2025年中考数学一轮复习难点与解题模型：平行线中的常见的四种“拐角”模型（解析版）

难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

题型二：“铅笔”模型

题型三：“鸡翅”模型

题型四：“骨折模型”

期型突跑N&精淮提今

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

「高飞1区T承

一、“猪蹄”模型

i猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步骤总结

!步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线

步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角

步骤三：推导出角的数量关系

模型结论：ZB+ZD=ZDEB.

二、锯齿模型

已知图示结论（性质）证明方法

AB

AB〃DENB+NE=NC

上遇拐点做平行

DE线（方法不唯

【典例1-1】（2023•辽宁盘锦•中考真题）如图，直线/B〃CZ）,将一个含60。角的直角三角尺EGF按图中

方式放置，点E在上，近GF、EF分别交CD于点H、K,若NBEF=64°,则NGHC等于（）.

【分析】根据平行的性质可得=跖=64。，再根据四边形内角和为360。可得/G"=146。，问题

随之得解.

【详解】AB//CD,ZBEF=64°,

；.NEKC=NBEF=64。,

'：ZEKC+ZG+ZGEK+ZGHK=360°,ZGEK=60°,NG=90°,

NGHK=146°,

'：ZGHK+ZGHC=180°,

ZGHC=34°,

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行的性质以及四边形内角和为360。，掌握四边形内角和为360。是解答本题的关

键.

【典例1-2］（2020•湖南•中考真题）如图，已知Zl=30°,N2=35。，则/3CE的度数为（)

AB

A.70°B.65°C.35°D.5°

【答案】B

【分析】作CF〃/瓦根据平行线的性质可以得到NFCE=N2,从而可得NBCE的度数，本

题得以解决.

【详解】作CF//AB,

：.CF//DE,

：.AB//DE//DE,

：./\=NBCF,ZFCE=Z2,

,.•Zl=30°,Z2=35",

:./BCF=3。。,/FCE=35。,

：.NBCE=65。,

故选:B.

【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答.

【典例1-3］（2024•在平区一模）如图，AB//EF,ZC=90°,则a,B,7的关系是（）

C.。+/+/=180。D.B=a+y

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键.分别过点C、D作NB的平行线,

货ABIIMNIIPQJIEF,根据平行线的性质得，a=NBCN,ZNCD=ZCDP,ZPDE=y,由

ZBCN+ZNCD=90°,得NBCN+NCDP=90°,再由=,即可得到a+尸一y=90。.

【详解】如图，分别过点。、。作N8的平行线，货AB〃MN”PQ〃EF,

根据平行线的性质得，a=ZBCN,ZNCD=ZCDP,ZPDE=y,

ZCDP+ZPDE=,

:.ZCDP=/3-ZPDE,

又vABCN+NNCD=90°,

:.ZBCN+ZCDP=90°,

即=90。，

故选:A.

【典例1一4】（2024•河南南阳•模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同时

让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产"抖空竹”引入阳光特色大课间.如图①是某同学"抖

空竹"时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知48〃CD,ZAEC=\31°,ZBAE=57°,

则/DCE的度数为（）

【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键.

如图，作印〃48,可得NBAE+NDCE=NAEC,所以NDCE=ZAEC-NB4E,由此即可求解.

【详解】解：如图所示，过点£作跖〃/3,

FC

・・•AB//CD,

：.AB//EF//CD,

/BAE=AEF,/DCE=/CEF,

・•・ZBAE+ZDCE=ZAEF+ZCEF=AAEC=131°，

：.ADCE=AAEC-NBAE=131。-57。=74。，

故选：C.

【典例1-5］（2023•北京西城・统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种,

【分析】利用平行线的性质以及三角形外角的性质证明即可.

【详解】方法一

证明：如图，过点E作MNIIZB,

ZX=^AEM.

'：AB||CD,

：.MN||CD,

:.(C=Z.CEM.

V/-AEC=/-AEM+乙CEM,

Z.AEC=Z.A+Z-C.

方法二证明：如图，延长TIE,交CD于点F,

'：AB||CD,

；.乙4=/.AFC.

