2025年中考数学二轮复习：二次函数综合题训练（含答案）

2025年中考数学二轮复习专题：二次函数综合题训练

选择题(共10小题)

1.将抛物线y=/+2x-1向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为()

A.(-4,-1)B.(-4,2)C.(2,1)D.(2,-2)

2.如图，已知抛物线>=加+反+,过点C(0,-2)与x轴交点的横坐标分“

别为xi，X2，且-2<%2<3,则下列结论①a-6+c<0；②方\/

程加+6x+c+2=0有两个不相等的实数根；③a+6>0；④a>|；⑤-’,

b2-4ac>4*,其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=-1,

(.c,2a-b)和点N(启-4ac,a-6+c)的直线一定不经过(

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

4.已知二次函数>=/-2x(-1WxWt-1),当x=-l时，函数取得最大值；当x=l时，

函数取得最小值，则/的取值范围是()

A.0<W2B.04W4C.2WW4D.

5.如图，已知二次函数y=ax2+6x+c(aWO)的图象与x轴相交于点N(-3,0),B(1,

0),则下列结论正确的个数是()

①a6c<0；

②36+2c>0；

③对任意实数"2,07*2+6加-6均成立；

④若点(-4,为)，乃)在抛物线上，则为<乃.

A.1个B.2个C.3个

6.已知抛物线y=a/+6x+c(a,b,c为常数，aWO)的顶点坐标为(7,-2),与y轴

的交点在x轴上方，下列结论正确的是()

A.a<0B.c<0C.a-b+c--2D.b1-4ac=0

7.已知二次函数y=a/+(2a-3)x+a-1(尤是自变量)的图象经过第一、二、四象限,

则实数。的取值范围为()

A.B.0<a<3C.0<a<9D.lWa<3

8282

8.已知二次函数尸-尚小+加与尸-6x的图象均过点/（4,0）和坐标原点。，这

两个函数在0WxW4时形成的封闭图象如图所示，P为线段。/的中点，过点尸且与x轴

不重合的直线与封闭图象交于瓦C两点.给出下列结论:

①6=2；

②PB=PC；

③以O,A,B,C为顶点的四边形可以为正方形；

④若点2的横坐标为1,点0在y轴上（Q,B,C三点不共线），则△BC。周长的最小

值为5+V13.

其中，所有正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

9.已知点/（xi，ji）在直线y=3x+19上，点8（x2）3），C（x3>乃）在抛物线y=x2+4x

-1上，若为=及=为，Xi<X2<X3,则Q+%2+、3的取值范围是（）

A.-12<工1+工2+工3<-9B.8Vxi+、2+t3<-6

C.-9Vxi+工2+%3<0D.-6</+%2+%3V1

10.在平面直角坐标系中，直线>=b+1与抛物线>=工好交于/、3两点，设/（X1,以），B

4

（冷，为），则下列结论正确的个数为（）

①xE=-4.

②y巾2=4庐+2.

③当线段AB长取最小值时，则△/。2的面积为2.

④若点N（0,-1）,则

A.1B.2C.3D.4

二.填空题（共6小题）

11.若二次函数>=2/-x+m的图象与x轴有交点，则加的取值范围

是.

12.二次函数y=ax2+6x+c（aWO）的图象过点/（0,m）,B（1,-m）,C（2,n）,D

（3,-m）,其中加，〃为常数，则处的值为.

n

13.如图，抛物线y蒋x2-4x+6与7轴交于点儿与X轴交于点8,线段CD在抛物线的

对称轴上移动（点C在点。下方），且CD=3.当/D+2C的值最小

时，点、C的坐标为.

14.如图，在平面直角坐标系中，作直线（，=1,2,3,—）

与X轴相交于点4,与抛物线yn/x2相交于点2”连接/圈+1

34+1相交于点Ci，得Ci和△4+18+1Ci，若将其面积之比记

SAApr

为——二^,则。2024=________________.

S-Cj

15.如图，抛物线-6x+5与x轴交于点/,B,与了轴交于点C,点。（2,m）在抛

物线上，点£在直线8c上，若/DEB=2ZDCB,则点£的坐标

是.

