2025年中考数学复习：平移型“将军饮马”问题（含解析）

专题二平移型“将军饮马”问题

知识与方法

一、“造桥选址”模型

问题：如图3-2-1,河的两侧有两定点A,B,请在河的两岸找到点P,Q（河的两岸是平行的直线，PQ必须与

河岸垂直），使得AP+PQ+QB:最短.

方法:将AP沿与河岸垂直的方向平移，点A移动到点A，,点P移动到点Q，则.A4'=PQ.连接A，B,线段A'B

与直线b的交点为Q；过点Q，作QP」b,连接AP；即此时.最短.

二、“将军遛马”模型

问题：在直线1上找两个动点P,Q（P,Q两动点间距离为定值），使得AP+PQ+BQ的距离之和最小，该如何

处理呢？（“两动两定型”）

--定长

PQ

定点力

定点4♦/

左"^右

图3-2-3

方法一：先对称后平移

如图3-2-4,作定点A关于动点所在直线1的对称点A，,将点A，沿平行于直线1的方向从左到右平移PQ的

长度得点A",连接A"B交直线1于点Q,将点Q沿直线1从右到左平移PQ的长度得点P,即此时AP+PQ+BQ

最短•赞/

定点＜・、/对称+平移A.

s—FT——7方左T-----------T右

A.......A"

方法—：先平移后人:j/r小

如图3-2-5,将点A沿平行于直线1的方向从左到右平移PQ的长度得点A1,作定点A，关于动点所在直线1

的对称点A“，连接A”B交直线1于点Q,将点Q沿直线1从右到左平移PQ的长度得点P,即此时AP+PQ+BQ

最短.

典例精析

例如图326,正方形AB-CD的边长为6,E,F是对角线BD上的两个动点，且EF=2企,连接CE,CF厕ACEF

周长的最小值为.

答案：4V5+2企

图3-2-6

【简析】典型的“平移型将军饮马问题”（要将“一定两动”转变为“两定一动”问题即转化为“饮马问题”）.具体思路

均是构造定点关于动点所在直线的对称点.

解法一：先对称后平移

如图327①,易得点A与点C关于直线BD对称，将点A沿射线BD方向平移2a个单位长度到点C,

连接CC交BD于点F；将点F沿射线DB方向平移2四个单位长度到点E',连接CE,CF,此时ACEF的周长最

小.

如图②，因为A,（2两点关于BD对称，易得AE=CE,由平移易得四边形AEFC为平行四边形，所以AE=

C'F=CE,,由两点之间线段最短知CF+CF最短为CC；即CE+CF的最小值为CC的长，因为ACEF有一定边EF,

即此时ACEF的周长最小.

由勾股定理易得CC=4近，即ACEF的周长最小值为4V5+2V2.

图3-2-7

解法二：先平移后对称

如图328①，将点C沿射线BD方向平移2企个单位长度到点C,作C关于BD的对称点C"，连接CC”,

则交BD于点F,将点F沿射线DB

方向平移2/个单位长度到点E1,连接CE',止匕时ACEF的周长最小.

如图②，因为C,C”两点关于BD对称.易得C'F=LF,由平移易得四边形CEFC为平行四边形，所以CF=

C'F=CE,由两点之间线段最短知CF+CF最短为CC”,即CE+CF的最小值为CC”的长，因为ACEF有一定边EF,

即此时ACEF的周长最小.

由勾股定理易得CC=4V5,BPACEF的周长最小值为4V5+2V2.

①②

图3-2-8

反思与总结

平移型，，将军饮马，，问题，需要我们有化动为定思想，将某动点看作定点，再通过平移定线段转化为“将军饮马”

问题来解决.

进阶训练

1.如图329,正方形ABCD内接于。0,线段MN在对角线BD上运动，若。0的面积为2兀,MN=1,则AAMN

周长的最小值是()

图3-2-9

A.3B.4

C.5D.6

2.如图3-2-10,在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动,A(0,2),B(0,4),

连接AC,BD,则AC+BD的最小值为)

A.2V5B.2V10

C.6V2D.3V5

3.如图3211，已知直线lillkhj之间的距离为8点P到直线11的距离为6点Q到直线b的距离为4PQ=

4V在直线上上有一动点A,直线卜上有一动点B,满足AB_L12,且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ=

图3-2-11

4.如图3212矩形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD的中点,P,Q为BC上两个动点且PQ=3,当CQ=

时.四边形APQE的周长最小.

图3-2-12

5.如图3-2-13,在直角坐标系中，矩形OABC的顶点0在坐标原点，顶点A,C分别在x轴.y轴上,B,D两点坐

标分别为B(-4,6),D(0,4),线段EF在边OA上移动，保持EF=3,当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标

为.