\'^AEC=N4FC+NC,

Z.AEC-Z.A+ZC.

【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2024•辽宁•模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面（如图），明亮的

光束是由位于抛物线反射镜焦点F上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出,

若/尸CD=40。，ZFGH=70°,则光线尸C与FG形成的/CFG的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【答案】C

【分析】此题考查了平行线的性质，根据两直线平行内错角相等得到

ZAFC=ZFCD=40P,ZAFG=ZFGH=70P,即可得到ZCFG的度数.

【详解】解：由题意可知，CF//AB//GH,

ZAFC=ZFCD=4CP,ZAFG=ZFGH=70P,

ZCFG=ZAFC+ZAFG=110°

故选：C

【变式1-2］（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，AB//CD,OBLOD,若乙48。=36°,则/ODC的度数为

（）

A.36°B.54°C.72°D.108°

【答案】B

【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，作。E||CD得/8〃O£||C。，进一步可得

ZBOD=NBOE+NDOE=AABO+ZODC,据止匕即可求解.

【详解】解：作OEIICD,如图所示：

ZBOE=ZABO,ZODC=ZDOE

：.NBOD=ZBOE+ZDOE=ZABO+ZODC

VZABO=36°,NBOD=90°

：.ZODC=ZBOD-ZABO=54°

故选：B

【变式1-3］（2024•甘肃•模拟预测）如图1,是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望

远镜"中国天眼如图2,是"中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反

射面），入射波/O经过三次反射后沿O'H水平射出，且。4〃。'/',已知入射波/O与法线的夹角Nl=35。，

则ZA'0'F=()

/Af

E

F

G

,

彳

图1图2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，过点厂作CC〃。/，可得CC//OA//O'A，根据题意得到ZAOF=70°,

再由平行线的性质得到==/。尸O=7(F,得出答案，掌握平行线的性质是解题的关键.

【详解】解：过点/作CC'〃O4,OH为法线,如图：

图2

OA//ON,

：.CC//OA//O'A',

・•・CCVEG,

・•・CC为法线,

NCFO=ZCFOr,

•：OH为法线,Nl=35。，

"OH=/I=35。,

・・・//O尸=70。，

•・•CC//OA,

：.ZAOF=ZCFO=/CFO'=70°,

・・・CC//O'A',

：./A'O'F=ZCFOr=70°,

故选：A.

【变式1-4］（2024•云南昆明•模拟预测）如图，已知。〃b,若48与2C的夹角为105。，4=55。，则/2的

度数为（）

A.105°B.125°C.130°D.150°

【答案】C

【分析】本题主要考查了平行线的性质及判定，掌握平行线的性质及判定是解本题的关键.

过点B作8。〃*由a〃。可得进而可得出/C5D=50。，即可求解.

【详解】解：如图，过点B作BD〃a,

C

BD//b,

Z1=ZABD=55°,Z2+ZCBD=180°,

ZABC=105°,

:.NCBD=50。,

.-.Z2=130°.

故选：C

［变式1-5］（2024•江苏常州•一模）如图，直线。〃6,点/在直线。上，点C在直线6上，48，BC,若/I=44。,

则Z2=

A

a

b

【答案】46

【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义,熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.

过点2作射线2。〃。，再根据。〃6,得出=Z2=ZCBD,再根据48,8c即可求解.

【详解】解：过点3作射线8。〃。，如图所示,

BD//a,

：.Zl=/ABD,

'：a//b,

：.BD//b,

：.Z2=ZCBD,

ABIBC,

：.ZABC=ZABD+ZCBD=Z1+Z2=90°,

Zl=44°,

Z2=90°-Zl=46°.

故答案为：46.

【变式1-6】问题情境：如图1,已知乙4PC=108。.^PAB+^PCD^]^.

经过思考，小敏的思路是：如图2,过P作PE〃7IB,根据平行线有关性质，可得NPHB+NPCD=360。一

AAPC=252°.

问题迁移：如图3,AD〃BC,点P在射线。M上运动，N4DP=Na,乙BCP=乙0.