X2-2X+3（x<2）一水

39/酚/力），B（物竺），C

qx1（02）

（X3,乃）CX!<X2<x3）.设f='7/]~X,贝!]t的取值范围

X3V3

是_______________________

三.解答题（共10小题）

17.如图，A.2为一次函数y=-x+5的图象与二次函数y=/+6x+c的图象的公共点，点

4、8的横坐标分别为0、4.尸为二次函数y=/+6x+c的图象上的动点，且位于直线

的下方，连接尸4PB.

（1）求6、c的值；

（2）求△P48的面积的最大值.

18.如图，在平面直角坐标系xQy中，已知抛物线＞=办2+加+3经过点/（3,0）,与y轴

交于点2,且关于直线x=l对称.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）当-iWxWt时，y的取值范围是1,求才的值；

（3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点

D,在7轴上是否存在点E,使得以8,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出

该菱形的边长；若不存在，说明理由.

19.已知抛物线y=--+加（6为常数）的顶点横坐标比抛物线y=-/+2x的顶点横坐标

大1.

（1）求6的值；

（2）点/（xi，方）在抛物线了=--+2》上，点8（xi+z,乃+〃）在抛物线＞=-j^+bx

上.

（i）若力=3t,且看》0,t＞0,求〃的值;

（ii）若xi=/-1,求力的最大值.

20.如图，抛物线y=-2x2+bx+c与无轴交于4,2两点，与了轴交于点C,点/坐标为

3

(-1,0),点8坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点尸是直线2c上方抛物线上一个动点，过点尸作x轴的垂线交直线2c于点。，

过点尸作y轴的垂线，垂足为点£,请探究2PZHPE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由.

(3)点〃为该抛物线上的点，当NMC8=45°时，请直接写出所有满足条件的点”的

坐标.

21.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=N+6x+c与x轴交于/(-1,0),B(2,

0)两点，与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

(1)求抛物线的表达式；

(2)当点。在直线3c下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交2c于点E,设点

。的横坐标为f,的长为/,请写出/关于t的函数表达式，并写出自变量f的取值范

围；

s

(3)连接4D,交2C于点尸，求ADEF的最大值.

SAAEF

22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6x-5(aNO)交x轴于/,C两点，交y

轴于点8,5OA=OB=OC.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)已知抛物线的对称轴上存在一点使得的周长最小，请求出点〃的坐标

(3)连接2C,点尸是线段2C上一点，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点0,求当

四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标.

23.已知二次函数y=x2+6x+c(b,c为常数)的图象经过点/(-2,5),对称轴为直线

1

X~^2'

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点2(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移加(m>0)个单位长度后，恰好

落在y=N+6x+。的图象上，求加的值；

(3)当-时，二次函数y=x2+fcc+c的最大值与最小值的差为、■,求〃的取值范

围.

24.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y(单位：件)与销

售单价x(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.

(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；

(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任

务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？

0100120X

25.在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+6x+3(aWO)经过/(-1,0),B(3,0)两点，

与y轴交于点C,点尸是抛物线上一动点，且在直线2c的上方.

(1)求抛物线的表达式.

(2)如图1,过点尸作尸轴，交直线3C于点£,若PE=2ED,求点尸的坐标.

(3)如图2,连接NC、PC、AP,4P与8c交于点G,过点P作P尸〃NC交于点尸.记

SSo

△NCG、△尸CG、△PGF的面积分别为M，S2,S3.当三老一^取得最大值时，求sinN3cp

S2S1

的值.

26.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c(aWO)的图象经过原点和点/

(4,0).经过点/的直线与该二次函数图象交于点3(1,3),与y轴交于点C.

(1)求二次函数的解析式及点C的坐标；

(2)点尸是二次函数图象上的一个动点，当点尸在直线N8上方时，过点尸作尸轴

于点E,与直线交于点。，设点尸的横坐标为相.

@m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值；

②是否存在点尸，使得与△49C相似.若存在，请求出点P坐标若不存在，请

说明理由.

