2025年中考数学一轮复习难点与解题模型：三角形中七种常考方法求角度问题（解析版）

难点与解题模型09三角形中七种常考方法求角度问题

题型一：方程法求角度问题

题型二：分类讨论法求角度问题

题型三：A字模型

题型四：8字模型

题型五：飞镖（燕尾）模型

题型六：三角形折叠模型

题型七：双角平分线模型

精淮提分

题型一：方程法求角度问题

|SiS।Si#...............................

，方程法的解题步骤

；第一步：找出题中的已知角，常涉及的概念有垂直、余角、补角、对顶角、角平分线等

i

;第二步：根据题干中出现的角度和差、倍分关系或者角度比例关系，考虑设一个角为未知数

I

，第三步：用所设角度表示出其他角度

i

，第四步：通过列方程求解

【中考母题学方法】

【典例1】（2023•河南信阳•二模）【阅读理解】如图1,小明把一副三角板直角顶点。重叠在一起•如图2固

定三角板AO3,将三角板COO绕点0以每秒15。的速度顺时针旋转，旋转时间为/秒，当0。边与08边重

合时停止转动.

【解决问题】

⑴在旋转过程中，请填出—AOC、/3C©之间的数量关系

⑵当运动时间为9秒时，图中有角平分线吗？找出并说明理由;

⑶当NAOC、ZAOB,/BOC中一个角的度数是另一个角的两倍时，则称射线OC是—AOB的"优线"，请直

接写出所有满足条件的f值.

【答案】(1)NAOC+N3QD=180。

（2）有，0。平分NAO3,OB平分NCOD,理由见解析

(3)r=2,3,4,9,12

【分析】（1）由题意，根据题目分析，然后画出图形可得结论;

（2）依据题意，画出图形，然后分别计算出角的度数可得解;

（3）依据题意，将所有可能情形梳理并分类讨论可得f的值.

【详解】（1）解：①如图，ZAOC+ZB（9D=180°,理由如下:

由题意得，ZDOA=90°-ZAOC,ZCOB=90°-ZAOC.

0ZAOC+ZBOD=ZAOC+Z.DOA+ZAOC+ZCOB

=ZAOC+90°—ZAOC+ZAOC+90°-ZAOC

=180°,

D

②如图，ZAOC+ZBOD=130°,理由如下:

由题意得，ZDOA=90°-ZDOB,ZCOB=90°-ZDOB.

0ZAOC+ZBOD=ZDOA+NDOB+ZCOB+ZBOD

=90°-ZDOB+NDOB+90°-NDOB+ZBOD

=180°,

A

D

0\B

C

综上，ZAOC+ZBO/)=180°.

故答案为：NAOC+NBOD=180。；

(2)解：有，0。平分/AQ3,03平分NCO£).

如图所示，理由如下：

当运动时间为9秒时，NAOC=15以9=135。，

0NBOC=ZAOC-ZAOB=135°-90°=45°.

0ZCOD=90°,

fflNBOD=ZCOD-ZBOC=90°-45°=45°,

0ZBOC=ZBO£)=45°,

EOB平分ZCOD,

13ZBOD=45°=-ZAOB,

2

团8平分NAO3；

(3)解：由题意得，ZAOB=90°,ZAOC=(15r)°.

当/3OC=2ZAOC时，ZAOC=30°,

015?=30,解得r=2；

当NAO3=2NAOC,OC在NAO3内部时，ZAOC=45°,

Ell5t=45,解得，=3；

当NAOC=2ZBOC时，ZAOC=60°,

即5f=60,解得f=4；

当ZAOB=2ZBOC时,ZAOC=135°,

町5t=135,解得t=9；

当NAOC=2NAO3时，ZAOC=180°,

町5/=180,解得f=12；

综上，t—2,3,4,9,12.

【点睛】本题主要考查角的计算，解题时需要全面考虑分析所有可能，学会分类讨论是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（23-24陕西西安）新定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所

成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图1,若射线OC、0。在

的内部，且？CODAOB,则NCOD是NAO3的内半角，根据以上信息，解决下面的问题：

⑴如图1,44。3=70。,44。。=25。，若NCOD是—AOB的内半角，则NCOE>=,ZBOD=.

⑵如图2,已知NAOB=60。，将NAO3绕点。按顺时针方向旋转一个角度以0°<g<60。）至NCOD.若

NCO3是NAOD的内半角，求a的值.