(1)当点P在4B两点之间运动时，4CPD、N*N0之间有何数量关系？请说明理由.

⑵如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、。三点不重合)，请你直接写出NCPD、Na、4夕之间

的数量关系.

⑶问题拓展：如图4,MA^//NAn,A】--4-8n_i-4,1是一■条折线段，依据此图所含信息，把你

所发现的结论，用简洁的数学式子表达为

【答案】(l)NCPD=Na+N6,理由见解析

(2)ZCPD=Z6-Za^ZCPD=Za-Z6

⑶/4+/有2+...+/4八=/81+/82+...+乙8九—1

【分析】(1)过P作PE〃AD,根据平行线的判定可得PE〃AD〃BC,再根据平行线的性质即可求解；

(2)过P作PE〃A。，根据平行线的判定可得PE〃AD〃8C,再根据平行线的性质即可求解；

(3)问题拓展：分别过人，小…，Am］作直线〃4M,过&,B2,8恒作直线〃4M,根据平行线的判

定和性质即可求解.

【详解】(1)ZCPD=Za+Z6,理由如下：

如图，过P作PE〃/W交CD于E,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,N6=NCPE,

：./CPD=/DPE+ZCPE=Na+N6；

(2)当P在BA延长线时，ZCPD=Z6-Za；理由:

如图，过P作PE〃/W交CD于E,

：.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,Z6=ZCPE,

：.ZCPD=ZCPE-ZDPE=Z6-Za；

当P在80之间时，ZCPD=Za-Z6.理由:

J.AD//PE//BC,

：.Za=ZDPE,Z6=ZCPE,

：.ZCPD=ZDPE-ZCPE=Na-N6.

(3)问题拓展：分别过人，小…，作直线〃4/M,过&,B2,....8G作直线〃4M,

由平行线的性质和角的和差关系得/4+入42+...+乙4。=/&+/&+...+4瓦_1.

故答案为：/A1+/A2+.“+NAn=/&+/82+.“+N8n_i.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第(2)问在解题时注意

分类思想的运用.

题型二：“铅笔”模型

「藉TQ区r承

从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图:

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母题学方法】

【典例2-1】（崇川区校级三模）如图，已知乙4=140°,ZE=120°,则NC的度数是（）

【分析】过E作所〃求出4B〃EF〃CD,根据平行线的性质得出N/+N/£F=180°,ZC+ZCEF

=180°,求出N4+N4£C+NC=360°,代入求出即可.

过£作跖〃45,

■:ABIICD,

：.AB//EF//CD,

：.ZA+ZAEF=ISO°,ZC+ZCEF=180°,

AZA+ZAEF+ZCEF+ZC=360°,

即N4+N4EC+NC=360°,

VZA=140°,ZAEC=120°，

/.ZC=100°,

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质的应用，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，同

旁内角互补.

【典例2-2】（2024春•启东市校级月考）如图，直线〃〃b,Zl=28°,贝！］N3=度，N3+N4+N5=

【分析】过N3的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：N3=N1+N2,N3+

N4+N5=360°

【解答】解：如图所示：过N3的顶点作。〃〃，

u

：a//bf

C.a//b//c,

・・・N1=N6,N7=N2,

又N3=N6+N7,

・・・N3=N1+N2=78°；

又N4+N6=N7+N8=180°

・・・N3+N4+N5=360°.

【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线.根据平行线的性质发现并证明：N3=N

1+Z2；N3+N4+N5=360°.

【典例2-3】请在横线上填上合适的内容.

（1）如图（1）已知AB〃CD,贝（］/5+/。=/5£。.

ABAB

：.ZFEB=().()

VAB//CD,EFHAB,

，()〃().(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行)

:.NFED=().().

，NB+ND=NBEF+ZFED.

：.NB+ND=NBED.

(2)如图②，如果A8〃CZ),贝lJZ8+N3£D+ND=()

【答案】(1)ZB,两直线平行，内错角相等，EF,CD,ZD,两直线平行，内错角相等；

(2)360°

【分析】(1)过点E作直线即〃48,贝1]/尸£2=/8,继而由瓦”CD可得NFED=/D所以

NB+ZD=ZBEF+ZFED,即NB+ZD=/BED；

(2)过点£作直线M〃/3,则/尸£3+48=180。，继而由M〃CE)可得/尸皮>+/。=180。.所以

ZB+ZD+ZBEF+ZFED=360°,即ZB+ZBED+ZD=360°.

