2025年上海市高三数学二轮复习：以集合为背景的综合题（5题型+高分技法+限时提升练）

重难点01以集合为背景的综合题

明考情.知方向——

2025年考向预测：集合与函数综合的解答题

重难点题型解读

题型1集合新定义

题型2集合与函数综合题

以集合为背景的综合题题型3集合与三角函数综合题

题型4集合与数歹监合题

题型5集合与导数综合题

题型1集合新定义

1.（2024・上海•模拟预测）考虑｛x|O<x<12,xeN）的非空子集8,满足8中的元素个数等于B中的最小元素，

例如，8=｛4,6,8,11｝就满足此条件.则这样的子集8共有个.

2.（2024.上海嘉定.二模）若规定集合E=｛0,1,2,……㈤的子集｛4外,%,…,（｝为E的第左个子集，其中

k=T'+T1+X1+……+2%,则E的第211个子集是.

3.（2024・上海静安•二模）如果一个非空集合G上定义了一个运算*,满足如下性质，则称G关于运算*构

成一个群.

（1）封闭性，即对于任意的。,6WG,有a*0eG；

（2）结合律，即对于任意的。，及ceG,有（a*））*c=a*（6*c）；

（3）对于任意的a,beG,方程x*a=b与。*y=。在G中都有解.

例如，整数集Z关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对

于任意的*Z,方程无+q=6与>=6都有整数解；而实数集R关于实数的乘法（x）不构成群，因为

方程Oxy=1没有实数解.

以下关于“群”的真命题有（）

①自然数集N关于自然数的加法（+）构成群；

②有理数集Q关于有理数的乘法（x）构成群;

③平面向量集关于向量的数量积（•）构成群；

④复数集C关于复数的加法（+）构成群.

A.0个；B.1个；C.2个；D.3个.

4.（24-25高三上•上海•期中）已知集合加={（尤,刘丁="尤）},若对于任意实数对（下,弘”河，存在

（々,力）€加，使占9+%%=。成立，则称集合/是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①M=1（%州^=21；

②M={（x,y）|y=k>g2x}；

⑧M={（x,y）|y=2-2}

@M=|y=sinx+l}；

其中是“垂直对点集”的序号的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

5.（24-25高三上•上海•阶段练习）若非空实数集X中存在最大元素〃和最小元素机，则记A（X）=M-m.

下列命题中正确的是（）

A.已知X={—1/},丫={0力},且A（X）=A（y）,则6=2

B.已知X={x[〃x）Zg（x）,尤目-1,1]},若A（X）=2,则对任意xe[-U],都有/（x）2g（x）

C.已知X=[a,a+2],F=卜,=/,尤仁x},则存在实数a,使得八任）<1

D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数。，总存在实数6,使得A（XuF）=3

6.（2022・上海黄浦•模拟预测）若集合A=kE=O.宓,〃cN*,,其中。和6是不同的数字，则A中所有元素

的和为（）.

A.44B.110C.132D.143

7.（2022・上海徐汇.模拟预测）已知集合X={1,2,3}，%={l,2,3「、〃},（"eN*）,设Sn={（a,b）\a整除

匕或匕整除a，aeX,beYn},令/（n）表示集合S,所含元素的个数，贝U“2022）=—.

8.（24-25高三上•上海•期中）设4={0,1},集合。={（%,彳2”-，马4）|士，尤2，,玉84€4}，对于O中的任意两个

元素。=（%,马，…，玉84）、6=（%，％，…，％84），定义

a*fi=（xl+y1-^y1）+（^2+y2-x,y2）+---+（x384+y384-x384y384）,设“、VGQ,若a*a+v*v=384,则〃*v

的最小值为.

9.（23-24高三上•上海•开学考试）已知集合人=也,外,…,可}中的〃个元素都是正整数（/>2,〃eN）,且

q若对任意的x，yeA,且都有|x-y|z葛，则称集合A具有性质M.