⑶把一块含有30。角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与Q4边重合，OO边与08边重合，如图4,

将三角板CQD绕顶点。以4度/秒的速度按顺时针方向旋转一周，旋转时间为f秒,当射线04OB、OC,OD

构成内半角时，请求出f的值.

【答案】（1）35。，10。

（2）20°

,、5—45—135—175

⑶5或彳或；一或可

【分析】(1)本题主要考查了角的和差，先根据题意算出NCOD的度数，再利用

NBOD=ZAOB-ZAOC-Z.COD即可解答；弄清楚角之间的关系是解题的关键；

(2)本题主要考查看旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转性质可推出

NAOC=/3。£)=夕和NCOD=403=60。，然后可用含有a的式子表示NA0D和NCOB的度数，根据

NCO3是/AOD的内半角，即可求出a的值即可；掌握内半角的定义是解题的关键；

(3)本题主要考查了旋转的性质、内半角的定义、一元一次方程的应用等知识点，根据旋转一周构成内半

角的情况总共有四种，分别画出图形，求出对应/值即可.掌握分类讨论思想是解题的关键.

【详解】(1)解：EINCOD是NAO3的内半角，ZAOB=10°,

ZCOD=-ZAOB=35°,

2

回NBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD=70°-25°-35°=10°.

故答案为：35°,10°.

(2)解：由旋转性质可知：ZAOC=ZBOD=a,ZCOD=ZAOB=60°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=a+60°,ZCOB=ZAOB-ZAOC=60°-a,

团NCOB是NAOD的内半角，

SZAOD=2ZCOB,即0+60。=2(60。-可，解得:a=20°.

0a的值为20。.

(3)解:①如图4：此时NCQ3是NAOD的内半角，

由旋转性质可知：ZAOC=ZBOD=4t°,ZCOD=ZAOB=30°,

回ZAOD=ZAOC+ZCOD=4尸+30°,ZCOB=ZAOB-ZAOC=30°-4t°,

国NCOB是NAOD的内半角，

SZAOD=2ZCOB,即4产+30°=2(30°-4『)，解得：?=|:

②如图：此时NCO3是NAOD的内半角，

由旋转性质可得：NAOC=NBa>=4/。，ZCODZAOB30°,

0ZAOD=ZAOC+ZCOD=4t°+30°,ZBOC=ZAOC-ZAOB=4t°-30°,

团NCOB是NAOD的内半角，

0?AODHBOC,即4尸+30°=2（4产一30°）,解得：/=，；

③如图所示，此时NAOD是，BOC的内半角，

由旋转性质可知：44。。=/8。。=360。-4产，ZCOD=ZAOB=30°,

0NBOC=ZBOD+ZCOD=390°-4尸，ZAOD=ZAOC-ZCOD=330°-4t°,

回/AOD是/3OC的内半角，

135

SZBOC=2ZAOD,即390°—4/°=2（330°—4巧，解得：/=三;

④如图所示，此时NAOD是/BOC的内半角，

由旋转性质可知：ZAOC=ZBOD=360°-4t°,ZCOD=ZAOB=30°,

回NBOC=ZBOD+ZCOD=390°-4产，ZAOD=ZCOD-ZAOC=4产-330°,

团/AOD是，BOC的内半角，

175

B1ZBOC=2ZAOD,即390。-4佯=2（4产一330。），解得：t=

综上所述：当射线。4、OB、oaOD构成内半角时，t的值为5|■4或5?或13/5或175

【变式1-2］（23-24湖南长沙）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成

的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1,若射线OG8在NAO3的

内部，且NCOD+NAO3=90。，则NCOD是的内余角.

根据以上信息，解决下面的问题:

⑴如图1,NAOS=72。，ZAOC=20°,若NCOD是NAO3的内余角，贝1]/3。£>=；

(2)如图2.已知NAO3=60。将。4绕点。顺时针方向旋转一个角度以0°<a<60。)得到OC.同时将OB绕

点。顺时针方向旋转一个角度ga得到0。.若NCOB是NAOD的内余角，求a的值；

⑶把一块含有30。角的三角板COD按图3方式放置，使OC边与边重合，0。边与08边重合，如图4将

三角板COD绕顶点。以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为f秒，在旋转一周的时间内，当射线

OA,OB,OC,OD构成内余角时，请求出f的值.

【答案】⑴34°

(2)a的值为45。

⑶当射线。4,OB,OC,8构成内余角时，。的值为7.5秒或52.5秒

【分析】本题主要考查角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键.