【详解】解：(1)解：过点£作直线所〃N3.

：.ZFEB=ZB.(两直线平行，内错角相等)

'：AB//CD,EF//AB,

：.EF//CD(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行).

：.4FED=4D(两直线平行，内错角相等).

zs+zr>=ZBEF+ZFED.

：.NB+/D=/BED.

故答案为：/B,两直线平行，内错角相等，EF,CD,AD,两直线平行，内错角相等；

(2)解：过点£作直线即〃/8,如图.

AB

：.ZFEB+ZB=180°.两直线平行，内错角相等）.

<ABHCD,EF//AB,

J.EF//CD（如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行）.

AZFED+ZD=180°（两直线平行，内错角相等）.

ZB+ZD+ZBEF+ZFED=360°.

：.ZB+ZBED+ZZ)=360o.

故答案为：360°.

【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及其推论，熟练掌握平行线判定、性质说理是关键.

【典例2-4】如图，已知AB〃CD.

（1）如图1所示，Zl+Z2=

⑵如图2所示，Zl+Z2+Z3=；并写出求解过程.

（3）如图3所示，Zl+Z2+Z3+Z4=；

（4）如图4所示，试探究N1+/2+/3+/4+…+/。=.

【答案】(1)180°;(2)360°；(3)540°；(4)(n-1)xl80°

【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；

（2）过点£作4B的平行线，转化成两个图1,同理可得答案；

（3）过点E,点F分别作A8的平行线，转化成3个图1,可得答案;

(4)由(2)(3)类比可得答案.

【详解】解：(1)如图1,：AB〃CD,

；./1+/2=180。(两直线平行，同旁内角互补).

故答案为：180°；

(2)如图2,过点E作A8的平行线EF,

"."AB//CD,

J.AB//EF,CD//EF,

：.Z1+ZAEF=1SO°,ZFEC+Z3=180°,

，/1+/2+/3=360°；

图4

(3)如图3,过点E,点F分别作的平行线,

类比(2)可知N1+/2+/3+N4=180°X3=540°,

故答案为：540°；

(4)如图4由(2)和(3)的解法可知Nl+/2+/3+N4+...+Nn=(n-1)xl800,

故答案为：(n-1)xl80°.

【点睛】此题考查了平行线的性质.注意掌握辅助线的作法是解此题的关键.

【中考模拟即学即练】

【变式2・1】(江苏模拟)如图，是赛车跑道的一段示意图，其中45〃。。测得NB=140。,ZD=120°,

则NC的度数为()

A.120°B.100°C.140°D.90°

【分析】先作辅助线W〃45,再根据平行线的性质解答即可.

【解答】解：过点。作CF〃/5,

■:AB//DE,

：.AB//DE//CF,

AZB+Z1=180°，ZD+Z2=180°；

故/8+Nl+/D+/2=360°,即NB+/BCD+/D=360°,

故N8CD=360°-140°-120°=100°.

【点评】注意此类题要作出辅助线，运用平行线的性质探求三个角的关系.

【变式2-2】问题情境：如图1,ABWCD,Z.PAB=130°,/.PCD=120°,求UPC的度数.

图5备用图1备用图2

思路点拨：

小明的思路是：如图2,过P作PE||AB,通过平行线性质，可分别求出N71PE、NCPE的度数，从而可求出乙4PC

的度数；

小丽的思路是：如图3,连接4C,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出NAPC的度数；

小芳的思路是：如图4,延长力P交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出乙4PC

的度数.

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的乙4PC的度数为^。；

问题迁移：

（1）如图5,AD||BC,点P在射线。M上运动，当点P在A、B两点之间运动时，乙4DP=Za,Z.BCP=邛/CPD、

Na、N0之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重合），请你直接写

出“PD、Na、N夕间的数量关系.