斗

01

2025年中考数学二轮复习专题：二次函数综合题训练参考答案

、选择题

题号12345678910

答案DCCCBCADAc

二、填空题

11.若二次函数y=2/-x+加的图象与x轴有交点，则m的取值范围是加，二.

8

【解答】解：♦.•二次函数尸2x2-X+加的图象与X轴有交点，

A=（-1）2-4X2XM20,

解得m^l,

8

即m的取值范围为m^—.

8

故答案为：

8

12.二次函数y=Q%2+bx+c（QWO）的图象过点4（0,冽），B（1,-加），C（2,n）,D

（3,-M,其中加，〃为常数，则典的值为J-.

n—5一

【解答】解：将4（0,加），B（1,-加），D（3,-加）代入歹=Q/+6X+C（aHO）,

'c=m

得：＜a+b+c=-m，

9a+3b+c=-m

'_2_

・•・丁b=/§m,

.c=m

.•.y=-2mx2--8mx+m,

33

把。（2,几）代入

n2o

得：n3mx2RFX2+IR，

.5

••n=qir

.mm3

..—=~~-,

n55

三m

故答案为：-3.

5

13.如图，抛物线yn£x2-4x+6与7轴交于点/，与X轴交于点8,线段CD在抛物线的

对称轴上移动(点C在点。下方)，且CD=3.当4D+5C的值最小时，点C的坐标为

(4,1)

【解答】解：作/点关于对称轴的对称点H,A1向下平移3个单位，得到/〃，连接

A"B,交对称轴于点C,此时ND+8C的值最小，AD+BC=A"B,

在y得x2-4x+6中，令x=0,则y=6,

二点工(0,6),

令y=0,则/X2-4X+6=0，

解得x=2或x=6,

:.点B(2,0),

:抛物线的对称轴为直线x=--^-=4,

2X.

：.A'(8,6),

：.A"(8,3),

设直线N"B的解析式为y=fcr+6,

代入/〃、8的坐标得倍+b=3,

l2k+b=0

解得*2,

,b=-l

.•.直线/〃8的解析式为尸产1,

当x=4时，y—1,

：.C(4,1).

故答案为：(4,I).

14.如图，在平面直角坐标系中，作直线（，=1,2,3,—）与x轴相交于点4，与抛

物线y[x2相交于点2”连接45+1，瓦4+1相交于点Ci，得△/次Ci和△4+回+£,若

将其面积之比记为则股024=_（四生）4_.

S2025

AAi+：Bi+1Ci

【解答】解：①由小（1，0）得Bi（1,工）,

4

由也（2,0）得以（2,1）,

设直线/避2的解析式为了=履+6，

代入由4（1,0）,B2（2,1）得：

[k+b=0

l2k+b=f

/.k=1,b=-1,

直线4星的解析式为y=x-1,

同理直线上当的解析式为y=

联立得X-1=——x+—,

42

AxAx（A_i）4-ix（2-A）］=_1_=（±）4.

24551612，

②由，3（3,0）得当（3,2）,

4

同①方法得直线/m3的解析式为V=-2,

42

直线A3B2的解析式为y=-x+3,

联立得--=-x+3,

42

•一30

••X13,

•/309\

••rCz1\—，),

1313

.-.a2=AxiX(迎-2)+[工乂旦X辿)]=①=(2)4

21324131381

,c-,2024、4

*瓦区）•

故答案为：（垩£）4.

<2025'

