2025年中考数学一轮复习学案：角、相交线与平行线（原卷版）

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第四章三角形及四边形

4.1角相交线与平行线

备考指南〉

考点分布考查频率命题趋势

考点1角与角平分线☆☆数学中考中，有关本专题的部分，每年考查1道题，

分值为3~6分，通常以选择题、填空题的形式考查，

考点2相交线与平行线☆☆☆

也有极少数省市在解答题出现。复习需要学生熟练掌

握平行线判定和性质定理及其应用，这类问题比较容

考点平行线性质求角度☆☆☆

3易，是深入学习几何知识的基础，通常结合角平分线

概念，三角形内角和定理来解决。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表吊考点，☆星表示选考点

知识导图》

邻补角邻补角互补

对顶角相等

时顶角

相

存在性和唯一性

交

线

垂线段最短

知j

三

线

识

<同位角、内错角'同旁内角

八

构

)角

图

平

行

线

平移平移的特征

＞夯实基础

U1|知识清单〉

考点L角与角平分线

1.角的概念

有-的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边.

角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。

2.角的表示方法

⑴角通常用个字母及符号来表示，如图中角可以表示为NAOB或/BOA,表示顶点的字母。必

须放在中间，其他两个字母A,B分别表示角的两边上的点.

(2)当顶点处只有一个角时，可用一个表示角，这个字母应标在顶点上.如图的角可以表示

为/0.

(3)用一个数字表示一个角,如图的角可以表示为NL

⑷用一个字母(希腊字母a、8、丫等)表示一个角，如图的角可以表示为Na.

注意：(3)(4)这两种方法必须在图上标注后才能使用，并且只能表示单独的一个角

3.角的单位及换算关系

把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，

记作1';把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1〃.

1周角=360°,1平角=180°,1°=60r,1'=60",

如：Na的度数是48度56分37秒，记作Na=.

以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其它度量角的单位制.例如，我们以后将

要学到的以弧度为基本度量单位的弧度制，在军事上经常使用的角的密位制等.

4.角的分类及余角补角的定义

Z0锐角直角钝角平角周角

范围0<Z8<90°ZP=90°90°<ZP<180°ZP=180°Z6=360°

(1)若Nl+/2=90°,则N1与N2互为.其中N1是N2的余角，N2是N1的余角.

（2）若Nl+N2=180°,则/I与/2互为.其中/I是/2的补角，/2是/I的补角.

（3）余角和补角的性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角也相等.

注意：对余角、补角问题可以利用下面表格加深理解

名称概念性质

互为余角如果两个角的和等于90°,那（1）90°-a是a的余角；

么这两个角互为余角.（2）同角或等角的余角相等.

互为补角如果两个角的和等于180°,（1）180°-a是a的补角；

那么这两个角互为补角。（2）同角或等角的补角相等.

5.角的平分线.一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个的角的射线，叫做这个角

的平分线.

0B是NAOC的平分线

：0B是/AOC的角平分线，

1

ZAOB=ZBOC=-ZAOC

2

NAOC=2NAOB=2ZBOC

6.方位角.以、方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要

确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.

（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南

方向，南偏西45°通常叫做西南方向.

考点2.相交线与平行线

（一）相交线的理论基础

1.邻补角

（1）定义：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的西仝角是邻补角。

（2）邻补角的性质：邻补角o

2.对顶角

(1)定义：一个角的两边分别是另一个角的两边的,像这样的两个角互为对顶角。

(2)对顶角的性质：对顶角=

3.垂线

(1)定义:两条直线相交成时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

(2)垂线的性质：

性质1：过一点有且只有______直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，最短。

4.同位角、内错角、同旁内角

(1)同位角定义：/I与/5像这样具有关系的一对角叫做同位角。

(2)内错角定义：N4与N6像这样的一对角叫做内错角。

(3)同旁内角定义：与/6像这样的一对角叫做同旁内角。

注意：对三线八角的认识

直线a,b被直线/所截，构成八个角(如图).