【答案】110；(1)乙CPD=+乙B，理由见解析；(2)乙CPD=乙0一乙a或乙CPD=乙0.—乙B，理由见解

析

【分析】小明的思路是：过P作PEIIAB,构造同旁内角，利用平行线性质，可得乙4PC=110。.

(1)过P作PEII4D交CD于E,推出4DIIPEIIBC,根据平行线的性质得出Na=ADPE,A13=ACPE,即可得

出答案；

(2)画出图形(分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在4B的延长线上)，根据平行线的性质得

出Na=NDPE,4=LCPE,即可得出答案.

【详解】解：小明的思路：如图2,过P作PE||48,

：.PE||AB||CD,

：.^APE=180°一"=50°,乙CPE=180°-zC=60°,

J.Z.APC=50°+60°=110°,

故答案为：110；

(1)Z.CPD=Aa+A13,理由如下：

如图5,过P作PE||4D交CD于E,

\'AD\\BC,

：.AD\\PE\\BC,

.*.Za=乙DPE,乙p=乙CPE,

:•(CPD=Z-DPE+(CPE=乙a+Z■仪

图5

(2)当P在84延长线时，乙CPD=乙0—乙a；

理由：如图6,过P作PEII4D交CD于E,

9：AD\\BC,

：.AD\\PE\\BCf

.*.Za=乙DPE,z/?=乙CPE,

图6

当P在8。之间时，乙CPD=ca—乙

理由：如图7,过P作PEIL4D交CD于£

u

：AD\\BCf

：.AD\\PE\\BCf

/.z.a=乙DPE,邛=(CPE,

图7

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的

关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角.

【变式2-3](1)如图1,及〃〃，求/4+/42+/八3=.(直接与出结果)

(2)如图2,〃〃匕，求N4+N42+N43+N4=.(直接与出结果)

(3)如图3,/1〃，2，求/4+/42+/4+/4+/45=•(直接与出结果)

(4)如图4,/[〃/2，求N4+N/b+...+NAn=.(直接与出结果)

Aa4

44二小

【答案】(1)360°；(2)540°；(3)720°；(4)(n-1)180°

【分析】(1)过点4作48〃/1，根据平行线的性质，即可求解；

(2)过点(作48〃/」，过点人作A3c〃/」，根据平行线的性质，即可求解;

(3)根据平行线的性质，即可求解；

(4)根据平行线的性质，即可求解.

【详解】解：(1)过点人作48〃/1，

⑴

'：h//l2,

A2B//li//121

Q

：.N4+/4A2B=180°,ZA3+ZA3A2B=1S0,

：.ZA1+ZA1A2B+ZA3+ZA3A2B=180°+180°^60°,

故答案是：360。；

(2)过点4作48〃/“过点4作A3c〃/1，

h——

C---

h----------

(2)

•3i〃»

：.A3C//A2B//li//l2,

0

：.ZAi+ZAiAzB^SO,ZA4+ZA4A3B=180°,287\24+/6送2=180°,

•**N4+N>4L424+N八z44+N4=X.A1+X.A1A2B+/LA4+/LA4A3B+BA2A3-^-CA3K2

=180o+180o+180°=540°,

故答案是：540°；

(3)同理可得：/4+/4+/4+/4+/4=180°+180°+180°+180°=720°,

故答案是：720。；

(4)同理可得：N4+/4+...+NAn=(n-1)180°,

故答案是：(n-i)180

【点睛】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造平行线，是解题的关键.

题型三：“鸡翅”模型

【典例3-1】(2024•广东深圳•模拟预测)抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一.明代

《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间

流行的历史至少在600年以上.如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：

AB//CD,ZBAE=94°,NDCE=122°,则NE的度数为()

A.28°B.38°C.18°D.25°

【答案】A

【分析】本题考查了平行线的性质，延长DC交/E于点F，先利用平行线的性质可得=〃尸E=94。,

然后利用三角形的外角性质进行计算，即可解答.根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解

题的关键.

【详解】解：延长DC交/£于点尸，

AB//CD,

：.NBAE=NDFE=94°,

/DCE是4CEF的一个外角,

NE=NDCE-NDFE=122°-94°=28°,

故选：A.

