的第

内希与夕卜角关奉

三箱形的分类

勾股定理及应用

勾应用:主要用于计算

股

定

理

直角三角形的判别方法：(勾股定理的逆定理)

若三角形的三边满足+b2=c2则它是一个直角三角形.

典夯实基础

L知识溃里

考点1.三角形的相关概念

1.三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

2.三角形的分类

三边都不相等的三角形

(1)按边分类：三角形底边和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

.等边三角形

直角三角形

(2)按鱼分类：三角形.锐角三角形

斜三角形

.钝角三角形

3.三角形三边的关系：三角形任意两边的和大于第三边,任意两边的差小于第三边。

4.三角形的稳定性：三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.

5.三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均

大于0°且小于180°o

6.三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180。。

推论：直角三角形的两个锐角互余。

7.三角形的内角和定理的应用：

(1)在三角形中，已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；

(2)在三角形中，己知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；

(3)在直角三角形中，已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.

8.三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延及线组成的角，叫做三角形的外角。

9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360。.

10.三角形的外角的性质：

(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的利；

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

考点2.三角形中的重要线段

1.三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高。

2.三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与

所交的点间的线段叫做三角形的角平分线。

3.三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线。

(1)三角形的中线会把原三角形面积平分。

(2)一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差。

【易错点提示】对三角形三条重要线段的深入理解

(1)三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段。

(2)锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，

另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角

形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。

考点3.等腰三角形和等边三角形

1.等腰三角形

(1)等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两边叫做腰，另一边叫做

底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角.

(2)等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等.

②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合.

(3)等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相笠，那么这两个角所对的边也相等(简写成“等角对等边”).

(4)等腰三角形的面积公式

5=-ah

2

其中a是底边长，h是底边上的高，S是面积

2.等边三角形

(1)等边三角形定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.

(2)等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于继.

(3)等边三角形的判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个角都相等的三角形是等边三角形:

③有一个角为巫的等腰三角形是等边三角形.

(4)等边三角形的面积公式

其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高，S是面积。

3.线段垂直平分线的性质与判定

(1)线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分

线，也叫线段的中垂线。

(2)线段垂直平分线的做法

求作线段AB的垂直平分线.

D

作法：1)分别以点A,B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C,D两点；

说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了.

2)作直线CD,CD即为所求直线.

说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.

(3)线段垂直平分线的性质：

1)线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相笠.

2)线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之一.同

时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平分线，

画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.

考点4.直角三角形勾股定理及其应用

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么/+62=02.

B

直角边

2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b,c,满足押+^=。2,那么这个三角形是直

角三角形.

3.勾股数：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数,称为勾股数。

【易错点提示】

(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足£+4=小②都是正整数.两者缺一不

可.

⑵将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足a4b2=c“但不一定是勾股数)，以它们

为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3cm,0.4cm,0.5cm为边长的三角形是直角三角形.

考点5.直角三角形的性质及计算

1.直角三角形的性质

性质1.直角三角形两锐角之和等于90°。

性质2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

性质3.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

2.直角三角形的判定

(1)有一个角为却二的三角形是直角三角形。

(2)有两个角的和是小的三角形是直角三角形。

(3)一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形。

(4)如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足f+'=c，2,那么这个三角形为直角三角形。

3.直角三角形面积公式

S=lab=lcA

22

其中a、b是两条直角边的长，c是斜边长，h是斜边上的高，S是直角三角形面积。

4.直角三角形相关计算

(1)勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系

时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解；

(2)用于解决带有平方关系的证明问题；

(3)与勾股定理有关的面积计算；

(4)勾股定理在实际生活中的应用。

KI考点梳理

考点1.三角形的相关概念

【例题1】（2024陕西省）如图，在“5C中，NB4c=90。,/£>是边上的高，£是。。的

中点，连接NE,则图中的直角三角形有（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】C

【解析】本题主要考查直角三角形的概念.根据直角三角形的概念可以直接判断.

由图得△45。，AABC,AADC,VZDE为直角三角形，

共有4个直角三角形.故选：C.

【变式练1］（2024长沙一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.1,3,4B.2,2,7C.4,5,7D.3,3,6

【答案】C

【解析】71+3=4,

3,4不能组成三角形，

故/选项不符合题意；

V2+2<7,

：.2,2,7不能组成三角形，

故8不符合题意；

V4+5>7,

；.4,5,7能组成三角形，

故C符合题意；

：3+3=6,

；.3,3,6不能组成三角形，

故。不符合题意，故选：C.

