2025年中考数学复习：由线段关系产生的函数关系问题 专项练习（附解析）

由线段关系产生的函数关系问题

1.在AABC中,CA=CB,BD为AC边上的高.

⑴如图1,过点C作CEXAB交BD于点F,交AB于点E,若BC=5,BD=3,求瓢值；

(2)如图2,若点P是BC边上的一动点，过点P作PMXAB于点N,交AB于点M.设x=tanC,y=翳，求y关于x

的函数解析式.

2.如图1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q

从点C向点D运动,且保持AP=CQ.直线1为线段PQ的垂直平分线，与边BC交于点E.设AP=x.

⑴当直线I经过点B时，求x的值；

(2)求BE的长(用含x的代数式表示)；

⑶联结EP、EQ,设AEPQ的面积为y,求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域.

图1备用图

3如图1,在等腰梯形ABCD中,AD〃BC,/B=60*AD=2,BC=6卤E为边CD的中点，点F为边BC上的一动点(点

F不与点B、C重合)，联结AE、EF和AF,点P、Q分别为AE、EF的中点设BF=x,PQ=y.

(1)求AB的长；

⑵求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)联结CQ,当CQ〃AE时，求x的值

4.如图1,矩形ABCD中,AB=6,BC=10,P是边AD上一点，把AABP沿BP所在的直线翻折后得到AEBP,直线PE

与边BC相交于点F,点E在线段PF上.

(1)如果点F和点C重合，求AP;

⑵设AP=x,BF=y，求y关于x的函数关系式，并直接写出定义域；

(3)联结DF,如果APDF是以PF为腰的等腰三角形，求AP的长

图1备川图

5.已知在边长为6的正方形ABCD中，点E为射线DB上的一个动点(点E不与点B、D重合)，联结CE,

将线段CE绕着点C按顺时针方向旋转90。得到线段CF,联结EF.

⑴如图1,当点E在线段DB上时,求证：乙CDF=45°;

⑵如图1,当点E在线段DB上时，设DE=x,DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

⑶在点E运动的过程中，若点A、E、F恰好在一条直线上，求DE的长.

ffli

6如图1,已知梯形ABCD+,AD^BC,ZABC=90°,AB=3,BC=10,AD=5,MBBC边上的任意一点，联结DM,联

结AM.

(1)若AM平分/BMD,求BM的长；

(2)如图2,过点A作AELDM,交DM所在直线于点E.

①设BM=x,AE=y，求y关于x的函数关系式；

②联结BE,当AABE是以AE为腰的等腰三角形时，请直接写出BM的长.

图2

7.已知:在正方形ABCD中,AB=2,点P是射线AB上的一点，联结PC、PD,点E、F分别是AB和PC的中点，联

结EF交PD于点Q.

(1)如图1,当点P与点B重合时,AQPE的形状是;

(2)如图2,当点P在AB的延长线上时，设BP=x,EF=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

(3)当点Q在边BC上时，求BP的长.

图1图2备用图

8如图1,在菱形ABCD中,AB=4,AC=4点M是AC上一点，点N在BC上，且MB=MN,设AM=x.

⑴当MBLCB时，如图2,求AM的长；

⑵设BN=y，求y关于x的函数关系式及其定义域；

⑶若AMCN是以CN为腰的等腰三角形，求AM的长.

图2

9.如图1,在RtAABC中,/C=90。,AC=6,点D是斜边AB中点作DELAB,交直线AC于点E.

⑴若/A=30。,求线段CE的长;

⑵当点E在线段AC上时.设BC=x,CE=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

⑶若CE=1,求BC的长.

10如图1,在梯形ABCD中,AD〃BC,AB_LBC,AB=2遍.E是边AB的中点，联结DE、CE,且DE_LCE.设

AD=x,BC=y.

(1)如果/BCD=60。,求CD的长；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

(3)联结BD.如果ABCD是以边CD为腰的等腰三角形，求x的值

1L如图1,在AABC中,AE平分/CAB交BC于点E,AC=6,CE=3,AE=3遥,BE=5,点F是边AB上的动点(点F

与点A、B不重合)，联结EF,设BF=x,EF=y.

(1)求AB的长；

(2)求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；图1

(3)当AAEF为等腰三角形时，直接写出BF的长.