⑴判断集合A={1,2,3,4}是否具有性质M,并说明理由；

11H-1

(2)已知集合A具有性质M,求证：-----^―；

%an25

(3)已知集合A具有性质求集合A中元素个数的最大值，并说明理由.

10.(23-24高三上•上海•期中)给定自然数i.称非空集合A为减，集，若A满足:

(i)AcN*,Aw{l}；

(ii)对任意x,yGN*,只要x+yeA,就有肛-ieA.问：

⑴直接判断尸={1,2}是否为减0集，是否为减1集；

⑵是否存在减2集?若存在，求出所有的减2集；若不存在，请说明理由；

(3)是否存在减1集?若存在，求出所有的减1集；若不存在，请说明理由.

题型2集合与函数综合题

11.(2025・上海•模拟预测)已知函数y=的定义域是£).对于左。，定义集合S/(,)={X『(X)2〃3.

(l)/(x)«log2x,求Sg

⑵对于集合A,若对任意xeA都有-xeA,则称A是对称集.若。是对称集，证明：“函数y=/(x)是偶函

数”的充要条件是“对任意teD,是对称集，，；

(3)若xeR,f(x)=e-^nx2.求机的取值范围，使得对于任意6＜芍©。，都有4他)=S%).

12.(2022・上海杨浦•模拟预测)已知非常数函数/'(X)的定义域为。，如果存在正数T,使得对任意xdD,

都有『(x+T)=，〃x)恒成立，则称函数具有性质P(T).

⑴分别判断下列函数是否具有性质尸(1),并说明理由；

①/(x)=sin27LX；②g(X)=C0S7LX.

s

⑵若〃具有性质P⑵，"1)=1,〃2)=T,S”表示f⑺的前〃项和，G,=《2J,若

»2〃一1

6<1。&(。+1)+10恒成立，求。的取值范围；

⑶设连续函数g(尤)具有性质尸(T),且存在M>0,使得对任意尤GR,都有|g(x)|<M成立，求证：g(x)是

周期函数.

13.(22-23高三上.上海嘉定•期中)⑴已知集合A={X||X-4<2},Bp军■<且Aq3,求实数。的

取值范围；

ny4-1

(2)已知函数了二一7(常数“eZ)问：是否存在整数。，使该函数在区间工内)上是严格减函数，并且

函数值不恒为负？若存在，求出符合条件的。，若不存在，请说明理由.

X

14.(22-23高三上•上海杨浦•阶段练习)已知/(%)=履+2,不等式|/(x)|<3的解集为(-1,5),不等式>1

“X)

的解集A.

(1)求集合A：

⑵设函数g(x)=log2(方J2X+2)的定义域为8,若An3r0，求实数。的取值范围;

⑶若函数〃口)=炉-3氏+在A上严格单调递减，求实数。的取值范围.

X—a

15.(20-21高三上•上海徐汇・期中)记集合知=高⑴"(%)=二一,XG(-l,l),^e(-l,l)}.

1-ax

⑴若求证：/(x)e(-l,l)；

⑵设集合4=｛/(尤)"。)>0且/«)€〃｝,若geA,；£A,求。的取值范围;

(3)若/(x),g(x)eM,求证：f(g(x))eM.

题型3集合与三角函数综合题

16.(石方-fSWT总异掌建；苣媪"]富滓美数列，〃=sin(a")，5差起薪(W8),使得口

”€]^,”21.若集合5=｛彳|*=2，〃€2〃21｝中只含有4个元素，贝！If的可能取值有()个

A.2B.3C.4D.5

17.(23-24高三上.上海•期中)己知VABC的三边长之比为5：6：9,记VA3C的三个内角的正切值所组成

的集合为M,则集合M中的最大元素为.

18.(22-23高三上•上海浦东新•开学考试)对开区间/=(。力)，定义M=6-a,当实数集合M为〃段("为

正整数)互不相交的开区间小6…、/”的并集时，定义1"1=£闻，若对任意上述形式的(0,2乃)的子集A,

k=\

总存在后eZ,使得&训4其中A=,|xeAltan[x+4)<0-i，，则4的最大值为.