15.如图，抛物线>=/-6x+5与X轴交于点，，B,与y轴交于点C,点。（2,m）在抛

物线上，点£在直线BC上，若NDEB=2/DCB,则点£的坐标是_（红，区）困

55

所，以。点坐标（2,-3）,

设8c所在直线解析式为y=fcv+6,其过点C(0,5)、B(5,0),

[b=5

l5k+b=0

k=-l

解得

b=5

8C所在直线的解析式为：y=-x+5,

当E点在线段5。上时，设E(〃，-〃+5),ZDEB=ZDCE+ZCDE,而NDEB=2N

DCB,

：.NDCE=NCDE,

：・CE=DE,

因为E(Q,-Q+5),C(0,5),D(2,-3),

有《软2+(—a+5-5)2=V(a-2)2+[-a+5-(-3)]2J

解得：a=lL,一/5=旦，所以E点的坐标为：(红，@),

5555

当E在CB的延长线上时，

在△2DC中，BD-=(5-2)2+32=18,

5C2=52+52=50,DC2=(5+3)2+22=68,

BD2+BC2=DC2,

：.BD±BC如图延长£8至E,取BE'=BE,

则有△DEE为等腰三角形，DE=DE,

：.ZDEE1=ADE'E,

又：ZDEB=2ZDCB,

：.ZDE'E=2/DCB,

则皮为符合题意的点，

,：OC=OB=5,NOBC=45°,

E'的横坐标：5+（5上）具，纵坐标为力；

555

综上£点的坐标为：（工工，旦）和（建■,国）.

5555

5（2-2x+3（x2）

16.如图，函数歹=1nQ的图象由抛物线的一部分和一条射线组成，且与直

-^-x+y（x>2）

线y=m（加为常数）相交于三个不同的点/（%1，J1）,B（》2,了2），C（无3,V3）（Xi<X2<

X3）.设1="1」—丝丝，则）的取值范围是3</<1.

X3y35

【解答】解：由二次函数y=/-2x+3（x<2）可知：图象开口向上，对称轴为x=l,

...当x=l时函数有最小值为2,向+必=2,

由一次函数尸-当+言（尤22）可知当x=2时有最大值3,当尸2时尤=当，

423

•直线^=加（加为常数）相交于三个不同的点/（X1，为），B（工2，歹2），C（%3，>3）（X1

〈％2V%3），

=y2=y3=m>2V加V3,

-3〈也，

3

.,_xl+x2-2

••I----------------,

x3x3

5

故答案为：

5

三.解答题（共10小题）

17.如图，/、8为一次函数y=-x+5的图象与二次函数y=x2+6x+c的图象的公共点，点

4、2的横坐标分别为0、4.P为二次函数y=/+bx+c的图象上的动点，且位于直线

的下方，连接上4、PB.

（1）求氏c的值；

（2）求△尸48的面积的最大值.

【解答】解：(1)当％=0时，y=-x+5=5；当x=4时，y=-x+5=1,则4(0,5),B

(4,1),

则，,

I16+4b+c=1

解得：(c=5；

lb=-5

(2)由(1)可得：y=/-5x+5,设尸(m,加2-5加+5),作PE"OA,交AB于E,

则£Cm,-m+5),则P£=4加-"及，

SAJ^BP=2'(4nrm2)X(4-0)=-2(m-2)2+&

当机=2时，最大值为8.

18.如图，在平面直角坐标系xQv中，已知抛物线y=a/+6x+3经过点/(3,0),与y轴

交于点5,且关于直线x=l对称.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)当-iWxWt时，y的取值范围是0WyW2L1,求/的值；

(3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点

D,在y轴上是否存在点E,使得以8,C,D,£为顶点的四边形是菱形？若存在，求出

该菱形的边长；若不存在，说明理由.

【解答】解(1)A(3,0),抛物线的对称轴为直线x=l,则抛物线和x轴的另外一个

交点为：(-1,0),

则抛物线的表达式为：y—a(x+1)(x-3)—ajr+bx+3,

解得：a=-1,

则抛物线的表达式为：y=-/+2x+3；

(2)由题意得-lWxWf,

当-l<f<l时，则-iWxWt,

x=-1时，y=-X2+2X+3=0,取得最小值，

则x=f时，2/-1=-a+2什3,

解得：，=-2或2,均不符合题意；

当lWt<3时，

则抛物线的顶点处取得最大值，

抛物线的顶点坐标为：(1,4),

即2/-1=4,

解得：t=2.5；

(3)存在，理由：

由抛物线的表达式知，点8(0,3),

①当2c为菱形对角线时，对应菱形为3DCE',

y

1

I

则2。=CD,

由点/、8的坐标得，直线N8的表达式为：y=-x+3,

设点C(x,-/+2x+3),点、D(x,-x+3),

2

贝ijCD—-/+2x+3-(-x+3)--X+3X,BD=J^x,BC—yJ^+(-x2+2x),

-/+3x=

解得：x=3-&或x=0(舍去),

则2。=、&=3&-2,

即菱形的边长为：372-2.