6.如图3214,已知sinC=|,长度为2的线段DE在射线CF上移动，点B在射线CA上，且BC=5,则ABDE

7.如图3215，在平面直角坐标系中，已知点A(-2,。),点B(0,4),点E(O,1).将AAEO沿x轴向右平移得到△AEO,

连接AB,BE,则当A'B+BE，取最小值时，点E的坐标为.

图3-2-15

8.如图3216直线1外有一点D,点D到直线1的距离为5,AABC中,/ABC=9(F,AB=6,tanNC4B=/边AB

在直线1上滑动，则四边形ABCD周长的最小值为.

图3-2-16

9.如图3-2-17，已知二次函数的图象与x轴交于A和B(-3,0)两点与y轴交于C(0,-3),对称轴为直线x=-l,

直线y=-2x+m经过点A,且与y轴交于点D,与抛物线交于点E,与对称轴交于点F.

⑴求抛物线的解析式和m的值

(2)在y轴上是否存在点P,使得以D,E,P为顶点的三角形与AAOD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存

在，试说明理由.

⑶直线y=l上有M,N两点(M在N的左侧)，且MN=2,若将线段MN在直线y=l上平移，当它移动到某一

位置时，四边形MEFN的周长会达到最小，请求出周长的最小值(结果保留根号).

10.已知抛物线y=a久2_2ax+c(a,c为常数，a/))经过点C(0,-l),顶点为D.

(1)当a=l时，求该抛物线的顶点坐标.

⑵当a>0时，点E(0,l+a),若DE=2<2DC,,求该抛物线的解析式.

(3)当a<-l时，点F(0,l-a),过点C作直线1平行于x轴，M(m,0)是x轴上的动点,N(m+3,-l)是直线1上的动点.

当a为何值时，FM+DN的最小值为2VIU,并求此时点M,N的坐标.

进阶训练I

1.B［解析］连接AC.VOO的面积为2私.I©O的半径为近，则.BD=2正=AC.

由正方形的性质，知点C是点A关于BD的对称点.

过点C作CA〃BD,且使(C4=1.

连接AA交BD于点N,取NM=1,连接CM,则点M,N为所求点.

理由:：A'C//MN,A'C=MN,.\四边形MCA'N为平行四边形.

，A'N=CM=AM,故AAMN的最小周长=AM+AN+MN=A'N+AN+1AA'+1.

•••A'A=J（2V2）2+F=3,：.2MN的周长的最小值为3+1=4.故选B.

2.B［解析］作A(0,2)关于x轴的对称点A<0,-2)过A作A，E〃x轴目4E=CD=2,,故E(2,-2).连接BE交x

轴于点D1.

连接ACDE,则AC=AC,四边形CDEA，为平行四边形,A'C=DE..\AC=DE.

AC+BD=A'C+BD=DE+BD

.♦.AC+BD的最小值等于BE的长，

/.AC+BD的最小值==BE=02+（2+4最=2V10.

3.16［解析］作PF±12TF交I1于E,在PF上截取PC=8,连接QC交卜于B作BAL1于A,此时

PA+AB+BQ最小.

：AB=PC=8,AB〃PC,

四边形ABCP是平行四边形.

.\PA=BC.

.\PA+BQ=CB+BQ.

PA+BQ最小值为QC的长.

过点Q作QDLPF交PF的延长线于D.

在RtAPQD中，4D=90。,PQ=4同,PD=18,DQ=JPQ2-PD2=V156,CD=PD-PC==18-8=10.

QC=y/DQ2+CD2=V156+102=16.

4.|［解析］：E为CD中点,CD=AB=4,AD=BC=8,DE=2.：.AE=y/AD2+DEe=V82+22=2g.

VPQ=3,

..•要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小.

将点A向右平移3个单位长度到点M，作点E关于BC的对称点F,连接MF交BC于Q.截取PQ=3,如图

所示易知四边形AMQP为平行四边形，

AP=MQ.AP+EQ=MQ+EQ.

此时MQ+EQ最小.

过M作MN_LBC于N,

设CQ=x很!］NQ=8-3-x=5-x.

易知MN=AB=4,CF=CE=2,AMNQsAfCQ,.♦.丝=理.工±,

CFCQ2X

解得：X=卿CQ=|.

故答案为：|

5.(-0.4,0)［解析］如图所示作点D关于x轴的对称点H，连接EH,

D(0,4),H(0,-4),ED=EH.