【典例3-2】/2〃CD,点P为直线/瓦CD所确定的平面内的一点.

（1）如图1,写出N4PC、ZA.NC之间的数量关系，并证明;

（2）如图2,写出N/PC、//、NC之间的数量关系，并证明;

（3）如图3,点E在射线5/上，过点E作斯〃PC,作/PEG=NPEF,点G在直线CD上，作/BEG

的平分线£〃交尸。于点X,若/4PC=30。,ZPAB=UO°,求/尸£〃的度数.

图1

【答案】（1）ZA+ZC+ZAPC=360°,证明详见解析；（2）ZAPC=ZA-ZC,证明详见解析；（3）55°.

【分析】（1）首先过点P作PQ〃AB,结合题意得出AB〃PQ〃CD,然后由"两直线平行，同旁内角互补"进

一步分析即可证得/A+/C+/APC=360。；

（2）作PQ〃AB,结合题意得出AB〃PQ〃CD,根据“两直线平行，内错角相等"进一步分析即可证得NAPC

ZA-ZC；

(3)由(2)知，NAPC=/PAB-/PCD,先利用平行线性质得出/BEF=/PQB=110。，然后进一步得出

ZPEG=yZFEG,ZGEH=|ZBEG,最后根据NPEH=NPEG-/GEH即可得出答案.

【详解】(1)ZA+ZC+ZAPC=360°,证明如下:

如图1所示，过点P作PQ〃AB,

又：AB〃CD,

PQ〃CD,

NC+NCPQ=180°,

ZA+ZAPQ+ZC+ZCPQ=360°,

即NA+NC+/APC=360°；

(2)ZAPC=ZA-ZC,证明如下:

如图2所示，过点P作PQ〃AB,

图2

，NA=NAPQ,

：AB〃CD,

；.PQ〃CD,

；.NC=/CPQ,

：NAPC=/APQ-/CPQ,

.\ZAPC=ZA-ZC；

（3）由（2）知，NAPC=/PAB-/PCD,

VZAPC=30°,ZPAB=140°,

AZPCD=110°,

VAB//CD,

.,.ZPQB=ZPCD=110",

VEF/7PC,

."..ZBEF=ZPQB=110",

VZPEG=ZPEF,

AZPEG=yZFEG,

VEH平分NBEG,

AZGEH=yZBEG,

；.NPEH=/PEG-/GEH

NFEG-gZBEG

22

=yZBEF

=55°.

【点睛】本题主要考查了利用平行线性质与角平分线性质求角度的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关

键.

【典例3-3】（2023•重庆大渡口•统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：

如图，=160°,当N4与AD满足什么关系时，BC||DE?

小明认为AD—5=20。时BC||DE,他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作

留与填空：

解：用直尺和圆规，在的右侧找一点M,使=（只保留作图痕迹）.

,：/.DAM=ZD,

•••①____________

'：^D-ADAB=20°

：.^BAM=②°,

■:乙B=160°,

:.乙B+乙BAM=③°,

二④_____________

：.BC||DE.

所以满足的关系为：当“一乙4=20。时，BC||DE.

【答案】@DE\\AM,②20,③180,@BC\\AM

【分析】首先根据作一个角等于已知角进行尺规作图，然后再题目步骤的引导下，将空白处补充完整即可.

【详解】解：如图，通过尺规作图得：=

'：^DAM=&D,

：.（1）DE\\AM,

=20°,

=（2）200,

■:乙B=160°,

:.乙B+Z.BAM=（3）180°,

：.BC||DE.

所以满足的关系为：当AD—N力=20。时，BC||DE.

故答案为：@DEW，②20,③180,@BC\\AM.

【点睛】本题考查了平行线的判定方法、尺规作图（作一个角等于已知角）等知识点，平行线判定方法的

熟练掌握是解题关键.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］如图，若ABIICD,则/1+/3-/2的度数为

【答案】180。

【分析】延长EA交CD于点F,则有N2+/EFC=/3,然后根据可得/1=/EFD,最后根据领补角及

等量代换可求解.