【变式练2］（2024湖南娄底一模）若一个三角形的两边长分别为2c〃?，7cm,则它的第三边的长可

能是（）

A.2cmB.3cmC.6cmD.9cm

【答案】C

【解答】解：设第三边长为x"2,根据三角形的三边关系可得：

7-2cx<7+2,

解得：5Vx<9,故选：C.

【变式练3](2024黑龙江大庆一模)将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中。，E,尸在直线

/上，点3恰好落在。£边上，Zl=20°,ZA=45°,ZAOB=ZDEF=90°.则的度数为

()

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】B

【解析】VZ1=2O°,N4=45°,N4OB=NDEF=90°.

：.-ZAOB-ZA=45°,ZBOE=180°-ZAOB-Zl=70°,

：.NOBE=NDEF-NBOE=20°,

：.ZABE=ZABO+ZOBE=65°.故选：B.

考点2.三角形中的重要线段

【例题2X2024四川南充）如图，在中，NC=90°,48=30°,BC=6,AD平分NC4B

交BC于点D,点,E为边AB上一点,,则线段长度的最小值为（）

A.41B.V3C.2D.3

【答案】C

【解析】本题主要考查解直角三角形和角平分线的性质，垂线段最短，根据题意求得和/C,

结合角平分线的性质得到NC4D和。C，当。£1/3时，线段。E长度的最小，结合角平线的性

质可得£>£=£>。即可.

【详解】•.•NC=90°,4=30。,

ABAC=60°,

在及以48。中，tanZ5=——，解得4。=26，

CB

V4D平分NCAB,

：.ZCAD=30°,

DC

：.tanZCAD=——，解得DC=2,

CA

当。E148时，线段Z>E长度的最小，

平分NC4B,

:.DE=DC=2.故选：C.

【变式练1］（2024哈尔滨一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（立力是钝角），他打算用

折叠的方法折出NC的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（）

A.48边上的中线和高线B.NC的角平分线和力B边上的高线

C.NC的角平分线和力B边上的中线D.NC的角平分线、力B边上的中线和高线

【答案】C

【解析】当4c与BC重合时，折痕是NC的角平分线；

当点/与点8重合时，折叠是4B的中垂线，故选：C.

【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键.

【变式练2］（2024天津一模）如图，△ABC中，zl=z2,G为力D的中点，延长BG交力C于点E,F

为上一点，且CFLAD于点〃，下列判断中，正确的个数是（）

①BG是△力BD的边力D上的中线；

②AD既是AABC的角平分线，也是AABE的角平分线；

③CH既是△仞£）的边力。上的高，也是的边力”上的高.

A.0B.1C.2D.3

【答案】c

【解析】根据三角形中线的定义、三角形角平分线的定义和三角形高的定义逐一判断即可.

因为G为ZD的中点，

所以BG是△力BD的边力。上的中线，故①正确；

因为41=Z.2,

所以4。是△ABC的角平分线，4G是△力BE的角平分线，故②错误；

因为CF14。于点H,

所以CH既是△力CD的边4D边上的高，也是AACH的边4”上的高，故③正确，

综上正确的有2个

故选：C.

【点睛】此题考查的是三角形中线、角平分线和高的识别，掌握三角形中线的定义、三角形角平分线

的定义和三角形高的定义是解决此题的关键.

考点3.等腰三角形以及等边三角形

【例题3】（2024福建省）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案.如图，其

中与A。。。都是等腰三角形，且它们关于直线/对称，点E,E分别是底边Z2,3的中

点，OELOF.下列推断错误的是（）

A.OBLODB.ZBOC=ZAOB

C.OE=OFD.ZBOC+ZAOD=

【答案】B

【解析】本题考查了对称的性质，等腰三角形的性质等；

A.由对称的性质得=由等腰三角形的性质得ZBOE=-ZAOB,

2

ZDOF=-ZDOC,即可判断；

2

B.NBOC不一定等于N/05,即可判断；

C.由对称的性质得之ACOC,由全等三角形的性质即可判断；

D.过。作GMJ_O〃，可得ZGOD=ZBOH,由对称性质得/灰阳同理可证

ZAOM=ABOH,即可判断；

掌握轴对称的性质是解题的关键.