⑴根据内余角可求出“OD的度数，再根据=-ZAOC-NCOD即可求解；

(2)根据旋转的性质分别用含a的式子表示/CO3,/BQD的度数，再根据NCO3是/AOD的内余角列

式求解即可；

(3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当OC在/AO3内部时；当OC在射线08下方时；当

在。4上方时；当。。在—AQ3内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，列表求解即可.

【详解】(1)解:EINCOD是-4QB的内余角，

13ZCOD+ZAOB=90°,

0ZAOB=72°,

回ZCOD=90°-ZCOD=90°-72°=18°,

ElZAOC=20°,

团ZBOD=ZAOB-ZAOC-ZCOD

=72°—20°-18°

=34°,

故答案为：34°；

(2)解：已知NAQ3=60。，Q4绕点。顺时针方向旋转一个角度矶0°<1<60。)得到0008绕点。顺时

针方向旋转一个角度;a得到OD,

0ZAOC—a,NBOD=—a,

3

0ZBOC=ZAOB-a^60°-a,ZAOD=ZAOB+ZBOD=60°+-a,

3

回NCO3是NAOD的内余角，

0ZCOB+ZAOD=90°,

060°-a+60°+-a=90°,

3

解得，a=45。

0®的值为45。；

（3）解：根据题意可得，ZAOB=3Q°,三角板CO。绕顶点。以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间

为/秒，

当OC在一AOB内部时，如图所示，

SZAOC=6t,ZBOD=6t,

0ZBOC=ZAOB-ZAOC=30°-6t,ZAOD^ZAOB+ZBOD=30°+6t,

若ZCOB是ZAOD的内余角时，得/COB+ZAOD=90°,

03O-6r+3O+6r=9O°,无解,

团当OC在NAQ8内部时，射线0AOB,OC,OD不能构成内余角；

当OC在射线08下方时，如图所示，

团ZBOC=6t—30°,ZAOD=6r+30°,

若ZBOC是ZAOD的内余角，

06r-3Oo+6f+3O°=9O°,

解得，%=7.5（秒）；

当在Q4上方时，如图所示,

()H

aZAOD=360°—6r—30°=330°—6r,ZBOC=ZAOD+60°=330°—+60°=390°-6t,

若NAOD是23OC的内余角，

033O°-6r+39O°-6z=9O°,

解得，t=52.5(秒)；

当OD在NAO3内部时，如图所示，

0ZAOC=360°-6Z,ZBOD=360°-6t,ZAOD=6r-ZAOC=6t-（360°-6?）=12r-360°,

ElZBOC=NAOC+ZBOD=360°—6r+360°—6/=720°—12人

若NAOD是Z3OC的内余角，

Ell2r—360+720—12,=90°,无解，

团当OD在-403内部时，射线0AOB,OC,OD不能构成内余角；

综上所述，当射线Q4,OB,OC,8构成内余角时，f的值为7.5秒或52.5秒.

【变式1-3］（23-24河南焦作）一副三角板按如图1所示放置，边Q4,OC在直线MN上,

ZAOB=60°,ZCOD=45°.

图3图4

如图2,将三角板COD绕点。顺时针旋转到C'OD,转速为每秒钟转动5。，当OC旋转一周回到射线QV上

时停止转动，设转动时间为/秒.

(1)当8'与08重合时，直接写出的值；

⑵①当OD正好平分ZBQ4时，在图1中画出此时的位置，并求出t的值；

②在旋转过程中，作ZBOD的角平分线0E,当NAOE=15。时.直接写出f的值.

【答案】⑴15秒

⑵①图见详解，f的值为21秒；②f的值为33或45秒

【分析】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键.

(1)根据已知角的度数和平角的定义直接求度数即可；

(2)①根据"00=105。求解即可；②根据题意分两种情况得出的度数，求解即可.

【详解】(1)解：由题知，ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD

=180°-60°-45°

=75°

75°

t=——=15(秒)；

(2)①如图所示:

图1

---OD正好平分ZBO4

NBOD'=ZAOD'=-ZBOA=30°

2

QZBOD=75°,

ZD'OD=ZBOD+NBC©'=75。+30。=105°

105°~

••t--------21f

5°

二•£的值为21；

②当OS在NBQ4内部时，

ZAOE=15°,

：.ZBOE=ZBOA-ZAOE=60。—15。=45°

OE平分N5QD'

ZBOE=ZD'OE=45。

：."'04=45。—15。=30。

ZDrOD=ZD'OA+ZAOD=30°+180°-45°=165°

165°”

t=-------=33

5°

当OE在ZBOA外部时，

ZAOE=15°

：.ZBOE=ZBOA+NAOE=600+15°=75°

OE平分

，ZBOE=ZD,OE=75°

/.0。转动的角度为：ZBOE+ZiyOE+ZBOD=y50+15°+15°=225°,

7750

解得「=言=45,

.,.当NAOE=15。时.♦的值为33或45（秒）.

