2025年中考数学复习：由线段关系产生的函数关系问题（含解析）

由线段关系产生的函数关系问题

1.如图1抛物线.y=ax?+bx(a<0)经过点E(10,0),矩形ABCD的边AB在线段OE上(点A在点B的左边),

点C、D在抛物线上.设A(t,0),当t=2时,AD=4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G、H,且直线

GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.

2.如图1,抛物线.y=ax2+bx-3经过A(l,0)、B(-3,0)两点，直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,

点P(m,n)是线段AD上的动点.

⑴求直线AD及抛物线的解析式；

(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q,求线段PQ的长度1与m的关系式，m为何值时，PQ最

长？

⑶在平面内是否存在整点(横坐标、纵坐标都为整数)R,使得以P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形？若

存在，直接写出点R的坐标；若不存在，请说明理由.

3如图在梯形ABCD中,AD〃BC,AB=CD,AD=5,BC=15,cos/ABC=*E为射线CD上任意一点(点E与点C

不重合)，过点A作AF//BE，与射线CD相较于点F.联结BF，与直线AD相较于点G(点G与点A、D都不重合).

设CE=x,^=y.

⑴求AB的长；

(2)当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；

S

⑶如果产吧号，求线段CE的长.

四边形ABCD

4如图，在四边形ABCD中，已知AB=2,CD=3,P是对角线BD上的一个点，PE\\AB^AD于E,PF||CD交

BC于F.设PE=x,PF=y,求y关于x的函数关系式.

5如图在平面直角坐标系中点A的坐标为(0,4)点B是x轴上的一个动点AB平分/OAC,且AABC=90°.

设点C的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式.

6.如图，在矩形ABCD中，AB=9,BC=15将点B翻折到AD边上的点M处，折痕与AB相交于点E,与

BC相交于点F.如果.AM==y,,求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

AM

FC

7如图,在梯形ABCD中,.AD\\BC,Z.B=90。,2D=4,AB=6,BC=10点E是AB边上的一个动点，EF//BC

交DC于F.以EF为斜边在EF的下方作等腰直角三角形EFG,射线EG、FG分别与边BC交于点M、N.如果EF=x,

MN=y，求y关于x的函数关系式.

BNC

8.如图，在边长为5的菱形ABCD中，cos4=点P为边AB上一点，以A为圆心、AP为半径的。A与边

AD交于点E.设AP=x,CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域.

9如图，在AABC中,AB=AC=6,BC=4,OB与边AB相交于点D,与边BC相交于点E,设。B的半径为x.

⑴当。B与直线AC相切时，求x的值；

⑵设DC的长为y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域.

10在RSABC中./ACB=90。,BC=30,AB=50点P是AB边上任意一点.直线PE_LAB与边AC或BC相交于

E.点M在线段AP上，点N在线段BP上,EM=EN,sinZEMP=

(1)如图1,当点E与点C重合时.求CM的长；

(2)如图2,当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP=x,BN=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的

定义域；

(3)若△AMEs^ENBQAME的顶点A、M、E分别与AENB的顶点E、N、B对应)，求AP的长.

11如图1,在RSABC中,/ACB=90。泮径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并

延长，与线段BC的延长线交于点P.

⑴当/B=30。时，连结AP,若AAEP与ABDP相似，求CE的长；

⑵若CE=2,BD=BC,求/BPD的正切值;

⑶若tanzBPD=［，设CE=x,AABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.

图2(备用)图3(备用)

1.满分解答

⑴因为抛物线与x轴交于O、E(10,0)两点，设y=ax(x-10).

代入点D(2,4)狷4=-16a.

解得a=一"所以y=一:久(X-10)=-#+1%.

444Z

(2)由OE=10,OA=BE=t,得AB=10-2t.

当x=t时，AD=--t2+-t.

42

所以矩形ABCD的周长=2(-lt2+ft+10-2t)=-it2+t+20.

\42/2

当t=l时，矩形ABCD的周长取得最大值，最大值为当(如图2所示).

(3)已知A(2,0),B(8,0),C(8,4),D(2,4),所以矩形的对称中心为Q(5,2).

先说理：平分矩形ABCD的直线，一定经过矩形ABCD的对称中心Q(5,2).

再分类讨论：

①如图3,如果经过点Q的直线与DC相交于点G,那么点H一定在AB上.

所以GH是由DO向右平移得到的.

线段DO的中点是P(l,2).由P(l,2)到Q(5,2),向右平移了4个单位.

所以抛物线向右平移了4个单位.

②经过点Q的直线如果与AD相交于点G,那么点H一定在BC上.而事实上，此时抛物线与矩形的边的另

一个交点在DC上(如图4所示).