【详解】A.vOEA.OF,

NBOE+ZBOF=90°,

由对称得=

;点E，/分别是底边Z5,CD的中点，ACMB与AODC都是等腰三角形,

:.ZBOE=-ZAOB,ZDOF=-ZDOC,

22

:.ZBOF+ZDOF=90°,

OBLOD,结论正确，故不符合题意；

8./8。。不一定等于//。5,结论错误，故符合题意；

C.由对称得AOAB知ODC,

,:氤E,F分别是底边AB,CD的中点，

:.OE=OF,结论正确，故不符合题意；

过。作GM1.07/,

ZGOD+ZDOH=90°,

■.■ZBOH+ZDOH=90°,

ZGOD=ZBOH,由对称得NBOH=NCOH,

ZGOD=ZCOH,

同理可证ZAOM=ZBOH,

ZAOD+ZBOC=ZAOD+ZAOM+ZDOG=180°,结论正确，故不符合题意；故选：B.

【变式练1］（2024辽宁沈阳一模）已知等腰三角形的两边长分别为4和9,则这个三角形的周长

是（）

A.22B.19C.17D.17或22

【答案】A

【解析】分两种情况：

①当4为底边长，9为腰长时，4+9>9,

三角形的周长=4+9+9=22；

②当9为底边长，4为腰长时,

•/4+4<9,

不能构成三角形；

，这个三角形的周长是22.故选：A.

【变式练2】(2024山西一模)如图，在△45C中，4B=AC,£为A4延长线上一点，S.ED±BC

交NC于点F.

(1)求证：是等腰三角形；

(2)若/8=13,EF=12,尸为NC中点，求8C的长.

【答案】见解析

【解析】（1）证明：•.,48=NC,

/B=NC,

'JEDLBC,：.ZEDB=ZEDC=90°,

AZE+ZB=90°,ZC+ZDFC^90°,:.NE=/DFC,

■:NDFC=NEFA,:./EF4=/E,：.AE=AF,

尸为等腰三角形；

（2）解：过点/作/GJ_£7）于点G,4HLBC于H,如图所示:

"：AE=AF,AG±ED,EF=U,

:.FG=GE=LEF=6,

2

二户为4c中点,

：.AF=FC=^AC=^-AB=^~,

222

在△4FG与△C/口中，

,ZAGF=ZCDF

-ZAFG=ZCFD>

,AF=CF

:.AAFG沿4CFD(44S)，

:.DF=FG=6,:.AH=2DF=12,

BH=VAB2-AH2=5，

：.BC=2BH=10,

【变式练3](2024上海一模)如图，△/8C是等边三角形，DE//BC.若40=4,则△/£>£的周长

为.

【答案】12.

【解析】：△NBC是等边三角形,

；.//=/B=NC=60°,

'：DE//BC,

；.NADE=NB=60°,ZAED=ZC=60°,

?.ZA=ZADE=ZAED=60°,

.♦.△4DE是等边三角形，

；.AD=DE=AE=4,

：.△/£>£的周长=4+4+4=12

【变式练4】（2024河北唐山一模）如图，以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线。/交于点瓦

再以3为圆心，30长为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC,则/。的度数为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】连接3C,如图,

..•以。为圆心，任意长为半径画弧，与射线04交于点瓦

：.OB=OC,

:以B为圆心，30长为半径画弧，两弧交于点C,画射线OC,

：.OB=BC,

：.0B=0C=BC,

：./\OBC是等边三角形，

；./0=60°.故选：C.

【变式练5】（2024吉林一模）如图，在△ABC中，力B、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,若△A8C

的周长是20,AB=4,AC=7,则△力EF的周长为（）

【答案】C

【解析】先根据AABC的周长公式求得BC=9,再根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB,FA=FC,

根据AaEF的周长公式计算，即可得到答案.

,.,△4BC的周长是20,

：.AB+AC+BC=20

'：AB=4,AC=7,

：.BC=9,

••・EG是线段ZB的垂直平分线，

EA=EB,

同理，FA=FC,

•••AAEF的周长=EA+EF+FAEB+EF+FCBC9,

故选：C.

【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的

距离相等是解题的关键.