题型4集合与数列综合题

19.(23-24高三上•上海虹口•期中)已知数列jaj的通项公式为4=2"+2”，其中常数XeR.

(1)若4=4%,求彳的值；

(2)若｛4｝前10项的和为1551,试分析｛%｝的单调性；

(3)对于常数f,记集合C,=｛川4="，试求当;I与f变化时，集合C,中元素个数的最大值.

k个

20.(2021・上海浦东新•模拟预测)已知数列｛。“｝：1,-2,-2,3,3,3,-4m，…，占广工;㈠户*，

即当(壮N*)时，记5,=%+々+•••+4(〃eN*).

⑴求”>20的值;

⑵求当"12<〃三(左+1)：+2)(丘N*),试用〃、左的代数式表示S.(〃eN*)；

⑶对于teN*,定义集合耳={“电是％的整数倍,“eN*,且求集合鸟网中元素的个数.

21.(2022・上海金山・二模)对于集合入川知出,生,…,%},〃22且weN*,定义A+A={x+y|尤eA,yeA且

了片叫.集合4中的元素个数记为网，当卜+川=”心时，称集合A具有性质「

⑴判断集合A={1,2,3},4={L2,4,5}是否具有性质r,并说明理由；

⑵设集合3={l,3,p,q}(p,qeN,且3Vp<q)具有性质:T,若B+8中的所有元素能构成等差数列，求P、4的

值；

(3)若集合A具有性质「，且A+A中的所有元素能构成等差数列，问：集合A中的元素个数是否存在最大值？

若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由.

22.(2021・上海松江•一模)对于由m个正整数构成的有限集”={《,为，%，…,。J记尸(M)=9+/+••,+4，

特别规定尸(0)=0,若集合M满足：对任意的正整数％4P(M),都存在集合〃的两个子集43,使得

左=尸(4)-尸(2)成立，则称集合M为“满集”，

(1)分别判断集合知|="，2}与=工4}是否为“满集”，请说明理由；

(2)若%,2,…，金由小到大能排列成公差为d(deN*)的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是

%=1,d=l或2；

(3)若%,2,…,册由小到大能排列成首项为1,公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”

23.（2021.上海黄浦三模）集合S={al,a2,--；an}^aiwN*,i=1,2…㈤,集合T=也跖=q+%』<i<jV"},

若集合T中元素个数为"U,且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合S为“好集合”.

2

(1)判断集合*={1,2,3}、$2={1,2,3,4}是否为“好集合”;

(2)若集合$3={1,3,5,加}(租>5)是“好集合”，求m的值;

(3)“好集合”S的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.

24.(21-22高三下.上海宝山.开学考试)设集合M={1,2,3,…㈤，其中n&N,在M的所有元素个

数为K(KeN,2<K<n)的子集中，我们把每个K元子集的所有元素相加的和记为「(KeN,2<K<n),

每个K元子集的最大元素之和记为&(KeN,2<K<n),每个K元子集的最小元素之和记为外(KeN,

2<K<n).

(1)当〃=4时，求生、”的值；

(2)当〃=10时，求心的值；

⑶对任意的底3,nwN,给定的KeN,2<K<n,左是否为与〃无关的定值？若是，请给出证明并求出这

aK

个定值：若不是，请说明理由.

题型5集合与导数综合题

25.(2023•上海徐汇•三模)对任意数集A={«,%,%},满足表达式为y=-..I且值域为A的函数个

数为P.记所有可能的P的值组成集合B,则集合B中元素之和为.