题型二：分类讨论法求角度问题

「辐TAT速T系....................I

i；常考分类讨论的情形i

i1.若题中出现角度大小，但不明确角度边的位置，需对角的位置进行分情况讨论,再根据角度大小分别求解：i

2.若题中出现射线旋转，并让探究三条射线中某一条射线是另两条射线夹角的平分线，需分别讨论哪条射线是；

角平分线的情况；

3.若题中出现射线三等分角，但并未说明射线靠近角度的哪一边,需对射线的位置进行分情况讨论.

【中考母题学方法】

【典例2］（22-23浙江）【问题提出】已知/3OC与—AOC有共同的始边0C,且满足/BOC=2NAOC,

若NAOC=28。，求/AO3的度数.

【问题解决】圆圆首先画出两个符合题意的图形，运用分类讨论的数学思想，解决问题.

在图①中，当射线在/3OC的内部时，由题意易得NAOB=28。；

在图②中，当射线。4在—3OC的外部时，由题意易得NAO3=84。.

-8-7-6-57-3-270I2345678

图⑶

【问题应用】请仿照这种方法，解决下面两个问题

⑴如图③，已知点A,B,C在数轴上对应的数分别为T,2,1,请在数轴上标出线段AC的中点。并写

出。所表示的数；若数轴上存在点E,它到点C的距离恰好是线段的长，求线段DE的长.

（2）如果两个角的差的绝对值等于90。，就称这两个角互为垂角，例如：Zl=120°,Z2=30°,|Zl-Z2|=90°,

则Z1和Z2互为垂角（本题中所有角都是指大于0°且小于180。的角）.

①若/&=140。，求/々的垂角；

②如果一个角的垂角等于这个角的补角的;，求这个角的度数.

【答案】（1）8^或3；

（2）①50°；②18。或126°

【分析】本题考查了互为垂角和补角的定义及运用，数轴，数轴上两点之间的距离，绝对值，解题关键是

找准角之间关系.

（1）根据中点的定义找到点。，由已知的A、B、C所表示的数求出A3的长度，就可以求出E点所在的位

置，再求出DE的长度.

（2）①根据互为垂角的定义求出即可.②根据已知条件，分类列出方程解之.

【详解】（1）解：回点A,B,C在数轴上对应的数分别为T,2,1,点。的线段AC的中点，

SD所表示的数为号^=--，AB=2-（T）=6,

如图，点。即为所求；

EiADCBEi

A▲▲/*A▲上▲上*▲*A*AAA

-8-7-6-5-4—3-2T012345678

团点E到点。的距离恰好是线段A5的长，

团CE=AB=6,

团点c表示的数为7或-5,

EIDE的长为：7_]_：1；]=8：或_5_1_lgJ=3g；

（2）解:①设/a的垂角为x。，

根据题意得：|140°-x°|=90°,

即40°-x°=90°或140°—x°=-90°,

解得x=50或230（舍去），

0/a的垂角为50。；

②设这个角的度数为

当0<y<90时，它的垂角为（90+y）。,

根据题意得90+y=§（180-y）,

解得：y=18,

当90<”180时,它的垂角为(y-90)。,

9

根据题意得y-90=§(180-y),

解得y=126,

故这个角的度数为18。或126°.

【中考模拟即学即练】

【变式2-1](24-25•江苏无锡)定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成

的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角.如图①所示，若？COD

⑴如图①所示，已知N40B=70。，ZAOC=15°,NCC©是/AO3的内半角，贝.

(2)如图②，已知NAOB=63。，将—493绕点。按顺时针方向旋转一个角度1(0<]<63。)至/<?00,当旋

转的角度a为何值时，NCOB是NAOD的内半角？

⑶已知ZAO8=30。，把一块含有30。角的三角板如图③叠放，将三角板绕顶点。以3。/秒的速度按顺时针方

向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线0。始终在-AO3的外部，射线。4,O3,OC,OD能否

构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由.