【变式练63（2024南京一模）如图，A4BC中，力。平分N8AC,DG18c且平分8C,DE1AB于E,DF1AC

【答案】4

【解析】连接BD,根据角平分线的性质可得=OF,根据线段垂直平分线的性质，可得BD=CD,

继而可证得Rt△BED=RtACFD,可得BE=CF,再证得△AEDAFD,得至（ME=AF,设BE=%,

由—=+即可得方程5-％=3+%,解方程求出工,进而可求得

连接80,CD,

•••4。平分ZB4C,DELAB,DFLAC,

・•.DE=DF,乙BED=Z.CFD=90°,

•••DG1BC且平分BC,

BD=CD,

在Rt△BED与Rt△CFO中，

(BD=CD

=DF'

/.Rt△BED=RtACFD(HL),

・•・BE=CF,

在△4E0和△4F0中，

\LAED=2LAFD=90°

Z.EAD=Z.FAD,

AD=AD

/.AAED会△AFO(AAS),

AE=AF,

设=贝!JCF=x,

-AB=5,4c=3,AE=AB-BE,AF=AC+CFf

5—x=3+x,

解得：x=l,

BE=1,

AE=AB-BE=5-1=4,

故答案为：4.

【点睛】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.准确作

出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解是解决问题的关键.

考点4.直角三角形勾股定理及其应用

【例题4】（2024吉林省）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深

度，其示意图如图②，其中48=48',于点C,BC=0.5尺，B'C=2尺.设/C的长

度为x尺，可列方程为.

,_____________________0

T诗文：波平如镜一湖面，半尺高

处生红莲，亭亭多姿湖中立，突

遭狂风吹一边。离开原处二尺

远，花贴湖面象睡莲。

图①图②

【答案】x2+22=（x+0.5）2

【解析】本题考查了勾股定理的实际应用,正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键.

设/C的长度为x尺，则Z8=/B'=x+0.5,在RtZkZB'C中，由勾股定理即可建立方程.

【详解】设/C的长度为x尺，则48=48'=x+0.5,

AB±B'C,

由勾股定理得：AC?+B'C2=AB'2,

：.x2+22=(x+0.5)\

故答案为：x2+22=(x+0.5)2.

【变式练1】（2024陕西一模）如图，在4/台。中，AB=AC,2。是5C边的中线，若/5=5,

BC=6,则2。的长度为—

【答案】4

【解析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解即可.

•.•在△48。中，AB=AC,ZD是边的中线，

AD1BC,BD=-BC,

2

在中，AB=5,BD=-BC=3,

2

AD=^AB2~BD2=A/52-32=4-故答案为：4.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键.

【变式练2］（2024武汉一模）在AABC中，D为BC边上的点，AB=13,AD=12,CD=9,AC=15,

求BD的长.

A

ABDc

【答案】见解析。

【解析】根据勾股定理的逆定理可判断出4ACD为直角三角形，即NADC=NADB=90°.在Rt^ABD

中利用勾股定理可得出BD的长度.

:在AADC中，AD=12,CD=9,AC=15,/.AC^ADHCD2,.,.△ADC是直角三角形,ZADC=ZADB=

90°,.♦.△ADB是直角三角形.在RtZ\ADB中，VAD=12,AB=13,.,.BD=A/AB2-AD2=5,；.BD的长

为5.

方法总结：解题时可先通过勾股定理的逆定理证明一个三角形是直角三角形，然后再进行转化，最后

求解，这种方法常用在解有公共直角或两直角互为邻补角的两个直角三角形的图形中.

【变式练3］（2024上海一模）如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖

完后测量了一下，发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你运用所学知识帮他检验一下挖的是

否合格？

4B

DQC

【答案】见解析。

【解析】把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，验证它是否为直角三角形.

VAB=DC=8m,AD=BC=6m,.*.AB2+BC2=82+62=64+36=100.XVAC2=92=81,/.ABHBCVAC2,

.,./ABC790°,.•.该农民挖的不合格.

方法总结：解答此类问题，一般是根据已知的数据先运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直

角三角形，然后再作进一步解答.

考点5.直角三角形的性质及计算

【例题5】（2024广州）如图，在中，ZA=90°,AB=AC=6,。为边的中点，点E,

E分别在边48,AC±,AE=CF,则四边形4EZE的面积为（)

D.6^/2

【答案】C

【解析】本题考查等腰直角三角形的性质以及三角形全等的性质与判定，掌握相关的线段与角度的转

化是解题关键.连接4D,根据等腰直角三角形的性质以及ZE=CE得出VZDE之VCZ1F,将四边

形4EDF的面积转化为三角形/OC的面积再进行求解.