②当BD为菱形的对角线时对应菱形为菱形3CDE,

贝UCD=BC,

-%2+3x=Vx2+(-x2+2x)2,

解得：x=2或x=0(舍去)，

贝ijCD=-/+3x=-22+3X2=2,

即菱形的边长为：2.

综上，菱形的边长为：3后-2或2.

19.已知抛物线y=-x2+6x(6为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点横坐标

大1.

(1)求6的值；

(2)点/(%i,%)在抛物线>=-/+2》上，点2(xi+Z,为+力)在抛物线了=-x2+bx

上.

(i)若/?=3f,且修\0,f>0,求〃的值;

(ii)若xi=「1,求/?的最大值.

【解答】解：(1)•••抛物线＞=--+云的顶点横坐标为_1_,了=-/+2x的顶点横坐标

为1,

•b

••万卡1，

."=4；

(2):点/(修，为)在抛物线y=-/+2x上，

.2

••y1=-x1+2xf

•:B(%i+6为+〃)在抛物线^=-X2+4X_b,

•**y1+h=-(x]+t)2+4(X]+t)，

-X|+2xi+h=-(xi+t)2+4(xiG，

:・h=--21i，+2xi+4/,

(z)•:h=3t,

3t=-於-2%i%+2%i+4/,

:・t(f+2%1)—£+2xi,

Vxi^O,，＞0,

・••什2xi＞0,

・・・〃=3；

(ii)将=，-1代入h--fl-2%i什2XI+4K

:.h=-3於+8%-2,

h=-3(t4)2得，

oO

•・•-3<0,

.•.当t=A,即x,二L时，A取最大值也■.

3133

20.如图，抛物线y=-&2+&+0与％轴交于4,B两点,与y轴交于点C,点/坐标为

3

(-1,0),点3坐标为(3,0).

(1)求此抛物线的函数解析式.

(2)点尸是直线8C上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线8C于点。，

过点尸作y轴的垂线，垂足为点£,请探究2BD+PE是否有最大值？若有最大值，求出

最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由.

（3）点M为该抛物线上的点，当NMC8=45°时，请直接写出所有满足条件的点M的

坐标.

【解答】解：（1）:抛物线y=-^x2+bx+c与X轴交于/，5两点，与y轴交于点C,

3

点4坐标为（-1,0）,点5坐标为（3,0）,

•,y=_|_(x+1)(x-3)=-yx2-+^x+2-

⑵当X=°时，y=-yxJ-^x+2=2»

oo

：.C(0,2),

设直线3（7为〉=履+2,

；.3左+2=0,

解得k=工，

3

直线2c为y=-1x+2，

设p（x,得X2居x+2），

.2

D（x,FX+2），

o

.,.2PD+PE=2（V'x"+^'x+2+^_x-2）+x=Vx，+5x,

当乂=-----J-4时，有最大值正，

2X（4）816

o

此时p段，瑞）・

oS/

（3）如图，以C8为对角线作正方形CTSK,

:./BCK=/BCT=45°,

：.CK,CT与抛物线的另一个交点即为M,

如图，过T作x轴的平行线交y轴于。，过8作8GJ_T。于G,则O8=G0=3,

.\ZCra=90°=/CQT=/QGB,

：.ZQCT+ZCTQ=90°=ZCTQ+ZBTG,

：.ZQCT=NBTG,

;CT=BT,

•••△C0T也△TG5(AAS)f

：.QT=GB,CQ=TG,

设TQ=GB=m,则。0=TG=3-次，

.•・。0=3-m-2=1-m,

:・TQm,m-1),

由TC=TB可得m?+-3)2=(m-3)2+(w-1)2

解得m八，

2

.zl1、

••T份，至)，

设CT为y="x+2,

解得n=~5,

，直线C7为y=-5x+2,

f224c

.y=fx+yx+2

••oO,

y=-5x+2

19

x=0,p.x丁

解得或〈

y=2_91

y--T

M(母,T(y,/)，C(0,2),B(3,0),正方形CTBK.