【答案】⑴20。

⑵a=21。

⑶当旋转的时间为gs或3ch或90s或与s时，射线。4,OB,OC,能构成内半角

【分析】(1)由内半角的定义得？COD^AOB=35°,再由/3OD=NAOB-NAOC-NCOD即可求解；

(2)由旋转得：ZAOC=ZBOD=a,由角的和差得N3OC=63。-。，ZAOD=630+a,再由内半角的定

义得NCOB=；NAOD,即可求解；

(3)分四种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解.

【详解】(1)解：ZAOB=70°,NCOD是的内半角，

ZCOD=-ZAOB

2

=-x70°

2

=35°,

ZBOD=ZAOB-ZAOC-/COD

=70°-15°-35°

=20。；

故答案：200；

(2)解：当旋转的角度a为21。时，NCOB是NAOD的内半角；

理由如下：

由旋转得：ZAOC=ZBOD=a,

/.ZBOC=ZAOB-ZAOC

=63。—a,

ZAOD=ZAOB+ZBOD

=630+a,

NCC出是NAQD的内半角，

ZCOB=-ZAOD

2f

63°-a=1(63°+a),

解得：a=21。；

(3)在旋转一周的过程中，射线Q4,OB,OC,O。能构成内半角，理由如下;

理由：设按顺时针方向旋转一个角度。，旋转的时间为3

如图1,团。是NAOD的内半角，ZAOC=ZBOD=a,

团NAOD=300+a,

团3（30。+1）=30。-1,

解得：a=10。,

10z、

团”可⑸；

如图2,回。是NAOD的内半角,ZAOC=ZBOD=a,

团NAOD=300+a,

团：（30。+1）=a—30。

0a=90°,

90

mr=——=30（s）；

3

如图3,回NAOD是N3OC的内半角,ZAOC=ZBOD=360-a,

0ZBOC=360°+30°-a,

团1（360°+30°-a）=360°一a-30°

0«=270°,

0r=9O（s）,

如图4,回NAOD是—BOC的内半角,ZAOC=NBOD=360—,

B

图4

团ZBOC=3600+30。一。，

01（360。+30。-c）=30。+30°-（360°+30。-a）,

解得：e=350。，

350、

0^=—（zs），

综上所述，当旋转的时间为gs或33或90s或—s时，射线Q4,OB,OC,OD能构成内半角.

【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的

过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键.

【变式2-2］（23-24•广东广州）（1）如图，线段AS=20cm,C为A3的中点，点P从点A出发，以2cm/s的

速度沿线段A3向右运动，到点B停止；点。从点2出发，以lcm/s的速度沿线段向左运动，到点A停

止.若尸，。两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止.设点尸的运动时间为x（x>0）

S.

APCQB

（0）AC=cm.

5）是否存在某一时刻，使得C,P,0这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出

所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由.

（2）一副三角板按左图中的方式拼接在一起，其中边。4、OC与直线跖上，ZAO5=45°,ZCOD=60°.

（0）NBOD=度.

（0）如图，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转角。（即NAOE=cr）,在转动

过程中两个二角板一直处于直线EF的上方.

②在旋转过程中，是否存在某一时刻满足N3OC=2NAOD?若存在，求此时的角若不存在，请说明理

由.

【答案】（1）（回）10（0）%=6；x=9（2）（团）75（团）①a的值为30°,90°,105°②当£=105°或125°

时，存在/30C=2NA0D

【分析】（1）（回）根据线段中点，可得答案；（回）根据线段中点的性质，可得方程，根据解方程，可得答

案.

（2）（0）根据平角的定义即可得到结论；（团）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论；②当。4

在。0的左侧时，当。4在OD的右侧时，列方程即可得到结论.

【详解】解：（1）（E）团C为的中点

120

0AC=-AB=y=10（C/77）.

故答案为：10；

（0）存在,

①I3P的速度2c〃z/s,。的速度是lcro/s,

^AP^BQ,

又AC=3C,

OPCxCQ

回C不是线段尸。的中点；

②尸为线段CQ的中点，得

2（2x-10）=10-x,解得x=6；

③。为线段尸C的中点，得

2x-10=2（10-%）,解得了=修

综上所述：久=6或》=二.