【详解】解：连接Z。，如图：

•/ABAC=90°,Z8=ZC=6,点。是5C中点，AE=CF

/.ABAD=4B=4C=45°,AD=BD=DC

：.VADE@CDF,

•C_CIC_CIC_C__Lv

,•°四边形ZEQF—24AED丁uA4DF~04CFD丁°AADF—044DC—?NBC

又**

S△zAioR(_C-=6x6x—2=18

**S四边形4ED尸-5s

故选：c

【变式练1］（2024湖北荆州一模）如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被

湖隔开.若测得AB的长为10km,则M,C两点间的距离为（）

A.3kmB.4kmC.5kmD.6km

【答案】C

【解析】•..公路AC,BC互相垂直,

ZACB=90°.

•.,M为AB的中点，

：.CM=-AB.

2

VAB=10km,

.•.CM=5km,

即M,C两点间的距离为5km,

故答案为：C.

点拨：先求出。位再求出CM=5km,即可作答。

2

【变式练2］（2024贵州黔西南一模）如图所示，在Rt^ABC中，/C=90°,点D在线段BC上，且

ZB=30°,ZADC=60°,BC=3』L则BD的长度为.

4

【答案】2G

【解析】首先证明DB=AD=2CD,然后再由条件BC=3g可得答案.

VZC=90°,NADC=60°,

.•.ZDAC=30",

.'.CD=—AD.

2

VZB=30°,ZADC=60°,

；./BAD=30°,

；.BD=AD,

；.BD=2CD.

VBC=3V3>

；.CD+2CD=3万

，CD=VL

DB=2^3，

【点拨】此题主要考查了含30°角的直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，30°角所对

的直角边等于斜边的一半.

【变式练3］（2024苏州一模）如图，在Rt^ABC中NACT=90。，CD是斜边AB上的中线，AC=4,

CD=3。求直角边BC的长

【答案】见解析

【解析】先根据直角三角形斜边的中线定理得出AB的长，再根据勾股定理即可求出BC的长.

在RtaABC中，：CD是斜边AB上的中线，；.AB=2CD=6,由勾股定理，得

BC=yjAB2-AC2=A/62-42=2亚

UI真题在线下

考点1.三角形的相关概念

1.（2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置，若Nl=50。，则N2的度数

A.30°B,40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理.根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即

可求解.

如图所示，

由题意得/3=ZL=50°,Z5=90°,/2=/4,

AZ2=Z4=180°-90°-Z3=90°-50°=40°,故选：B.

2.（2024四川德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】B

【解析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行

线的性质.首先根据平行线的性质得出N8CD=N4BC=70°,再根据垂直与三角形的内角和即可

求出NEDC.

【详解】•••NB/ZCD,ZABC=70°,

/.ZBCD=ZABC=70°，

•：DELBC,

：.ZCED=90°,

AZ£DC=90°-70°=20°

故选：B.

3.（2024江苏连云港）如图，直线aHb,直线/J_a,Zl=120°,则N2=

【答案】30

【解析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，根据两直线平行，同位角相等，求出N3的度

数，根据三角形的外角的性质，得到N3=90°+N2,即可求出N2的度数.

【详解】

/.Z3=Z1=12O°,

"：l±a,

：.N3=N2+90。，

Z2=30°；

故答案为：30.

4.（2024四川达州）如图，在一5。中，网,BEX分别是内角NCAB、外角ZCBD的三等分线,

且NE〔AD=,ZE}BD=：NCBD,在AABE1中，AE2,BE2分别是内角AEXAB,外

角NE/D的三等分线.且/£2力。=；/£/8,ZE2BD=^ZE,BD,以此规律作下去.若

ZC=m°.则/纥=度.

ABD

【答案】

3〃

【解析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键.

先分别对运用三角形的外角定理，设NE］4D=a,则NC4B=3a,/E】BD=0,

则NCBD=3。，得到£=4+/£],3P=3a+NC,同理可求:所

以可得/£〃=［；］ZC.

【详解】如图:

NE[AD=；NC4B,ZE.BD=-ZCBD,

13

.•.设/£]/£>=a,NE[BD=。,则NG45=3a,NCBD=3/3,

由三角形的外角的性质得：/3=a+/E[,3/3=3a+ZC,

：.ZE,=-ZC,

13

NC，

即AE=—m°，

n3〃

故答案为：—tn.

3"

考点2.三角形中的重要线段

I.（2024四川凉山）如图，中，NBCD=30。,ZACB=80°,CD是边N5上的高，AE

是ZCAB的平分线，则ZAEB的度数是.

