2025年中考数学复习：面积等量关系（含解析）

面积等量关系

一阶方法突破练

1.如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为4(1，0),B(-3,0),C(-2-5)..点P是y轴上一动

点，若SABP=3S4BC，求点P的坐标.

2.如图，在平面直角坐标系中，已知△力8c的顶点坐标分别为A(-2,0),B(2,4),C(3,0),若过点C的一条直线平分.

△ABC的面积,求出这条直线的解析式.

3.如图，抛物线y=-f+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴正半轴交于点C,其顶点为E,抛物线的对

称轴与BC交于点M,在抛物线上是否存在一点Q,使得SQMB=SEMB?若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，

请说明理由.

第3题图

二阶设问进阶练

例如图，抛物线y=-K2+4x+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点，抛物线

的对称轴与x轴交于点E.

(1)在x轴上是否存在点F，使得SA0C=^Sc4F?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

例题图①

(2)如图②，在抛物线上是否存在点H，使得S.E=：SBCE?若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理

由；

例题图②

⑶如图③，在线段BC上方的抛物线上，是否存在点M(不与点D重合)，使得SBCD=SBCM?若存在，求出点

M的坐标；若不存在，请说明理由；

例题图③

(4)如图④，是否存在过点A的直线1与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分?若存在，求

直线1的解析式；若不存在，请说明理由；

例题图④

(5)如图⑤，若点P为线段BC上方抛物线上一动点(不与B,C重合)，过点P作x轴的垂线交BC于点Q.若线

段PQ将△PBC分成面积比为1：3的两部分,求点P的坐标.

例题图⑤

综合强化练

1.如图，已知抛物线y=-/-2x+c与x轴交于A.B两点，与y轴交于点C(0,3).

⑴求抛物线的解析式及A,B两点的坐标；

⑵若点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴下方，将△ABD沿BD翻折得到.△ABD,若点A/

恰好落在抛物线的对称轴上，求点4和点D的坐标；

(3)(面积平分问题)点P为抛物线上一点，且直线BP把四边形ABCP分成面积相等的两部

分，求点P的坐标.

作图区答题区

备用图①

冬田用②

2.如图，已知抛物线y=-%2+bx+c分别与x,y轴交于A,B两点，直线y=x+3经过点A,B,抛物线

的顶点为P.

⑴求抛物线的解析式；

(2)现将抛物线向右平移机(租〉0)个单位，若平移后的抛物线与△4BP有且只有一个公共点时，求m的值；

(3)(面积倍数问题)在直线AB下方的抛物线上是否存在点Q，使得SABQ=2S.P?若存在，求出点Q的坐标；

若不存在，请说明理由.

作图区答题区

备用图①

备用图②

3.如图，抛物线y=a/+.一g与x轴交于A(-5,O),B(1,O)两点，与y轴交于点C,以AB为斜边在x轴的下方

构造等腰Rt△ABD,,点P是抛物线上的一个动点，作直线PD交x轴于点E.

⑴求抛物线的解析式;

⑵若点P在直线AC的下方，当PD=2PE时，求点P的坐标；

(3)(面积比例问题)若点P在直线AC的上方，是否存在这样的点P,使得对角线PD将四边形PADC分为面积

比为1：3的两部分?若存在，请求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由.

答题区

备用图①

备用图②

考向2面积等量关系

一阶方法突破练

1.解:,••A(l,0),B(-3,0),C(-2,5),，AB=4,设点P的坐标为(0,m)(设出动点的坐标),如解图，

则SABP=|x4|m|=21nli(表示出动三角形的面积).

由题意可得SMC=［x4x5=10.

2|m|=jxl0,.-.\m\=根据两个三角形面积的等量关系求动点坐标)，第1题解图

5T5’

•••m=-5或m=-.