将点H向左平移3个单位长度，得到点G(-3,-4),.•.EF=HG,EF〃HG....四边形EFGH是平行四边形

EH=FG..\FG=ED.VB(-4,6),BD=7(-4-0)2+(6-4)2=2瓜又EF=3,.•.四边形BDEF的周长

=BD+DE+EF+BF=2*+FG+3+BF.要使四边形BDEF的周长最小,则应使FG+BF的值最小.而当F,G,B三点共线时

FG+BF的值最小.设直线BG的解析式为：y=kx+b(W0).

*.•B(-4,6),G(-3,-4),{-4k-b=b=-4,.•.仁=-,V=-10%-34.

lb=-34.

当y=o时,x=-3.4,，F(-3.4,0).，E(-0.4,0).

6.2V10+2［解析］作点B关于直线CF的对称点B,将点B，沿射线CD方向平移2个单位长度到点B”,

连接BB”,交CF于点E,将点E沿EC方向平移2个单位长度到点，连接BD,BD,此时ABDE的周长最小.

由sinD=|,SC=5,易得BB=6,由勾股定理易得B『=2/lO,,则"DE的周长的最小值为2V10+2.

7.(*1)［解析］如图，将点B(0,4)沿射线AE方向平移线段AE的长度得点M,则点M的坐标为(2,5).连接

BM,ME,易证四边形BMEA是平行四边形，则A'B=E'M.

•••点E的坐标为(0,1),将AAEO沿x轴向右平移得到△AEO：

设AA，=n,则EE=n,.,.点E(n,l),即点E在直线y=l上.

作点M关于直线y=l的对称点M：连接EM；则点M，坐标为(2,-3).

当点B,E,M在同一条直线上时,BE+EM最小，即此时AB+BE取得最小值.设直线BM的表达式为y=kx+b,

k=

则2成3解得

b=4,

直线BM'的表达式为y=-1x+4.

当y=l时，一+4=1,

解得久=*

；•点E的坐标是(*1).

8,18［解析］解法一：作点D关于直线1的对称点D，,将点D沿射线AC方向平移AC的长度到点D"连

接DD”，再将点C沿平行于1方向平移交DD”于点C,将AB沿直线1向左平移到AB位置，且使/ABC=90。,

连接DA'ACA'D'.

因为D,D两点关于1对称，易得DA'=由平移易得四边形ADD"C为平行四边形，所以DA'=D'A'=

由两点之间线段最短知DC+DC最短为DD”,即DA+DC的最小值为DD”的长，因为四边形ABCD有两条定

边，即此时周长最短.

过D“作D”E，DD；易得D”E=6,D，E=2,在R3DED”中易得DD”=10,即四边形ABCD周长的最小值为18.

解法二：乾坤倒转两动点看成定点一先对称再连接

将动点A,C看作定点，则本题迅速变为我们熟知的“两定一动型”饮马问题，易得下图，可得四边形ABCD周

长的最小值为18.

9.解：⑴：抛物线的对称轴为直线x=-l,与x轴的交点为A,B(-3,0),

•••可以设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-l).

把CQ-3)代入彳导a=l,

..・抛物线的解析式为y=x2+2x-3.

.直线y=-2x+m经过点A(1,O),

0=-2+m.m=2.

(2)如图①,

①

•••直线AF的解析式为y=-2x+2,交y轴于D,与抛物线交于点E,/.D(0,2).

由｛:二；上‘3解得忧/或｛;含中点在第二象限。5,12).

过点E作EPLy轴于P.

ZEPD=ZAOD=90°,ZEDP=ZODA,

AEDP^△ADO".P(0,12).

过点E作EP」DE交y轴于P',

同法可证AP'DEsAADO.

ZEP'D=ZDAO.

tan乙EP'D=tanZ-DAO.

.EP__OD_._5__2._25

•,,—.,,,—.••irr—乙.，

PP'OAPP'1

・・・P(0,14.5).

综上所述，满足条件的点P的坐标为(0,12)或(0,14.5).

⑶：E,F为定点,；.线段EF的长为定值.

.•.当EM+FN的和最小时,四边形MEFN的周长最小.

如图②，画出直线y=l,将点F向左平移2个单位得到F1,

作点E关于直线y=l的对称点E；连接EF与直线y=l交于点M,连接FN,

由作图可知,EM=EMFN=F'M.

二EM尸三点共线,

EM+FN=E'M+F'M=此时EM+FN的值最小.

•，点F为直线y=-2x+2与直线x=-l的交点，

VE(-5,12),/.E'(-5,-10).

如图②，延长FF交线段EE于W,

•••FF'〃直线y=l,

/.FW±EE,,

在RtAWEF中，EF=y]EW2+FW2=J(12—4产+(—1+=4倔

在RtAE'F'W中,.E'F'=y/E'W2+F'W2=J(4+