26.(2023・上海松江.一模)已知定义在R上的函数”x)=*+6(e是自然对数的底数)满足〃x)=「(x),

且=删除无穷数列/（1）、/（2）,/（3）、L、/（〃）、L中的第3项、第6项、L、第3〃项、L、

（MeN,n>l）,余下的项按原来顺序组成一个新数列乩｝,记数列乩｝前〃项和为人

⑴求函数“X）的解析式；

⑵已知数列匕｝的通项公式是r“=/（g（〃）），“eN,n>l,求函数g（〃）的解析式；

（3）设集合X是实数集R的非空子集，如果正实数。满足：对任意七、x2eX,都有上-/归。，设称。为集

合X的一个“阈度”；记集合"=------11<,«eN,«>l,试问集合H存在“阈度”吗？若存

,3〃1+3.（-If

/-------------

24

、\7,

在，求出集合““阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；

限时提升练

（建议用时：60分钟）

一、单选题

1.（2023・上海宝山•一模）已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若aeS,则当且仅当。=相+根

其中〃z,〃eS且加w〃），或。=。+4（其中p,q交S,p,qeZ*且pwq）.现有如下两个命题:①4Gs；②集合

｛x[x=3"+5,"eN｝=S.则下列选项中正确的是（）

A.①是真命题，②是真命题；B.①是真命题，②是假命题

C.①是假命题，②是真命题；D.①是假命题，②是假命题.

x,xeP

2.（24-25高三上•上海•阶段练习）设函数/（%）=x2”其中R〃是实数集R的两个非空子集，又

—+—,XEM

、2x

规定A（P）={y|y=/（x）,xGP）,A（M）={y|y=f（x）,xeM},有下列命题：

①对任意满足尸=R的集合尸和M,都有A（P）uA（M）=R；

②对任意满足P2M丰R的集合尸和M,都有A（P）uA（M）^R,

则对于两个命题真假判断正确的是（）

A.①和②都是真命题B.①和②都是假命题

C.①是真命题，②是假命题D.①是假命题，②是真命题

3.（24-25高三上•上海宝山・开学考试）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中.有重要地位，且群论的

研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论

知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，是G上的一个代

数运算，如果该运算满足以下条件：

①对任意的”,6eG,有a.beG；

②对任意的a,6,ceG,有（a.6>c=a.°.c）；

③存在eeG,使得对任意的aeG,有e/=a-e=a,e称为单位元；

④对任意的aeG,存在人eG,使==称。与6互为逆元.

则称G关于新构成一个群.则下列说法正确的有（）

A.G={0,1,2}关于数的乘法构成群

B.自然数集N关于数的加法构成群

C.实数集R关于数的乘法构成群

D.G={a+®|a,6eZ}关于数的加法构成群

l,xeA

4.（23-24高三下•上海•阶段练习）对于全集R的子集A,定义函数以（尤）=为A的特征函数.设A，

8为全集R的子集，下列结论中错误的是（）

A.若则B.介(x)=l-/⑸

C./ACB（X）=/A（X>/（X）D.AUBW=Z4W+/BW

5.（22-23高三上•上海浦东新•期中）在整数集Z中，把被5除所得余数为七的所有整数组成一个“类”，记为

回即因={5〃+H〃eZ},其中让{0,1,2,3,4}.以下判断不正确的是（）

A.2022e[2]B.-2e[2]

C.Z=[0]U[l]U[2]U[3]U[4]D.若。—一网,则整数服b属于同一“类”.

6.(2023・上海徐汇•一模)已知集合出={(尤,>—=/。)知若对于任意(x,y)eM,总存在与之相应的

(尤',>')€M(其中工中/)，使得I»，+W|=旧+0-卜)2+(力2成立,则称集合M是“。集合”.下

列选项为“O集合”的是()

A.M={(x,j)|y=—,x>0}B.M-{(x,y)|_y=ex-2}

X

C.M={(x,y)|y=cosx}D.M={(x,y)|y=x3}

7.(2022.上海.模拟预测)设P、。是R上的两个非空子集，如果存在一个从尸到。的函数y=/(x)满足：

(1)2={/WlxeP};(2)对任意占eP,当王时，恒有/&)</(%)，那么称这两个集合构成“Pf。

恒等态射”，以下集合可以构成“PfQ恒等态射”的是()

A.RfZB.ZTQ

C.[1,2]f(0,1)D.(1,2)^7?