.•点P的坐标为(0，-1)或(0,|

2.解：如解图，取AB的中点D,作直线CD(三角形的任何一条中线都平分该三角形的面积)，

■.MCD与ABCD是等底等高的两个三角形，则直线CD平分AABC的面积,

•.A(-2,0),B(2,4),

.D(0,2),8

设直线CD的解析式为y=kx+b,将［3,0),口(0,2)代入得｛3々；］)0,解得『J。J过点C且

平分SBC面积的直线CD的解析式为y=-|x+2.'X、等

3.解:存在，第2题解图

V抛物线y=—-+2%+3与x轴交于A,B两点与y轴交于点C,顶点为E,，B(3,0),C(0,3),EQ,4),，直线BC的

表达式为y=-x+3,，M(l,2),EM=2,如解图，设抛物线对称轴与x轴交于点G,过点E与BC平行的直线与抛物线

的交点为Q(同底等高的两个三角形面积相等),

此时SQMB—SEMB，

设直线EQ的表达式为y=-x+m,

将E(l,4)代入得4=-l+m,解得m=5,

，直线EQ的表达式为y=-x+5,

直线y=-x+5与抛物线y--x2+2x+3交于点Q,

二联立］尸。2+3解得IM舍去)｛汽

，点Q的坐标为(2,3),

•,-EG=4,EM=2,

.-.GM=EM=2,

设过点G与BC平行的直线与抛物线的交点为Qx,Q2,此时SQMB=SEMB,

则设直线GQi(Qz)的表达式为y=-x+n,将G(l,0)代入得0=-l+n,

解得n=L，直线GQi(Qz)的表达式为y=-x+l(求出与直线BC平行的直线解析式).

2第3题解图

,•直线y=-x+l与抛物线y=-x+2x+3交于点QI,Q2,

二联立।m，

(y=—x+2%+3

(3+V17

“二

解得当=—匕"，

八2

-1+V17

5=

2

综上所述，点Q的坐标为(2,3)或(一，匚尹)或(上弃，芍叵)

二阶设问进阶练

例解:⑴存在，

抛物线y=-x2+4x+5与x轴交于A,B两点，

.­.A(-l,0),B(5,0),

A

■/AOC和"CAF等IWI,且SA0C—~SCAF,

."CAF的底是AAOC底的2倍，

・"AOC的底为AO=1,."CAF的底AF=2,

二当点F在A点左侧时,F(-3,0),当点F在A点右侧时,F(l,0).

综上所述，点F的坐标为(-3,0)或(1,0)；

⑵存在，

由题意可知,AE=BE,

•.抛物线y=—%2+4*+5与y轴交于点C,

.<(0,5),

•••SHAE=|SBCE，且ABCE的底边BE上的高为5,/.AHAE的底边AE上的高为3,

①当y=3时，一运+4%+5=3,

解得%!=2+V6,X2=2-迷，此时+V6<3)或H(2-V6-3);

②当y=-3|时,+4%+5=-3,

解得.％=2-2V3,久2=2+2遍,此时H(2-2遮，一3)或H(2+2百，一3),

综上所述，点H的坐标为((2+访3)或(2-访3)或(2-2象-3)或(2+2V3,-3)；

(3)存在，

如解图①，过点D作BC的平行线交抛物线于点M,连接BM,CMMSBCD=SBCM,

­.D(2,9),B(5,0),C(0,5),f：

，直线BC的解析式为y=-x+5,徽、

,设直线DM的解析式为y=-x+b,c

将D(2,9)代入解析式得9=-2+b,解得b=ll,/N

XTO<E\BX

二.直线DM的解析式为y=-x+ll,例题解图①

VM是直线DM与抛物线的交点，

2

.,.令—X+11=—x+4x+5,解得Xi=2(舍去),x2=3,

.-.M(3,8);

⑷存在，

■.B(5,0),D(2,9),

直线BD的解析式为y=-3x+15,

设直线I的解析式为y=ax+c,且直线I与直线BD的交点为F(m,n),直线AF即为所求,如解图

②,由点坐标易得Spg边物a"=SA“OC+S梭+SAS£O=1^5x-+(5+9)x2x-+3x9x-=30,

使SABF=}S四边形ABDC,

例题解图②

即^AB-n=15,.-.n=5,

,；F(m,5)在y=-3x+15上,

，5=-3m+15,解得m=y,

(印5)，3

将A(-1,O),F(35)代入Y=ax+c,解得a=盘c=卷,

.•直线I的解析式为丫=葛久一

⑸••・线段PQ将WBC分成面积比为1:3的两部分,

.••警=辆咨=3.

、PQB§bPQB

设点P坐标为(xp,yp),

C岩SPQC_1I1，Q：P_1

④右SPQB_3'/Q.（孙_而）_3'

即q==去解得Xp=.

Xp—Xp35—Xp34

此时点p的坐标为（I，贵）；

②若警=3,1帚、=3,

即告=$建=3,解得和=第

此时点P的坐标为(?，工).