12如图1,在AABC中,/BCA=90o,NA=3(F,BC=2.将三角板中一个30。角的顶点D放在AB边上移动，使这个

30。角的两边分别与AABC的边AC、BC相交于点E、F,且使DE始终与边AB垂直.

(1)如图L当点F与点C重合时，求CD的长;

⑵如图2,设AD=x,BF=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域;

⑶填空:联结EF,若ADEF是直角三角形，则AD的长为

1.满分解答

(1)如图1,在R3BCD中,BC=5,BD=3,所以CD=4.

由CA=CB,CF，AB,可知E是AB的中点.

由AABDSAPDC,得冷黑=|所以**

(2)如图2,过点P作AC的平行线交AB于G,交BD于H,

那么PG勖”…喷等1

所以x=tan“=tanzGPB=^.

如图3,由PG=PB,PMJ_AB,可知M是BG的中点.

由△GBHsANPH得器=器.

所以煞=器，即2y=x.

所以y=

2.满分解答

⑴如图2,当直线1经过点B时，点E与点B重合.

在RtABQC中,CQ=AP=x,BQ=BP=8-x,BC=6.

由勾股定理，得（8-%）2=62+/.解得乂=々

4

AxP

QCQC

图3

⑵如图3,设BE=m，那么CE=6-m.

由EP二EQ,得EP2=EQ2.

在RtABPE和RtACQE中，由勾股定理，得(8—%)2+m2=(6—m)2+x2.

整理，得BE=m=%

SBPE=~PB,BE=&(8-Q%—=—[(4/—39%+56)

SCQE=-EC=jx[6-=-----：(4%2-25%),

y=SEPQ—SPQCB一SBPE~SCQE

=24+(4x2—39%+56)+(4x2—25%)二1%2—y%+詈・

定义域是

定义域是这样的：如图2,当直线1经过点B时，E、B重合，此时.x=：.

如图4,当直线1经过点C时，E、C重合，根据对称性，BP

4

此时久=8—：=3

44

15H4

3满分解答

(1)如图2,过点A作AH±BC于H,过点D作DGLBC于G.

所以四边形ADGH为矩形,R3ABH之R3DCG.

在RtAABH中,/B=60°,BH=GC=2,所以AH=2^,AB=4.

⑵如图3,在RtAAHF中,AH=2V3,HF=|BF-BH|=|x-2|,所以AF=J(2百『+(x-2)2=V%2-4%+16.

在AAEF中点P、Q分别为AE、EF的中点，所以PQAF.PQ^^AF.

所以yV%2—4x+16.

定义域是0<x<6.

⑶【方法一】如图4,延长AE,交BC延长线于点M.

因为点E为边CD中点,所以DE=CE=2.

所以DE=AD.

所以Nl=/2=30°.

因为CM〃AD,所以N4=N2.

因为N3=N1,所以.Z3=Z4=30°.

所以CE=CM.

如图5,过点M作MN//EF交QC延长线于N,所以/5=N6.

又因为CQ〃EF,所以四边形QEMN为平行四边形.

所以MN=QE.

因为QF=QE,所以MN=QF.

在ACFQ和ACMN中,N7=/8,/5=N6,QF=NM^JHiUCFQ0Z\CMN.

所以CF=CM.所以CF=CE=2.所以x=BF=BC-CF=6-2=4.

【方法二】如图6,因为点E为边CD中点，所以DE=CE=2.所以DE=AD.

所以/l=/2=30°.

因为CQ//AE,^JTIUZ1=Z9=3O°.

又因为/BCD=NB=60。,所以27=30。,/7=/9.

如图7,延长CQ至C,使得（CQ=CQ.

在aCFQ和ACEQ中,QF=QE,/CQF=/CQE,CQ=C'Q,所以△CFQg/XCEQ.

所以CF=C'E,Z7=Z10.

所以N9=N10,C'E=CE.

所以CF=CE=2.

所以x=BF=BC-CF=6-2=4.

图6

4满分解答

(1)如图2,由AD〃BC彳导/APB=NCBP.

由AAPB0ZiEPB,得NAPB=NEPB.

所以NCBP=/EPB.所以FP=FB.

如图3,如果点F和点C重合，在RtADPC中,DC=6,PC=BC=10,所以PD=8.

止匕时AP=AD-PD=10-8=2.

(2攻口图4,在R3BEF中,BE=BA=6,BF=y,FE=FP-EP=FB-AP=y-x.由勾股定理，得BF2=BE2+EF2.