【详解】解：延长EA交CD于点F,如图所示：

E

•••ABHCD,

AZ1=ZEFD,

•••/2+/EFC=N3,

Z£FC=Z3-Z2,

ZEFC+ZEFD=180°,

Zl+Z3-Z2=180°；

故答案为180。.

【点睛】本题主要考查三角形外角的性质及平行线的性质，熟练掌握三角形外角的性质及平行线的性质是

解题的关键.

【变式3-2］问题探究：

如下面四个图形中，ABHCD.

(1)分别说出图1、图2、图3、图4中，/1与/2、/3三者之间的关系.

(2)请你从中住造：个加以说明理由.

3Q尸

如DX2________

CDCDCD

图1图2图3图4

解决问题:

(3)如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于。点的灯泡发出两束光线。2、0C经灯碗反射后平

行射出.如果NN8O=57°,ZDCO=44°,那么°,

图5

【答案】(1)图1：Z1+Z2=Z3；图2：Zl+Z2+Z3=360°；图3：Z1=Z2+Z3；图4：Zl+Z3=

/2；(2)见解析；⑶101°

【分析】(1)图1：首先过点尸作尸£〃/3,由N3〃CD,即可得N3〃P£〃CD,然后根据两直线平行，内错

角相等，即可求得答案；

图2：首先过点尸作PE〃/3由43〃CD,即可得然后根据两直线平行，同旁内角互补，

即可求得答案；

图3：由CD,根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案；

图4：由42〃CD,根据两直线平行，同位角线相等，以及三角形外角的性质，即可求得答案.

(2)选图1,过点P作PE//AB,由N3/CO,即可得/3〃尸E〃C£>,然后根据两直线平行，内错角相等，

即可求得答案；

(3)利用图1结论进行求解

【详解】⑴图1：Z1+Z2=Z3；

图2：Zl+Z2+Z3=360°

图3：Z1=Z2+Z3；

图4：Z1+Z3=Z2；

(2)选择图1,

如图所示：过点尸作

:.ABIIEPIICD

：.Z1=ZAPE,/2=/EPC

又：/3=ZAPE+ZEPC

.•.Z1+Z2=Z3；

(3)由图1可得：ZBOC=ZABO+ZDCO,

又,?ZABO=57°,ZDCO=44°,

Z5OC=57°+44°=101°

【点睛】考查了平行线的性质与三角形外角的性质.解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，两直

线平行，内错角相等以及两直线平行，同位角相等定理的应用与辅助线的作法.

【变式3-3】已知直线AB〃CD,P为平面内一点，连接力、PD.

(1)如图1,已知NA=50。,ZD=150",求NAPD的度数；

(2)如图2,判断/以B、NCDP、NAP。之间的数量关系为.

(3)如图3,在(2)的条件下，AP±PD,ON平分NPDC,若/%N+：NR4B=NAPD,求/4VD的度数.

CD

图1

【答案】(1)ZAPD=80°；(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°;(3)NAND=45。.

【分析】(1)首先过点P作PQ〃AB,则易得A8〃PQ〃CD,然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角

相等，即可求解；

(2)作PQ〃/IB,易得AB〃PQ〃CD,根据平行线的性质，即可证得N%B+/CDP-NAPD=180。；

(3)先证明NNOD=L/PAB,NODN=LNPDC,利用(2)的结论即可求解.

22

【详解】解：（1）VZ4=50°,ZD=150°,

过点P作PQ//AB,

CD

：.NA=NAPQ=50°,

'：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.ZD+ZDPQ=180°,则/。PQ=180°-150°=30°,

