2025年中考数学一轮复习难点与易错点：方程与不等式中的参数问题（6大题型）原卷版

难点与易错点03方程与不等式中的参数问题（6大题型）

题型盅点0

题型一：分式方程的增根问题

题型二：分式方程的无解问题

题型三：分式方程的特殊解问题

题型四：一元二次方程根的情况判断

题型五：一元二次方程根与系数关系

题型六：不等式组的整数解问题

题型突跑N.精淮提分

题型一：分式方程的增根问题

:指I点I迷I津

!增根问题的解题关键

：.分式方程有增根是指解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一

个可能使分母为零的整式.

【中考母题学方法】

【典例1】（2023・湖南永州•中考真题）若关于x的分式方程」14m=1（冽为常数）有增根，则增根

x—44—x

是.

【变式1-1］（2024•上海松江•三模）若分式方y_|程_7弋k有增根，则人的值为_________

x-1x-l

【变式1-2］难点分情况讨论x的值,使方程两边同乘的整式为零

（2024•山东蒲泽・模拟预测）若关于x的方程：一3三+^^ct二x二三4有增根，贝1）〃=______.

x-3x-9x+3

【中考模拟即学即练】

1.（2024•云南•模拟预测）若关于x的分式方程一一-2=旦有增根，则加的值为____

x-3x-3

2.（2023・四川成都・二模）若关于x的分式方程===-2有增根，则。的值是（）

X+lX+1

A.-2B.-1C.0D.1

3.（2024•宁夏银川•三模）下面是某同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务：

x-3_1

----+2二----

x—22—x

解：去分母，得x-3+2（x-2）=l.......第一步

去括号，得x-3+2x-4=1.......第二步

移项、合并同类项，得3x=8.......第三步

Q

解得X.......第四步

O

经检验：X=|是原分式方程的解.......第五步

（1）上面的解题过程从第步开始出现错误，这一步错误的原因是.

（2）上面解题过程的第五步是检验分式方程是否产生增根，增根指的是（文字叙述）

（3）请你帮这个同学正确解答这个分式方程.

题型二：分式方程的无解问题

指I点I迷I津

无解问题的解题关键

分式方程无解是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等,它包含两种情形①原方程化去分母

后的整式方程无解;②原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0.它是原方程

的增根,从而原方程无解.

【中考母题学方法】

【典例2】（2024•四川达州•中考真题）若关于尤的方程士-"=1无解，则左的值为______.

x-2x-2

【变式2-1】易错点去分母后未知数的系数含参，需分类讨论

（2024•山东荷泽•三模）若关于x的分式方程*="孝+1无解，则〃7=

【变式2-2］易错点去分母后未知数的系数含参，需分类讨论

（2024•广东梅州•模拟预测）若关于x的方程T+无解，则。的值为__________.

x-22-尤

【中考模拟即学即练】

1.（2024•贵州黔东南，一模）若关于x的分式方程，；+1=-二无解，贝！I。的值为（）

x-1x-1

A.-1B.0C.1D.-2

2.（2024•黑龙江齐齐哈尔•模拟预测）已知关于x的分式方程弋=：+1无解，则左的值为.

x-14

3.（2024•江苏宿迁•二模）若关于x的分式方程二=口-3无解，贝匹的取值是.

x—22—x

4.（2022•浙江温州•模拟预测）设a,b为实数，关于x的方程上三+=1="8无实数根，求代数式

x-1XX-X

8a+46+|80+4加51的值.

X—，Z7

5.（2022•广西梧州•一模）已知关于x的分式方程J=——+2无解.

x-1x-1

⑴求。的值；

3

（2）先化简，后求值：（。-1）+（---1）.