所以必=62+(y—%)2.整理，得y=筌.定义域是2<X<6.

如图3,当x=2时,F、C重合.

如图5,当x=6时,四边形ABFP是正方形,E、F重合

(3)①如图6,如果PF=PD,那么y=10-x.

解方程=10-x,整理，得3久2-2Ox+36=0.

因为A<0,所以此方程无实数根.所以不存在PF=PD的情况.

②如图7,如果FP=FD,那么点F在PD的垂直平分线上.

所以PD=2FC.所以10-x=2(10-y)=20-2y.

解方程10-X-20-立个，得力P=x=9.

X5

5满分解答

(1)如图2,由/ECF=NBCD=90。彳导/DCF=/BCE.

又因为DC=BC,FC=EC,所以△DCFdBCE.

所以NCDF=/CBE=45。.

(2)如图2,在等腰直角三角形BCD中,BC=6,所以BD=6位.

由ADCFgABCE,得.DF=BE=y.

由BD=BE+DE,得.y+x=6A/2.

所以y=-x+6鱼.定义域是(0<x<6V2.

(3)如图3,由于△BEAgABEC,所以/BEA=/BEC.

在ACEF中,/CEF=45。为定值.

①如图3,当点E落在AF上时,/BEA=/BEC=67.5。.

此时在ABEC中，由于/CBE=45。,所以NBCE=67.5。.

所以BE=BC=6.所以.DE=BD—BE=6五-6.

②如图4,当点E落在AF的延长线上时,/BEA=NBEC=22.5。.

此时在ABEC中，由于外角NDBC=45。,所以/BCE=22.5。.

所以BE=BC=6.所以.DE=BD+BE=6/+6.

6满分解答

(1)如图3,过点D作DN_LBC于N.所以DN=AB=3,BN=AD=5.

因为AM平分NBMD,所以/1=N2.因为AD〃BC,所以N1=N3.

所以/2=/3,DM=DA=5.

在RtADNM中,DM=5,DN=3,所以MN=4.

如图3,当点M在点N左侧时,BM=BN-MN=5-4=1;

如图4,当点M在点N右侧时,BM=BN+MN=5+4=9.

(2)①如图5、图6,在RtADNM中,DN=3,MN=|BN-BM|=|5-x|,所以DM=7(5-x)2+32=V%2-10%+34.

E

215_15A/X2-10X+34

因为SAMD=^DM-AE=^AD-DN,所以|yV%-10%+34=ix5x3,所以

右2一10工+34x2—lOx+34

②如图6,当EA=EB时点E在梯形ABCD的中位线上.所以DE=EM.又因为AELDM.所以AM=AD=5.

在RtAABM中,AB=3,AM=5,所以BM=4.

图6

如图7、图8,当AE=AB时，在RtAABM和RtAAEM中,AM=4M,4B=4E,所以RsABMgRsAEM.所以

Z1=Z2.

由(1),可知当点M在点N左侧时,BM=1;当点M在点N右侧时,BM=9.

图7

6满分解答

⑴AQPE的形状是等腰直角三角形.

(2)如图3,延长BA至M,使得AM=BP=x.

因为E是AB的中点，所以E是AP的中点.

又因为F是CP的中点，所以EF是AMCP的中位线.

所以EFMC,EF=|MC.

在RtAMCB中,MB=x+2,CB=2,所以.MC2=(%+2)2+22=%2+4%+8.

所以y=£尸=驯。=22+4%+8.

定义域是x>0.

【解法二】如图4,延长BF至H.使得FH=BF.那么四边形CBPH是矩形.

所以EFBAABH的中位线，EF=^AH.

在RtAAPH中，AH2=(x+2)2+22=x2+4%+8.

(3)如图5,由△MBC^Z\PAD,得/M=/DPA.

由EF〃MC得NM=/FEP.

所以NDPA=/FEP.所以QE=QP.

当点Q在边BC上时,QB垂直平分EP,所以BP=BE=1.

【解法二】如图6,由ADPA丝AHAH得/DPA=NHAP.

由EF〃MC,得/FEP=/HAP.

所以NDPA=NFEP.所以QE=QP.

当点Q在边BC上时,QB垂直平分EP,所以BP=BE=1.