N1和N5,/4和N8,N2和N6,N3和N7是同位角；N2和/8,N3和N5是内错角；/5和/

2,/3和N8是同旁内角.

(-)平行线的理论基础

L平行线概念：在同一平面内，两条的直线叫做平行线。记做a〃b

如“AB〃CD”,读作“AB平行于CD”。

2.两条直线的位置关系：和0

3.平行线公理及其推论

(1)公理：经过已知直线外一点，有且只有条直线与这条直线平行；

(2)推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线.

4.平行线的判定

判定方法1:两条直线被第三条直线所截，相等，两直线平行；

判定方法2：两条直线被第三条直线所截，相等，两直线平行；

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，________互补，两直线平行.

补充平行线的判定方法：

(1)平行于——条直线的两直线平行。

(2)垂直于—一条直线的两直线平行。

5.平行线的性质

性质1：两直线平行，相等。

性质2：两直线平行，相等。

性质3：两直线平行，______互补。

【易错点提示】解决相交线与平行线难点问题添加辅助线要领

1.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线

互相垂直.如图，以下三种情况.

2.除了基本模型外，还经常会遇到一些平行线加折线模型，主要是下面两类:

M

(1)

做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图所示。

考点3.平行线性质求角度

1.理解熟记平行线的性质(能灵活用数学语言表达文字语言至关重要)

2.(1)利用性质1求角度的思路

例如：如图，直线加〃“，4=100°,N2=30°,则/3=

思路：设/I的同位角为为/4,/2的对顶角为/5,根据平行的性质1得到/1=/4=100°,再根

据三角形的外角和定理即可求解.本题考查了平行线的性质1、三角形的外角和定理等知识，掌握

平行线的性质1是解答本题的关键.

（2）利用性质2求角度的思路

例如：如图，AB//CD,CB平分/ECD,若NB=26°,则N1的度数是

思路：根据平行线的性质2得出NB=/BCZ）=26°,根据角平分线定义

求出NEC£»=2/8C£）=52°,再根据平行线的性质2即可得解.

本题考查了平行线的性质2、平分线定义、三角形的外角和定理等知识，掌握平行线的性质2是解答

本题的关键.

（3）利用性质3求角度的思路

例如：如图，直线/1〃方直线/3交/1于点A，交/2于点8，过点B的直线〃交"于点C.若N3=

50°,Zl+Z2+Z3=240°,则N4等于.

思路：由题意得，N2=60°,由平角的定义可得/5=70°,再根据平行线的性质即可求解.

'：h//l2,

.-.Zl+Z3=180°（性质3）

VZ1+Z2+Z3=24O°,

；.N2=240°-（Z1+Z3）=60°,

•.,Z3+Z2+Z5=180°,Z3=50°,

.1.Z5=180°-Z2-N3=70°,

'：h//l2,

；./4=/5=70°.

【易错点提示】用下图理清平行线的判定与性质之间关系的模糊认识

线的关系判定角的关系

同位角相等

平行线的判定

两直线平行-RL内错角相等

平行线的性质

同旁内角互利,

性质

线的关系角的关系

目I考点梳理）

考点1.角与角平分线

【例题1】（2024甘肃威武）若ZA=55。，则—A的补角为（）

A.35°B.45°C.115°D.125°

【变式练1］（2024云南一模）下列关于角的说法正确的是（）

A.由两条射线组成的图形叫做角

B.角的边画得越长，角越大

C.在角一边延长线上取一点

D.角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形

【变式练2］（2024江西一模）已知/a是锐角，/。与/8互补，/。与/丫互余，则NB-/丫

的值等于（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

【变式练3］（2024陕西一模）如图，6处在/处的南偏西42°方向，C处在4处的南偏东30°方向，

。处在8处的北偏东72°方向，则///的度数是.

【变式练4］（2024福州一模）如图，点0在直线AB上，射线0C平分/D0B.若NC0B=35°,则/

A0D等于（）

考点2.相交线与平行线

【例题2】（2024广西）已知N1与N2为对顶角，Z1=35°,则N2=°.