2

（2）（0）ZAO3=45°,ZCOD=60°,

:ZBOD=180°-ZAOB-ZCOD=75°,

故答案为：75；

（团）①当03平分NAOD时，

ZAOE=a,ZCOD=60°,

ZAOD=180°-ZAOE-ZCOD=120。—2,

ZAOB=-ZAOD=60°--a=45°,

22

...oc=30°,

当05平分/AOC时，

ZAOC=lSO0-a,

:.ZAOB=90°--a=45°,

2

a=90°；

当05平分NDOC时，

NZX?C=60。，

:.ZBOC=30°,

c=180。—45°-30°=105°,

综上所述，旋转角度。的值为30。，90°,105°；

②当Q4在。。的左侧时，则ZAOD=120。-e,NBOC=135。—a,

ZBOC=2ZAOD,

.•.135。—a=2（120。—a）,

「.a=105°；

当。4在OD的右侧时，贝|NAOD=a—120。，ZBOC=1350-af

ZBOC=2ZAODf

:.135°-a=2（a-120）,

.”=125°,

综上所述，当a=105。或125。时，存在NBOC=2NAQD.

【点睛】本题考查了两点间的距离，角的计算，特殊角，角平分线的定义，利用线段中点的性质得出关于X

的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏.

【变式2-3］（24-25陕西西安）探究与实践

将一副三角板按如图方式拼接在一起，已知NAOB=90。，ZCOD=60°,按如图1所示摆放，将。4、OC边

重合在直线MN上，OB、边在直线肋V的两侧：

【问题发现】

(1)保持三角板不动，将三角板COD绕点。旋转至如图2所示的位置，则

①ZAOC+ZBOD=；

②ZBOC-ZAOD=.

【问题探究】

(2)若三角板COD按每分钟6。的速度绕点。逆时针方向旋转，三角板A08按每分钟4。的速度也绕点。

逆时针方向旋转，OC旋转到射线QV上时都停止运动，设旋转f分钟，计算/MOC-NAOD(用含f的代数

式表示).

【问题解决】

(3)保持三角板不动，将三角板CQD绕点。逆时针方向旋转〃°(〃<360),若射线OE平分NAOC,

射线OP平分4BOD,求NEOP的大小.

【答案】(1)①150。；②30。；(2)ZMOC-ZAOD=(8f-60)°；(3)NEOR=15。或165。

【分析】本题考查的是角的和差运算，角平分线的定义，角的动态定义的理解；

(1)①将NAOC+/3OD转化为NCOD+NAO3即可得；②依据/BOC=NAO3-NAOC、

ZAOD=/COD—ZAOC,将原式转化为/AOB-/COD计算可得；

(2)设运动时间为f秒，0<fW30,/MOC=(6f)°,只需表示出/AOD即可得出答案，而/AOD在O£)与。4

相遇时，/=30,再画出图形求解即可；

(3)设△DOC绕点。逆时针旋转”。，再分①①0(相4180。时，如图；②180。(废4360。时，如图，分

别画出图形求解即可.

【详解】解：(1)0ZAOC+ZBOD=ZAOC+ZAOD+ZAOB

=ZCOD+ZAOB=60°+90°=150°,

②NBOC-ZAOD=(ZAOB-ZAOC)-(ZCOD-ZAOC)

=ZAOB-ZAOC-NCOD+ZAOC

=ZAOB-ZCOD=90°-60°=30°；

(2)设旋转时间为/秒，则0<K30,ZMOC=(6r)°,

当OD与OA相遇时，6-4t=60,

解得：7=30,

如图，

BC

ZAOD=(60+4f-6r)0=(60-2t)。,

*A

NOM

D

团ZMOC-ZAOD=(8r-60)°；

(3)设OS绕点O逆时针旋转九°，

①0<〃。4180。时，如图，

回AAOB=90°,ZMOD=60°-n°,

ISABOD=ZAOB+ZMOD=(150-n)°,

团OP平分/BOD，

U1NB0尸=工(150—")°=75°—；"°>

22

团NMOC=〃°，OE平分/A℃，

团ZMOE=:Z-MOC=不相

0Z.BOE=(90-；,

团/.EOF=/BOE-NBOF=15°；

②180。<〃。4360。时，如图，

B

C□

团ZAOB=90°,/MOD=n°-60°,

^ZBOD=ZMOD-ZAOB=(n-\50)°,

国。尸平分/BOD，

0ZBOF=NDOF=g-150)°,

0ZMOC=360°-rf,OK平分ZAOC,

0ZMOE=NCOE=-ZMOC=180°--M°,

22

0ZEOF=360°-NBOE-NBOF=360°-90°-(180°-j一-150°)=165°.

综上，NEO尸=15°或165°.

题型三：A字模型

iiirs..................

i।

；模型结论：Z.DBC+AECB=180°+ZA.

I

【中考母题学方法】

【典例3】（2024•贵州•模拟预测）教材回顾

我们知道，直角三角形的两个锐角互余，你能对直角三角形的这一性质进行证明吗？

性质证明

（1）为了证明该性质，小明同学画出了图形（如图1）,并写出了"已知"和"求证"，请你完成证明过程.