综上所述，点P的坐标为©芍)或(?翳

三阶综合强化练

1.解:⑴A(-3,O),B(1,O)；

(2)由⑴得,A(-3,O),B(1,O),

，AB=4抛物线的对称轴为直线x=-l,

如解图①，设抛物线的对称轴与x轴交于点H,则点H的坐标为(-1,0),

.-.AH=BH=2,

由翻折的性质得AB=AB=4,

.•.在RfA'BH中，

AH=^AB2-BH2=2V3,

丁点D在x轴下方，

第1题解图①

A（—1，—2V5）,

tan^ABA=—=V3,

BH

・•・NABA'=60。，

由翻折的性质得NABD=NABD=3^ABA=30。,

；.DH=BH-tanNABD=2Xw==,

.•点D的坐标为(-1，-竽)；

(3)【思路点拨】观察发现分割后的两个三角形共底，想到利用高相等，进而作垂线构造全等

三角形.

如解图②，连接AC,BP交于点Q,过点A作AE^BP于点E,过点C作CDBP于点F.连接AP,P

C,BC.

■■■BP平分四边形ABCP的面积，

11

-BP-AE=-BP-CF,

22

.-.AE=CF,

且NEQA=NFQC,

zAEQ=zCFQ=90°,

.“AEQ学CFQ(AAS),..AQ=CQ,

二点Q为线段AC的中点,.Q(一|，|).

又出(1,0),二直线BQ的解析式为y=-|x+|.

•.点P为直线BQ与抛物线的交点,

2

二令|"+|=-X-2X+3,解得%!=y,X2=1(舍去).

.,点P的坐标为(-£，H).

2.解：(1)抛物线的解析式为y=—尤2-2久+3;

⑵由⑴得y=rZ—2%+3=-(%+1)2+4,将抛物线向右平移m个单位，

平移后的抛物线解析式为y=-Cx+l-my+4,

1.平移后的抛物线与AABP只有一个公共点，

，平移后的抛物线经过点B,

把B(0,3)代入，得3=-(1-mV+4,

解得=2,m.2—。(舍去)，

•.m的值为2;

(3)【思路点拨】设出点Q的坐标，可以先计算出AABP的面积，由SABQ=2S.P，结合所设点Q的坐标利用三

角形面积公式列方程求解.

存在.设点Q的坐标为(a--a2-2a+3),

分两种情况：①如解图①，当Q在对称轴的左侧，过点P作PD_LX轴于点D,过点Q作QElly轴交直线AB

于点E,

E(a,a+3),QE=a+3-[—a2—2a+3^=a2+3a,

SABP=SZPO+S梯形PDOB-SA0B.X4X[(-1)-

(-3)]+ax(3+4)x1——x3x3=3,

，•SABQ=^ABP~6,

•••SABQ=^BEQ—^AEQ=~Q^°(XB—%E)~~Q^-

=5(a2+3ci)x(_CL)_5+3a)x(_3—CL)="(ci2+3CL)x3=6,

解得岬=-4,a2=1(舍去),「.Q(-4,-5);

②如解图②，当Q在对称轴右侧，连接BQ,过点P作PD±x轴于点D,过点Q作QElly轴交直线AB于点

E,同理可得Q(1,O).

综上所述，点Q的坐标为(-4,-5)或Q,0).

3.解：(1)抛物线的解析式为y=：/+?久一g；

(2)/AABD为等腰直角三角形，如解图①，过点D作DG±x轴于点G,则DG=AG=GB,

:•点D的坐标为(-2,-3),

过点P作PM，x轴交于点M,

."EPMSAEDG,

.PM_EP

"DG-ED'

..PD=2PE,

..PM=L

二点P的纵坐标为-1,

代入二次函数解析式可得+蔡％=_1解得X=谭旺

又1•点P在直线AC的下方，

.•点P的坐标为(咛

⑶存在，

设点P的坐标为(小，1巾2+一9)，

•.A(-5,0),D(2-3),C(0,-2I

可得直线AD的解析式为y=-x-5,

直线CD的解析式为y=^x-p

如解图②，③，过点P作PH±x轴,交直线AD于点H,交直线CD于点N,连接PA,PC,

二点H的坐标为(m,-m-5),点N的坐标为,*根-募)，

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