二、填空题

8.(24-25高三上•上海•阶段练习)已知集合"={尤假42017,xeZ},集合P是集合加的三元子集，叫

-11-1=—2

尸=他力,。}口尸中的元素〃，b,C满足QbC,则符合要求的集合P有个数是

a+c=2b

9.(24-25高三上•上海•开学考试)已知全集。={(%曰|彳/©口},若集合AuU,且对任意a，%)eA,均

存在(%，%)€4，使得：e%+%%=。，则称集合A为“对称对点集”.给出如下集合：

(1)A={(x,y)|尤,yeZ}；(2)A=](x,y)|y=eR,xw0：；

(3)A={(x,y)|y=2x+l,xeR}；(4)A={(x,y)|y=x2,xeR,xw。}.

其中是“对称对点集”的序号为(写出所有正确的序号)

10.(23-24高三上.上海浦东新•期中)设集合4={1,2,3,…，科,“为正整数，记"〃)为同时满足下列条件的

集合A的个数：①A=②若xeA,则2x任A,③若xeN,则贝厅。6)=

11.(2022・上海•模拟预测)对于复数a、b、c、d,若集合S={a,b,c,d}具有性质“对任意x、yeS,必有肛eS”，

则当〃=6=l,c2=/?时，abed=.

12.(22-23高三下•上海嘉定•阶段练习)定义两个点集S、T之间的距离集为d(S,T)={|PQ||PeS,QeT},

其中|尸。|表示两点P、Q之间的距离，已知左、teR,S={(x,y)|y=Ax+f,xeR},T={(x,y)|y="7W,xeR},

若d(S,T)=(l,y),贝心的值为.

三、解答题

13.(2022高三・上海•专题练习)已知等差数列｛%｝的公差de(O,句，数歹式优｝满足“=sin(a“)，集合

(1)若q=0,4=飞~,求集合S；

(2)若求d使得集合S恰好有两个元素；

(3)若集合S恰好有三个元素：bn+T=bn,T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

14.(21-22高三下.上海徐汇.阶段练习)设自然数"W3,若由〃个不同的正整数4，出，…，。”构成的集

合5=｛仆％,…,4｝满足：对集合S的任何两个不同的非空子集A、B,A中所有元素之和与8中所有元素之

和均不相等，则称集合S具有性质P.

⑴试分别判断在集合£=｛1,2,3,4｝与邑=｛1,2,4,8｝是否具有性质产，不必说明理由；

⑵已知集合5=…具有性质P.

①记+L+必，求证：对于任意正整数左4",都有

Z=11=1

②令4=4-2-,2=之4,求证：2》0；

Z=1

⑶在(2)的条件下，求一+—+…+一的最大值.

15.（21-22高三上•上海黄浦•开学考试）若无穷数列｛%｝满足：4是正实数，当2时,

1%-%|=max｛q,%,…,％｝,则称｛““｝是“r—数列”.

⑴若a｝是“y-数列”且q=1,写出%的所有可能值；

（2）设｛。“｝是“y-数列”，证明：｛乙｝是等差数列的充分必要条件是｛《｝单调递减；

（3）若｛。“｝是“y-数列”且是周期数列（即存在正整数T,使得对任意正整数”，都有%+”=4）,求集合

｛i\a;=o1,l</<2021,/eN*｝的元素个数的所有可能取值.

16.（20-21高三下•上海宝山•开学考试）已知集合AqR,若x”A（i=：l,2,…㈤且

，，+1

西>%22,〃wN*）,则称x=%-%+W+…+（-l）xn为集合生成的一个“交错数”,所有“交错数”

组成的集合8称为集合A生成的交错集

（1）写出集合A=｛2,5,7,9｝生成的交错集；

（2）若集合A=｛x|x=3",〃eN*｝,求证：集合A的交错数各不相同；

⑶无穷数列｛%｝的前〃项和为S“，且对任意weN*都有S“=2a“-1.记A=｛小=%,〃N*｝,判断集合A

生成的交错集B与正整数集N*的关系，并说明理由.

17.(20-21高三上•上海宝山.开学考试)定义：有限非空数集。的所有元素的“乘积”称为数集。的“积数”,

例如：集合。={1,2,3},其“积数”=lx2x3=6.