已知：在直角三角形ABC中，ZC=90°

求证：ZA+ZB=90°

性质运用

（2）如图2,在_旗河中，AB=10,点C,。分别在41/上，且MC=4,AD=CD=5,NB=/MDC,

求证：ZA+ZB=90°.

拓展提升

(3)如图3,在VABC中，AB=BC=20,AC=24,D,E分别为AB,AC的中点.M,N分别在AC,

BC±,且EN=2MC,CN=6,DM与BE相交于b，AE与DAf相交于。求证：点。是万河的中点

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析

【分析】本题考查三角形的内角和定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理逆定理：

(1)根据三角形的内角和定理，即可得出结论；

MCCD

(2)先证明,CDMS,.ABM,得到求出AM的长，进而求出。欣的长，勾股定理逆定理得到

AMAB

VCDM是直角三角形，且NM=90。，即可得证；

(3)先证明,得到Z4MD=NCEN,进而得到OE=OAf,三线合一，得到BE_LAC,得

至!!ZBEC=90。，进而得到NMFE=NFEO,推出N=OE,等量代换得到。尸=。加，即可得证.

【详解】(1)证明：由三角形的内角和定理可得NA+NB+NC=180。，

又NC=90°,

0ZA+ZB=9O°.

(2)证明：EI4=NMDC,ZM=ZM,

0CDMs,ABM,

MC―,即/-=2

a——=解得A"=8,

AMABAM10

EIDM=AM—AD=3.

在VCDM中，CM=4,CD=5,DM=3,

SCM2+DM2=CD2

团VCDM是直角三角形，且/M=90。，

fflZA+ZB=90°.

(3)证明：EIAC=24,Er为AC的中点,

0EC=12,

又EM=2MC,

0CAf=4,

团AM=20.

回AB=20,点。为AB的中点,

EIAD=1O,

CN6AD10_1

团---=--

CE122~AM~2^~2

团AB=BC,

BZDAM=ZNCE,

©LADMsACNE，

⑦ZAMD=/CEN,

^OE=OM.

SAB=BC,点E是AC的中点，

0BE±AC,即ZB£C=900.

团ZOEM+ZOEF=ZEMF+ZEFM=90°,

BZMFE=ZFEOf

回OF—OE,

团OF=OM,

团点。为的中点.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］如图，ABC中，NA=65。，直线。石交AB于点，交AC于点瓦则N3DE+NCED=(

-----'C

A.180°B.215°C.235°D.245°

【答案】D

【详解】解：.NA=65。，

/.ZADE+ZAED=180°-65°=115°,

/.ZBZ)E+ZCED=360°-115°=245°,

故选：D.

【变式3-2】如图所示，的两边上各有一点民C,连接3C,求证/。5。+/£。5=180。+44.

A

【详解】解：NDBC和ZECB是,ABC的外角，

ZDBC=NA+ZACB,NECB=NA+ZABC.

又;ZA+ZASC+ZACB=180°,

ZDBC+ZECB=ZA+ZACB+ZABC+ZA=180°+ZA.

【变式3-3］如图1,直线/与一ABC的边AC,A3分别相交于点。，E（都不与点A重合）.

⑴若NA=64。，①求N1+N2的度数；②如图2,直线加与边AB,AC相交得至ljN3和N4,直接写出N3+24

的度数.（2）如图3,EO,分别平分N8ED和NCDE,写出/EOD和—A的数量关系，并说明理由；

（3）如图4,在四边形3CDE中，点V,N分别是线段DC、线段BE上的点，NG,MG分别平分/3NM和

ZCMN,直接写出NNGM与NE,"的关系.

【答案】（1）①244。；②244o（2）/EOD=90。一g/A,理由见解析⑶NE+/D+2NWGM=360。.

【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等

知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键.（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算

即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答；

（3）由（2）的结论可得+=再根据三角形内角和定理进行解答即可.

【详解】（1）解：①如图1,

VZ1=ZA+ZADE,Z2=ZA+ZAED,Z1+Z2=ZA+ZADE+ZAED+ZA,

-：ZA+ZADE+ZAED=180°,NA=64。，Zl+Z2=ZA+180°=64o+180o=244°；

②由①方法可得：/3+N4=Nl+N2=244°.

(2)解：^EOD=90°--^A,理由如下：由(1)可得/5匹+/。£)£=180。+/4.