【答案】1000##100度

【解析】本题考查了三角形内角和以及外角性质、角平分线的定义.先求出N/CD=50°,结合高

的定义，得ND4c=40。，因为角平分线的定义得NC/E=20。，运用三角形的外角性质，即可作答.

【详解】•••N5C£>=30°,ZACB=80°,

/.ZACD=50°，

1/CD是边48上的高,

ZADC=90°,

ZDAC=40°,

：ZE是的平分线，

：.ZCAE=-ZDAC=20°,

2

ZAEB=ZCAE+ZACB=20°+80°=100°.

2.（2024河北省）如图，AA8C的面积为2,2。为8。边上的中线，点A,G，C2,C3是线段

的五等分点，点A,D-。2是线段的四等分点，点A是线段8片的中点.

（1）△ZGR的面积为

（2）△用孰名的面积为

【答案】①.1②.7

【解析】【分析】（1）根据三角形中线的性质得5刀加=S~CQ=，S^BC=1

证明

AAQD^AACD（SAS）,根据全等三角形的性质可得结论；

（2）证明△48。之△480（SAS）,得S△典0,=%姒,=1,推出Q、〃、与三点共线，

+

S/iFG一^AABIDIS△/（：□—2,继而得出以期04-4s△阴弓一8,SAAB^==3证明

4

△C3gsMAD,得S^G皿=9S^3=9,推出S,c也=]S-皿=12,最后代入

^/^B}C4D3~S△仁2即可.

【详解】解：（1）连接用。、8也、4c2、4。3、C3D3,

•••AA8C的面积为2,为5。边上的中线,

S/\ABD-S^ACD_2S&ABC-万?一1,

•.•点A,G，C2,G是线段CC4的五等分点，

/.AC=AC,=GG=C2c3=C3C4=1cc4,

•••点A,D,,。2是线段。3的四等分点，

AD=ADX=DQ,=DR3=z003,

•••点A是线段5片的中点,

AB=AB,=g*,

在A4GA和AZCQ中，

'ACX=AC

<NGAD]=ACAD,

AD,=AD

：.AAC1D1^AACD(SAS),

SAAGD、=SAACD=1,NCQ/=NCDA,

.•.八4。]。]的面积为1,

故答案为：1；

(2)在△45Q]和△/BD中，

AB】=AB

<3AD]=ABAD,

ADX=AD

AABXD^AABD(SAS),

，S△第a=SAABD=1，/B[D[A=Z.BDA,

•：ZBDA+ZCDA^180°,

NBQ/+NCQ/=180。，

.•・G、D「4三点共线,

,•S△第G-S△/q+S/x/cQ]-1+I-2,

•••AC,=GG=C2c3=C3c4，

S△明c4=4s△阳G=4'2=8,

•^47)]=D[D]=D2D3,S△阳4=1,

'''S△明A=3s△阳a=3x1=3,

在△/。3。3和-4。。中，

AC4D

・・•丝1=3=巴，ZC.AD.=ZCAD

ACAD33f

/.gAD3syAD,

AC,=GG=c2c3=c3G,

44

=x

,,^AAC4D3§^AC3AD,=y9=12,

,,SAB\C必=SAAC必+一AA^=12+3-8=7,

△名。4。3的面积为7,

【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点

的意义，三角形的面积.掌握三角形中线的性质是解题的关键.

考点3.等腰三角形以及等边三角形

1.（2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程/_10、+21=0的两个根，则这个三角形的

周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【解析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得

西=3,%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三

角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程V-10x+21=0得，再=3,x2=7,

3+3<7,

...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,故选：C.

2.（2024云南省）已知/尸是等腰AASC底边上的高，若点尸到直线N5的距离为3,则点E

到直线/C的距离为（）

【答案】c

【解析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，熟练掌握知识点是解题的关键.

由等腰三角形“三线合一”得到/厂平分/A4C,再角平分线的性质定理即可求解.

如图，

V/尸是等腰AASC底边上的高，

AF平分NB4C,

...点尸到直线48,ZC的距离相等，

:点E到直线48的距离为3,

...点E到直线/C的距离为3.故选：C.