③如图5，经过点Q的直线如果与BC相交于点G,那么点H一定在AD上.而事实上，此时抛物线与矩形的

边的另一个交点在AB上(如图5所示).

考点伸展

在本题情景下，当t为何值时，AODE是直角三角形?

只存在乙ODE=90。的情况,此时DA2=0A-AE.

2

解方程-10)]=t(10一t),整理，得t2-lot+16=0.

解得t=2,或t=8(点A在点B的右边，不符合题意，舍去)

2.满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于A(l,0)、B(-3,0)两点，所以y=a(x-l)(x+3).

对照y=ax2+bx-3,根据常数项相等，得-3a=-3.所以a=l.

所以抛物线的解析式为.y=(x-1)0+3)=必+2x-3.

当x=-2时y=(x-l)(x+3)=-3.所以D(-2,-3).

由A(l,0)、D(-2,-3b得直线AD的解析式为y=x-1.

2

(2)由P(m,m-l)xQ(m,m2+2m-3)得I=PQ=(m—1)—(m+2m—3).

整理，得I=PQ=—m2—m+2.

当TH=-取寸，1取得最大值，最大值I=一M-7n+2=一：+"2=(

这是一个典型结论：当点P是AD的中点时，PQ最大.

(3)符合条件的点R有6个(-2,-5),(-2,-2),(-2,-4),(0,-3),(2,-1).

考点伸展

第⑶题可以这样思考：PQ是竖直的，点D(-2,-3)是整点，因此当PQ为整数时，点D上下平移得到的点R就

是整点.

由⑵知，PQ的最大值为；,所以PQ的正整数值为2或1.

先讨论PQ=I=-m2—m+2=2此时m=-l,或m=0.,

①如图2,当P(-l,-2)、Q(-l,-4)、D(-2,-3)时,PQ=2,D、P两点间的水平距离、竖直距离都是1.

将点D(-2,-3)向上平移2个单位得到点心(-2,-1);将点口(-2,-3)向下平移2个单位得到点口2(-2,-5)将点Q(-l,

-4)先向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到点R3(0,-3).

②如图3,当P(0,-l)sQ(0,-3)、D(-2,-3)时，点R的坐标为(-2,-1),(-2,-5)或(2,-1).

再讨论PQ=I=-m2-m+2=1,此时m的值不是整数.

如图4,因为点P不是整点，所以经过平移得到的点R3也不是整点.

将点D(-2,-3)向上平移1个单位得到点R42-2);将点D(-2,-3)向下平移1个单位得到点R2(-2>-4).

综上所述，符合条件的点R有6个：((—2，—1),(-2，—5),(—2，-2),(—2，-4),(0,—3),(2，-1).

3满分解答

⑴如图2,作AM±BC于M,作DN_LBC于N,那么MN=AD=5,BM=CN=5在RtAABM中，cos^ABC=—=

卷,BM=5,所以AB=13.

(2)第一步，如图3,由熊=%得祟=y+1.所以DG=含=言

DuUuVTIy-r1

第二步，如图3,由AF〃BE彳导/AFD=/BEC.

由AD〃:BC,彳导/ADF=NC.

所以△AFDs/XBEC.所以端=黎=卷=：.所以FD=^EC=|x.

第三步，由GD〃BC得2=*所以工=本.整理，得y=?

FCBC-x+1315

3

定义域是。<%<B的几何意义就是点E与点K重合.

(3)等腰梯形ABCD的高AM=12,等腰梯形ABCD的面积=120.

s

如果«£££=$那么梯形ABEF的面积=80.

四边形ABCD

由笨=(券)2=(I)'=诃设SABFD=m,SABEC=9m.

①如图4,当点E在点F下方时，S梯形ABEF=S梯形ABCD-SABEC+SABFD.

所以80=120-9m+m.解得m=5.此时SABEC=9m=45.

作EH±BC于H.

由SBEC=\BC-EH=|X15EH=45彳导EH=6.

此时由coszC=工得sinzC———三所以EC=—x6=—.

13EC13122

②如图5,当点E在点F上方时，S梯形ABEF=SBELSBFD-S梯形AB。。-

所以80=9m-m-120.解得m=25.此时SABEC=9m=225.

所以SBEC=|X15EH=225,得EH=30.

此时由.〃=翳==得四=工"3。=)

4.满分解答

由PE||B4得.=竟由PF||DC得♦途.