题型三：分式方程的特殊解问题

指I点I迷I津

特殊解问题的解题思路

分式方程的特殊解是指题中已知解为负数或非负数等,通常先将解用含参数的代数式表示出来,再根据

解为特殊解求解参数的范围，注意分式方程的解不能使分母为零。

【中考母题学方法】

【典例3】（2024•四川遂宁•中考真题）分式方程2二=1-/一m的解为正数，则用的取值范围（）

x—1x—1

A.m>-3B.加>一3且加W-2

C.m<3D.加＜3且加。一2

【变式3-1].（2024•黑龙江齐齐哈尔•中考真题）如果关于x的分式方程七1一」m\=0的解是负数，那么实数加

的取值范围是（）

A.机<1且机/0B.m<\C.m>1D.且加片一1

【变式3-2].（2024•甘肃金昌•三模）若有六张完全一样的卡片正面分别写有T,-2,-3,0,1,2,3,

现背面向上，任意抽取一张卡片，其上面的数字作为左的值能使关于x的分式方程㈡=2的解为正数，且

x-1

使反比例函数歹=*图象过第一、三象限的概率为.

X

【变式3-31.（2023・四川成都•模拟预测）使关于x的分式方程—=2的解为非负数，且使反比例函数

x-1

'=」的图象经过一，三象限，则满足条件的所有整数左的和=.

x

【变式3-4]（2023•浙江•模拟预测）已知关于%的方程3=—4~=竺的方程恰好有一个实数解，求上的

x-1X-xX

值及方程的解.

【变式3-51.（2022・四川成都•一模）在V/BC中，AB=6,AC=4,4。是边上的中线，记40=加且加

为正整数.则小使关于X的分式方程等匚+4=」二有正整数解的概率为_____.

3-xx-3

【中考模拟即学即练】

1.（2024・安徽•模拟预测）关于x的方程匚的解为非负数，则小的取值范围是______.

x-11-x

2.（2024・四川宜宾•二模）若分式方程段=1-一三的解为负数，则。的取值范围是.

3.（23-24九年级下•四川成都•期中）若正整数。使得关于x的分式方程2+，7有正整数解，那么

x-4x-4

符合条件的所有正整数。的个数有个.

4.（2024•江苏宿迁•三模）若关于x的方程—<+==2的解为正数，则正的取值范图是________.

x-11-x

5.（2024•江苏扬州•模拟预测）已知关于x的方程3=2-4有一个正数解，则机的取值范

x-33-x

围.

x-a<Q

6.（2024・重庆•模拟预测）若关于x的不等式组x+3…x-1有解，且关于x的分式方程=+1=乙的

12X—11—X

[2-------3

解为非负数，则满足条件的整数。的值的和为

题型四：一元二次方程根的情况判断

，指I点I迷I津

;判别式判断法

用一元二次方程根的判别式6-4ac与0的大小判断，其判别式用符号“A”表示若△>0,一元二次方程有

两个不相等的实数根:若△=0,一元二次方程有两个相等的实数根:若△<0,一元二次方程没有实数根.

【中考母题学方法】

【点例3】（2024•山东泰安•中考真题）关于x的一元二次方程2--3x+后=0有实数根，则实数上的取值范围

是（）

9999

A.k<—B.kW—C.kN—D.k<—

8888

【变式3-1]（2024•江苏南通・中考真题）已知关于％的一元二次方程/一2%+左=0有两个不相等的实数根.请

写出一个满足题意的左的值：.

【变式3-2】难点结合根的情况求参数的范围

（2024•四川绵阳•二模）若关于x的分式方程/-=1有解，且关于y的方程/-2y+m=0有实数根，则机

3-x

的范围是.

【变式3-3】难点根的情况与三角形的综合应用

（2024•广东广州"一模）关于x的方程--25+/+/=0有两个相等的实数根，若。,6,c是V/8C的三边长，

则这个三角形一定是（）

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【变式3-4].（2024•吉林长春•中考真题）若抛物线了=/-x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值

范围是.

【中考模拟即学即练】

1.（2025・河南•模拟预测）若关于x的一元二次方程办2-x+l=0有实数根，贝"的取值范围是（）

A.aG—且B.aG—C.—且D.—

4444

2.（2024•四川达州•一模）对于实数〃,6定义新运算：a^b=ab2-b,若关于％的方程左※％=1有两个不相等

的实数根，则上的取值范围（）

A.k>—B.k<—C.k>—且左D.k>—且左，0

4444

3.（2024・湖北随州•一模）定义：如果一元二次方程"2+6x+c=0（a*0）满足。=。+1,那么称这个方程为“奇

妙方程已知加+队+1=0（"0）是"奇妙方程”，且有两个相等的实数根，则6的值为.