(1)若有限数集A={q,%,多},求证：集合A的所有非空子集的“积数”之和枭满足

SA=(1+%)(1+2)(1+%)—1；

(2)根据(1)的结论，对于有限非空数集A={%,外,…,4}(neN*,n*2),记集合A的所有非空子集的

“积数”之和S,，试写出S„的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；

(3)若有限集。=…

①试求由。中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和S奇教；

②试求由O中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和SRa.

18.(21-22高三上•上海嘉定•期中)设非空实数集X中存在最大元素”和最小元素机，记A(X)=M-祖.

⑴已知x={-i,i},y={o,6},且A(x)=A(y),求实数从

⑵设X=[a,a+2],Y={y\y=x2,x^x},是否存在实数。，使得△(/)=1?若存在，求出所有满足条件的

实数。，若不存在说明理由.

在区间上,7+1]上值域记为y,若对任意reg,l,函数都满足△(/)«：1,

(3)设a>0,函数/(x)=log?-----FQ

X

求。的取值范围.

19.(2022•上海青浦•二模)设函数/(x)=x2+px+q(p,qeR),定义集合乌={x"(/(x))=R},集合

%={x"(/(x))=0,xeR}.

(1)若。=4=。，写出相应的集合。,和%;

⑵若集合0={。},求出所有满足条件的，夕；

⑶若集合得只含有一个元素，求证：p20,qN0.

重难点01以集合为背景的综合题

明考情■知方向=

2025年考向预测：集合与函数综合的解答题

重难点题型解读

题型1集合新定义

题型2集合与函数综合题

以集合为背景的综合题题型3集合与三角函数综合题

题型4集合与数"监合题

题型5集合与导数综合题

题型1集合新定义

1.（2024・上海•模拟预测）考虑｛x|O<x<12,xeN）的非空子集8,满足8中的元素个数等于B中的最小元素，

例如，8=｛4,6,8,11｝就满足此条件.则这样的子集8共有个.

【答案】144

【知识点】组合数的计算、集合新定义

【分析】由题意，。e3,且集合8中的最小元素不能大于6,再根据集合8中的最小元素进行讨论，即可

得解.

【详解】由题意，OeB,且集合8中的最小元素不能大于6,

当集合8中的最小元素1时，这个的集合8只有｛1｝这1个，

当集合B中的最小元素2时，这个的集合8有C；。=10个，

当集合8中的最小元素3时，这个的集合8有C；=36个，

当集合5中的最小元素4时，这个的集合8有C；=56个，

当集合8中的最小元素5时，这个的集合8有C：=35个，

当集合2中的最小元素6时，这个的集合B有Cr=6个，

所以满足题意的子集8共有1+10+36+56+35+6=144个.

故答案为：144.

2.（2024・上海嘉定•二模）若规定集合E=｛0,1,2,……㈤的子集｛%,外,生,…,（｝为E的第左个子集，其中

笈=2"，+2传+2%+……+2%,则E的第2n个子集是.

【答案】｛0」,4,6,7｝

【知识点】集合新定义、求集合的子集（真子集）

【分析】正确理解上的含义，左=211时，即要先求出满足2"<211,2用>211的〃=7,即E的第211个子集

应含有的元素，计算出211-27=83,再要求满足2”<83,2向>83的〃=6,即E的第211个子集应含有的元

素，如此类推即得.

【详解】027=128<211,28=256>211,则E的第211个子集必包含7,止匕时211-128=83；

又因2S=64<83,27=128>83,则E的第211个子集必包含6,此时83-64=19；

又2"=16<19,25=32>19,贝UE的第211个子集必包含4,此时19-16=3；

又2i=2<3,2?=4>3,则E的第211个子集必包含1；而2°=1.

综上所述，E的第211个子集是｛0,1,4,6,7｝.

故答案为：｛0,1,4,6,7｝.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于仔细阅读题目所提供的信息，正确理解集合的新定义的含义，

将文字语言转化为数学语言.