两式相加，得卷+称+1,即升?=1.于是得到y=-|%+3.

tj/iL/Csz

5满分解答

求点B的坐标有两种方法.如图1,可以证明B是CD的中点.如图2，可以证明KAOB=AAFB,ABCE^ABCF,

因此OB=FB=EB,从而得至!JB是OE的中点.

求y与x的关系式，可以证明△AOB-ABOD,,也可以证明△AOB-△BEC.

SA114日12

227:16

6满分解答

如图1,在Rt△中,AM=x,EM=EB=y,AE=9-y.

22

由勾股定理得y=x+(9-y)2.整理，得y=白/+2,

x的取值范围是3<x<9.

loZ

如图2,x=9.如图3,x=3.

图2图3

7满分解答

⑴如图1,作DHLBC,垂足为H.

在RtADCH中,DH=6,CH=10-4=6,所以NC=45。.

如图2,延长FD、FG分别与直线AB交于点P、Q,那么AFPQ是等腰直角三角形.

所以EF=EP=EQ=x.

图1图2图3

等腰直角三角形PBC的直角边BP=BC=10.

如图3.等腰直角三角形BEM的直角边BE=BM=10-x.

如图4,等腰直角三角形BNQ的直角边BQ=BN=2x-10.

①如图3,当G在BC上方时，由BE=BM=BN+MN得10-x=2x-10+y.整理得y=20-3x.

②如图5,当G在BC的下方时，由BE=BM=BN-MN得10-x=2x-10-y.整理得y=3x-20.

③如图6,当G落在BC上时,可以由EF=2BE得x=2(10-2x).此时x=y.

【解法二】如图7,作GQLBC于Q,GQ交EF于P.作FHLBC于H.

在等腰直角三角形FCH中,FH=CH=BC-EF=10-x.

在等腰直角三角形GMN中，GQ=3MN=].

在等腰直角三角形GEF中，GP=|FF=jx.

①如图7,当G在BC上方时，由GP+GQ=FH得jx+jy=10-久.整理，得y=20-3x,(4W久＜y).

②如图8,当G在BC的下方时，由GP-GQ=FH狷|x-|y=10-x.整理，得y=3久-20,偿<久<1°)

\l<?Z!\

百c

BNQ

8满分解答

如图1,过点C作AD的垂线,垂足为H.

在RtACDH中，CD=5,coszCDW=|,所以DH=3,CH=4.

在RtACEH中,EH=ED+DH=5-x+3=8-x,CH=4,由勾股定理得(CE2=EH2+CH2=(8-%)2+42=%2-16%+

所以y=CE='x?-16x+80.定义域是0<x<5.

也可以这样构造直角三角形：

如图2,过点E作x轴的垂线交CD的延长线于G,交AB于N.

在RtADEG中，DE=5-x,cosz.EDG=|,所以DG=3-|x,£G=4-1x.

在RtAECG中，CG=CD+DG^8一^居由CE2=EG2+CG?彳导

22

CE=(4一+(8—=%2-16x+80,于是y=CE=Vx-16x+80.

<PR'PB

图1图2

9满分解答

(1)如图1,作AQLBC于Q.作BHLAC于H,那么。B与AC相切于点H.

在RtAACQ中,AC=6,CQ=2,所以AQ=4V2,sinzC=乎.

在RtABCH中，BH=BC-sinzC=4x券=竽所以%=竽如图2).

(2)如图3,作DMJ_BC于M.

在RtABDM中,BD=x，所以DM=BD-sinzB=^x,BM=1x.

在RtADCM中，CN=4-J久，由勾股定理，得DC2=DM2+CM2.

所以DC2=(早％)+(4—(久)=%2—|x+16.

所以y—DC-Jx2-|x+16=3、9x2—24%+144定义域是0<x<4.

第⑵题也可以这样构造辅助线：如图4,作CKXAB于K.

在RtABCK中,BC=4,所以BK=$CK=竽.

_22

在Rt△DCK中，=CK?+/)蜉=(竽)=%2-|x+16

10.满分解答

(1)在RtAABC中,BC=30,AB=50,所以.AC=40,sinA4=-,tanzX=

54

在RtAACP中，CP=AC-sin44=40X|=24.

在RtACMP中，因为sinzCMP=需=所以CM="。尸二||x24=26.

(2)在RtAAEP中，EP=AP•tanZ-A=1%・

在RtAEMP中，因为sinzEMP=翳=养所以tanMMP=篇=昔.

13313

因止匕MP=VEP=2X%=Q,EM=2P=—X-X=­X

12416

已知EM=EN,PE_LAB,所以MP=NP=—X.

于是yBN=AB-AP-NP=50-x-^-x50-^x.

定义域为0<x<32.

__5_13

⑶①如图1,当E