3.（2024安徽省）如图，在中，ZC=BC=2,点。在N3的延长线上，且CD=N8,

则的长是（）

BD

A.710-72B.V6-V2c.2V2-2D.2V2-V6

【答案】B

【解析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，对顶角的性质，勾股定理，过点。作。ELC8

的延长线于点E,则/8£。=90。，由乙4c3=90。，AC=BC=2,可得=2后，

ZL4=ZABC=45°,进而得到CO=2近，ZDBE=45°,即得△8QE为等腰直角三角形，得到

DE=BE,设DE=BE=x,由勾股定理得（2+x）?+/=（2也『，求出尤即可求解，正确作出辅

助线是解题的关键.

【详解】解：过点。作。ELC8的延长线于点E,则48£。=90°,

AACB=90°,AC=BC=2,

AB=^22+22=2V2，A=ZABC=45°，

CD=2V2，ZDBE=45°，

ABDE为等腰直角三角形,

DE=BE,

设DE=BE=x,则C£=2+x,

在RtACDE中，GE?+DE2=,

-,.(2+X)2+X2=(2A/2)\

解得占=百-1,x2=—V3—1(舍去)

；.DE=BE=6-1，

BD=—1)+—1)=y/6—y/2,故选:B.

4.（2024重庆市B）如图，在中，AB=AC,N4=36°,8。平分N/BC交/C于点。.若

BC=2,则/。的长度为.

【答案】2

【解析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据

等边对等角和三角形内角和定理求出NC=ZABC=72°,再由角平分线的定义得到

ZABD=ZCBD=36°,进而可证明NZ=N/BD,ZBDC=ZC,即可推出4D=BC=2.

【详解】•.•在中，AB=AC,ZA=36°,

=出「72。,

•/BD平分N4BC,

ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,

2

：.ZA=ZABD,ZBDC=ZA+ZABD=72°=ZC,

/.AD=BD,BD=BC,

AD=BC=2,

故答案为：2.

5.（2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为40。，则它的顶角的度数是度.

【答案】100

【解析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶

角度数即可.

因为其底角为40°,所以其顶角=180。—40°x2=100°.

6.（2024四川遂宁）在等边三边上分别取点。、E、F,使得4D=BE=CF,连结三点得

至IJAZ）£F，易得AADF冬ABED9ACFE,设544届=1,贝U=1—尸

如图②当A最D=:1时，「21

°ADEF=l-3x一=-

AB393

「37

如图③当嘤二;时,=l-3x——二——

2八DEF

AB41616

AF）1

直接写出，当——=一时，S&DEF=

AB10--------

73

【答案】一##0.73

100

【解析】本题主要考查数字规律性问题，首先根据已知求得比例为"时，

n—1n~—3〃+3

S&DEF=1—3X,代入〃=10即可.

rr

r3+3

【详解】根据题意可得，当丝=!时，S^DEF=l-3x^-=-~^,

ABnMEF"/

则当丝=5时，S△…I*3：1。+3二3,

AB10ADEF102100

73

故答案为：—.

100

7.（2024湖北省）A/）£F为等边三角形，分别延长ED,DE,EF,到点4AC,使

DA=EB=FC,连接48,AC,BC,连接RF并延长交NC于点G.若AD=DF=2,则

NDBF=,FG=

A

【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理.利用三角形的外角性

质结合=可求得/。8尸=30°；作CH，3G交5G的延长线于点X,利用直角三角形的性

质求得CH=1,FH=6，证明A/G/SACG〃，利用相似三角形的性质列式计算即可求解.

【详解】解：：ADEF为等边三角形，DA=EB=FC,

：.AD=DF=EB=EF=2,NDEF=NDFE=60°,

/DBF=NEFB=-NDEF=30°,ZAFB=ZEFB+ZDFE=90°,ZEFB=ZGFC=30°,

2

作CHLBG交BG的延长线于点H,

:•CH——CF=1,FH=V22—I2=V3,

ZAFB=ZH=90°,

/.AF//CH,

：.AAGFSACGH,

.AFFG4FG

即丁=

"~CHGHC-FG

解得/G=gG，

故答案为：30°,

8.（2024江苏常州）如图,3、£、C、厂是直线/上的四点，/C、£）£相交于点G,48=DE,/C=,

BC=EF.

(1)求证：AG£C是等腰三角形；

(2)连接AD，则AD与/的位置关系是

【答案】(1)见解析(2)AD1/1

【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，平行线的判定：

(1)证明之ADFE,得到AACB=ZDEF,即可得证；

(2)根据线段的和差关系，易得NG=£»G,根据三角形的内角和定理，得到即

可得出结论.

【小问1详解】

证明：在和△DEE中