K(-1->会，

同理可得直线CK为yJx+2,

5

224c

y=-x7x+2

得+2

17

V-----------

10Tx=0

解得或

117y=2'

y=

50

••儿（元,,司117)'x

综上，点M的坐标为（'」工，或（'」且，

k1050,、22）

21.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线了=/+阮+。与x轴交于/（-1,0）,B（2,

0）两点，与y轴交于点C,点。是抛物线上的一个动点.

（1）求抛物线的表达式;

（2）当点。在直线2c下方的抛物线上时，过点。作y轴的平行线交3c于点E,设点

。的横坐标为3的长为/,请写出/关于f的函数表达式，并写出自变量/的取值范

围;

求》52的最大值.

（3）连接4D,交BC于点、F,

SAAEF

【解答】解：（1）由题意得,

fl_b+c=0

14+2b+c=0

*=-l,

lc=-2

抛物线的表达式为：y=/-x-2；

(2)设直线8C的函数表达式为：y=mx+n,

.(n=-2,

\2m+n=0

*=-2,

Im=l

•»y^x-2,

:.E(f,f-2),

,:D(62),

：.l=(Z-2)-(?-r-2)=-fi+2t(0<i<2)；

(3)如图1,

当0<f<2时，

^AG//DE,交BC于G,

ADEFS^AGF,

•.•--D-F---D-E-,

AFAG

把x=-1代入y=x-2得，

尸-3,

・・・4G=3,

9

.•.此「t+2t=_1(f,n2+工，

AF333

二•当t=1时，(DF)最大=工,

..DFSADEF

川^AAEF

.SADEF)最大=[■•

SAAEFo

22.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a/+bx-5(aWO)交x轴于/,C两点，交V

轴于点8,5OA=OB=OC.

(1)求此抛物线的表达式；

(2)已知抛物线的对称轴上存在一点使得的周长最小，请求出点〃的坐标

(3)连接2C,点尸是线段2C上一点，过点尸作y轴的平行线交抛物线于点0,求当

四边形OBQP为平行四边形时点P的坐标.

【解答】解：(1)由抛物线的表达式知，c=-5=油，

则OB=5=OA=OC,

则点/、C、8的坐标分别为：(1,0)、(-5,0)、(0,-5),

设抛物线的表达式为：y—a(x-1)(x+5)=a(x2+4x-5)=ax2+bx-5,

则a=l,

故抛物线的表达式为：y=/+4x-5；

(2)点/关于抛物线对称轴得对称点为点C,则2c交抛物线的对称轴于点“，此时△

的周长最小，理由：

AABM=AB+AM+BM=AB+CM+BM=AB+BC为最小，

由点5、C的坐标得，直线5c的表达式为：>=-尤-5,

由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x=-2,

当x=-2时，y--x-5--3,

则点MC-2,-3)；

(3)设点P(龙，-尤-5),则点Q(x,/+4x-5),

则PQ=(-X-5)-(/+4x-5)=-/-5x,

'：PQ//OB,

故当尸0=02时，满足题设条件，

即PQ--x2-5x=OB=5,

解得：X=-5±«5,

2___

则点尸的坐标为：(TN-,-5-^5)或「5-娓,-5忐).

2222

23.已知二次函数y=x2+6x+c⑶c为常数)的图象经过点/(-2,5),对称轴为直线

(1)求二次函数的表达式；

(2)若点8(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移加(m>0)个单位长度后，恰好

落在yuN+bx+c的图象上，求m的值；

(3)当-时，二次函数y=/+6x+c的最大值与最小值的差为今，求〃的取值范

围.

【解答】解：(1)由题意，：二次函数为>=尤2+加+以

...抛物线的对称轴为直线x=-2=-工.

22

，抛物线为y=/+x+c.

又图象经过点/(-2,5),

・・・4-2+。=5.

，抛物线为y=/+%+3.

(2)由题意，丁点8(1,7)向上平移2个单位长度，向左平移加个单位长度(加＞0),

工平移后的点为(1-机，9).