3.（2024・上海静安.二模）如果一个非空集合G上定义了一个运算*,满足如下性质，则称G关于运算*构

成一个群.

（1）封闭性，即对于任意的aSeG,有a*》eG；

（2）结合律，即对于任意的a,6,ceG,有（a*〃）*c=a*（Z?*c）；

（3）对于任意的a,6wG,方程x*a=6与。*y=b在G中都有解.

例如，整数集Z关于整数的加法（+）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对

于任意的a,/Z,方程x+o=6与a+y=6都有整数解；而实数集R关于实数的乘法（x）不构成群，因为

方程Oxy=1没有实数解.

以下关于“群”的真命题有（）

①自然数集N关于自然数的加法（+）构成群；

②有理数集Q关于有理数的乘法（x）构成群；

③平面向量集关于向量的数量积L）构成群；

④复数集C关于复数的加法（+）构成群.

A.0个；B.1个；C.2个；D.3个.

【答案】B

【知识点】集合新定义

【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.

【详解】对于①，x+3=2,在自然数集中无解，错误；

对于②，Oxy=l,在有理数集中无解，错误；

对于③，7B是一个数量，不属于平面向量集，错误；

对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，

且对任意的a,6eC,方程尤+。=6与。+y=6有复数解，正确.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的

3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.

4.(24-25高三上•上海•期中)已知集合”={(尤4)1丁=了(力},若对于任意实数对存在

使占超+%%=。成立，则称集合M是“垂直对点集”.给出下列四个集合：

①M=1(x,y)|y=m；

②M={(x,y)|y=log2x}；

@M={(x,y)|y=2"-2}

@M={(x,y)|y=sinx+l}；

其中是“垂直对点集”的序号的个数为()

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【知识点】集合新定义

【分析】根据“垂直对点集”的定义可判断①；举出反例判断②；数形结合并结合“垂直对点集”的定义可判断

③④,即可得答案.

【详解】对于①，M=1(x,y)ly=:1,y=，为偶函数，定义域为(一8,0)口(0,+8),

对于任意实数对,

则存在‘满足x'lj+Jxf=0,集合M是“垂直对点集”；

对于②，M={(x,y)|y=log2x),取实数对(1,0)eM,

假设存在(孙力)€加,々＞°，使Ixz+Ox%=。成立，贝IJ无2=。，与尤2＞。矛盾，

即Af={(x,y)|y=log?%}不是''垂直对点集“；

对于③，“={(羽＞)1、=2'-2},作出函数)；=2，-2的图象如图，

图象过点(0,-1),向右向上无线延伸，向左向下无限靠近直线＞=-2,

在y=2「2的图象上任取一点A（/yJ,连接。4,作O3_LOA,

则。3总与函数图象相交，设交函数图象于3（%,%）,

即对于任意实数对（士,其）€加，总存在（尤2，%）€“，使得占尤?+%%=。成立，故集合〃是“垂直对点集”;

对于④M={（尤,y）ly=sinx+l},作出函数'=$向+1的图象如图，

图象向左向右无线延伸，

在〉=$以+1的图象上任取一点连接。4,作OBLOA,

则。8总与函数图象相交，设交函数图象于3（%,%），

即对于任意实数对（4yJeM,总存在（工2，%）©“，使得再多+%%=。成立，故集合M是“垂直对点集”;

故集合M是“垂直对点集”的有3个，

故选：D

5.（24-25高三上•上海•阶段练习）若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素〃?，则记A（X）=M-加.

下列命题中正确的是（）

A.已知x={—1』},丫={0,%且A（x）=A（y）,则b=2

B.已知X={巾若A（x）=2,则对任意都有〃x"g（x）

C.已知X=[a,a+2],Y^[y\y=x2,x^x],则存在实数a,使得A（y）＜l

D.已知X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数。，总存在实数6,使得A（X3）=3

【答案】D

【知识点】函数新定义、集合新定义

【分析】由A（X）=A（y）,得到网=2,可判断A；由=g（o）=。时可判断B；分情况讨论。的

范围可判断C,由b=a时，求得A（Xuy）=3可判断D.