.*•ZAPD=ZAPQ+ZDPQ=50°+30o=80°；

(2)ZPAB+ZCDP-ZAPD^180°,

如图，作PQ〃AB,

:.NPAB=/APQ,

'：AB//CD,

：.PQ//CD,

：.ZCDP+ZDPQ=180",即ZDPQ=1SO°-ZCDP,

"：ZAPD=ZAPQ.-ZDPQ,

：.NAPD=ZR4B-(180--ZCDP)=NPAB+NCDP-1800；

ZPAB+ZCDP-ZAPD=180°；

(3)设PD交AN于。如图，

N

P

CD

'：AP±PD,

：.ZAPO=90°,

由题知/R4/V+，/PAB=/APD,即ZPAN+-ZRAB=90°,

22

又•:ZPOA+ZPAN=1800-ZAPO=90°,

：.ZPOA=-ZPAB,

2

"：ZPOA=ZNOD,

：.ZNOD=-ZPAB,

2

平分/PDC,

：.ZODN=-ZPDC,

2

ZAND=180°-ZNOD-ZOD/V=180°-^(ZPAB+ZPDC],

由(2)得/PAB+ZCDP-/APD=180°,

ZPAB+ZPDC=180°+ZAPD,

：.ZAND=180°-1(ZPAB+ZPDC)

=180°-1(180°+Z/1PD)

=180°-1(180o+90°)

=45°,

即4/VD=45°.

【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义.注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想

的应用.

题型四：“骨折模型”

「后T&T卷T*

模型结论：ZE=ZB-ZD

【中考母题学方法】

【典例4-1］（2024•黑龙江绥化•中考真题）如图，AB//CD,AC=33°,OC=OE.贝l］乙4=

【答案】66

【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得/£=/C=33。,

根据三角形的外角的性质可得NOOE=66。，根据平行线的性质，即可求解.

【详解】解：：OC=OE,ZC=33°,

ZE=ZC=33°,

NDOE=NE+NC=66,

AB//CD,

：.NA=ZDOE=66°,

故答案为：66.

【典例4-2］（2023•四川资阳•中考真题）如图，AB//CD,AE交CD于点、F,乙4=60。，NC=25。,则

NE=

.4B

【答案】35。/35度

【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解

题的关键.先根据两直线平行，同位角相等得出NEFD=N/=60。，再根据三角形的一个外角等于与它不相

邻的两个内角的和得到ZEFD=ZE+ZC,即可求出ZE的度数.

【详解】解：•••工8〃CD,

NEFD=NA,

■：ZA=60°,

ZEFD=60°,

是ACE尸的外角，

ZEFD=ZE+ZC,

ZC=25°,

ZE=ZEFD-ZC=60°-25°=35°

故答案为：35°

【典例4-3】①如图1,AB//CD,则/A+NE+NC=180。；②如图2,AB//CD,则NE=/A+/C；③如

图3,AB//CD,则/A+NE-/1=180。；④如图4,AB//CD,则NA=/C+NP.以上结论正确的个数是

图1

A.①②③④B.①②③C.②③④D.①②④

【答案】C

【分析】①过点E作直线跖〃由平行线的性质即可得出结论；

②过点E作直线EF〃月3,由平行线的性质即可得出结论；

③过点E作直线EF〃/3,由平行线的性质可得出/A+/E-Nl=180。；

④先过点P作直线尸尸〃N5,再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断.

【详解】解：①过点E作直线即〃羽，

AB

图1

,:AB〃CD,：.AB//CD//EF,：.ZA+Z1=18O°,Z2+ZC=180°,

ZA+ZC+ZAEC=360Q,故①错误；

②过点E作直线EF//AB,

/B

；AB//CD,

：.AB//CD//EF,：.ZA=Z1,Z2=ZC,

AZAEC=AA+Z.C,即/AEC=/A+/C,故②正确;

③过点E作直线EF//AB,

A____B

图3

AB//CD,：.AB//CD//EF,：.Z4+Z3=180°,Z1=Z2,

AZ/l+Z-4EC-Z2=180°,即/A+/AEC-Nl=180°,故③正确;

④如图，过点P作直线2F〃/3,

AB

AB//CD,：.AB//CD//PF,

：.Z1=ZFPA,NC=/FPC,

"：ZFPA^ZFPC+ZCPA,

：.Z1=ZC+ZCPA,

'：AB//CD,AZA=Z1,即/A=/C+/CP4故④正确.

综上所述，正确的小题有②③④.

故选：C.

【点睛】本题考查的是平行线的性质