2

VEO,OO分别平分ZBED和NCDE,ZOED=-ZBED,ZEDO=-ZCDE,

22

ZOED+ZEDO=；(ABED+ZCDE)=1(180°+ZA)=90°+1zA,

ZEOD=180°-(ZOED+NEOO)=180。-190。+；NAJ=90。-gNA.

(3)解：ZE+ZD+2ZNGM=360°,理由如下：由图2可得，ZBNM+ZCMN=ZD+ZE,

,/NG,MG分别平分和NCMV,:.NBNG=NMNG=；NBNM，NCMG=NNMG=gNCMN,

：.ZMGN=180°-(NMNG+NNMG)=180°-1(NBNM+NCMN)=18O°-1(ZD+ZE),

2/MGN+NO+NE=360°.

题型四：8字模型

【中考母题学方法】

【典例4】(2024•宁夏・中考真题)综合与实践

如图1,在VA3C中，5□是/ABC的平分线，的延长线交外角NC4"的平分线于点E.

【发现结论】

结论1：ZAEB=NACB；

结论2：当图1中NACB=90。时，如图2所示，延长BC交AE于点/，过点E作"的垂线交所于点G,

交AC的延长线于点H.则AE与EG的数量关系是.

【应用结论】

(1)求证：AH=GF；

(2)在图2中连接FH,AG,延长AG交F”于点N,补全图形，求证：FN=NH+y/2AE.

图1图2

【答案】【发现结论】结论1：结论2：相等（或AE=EG）；【应用结论】（1）见解析；（2）见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、等边对等角、

等角对等边、勾股定理等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键.

［发现结论］结论L根据角平分线的定义、三角形外角的性质，推出

2AEB?MAE1ABE-IMAC-?ABC,1ACB?MAC1ABC,即可得出/AE2=；

222

结论2：根据已知NACB=90。，和结论1NAEB=gzACB,得出/AEB=45。，根据角平分线的定义得出

2

ZABE=ZGBE,进一步推出ZAEB=NGEB,利用ASA证明△ABE四△GBE,即可得出AE=EG；

［应用结论］（1）根据过点E作AF的垂线交加于点G,得出？7GEF90?,推出？AHE?GFE,

结合结论2：AE=EG,利用AAS证明一空GEF,即可证明AH=GP；

（2）连接加，AG,延长AG交五”于点N,根据垂线的定义得出？AEG?FEH90?,由结论2得：

AE=EG,由（1）过程得：一丝,G£F,根据等边对等角、勾股定理、全等三角形的性质，推出

NEiG=NEGA=45。,AG=®AE,EH=EF,根据对顶角相等得出?NGH?EGA45?,推出

NEFH=NEHF=45。,进一步得出？A/W?FAN45?!?NGH?NHG45?,根据等角对等边得出

FN=AN=NG+AG,NH=NG,即可证明=NH+gAE.

【详解】解：［发现结论］结论1：

团是ZABC的平分线，BD的延长线交外角Z.CAM的平分线于点E,

0ZMAE=ZCAE--ZMAC,ZABE=ZCBE=-ZABC,

22

0??MAE?ABE-IMAC-1ABC,

22

又EI?ACBIMAC7ABC,

SZAEB=-ZACB,

2

故答案为：

结论2

团ZAC5=90。，由结论1得NAEB=』NAC5,

2

团？AE5-®0=45?,

2

团是NA6C的平分线，过点£作AF的垂线交互于点G,

@ZABE=NGBE,ZAEG=90°,

GEB?AEG?AEB90?45?45?,

BZAEB=ZGEB,

在，A8石和GBE中,

NABE=NGBE

<BE=BE,

NAEB=NGEB

团ABE空GBE(ASA),

团AE=EG,

故答案为：相等(或AE=£G)；

［应用结论］(1)证明：回过点E作AF的垂线交战于点G,

团？1GEF90?,

国？AHE?EAH90?,

BZACB=90°,

GFEEAH=90?,

团？AHE?GFE,

又团由结论2得：AE=EG,

团在AAEH和△GEF中，

ZAEH=ZGEF

<NAHE=ZGFE

AE=EG

团AEH-GEF(AAS),

回AH=GF；

(2)证明：如图，连接FH,AG,延长AG交于点N,

国过点E作AF的垂线交所于点G,

0?AEG?FEH90?,

回由结论2得：AE=EG,由（1）过程得：AEH^GEF,

1QQ990?___________

13?EAG?EGA-------------=45?,AG=JAE?+EG?=垃AE，EH=EF,