4.（2024・四川眉山・中考真题）已知方程/+》-2=0的两根分别为X],x2,则,+—的值为_____.

再x2

5.（2024・上海宝山•一模）若二次函数y=-（x-，7+46+l图像与一次函数y=f+5（-14x45）只有一交

点，则6的取值范围为.

6.（2024•新疆克孜勒苏•一模）已知关于x的方程x?+（2机+l）x+加（加+1）=0.求证：方程总有两个不相等

的实数根

7.（2023・湖北黄冈•模拟预测）已知关于x的一元二次方程（a+b）f+2cx+（b-a）=0,其中“、b、c分别

为V/8C三边的长.

（1）如果x=-l是方程的根，试判断V/2C的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断V/BC的形状，并说明理由；

⑶如果VABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.

题型五：一元二次方程根与系数关系

指I点I迷I津

如果一元二次方程a/+Z?X+C=0（Qw0）的两个实数根是玉，x2,

/bc

那么X]+X-----，X]%二一•

2aa

注意它的使用条件为a#0,A20.

【中考母题学方法】

【典例5】（2024•四川巴中•中考真题）已知方程/-2x+左=0的一个根为一2,则方程的另一个根为.

【变式5-1］利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值

（2024•山东烟台•中考真题）若一元二次方程2--4x-l=0的两根为m,n,则3/-4机+/的值为.

【变式5-2］（2024・四川南充•中考真题）已知为，工?是关于x的方程f-2Ax+/一斤+1=0的两个不相等的

实数根.

（1）求左的取值范围.

（2）若上<5,且左，4，%都是整数，求发的值.

【变式5-3］.（2023•浙江绍兴・中考真题）已知关于x的方程/+3无+4=0的两个实数根的倒数和等于3,且

关于X的方程化-l）f+3x-2a=0有实数根.当左为正整数时，求不等式一<_1的解.

/+3io

【中考模拟即学即练】

L（2024・四川内江•中考真题）已知关于》的一元二次方程V+1=0（，为常数）有两个不相等的实数

根为和马.

⑴填空：匹+%2=，中2=

111

⑵求—+—，石+―；

再

（3）已知才+君=2p+l,求。的值.

2.（2024・四川眉山・二模）已知关于x的一元二次方程——3x=l-3小有实数根.

⑴求机的取值范围；

（2）设方程两实数根分别为为、且满足-再迎V15,求加的取值范围.

题型六：不等式组的整数解问题

指I点I迷I津

常考类型及思路

求不等式组的整数解及整数解的和与个数：先解不等式组，再根据解集判断求解：已知不等式组有（无）

解,求参数的取值范围：先用含参数的式子表示不等式组中各不等式的解集,再根据不等式组有（无）解构

造关于参数的不等式（组）求解：已知不等式组的整数解个数,求参数的取值范围：先用含参数的式子表示

不等式组的解集,结合特殊解的个数,确定具体的特殊解,再列不等式（组）求解.

【中考母题学方法】

4x①

【典例6】（2024・山东济南・中考真题）解不等式组：尤+2x+5^，并写出它的所有整数解・

----<——②

123

—F2x<x+4

【变式6-1］（2024•山东淄博•中考真题）解不等式组：22并求所有整数解的和.

x-3<1+2%

3(x-1)>x-6

【变式6-2].（2023•黑龙江大庆•中考真题）若关于x的不等式组有三个整数解，则实数”的

8—2x+2a>0

取值范围为.

【变式6-3】难点不等式组与方程结合,确定参数情况

4x-l1

----<x+l

（2024•重庆・中考真题）若关于x的不等式组3至少有2个整数解，且关于V的分式方程

2（x+l）>-x+a

a-l3

--=2---的解为非负整数，则所有满足条件的整数。的值之和为______.

j-ii-y

【中考模拟即学即练】