【详解】A选项，由乂={-1,1},丫={02},可得A（X）=2,A（y）=|fe|,

因为A(X)=A(y),所以同=2,b=±2,故A错误；

B选项，由A(X)=2知，TeX且leX,

则/⑴Ng(l)且/(-l)Ng(-l),

但是"0)2g(O)不一定成立，例如：/(x)=x2-l,g(0)=0,故B错误；

C选项，由*=[°,4+2],y={y3=x2,xex},

当a+2W0,即aW-2时，A(y)=a2-(a+2)2=-4a-4>4；

当-2<aW-l时，可得八(卜)=/21；

当-1<”0时，可得△⑺=(a+2)2>1；

当口20时，可得△(y)=(a+2)，2=4。+4",

所以不存在实数。，使得△(¥)<：!,故C错误；

D选项，由*=[°,。+2],Y=\b,b+3\,取。=a,

可得A(Xuy)=3,对任意实数a,总存在6使之成立，故D正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：本题主要考查函数新定义的运用，需要准确把握定义要求，根据信息利用具体函数排

除法，反证法，分类讨论法以及数形结合法一一判断即可.

6.(2022・上海黄浦•模拟预测)若集合A=，〃E=0.而,“eN*，，其中。和6是不同的数字，则A中所有元素

的和为().

A.44B.110C.132D.143

【答案】D

【知识点】集合新定义、无穷等比数列各项的和

【分析】由题意得工=0."=*史，从而表示出10。+6=归，再由(10a+b)eN*,得力的可能取值，从

n99n

而得。和6的值，可确定”的值.

„,;八7„„„O.abab

・、4e、e、r=\J.Clb+\J.\J\Jd7b+...+=-----；—=—

【详解】因为।199，

100

1,,10〃4-h99

所以±=0.Qb=^^,所以10〃+。=',

n99n

所以〃可以为1,3,9,11,33,99,

所以(外切可以为(9,9),(3,3),(1,1),(0,9)(0,3),(0,1)

因为。和6是不同的数字,所以(。㈤可以为(0,1),(0,3),(0,9),

此时〃=99,33,11,所以A中所有元素的和为11+33+99=143,

故选：D

【点睛】求解本题的关键是理解0/3是循环节长度为两位的循环纯小数，从而得0.1％=黑，进而代入集合

A化简计算.

7.（2022.上海徐汇.模拟预测）已知集合X={1,2,3}，}；,={1,2,3,（neN*）,设Sn=[{a,b）\a整除

6或6整除a，aeX,此％},令/（«）表示集合Sn所含元素的个数，则/（2022）=—.

【答案】3709

【知识点】集合新定义

【分析】根据S“的定义进行分析，从而确定正确答案.

【详解】“2022）表示集合S皿所含元素的个数，

其中ae{l,2,3},be{1,2,3,…,2022},

6整除。的有（1,1）,（2,1）,（3,1）,（20,（3,3）共5个.

a整除6的：

（1）1整除1的有2022个;

（2）2整除b的有2己02匕2=1011个；

2

（3）3整除匕的有2名022-=674个.

重复的有（U），（2,2）,（3,3）共3个.

所以〃2022）=5+2022+1011+674-3=3035+674=3709.

故答案为：3709

8.（24-25高三上•上海•期中）设4={0,1},集合。={（%,々,…,玉84）|石，马，…，W84e4},对于。中的任意两个

元素a=（&Xj,…,/4）、尸=（乂，%上，，为84），定义

a*?=（玉+%-番+…+（.84+为84一.84%84），设〃、VGQ,若a*&+v*v=384,则a*v

的最小值为.

【答案】192

【知识点】集合新定义

【分析】由%（匕T）=0,可得玉+W+…+为84+必+%+…+为84=384,分析得芯,马,…工384，%，必，…%84中有

384个1,384个0,进而由〃*V=384-（M%+々为+…+—）可得最小值.

【详解】设”=（为,％2,…,电84），丫=（%，%，-,，%84），

因为％