7满分解答

⑴因为菱形的对角线互相垂直平分,所以在R3AOB中,AB=4,AO=2V3

由勾股定理，得B0=2.所以NBAO=30。.

所以AABD和ACBD是两个边长为4的等边三角形.

如图3,当MB_LCB时,/MBA=30。.

又因为NBCM=NBAM=30。,所以AM=BM,BM=|fM.

所以AM=所以AM=^AC=|V3.

图3

（2攻口图4,作MHXBC于H.

1

因为MB=MF,所以.BH=FH=”F=》所以CH=BC-BH=4--y.

1

在RtAMCH中，由/MCH=30、得.MH=-CM.

2

由勾股定理，得CM2-（|CM）'=C"2所以ICM2=加所以曰优=CH.

所以y（4V3-x）=（4-1）整理，得y=V3%-4.定义域是竽WxW誓.

当“争寸,N、B重合，如图3所示.

当x=争寸，N、C重合，如图5所示.

⑶①如图6,当NM=NC时,/NMC=NNCM=30。.所以乙BNM=60°.

所以等腰三角形BMN是等边三角形,/MBN=60。.

此时M与O重合，AM=AO=2V3.

②不存在CM=CN的可能这是因为CNWCH<CM（如图4所示）否则，如图7所示，当CM=CN时，点N在CB的

延长线上,不符合题意.

8满分解答

⑴如图2,因为DE垂直平分AB,所以AE=BE.所以/A=/EBA.

当NA=30。时,NA=NEBA=/EBC=30。.

所以CE==］力£:所以CE=^AC=2.

（2）如图3,在RtABCE中,BC=x,CE=y,BE=AE=AC—CE=6-y.

由勾股定理，得（6-y）2=必+『整理，得丫=一+3.定义域是0<x<6.

（3）CE=1存在两种情况：点E在AC上，或点E在AC的延长线上.

①如图3,当点E在AC上时,解方程-+3=1,得x=±2痣此时BC=2痣

②如图4,当点E在AC的延长线上时，在RtABCE中,BE=AE=AC+CE=6+y.

由勾股定理，得（6+y）2=乂2+『整理，得'一3.

解方程白2一3=1得％=±4伍此时BC=4V3.

9满分解答

(1)如图2,作DH_LBC于H.

在R3DCH中,DH=AB=2V^,NBCD=60。,所以/HDC=30。.

所以DC=2CH.

设CH=m，那么((2m)2-m2=(2V3).

解得m=2.所以CD=4.

(2)如图3,已知.AB=2遍,E是边AB的中点,所以.4E=BE=V3.

在RtAADE中，AD2+DE2=AE2=x2+3.

在RtABCE中，CE2=BC2+BE2=/+3.

在RtADCE中，DC2=DE2+CE2=x2+3+y2+3=x2+y2+6.

在RtADCH中，DC2=DH2+CH2=(2V3)+(y-%)2=%2-2xy+y2+12

所以%2+y2+6=%2—2xy+y2+12.

整理彳导xy=3.所以y=|.自变量x的取值范围是x>0.

⑶①如图4,当DC=DB时,DH垂直平分BC,所以BC=2AD.即y=2x.

所以2/=3.解得x=当

②如果CD=CB,那么(CD2=CB2.

因为方程x2+y2+6=必无实数根，所以不存在CD=CB的可能.

【解法二】如图5,延长DE交CB的延长线于M,延长CE交DA的延长线于N,联结MN.因为E是AB的

中点，可证△AED丝ABEM,ABEC0AAEN.

于是可得DE=ME,CE=NE.

所以四边形NMCD是平行四边形.

又因为DE1CE,所以四边形NMCD是菱形.

⑴如图6,当乙BCD=60。时，在RtABCE中，Z.BCE=30°,BE=所以CE=2遍.

在RtA/WE中，^AED=30°,AE=V3.

所以DE=2AD=2x所以(2支尸-x2=(V3).解得x=1.所以DE=2.

在RtADCE中,DC2=DE2+/=4+12=16.所以CD=4.

(2)如图5,在RtAEMC中，MC2=CE2+ME2=CE2+DE2.

所以(x+y)2=y2+3+x2+3,于是得到xy=3.

(3)@DC=DB的解法同上.

②如图5,因为CD=CM,CM>CB,所以CD不可能等于CB.

图6

10满分解答

⑴如图2,在AACE中，AE2=（3V5）=45,CE2=32=9