又(1-加，9)在＞=N+X+3,

，9=(1-m)2+(1-m)+3.

・••加=4或加=-1(舍去).

・••加=4.

•••ni=n广］，不符合题意，舍去.

122

当-工时，

2

...最大值与最小值的差为符合题意.

44

当〃＞1时，最大值与最小值的差为解得"尸1或"2=2,

2444

不符合题意.

综上所述，〃的取值范围为-工

2

24.某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量»(单位：件)与销

售单价无(单位：元/件)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示.

(1)求这段时间内y与x之间的函数解析式；

(2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任

务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：(1)由题意，设一次函数的解析式为〉=奴+从

又过(100,300),(120,200),

.(100k+b=300

'1120k+b=200'

.jk=-5

"lb=800'

所求函数解析式为y=-5x+800.

⑵由题意得，卜》10°、，

l-5x+800>220

.•.1004W116.

•商场获得的利润=(%-80)C-5x+800)

=-5/+1200x-64000

=-5(%-120)2+8000,

X-5<o,1OO0W116,

.•.当x=116时,利润最大，最大值为7920.

答：当销售单价为116时，商场获得利润最大，最大利润是7920元.

25.在平面直角坐标系中，抛物线y=ov2+6x+3(aWO)经过/(-1,0),B(3,0)两点，

与y轴交于点C,点P是抛物线上一动点，且在直线3C的上方.

(1)求抛物线的表达式.

(2)如图1,过点尸作尸轴，交直线2c于点E,若PE=2ED,求点尸的坐标.

(3)如图2,连接NC、PC、AP,/尸与2C交于点G,过点P作抒'〃/C交3c于点尸.记

SS

△NCG、APCG、△尸G尸的面积分别为S2,S3.当」一^取得最大值时，求sin/BCP

S2S1

的值.

c

ox

图2

【解答】解(1)・・•抛物线歹="2+乐+3(qWO)与X轴交于点4(-1,0),B(3,o),

.fa-b+3=0

19a+3b+3=0

a=-l

解得:

b=2

・•・抛物线解析式为歹=-X2+2X+3；

(2)•.,当x=O时，y=-X2+2X+3=3,

：.C(0,3),

设直线BC的解析式为〉=H+〃，

.(3ktn=0

In=3

解得：(k=-l,

ln=3

直线BC的解析式为y=-x+3,

设尸(冽，-m2+2m+3),贝!JPZ)=-m2+2m+3,

・・•尸rax轴于点

:・EQm,-m+3),D(加,0),

；・DE=-加+3,

:・PE=PD-DE=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m,

■:PE=2ED,

-m2+3m=2(-加+3),

解得冽1=2,加2=3(此时3,。重合，不合题意舍去),

•.加=2,

：.P(2,3)；

(3),:PF〃AC,

：.dACGsAPFG,

.AC__AG_CG

,,PF=PG"FG'

.s3_GF_PFs2_PG_PF

,•亡福K亡记T

.S3S22PF

••H------------，

S?S।AC

作。交》轴于N,作尸0〃y轴交5c于0,

•・•直线BC的解析式为y=-x+3,AN//BC,

，直线4N的解析式为y=-x+b'，

将4(-1,0)代入y=-x+b',得：0=-(-1)+6，，

解得：bf=-1,

・•・直线AN的解析式为-%-1,

当x=0时，yN=~1，

：.N(0,-1),

：.ON=3CN=ON+CO=4,

•:AN〃BC,PQ//y,

：.ZPQF=ZNCB=ZANC,ZPFC=ZACF,

VZPFC=ZFPQ+ZPQF,ZACF=ZNCB+ZACN,

：.ZFPQ=ZACNf

:•△CANsdPFQ,

•・•-P-F-二PQ,

ACCN

设尸(n,-〃2+2〃+3),贝ljQ(小-〃+3),

：.PQ=-"2+3%

.S3S22PF2PQ-2n2+6n1,3、29

s2ACCN42'2"8

・••当奇时，卷有最大吟

此时Pf1,号),Qtf，1)>