【变式练1］（2024上海一模）如图所示，直线a,人被直线c所截，/I与/2是（）

a

1

2人b

A.同位角B.内错角C.同旁内角D.邻补角

【变式练2］（2024北京一模）如图，和CD相交于点O,则下列结论正确的是（）

A.Z1=Z2B.Z2=Z3C.Z1>Z4+Z5D.Z2<Z5

【变式练3］（2024•金华一模）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线。和6,得至Ija〃4理

A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C.在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【变式练4］（2024哈尔滨一模）如图，下冽条件中能判定直线/"/4的是（）

C.Nl+N3=180。D.Z3=Z5

考点3.平行线性质求角度

【例题3］（2024福建省）在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺（CD工DE）

按如图方式摆放，若ABHCD,则N1的大小为（）

【变式练1］（2024山东东营一模）如图，AB//CD,于点尸，若/=150°,则NA3E

)

A.30°B.40°C.50°D.60°

【变式练2］（2024广西贵港一模）如图，AB//CD,CB平分/ECD,若N8=26°,则N1的度数

是.

日I真题在线〉

考点L角与角平分线

1.（2024广西）如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（

D.80°

2.（2024山东烟台）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下,

其中射线。尸为NA06的平分线的有（）

C.3个D.4个

3.（2024江苏常州）如图，在纸上画有,将两把直尺按图示摆放,直尺边缘的交点尸在/A03

A.A与乙一定相等B.4与4一定不相等

C./］与6一定相等D.4与，2一定不相等

4.（2024河南省）如图，乙地在甲地的北偏东50。方向上，则N1的度数为（）

北

甲

A.60°B,50°C.40°D.30°

考点2.相交线与平行线

1.（2024内蒙古包头）如图，直线AB〃CD,点E在直线AB上，射线所交直线CD于点G,

则图中与NAEF互补的角有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2024黑龙江大庆）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小

铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿A3折叠，量得N1=N2=59。；小铁把纸带②沿G"折

叠，发现与GC重合，HF与HE重合.且点C,G,。在同一直线上，点E,H,尸也在同一直

线上.则下列判断正确的是（）

A.纸带①、②的边线都平行

B.纸带①、②的边线都不平行

C.纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行

D.纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行

考点3.平行线性质求角度

1.（2024深圳）如图，一束平行光线照射平面镜后反射，若入射光线与平面镜夹角Nl=50°,则反

射光线与平面镜夹角Z4的度数为（）

23\/4

D.70°

2.（2024湖北省）如图，直线AB〃CD,已知Nl=120°,则N2=（

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.（2024江苏苏州）如图，AB//CD,若4=65°,Z2=120°,则N3的度数为（）

AJB

A.45°B.55°C.60°D.65°

4.（2024四川资阳）如图，AB//CD,过点。作。EAC于点E.若ND=50°,则NA的度

数为（）

5.（2024黑龙江绥化）如图，AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则NA=

6.（2024内蒙古赤峰）将一副三角尺如图摆放，使有刻度的两条边互相平行，则Z1的大小为（）

7.（2024广州）如图，直线/分别与直线。，b相交，a//b,若4=71°,则N2的度数为

E3专项练习

考点1.角与角平分线

1.如果/a=35°,那么/a的余角等于°.

2.如图，已知射线0C在NAOB的内部，0M和ON分别平分NA0C和NB0C.

(1)若NA0C=50°,ZB0C=30°,求/MON的度数；

⑵探究NM0N与NA0B的数量关系.

3.(2022湖北宜昌)如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在8岛的北偏西35°方向，则NACB

的大小是.

1.下列语句错误的有()个.

(1)两个角的两边分别在同一条直线上，这两个角互为对顶角;

(2)有公共顶点并且相等的两个角是对顶角；

(3)如果两个角相等，那么这两个角互补；

(4)如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角。

A.1B.2C.3D.4

A.(1),(2)B.(3),(4)

c.(1),(2),(3)D.(2),(3),(4)

3.如图，下列说法错误的是（）

A./A与NB是同旁内角

B./3与N1是同旁内角

C./2与N3是内错角

D./I与N2是同位角

4.